18.1等腰三角形的性质（第2课时 大边对大角与性质应用）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024）

18.1 等腰三角形的性质 第2课时 大边对大角与性质应用 沪教版（2024）七年级数学下册 第18章 等腰三角形 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质 2.理解并掌握等腰三角形的性质 3.经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题 等腰三角形的有关概念： 性质1：等腰三角形的两底角相等. （等边对等角） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. （等腰三角形的三线合一） 性质2： 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是:底边上的中线(或顶角平分线,底边上的高)所在的直线. 性质3： 腰 A B C 腰 底边 顶角 底角 底角 A B C 1 2 D 情景导入 新知探究 例3 如图，已知:在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D是边BC上一点，AD=AB. 求证:∠BAD=2∠C. 分析 要证明∠BAD=2∠C，只要证明∠BAD的一半与∠C相等.由于AD=AB，可考虑作AH⊥BC，从而将问题转化为证明∠BAH=∠C. 证明 如图 ，过点A作AH⊥BC，垂足为H. ∵ AD=AB, ∴∠BAD=2∠BAH(等腰三角形三线合一). ∵∠BAC+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)， ∠BAC=90°, ∴ ∠B+∠C=90°. 同理，∠BAH+∠B=90°. ∴∠ZBAH=∠C. ∴ ∠BAD=2∠C. 思考 我们知道“等边对等角”，那么三角形中不相等的边所对的角有什么大小关系呢? 例3不添辅助线也能证明吗? 例3也可以不添加辅助线，用求角度的方法进行证明: 因为∠CAD+∠C=∠ADB=∠B=90°-∠C， 所以2∠C=90°-∠CAD=∠BAD. 例题讲解 例4 如图，已知:在△ABC 中，AB>AC. 求证:∠C>∠B. 分析 要证∠C>∠B，可利用“三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角”. 证明：如图 ，由AB>AC，在AB上截取AD=AC，连接CD， 就有∠ADC=∠ACD(等边对等角). ∵∠ADC>∠B(三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角)， ∴ ∠ACB>∠ADC>∠B. 上述结论可以简述为：在三角形中，大边对大角 概念归纳 我们知道“等边对等角”，三角形中不相等的边所对的角的大小关系： 在三角形中，大边对大角 课堂练习 1.如图，已知:在△ABC中，AB=AC，点D、E 在边BC上，且AD=AE.求证:BD=CE. ∵AB=AC,∴∠B=∠C(等边对等角). ∵AD=AE，∴∠ADE = ∠AED(等边对等角). 又∵∠ADE =∠BAD+∠B， ∠AED= ∠CAE +∠C(三角形的内角和定理的推论)， ∴∠BAD=∠CAE. 在△ABD 和△ACE 中， AB=AC， ∠BAD=∠CAE， AD=AE， ∴△ABD ≌△ACE(SAS)， ∴BD=CE. (亦可通过作底边上的高，用等腰三角形三线合一的性质来证明.) 2.小海用如下两种方法作出了互相垂直的两条直线，你能证明这两种作法的正确性吗? 作法一: ①作任意一个角∠AOB; ② 以点O 为圆心、以任意长为半径作弧，交OA 于点C，交OB于点D; ③分别以点 C和点D为圆心、大于CD的同样长度为半径作弧，两弧相交于∠AOB内部的一点P; ④ 分别作射线OP 及线段CD. 从而 CD 与OP 互相垂直，如图(1)所示. (1) 作法二: ①作线段 AB，再分别以点A和点B为圆心、大于AB的同样长度为半径作弧，两弧相交于点C; ② 连接AC、BC，延长 AC 至点D，使CD=CA; ③连接DB.从而DB 与AB 互相垂直，如图(2)所示. (2) 3.如图，已知:在线段AB、BC、CD、DA 中，AB>AD，BC>CD.求证:∠ADC>∠ABC. 解：如图，连接DB. 在△ABD 中， ∵AB>AD, ∴∠ADB>∠ABD(三角形中，大边对大角). 在△CBD中， ∵BC>CD， ∴ ∠CDB>∠CBD(三角形中，大边对大角). ∴∠ADB +∠CDB>∠ABD+∠CBD, 即∠ADC>∠ABC. 习题 1.填空题: (1) 如果等腰三角形的一个底角为34°，那么另外两个角的度数分别____为和____; (2)如果等腰三角形的底边和一腰长分别为12 cm和15cm，那么这个三角形的周长为_______cm. 34° 112° 42° 2.如图，在△ABC中，点D 在边BC上，且有AB=AC=BD，AD=DC.求∠C的度数. 解：∠C=36° A 3.如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB =AC，BD=CD，∠B=30°.求∠BAD的度数 解：∵AB=AC，BD=CD， ∴AD上BC(等腰三角形三线合一). ∴ ∠ADB=90°. 又∵∠B+∠ADB+∠BAD=180°(三角形的内角和等于180°)，∠B=30°， ∴ ∠BAD=60°. 4.如图，已知:在△ABC中，D是边BC上一点，P是线段AD上一点，∠ABP=∠ACP，∠BPD =∠CPD. (1) 求证:BD=CD; (2)求证:AD⊥BC. 提示:由△ABP≌△ACP(AAS)，得AB=AC，∠BAP-∠CAP. 5.如图，已知:在△ABC中，CD 是△ABC 的角平分线，BC=AC+AD.求证:∠A=2∠B. 解：如图，在BC上截取CE=CA，连接DE. ∵BE+EC=BC=AC+AD,∴ BE=AD. ∵CD是△ABC的角平分线，∴∠ACD=∠ECD. 在△ACD 和△ECD中， AC=EC， ∠ACD=∠ECD， CD=CD. △ACD ≌△ECD(SAS). ∴AD=ED，∠A=∠DEC， ∵BE=AD,∴ BE=ED. ∴∠B=∠EDB(等边对等角). B 6.如图，已知:AB和CD相交于点P，CP>AC，BD>PD. 求证:∠A>∠B. 解：在△ACP中， ∵CP>AC， ∴∠A>∠CPA(三角形中，大边对大角). 在△BDP中， ∵BD>PD, ∴∠BPD>∠B(三角形中，大边对大角). 又∵∠CPA=∠BPD, ∴∠A>∠B. 等 腰 三 角 形 性质1 等腰三角形的两个底角相等 （简写成“等边对等角”） 应用： 常用来证明线段相等和角相等，求等腰三角形各角的度数,可以设未知数，借助方程来解。 性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 （简写成“三线和一”） 应用： 研究等腰三角形的有关问题时“三线”是常用的辅助线． 课堂小结 $$