精品解析：辽宁省辽阳市2024～2025学年七年级上学期期末考试数学试题

2024—2025学年度上学期期末质量监测 七年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国是最早认识和使用负数的国家，如果将节约电记作，那么浪费记作（ ） A. B. C. D. 2. 如图，用水平的平面截几何体，所得几何体的截面图形标号是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式变形中，不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 了解一批笔芯的使用寿命 B. 调查我省中学生的视力情况 C. 了解全国中学生每天运动的时间 D. 检测神舟十九号载人飞船的零部件质量情况 5. 下列说法正确的是（ ） A. 的系数是 B. 是单项式 C. 是6次单项式 D. 是二次三项式 6. 如图，用尺规作出了，作图痕迹中弧是（ ） A. 以点C为圆心，为半径的弧 B. 以点C为圆心，为半径的弧 C. 以点E为圆心，为半径的弧 D. 以点E为圆心，为半径的弧 7. 如图所示，一条笔直的公路，在这条公路两旁各有两个村庄C和D，现在要在公路边建一加油站E，使它到两村庄的距离之和最短，则这个加油站E应建在与的交点处，这种做法用数学知识解释是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 射线只有一个端点 C. 两点之间，线段最短 D. 两直线相交只有一个交点 8. 将转化为度、分、秒的形式为（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若，则的值为（ ） A. B. 1 C. 或0 D. 0或1 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 2024年珠海航展签约金额达到285600000000元人民币，此次航展展示了包括歼、红等新型装备在内的全领域尖端技术和最新成果，吸引了近60万人次参观，珠海航展不仅是一个贸易盛会，更是中国军工实力的展示，提升了中国在全球军贸市场的影响力．数据285600000000用科学记数法表示为_______． 12. 2024年12月16日，视听中国“冰天雪地也是金山银山”短视频大赛在辽宁省沈阳市辽宁广播电视台演播大厅正式启动，本次大赛以短视频形式讲好冰雪故事，推动冰雪文化新繁荣．苗苗同学在一个正方体的表面展开图上写了“弘、扬、冰、雪、文、化”，那么在原正方体中，与“弘”所在面相对的面上的汉字是_______． 弘 扬 冰 雪 文 化 13. 比较大小：_______．（选填“”“ ”或“”） 14. 点A在数轴上距原点2个单位长度，且位于原点右侧，一个点从点A出发，先向左移动7个单位长度，再向右移动3个单位长度到达点B，则点B表示的数是_______． 15. 已知线段，点C是直线上一点，，若点M是线段的中点，点N是线段上一点，且，则线段的长度是_______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： （2）解方程： 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 为丰富学生的校园生活，某校计划增设五类社团活动课程，分别为A：摄影；B：人工智能；C：合唱；D：创意手工；E：烘焙．为了解学生选择意向（每人必选且只能选择一项），从全校随机抽取部分学生进行调查问卷，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的统计图．请根据统计图的信息回答下列问题： 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求本次调查共抽取多少名学生，并直接补全条形统计图； （2）求在扇形统计图中“B类课程”所对应的扇形圆心角的度数； （3）若该校共有学生2000名，请你估计该校喜欢“E类课程”的学生有多少名？ 19. 如图，是由10个大小相同的小正方体块搭建的几何体． （1）请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； （2）在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，使得从左面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加_______个小正方体． 20. 某学校深入开展足球进校园活动，为了提高足球运动员快速转身抢断能力，体育老师设计了折返跑训练．在足球场上画一条东西方向的直线，如果约定向东为正，向西为负，一运动员沿着这条直线进行折返跑训练，记录如下（单位：米）：，，，，，，，，，． 请解答下列问题： （1）该运动员最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ （2）该运动员本次训练全程共跑了多少米？ 21. 为促进电力资源的优化配置，某地居民用电实施峰谷计费，峰时段为；谷时段为次日．如表为该地某户居民12月份的电费账单的部分信息，设其中的峰时电量为x千瓦时，根据所给信息，解决下列问题． 户主 *** 用电户号 ****** 合计金额 114.9元 合计电量 210千瓦时 抄送周期 2024.12.01-2024.12.31 备注：合计电量=峰时电量+谷时电量 单价（元） 计费数量（千瓦时） 金额（元） 峰时电量 0.59 x ①_______ 谷时电量 0.44 ②_______ ③_______ （1）请将上述电费账单填写完整：（用含x的代数式表示） （2）求该账单中的峰时电量、谷时电量分别为多少千瓦时？（请利用方程解决问题） 22. 两摞规格都相同的纸杯整齐叠放在茶几上，左边的一摞有3个纸杯，右边一摞有7个纸杯，乐乐同学经过测量画出下图，请你根据乐乐所给的数据信息，解答下列问题： （1）这些纸杯整齐摞在一起时，相邻两个纸杯杯口之间的高度相差_______； （2）若x个纸杯整齐摞放在茶几上，求这一摞纸杯的顶部距离地面的高度？（用含x的代数式表示） （3）若茶几上有50个纸杯整齐叠放成一摞，乐乐同学从中取走5个纸杯，求余下的纸杯顶部距离地面的高度？ 23. 【阅读理解】过的顶点O作一条射线，若，则我们称射线是“关于的临近偏分线”，例如：如图1，，当时，射线是“关于的临近偏分线”；当时，射线也是“关于的临近偏分线”． 【知识运用】 （1）如图2，，射线在的内部，且是“关于的临近偏分线”，则_______°”； （2）如图3，，射线在的外部，且是“关于的临近偏分线”，射线是的平分线，求的度数； （3）若，射线是“关于的临近偏分线”，射线是的平分线，则的度数是 ；（用含的代数式表示） （4）如图4，若，射线与射线重合，射线与射线重合，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，同时，射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当射线与射线重合时，运动止，请直接写出运动多少秒时，射线恰好是“关于的临近偏分线”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期期末质量监测 七年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国是最早认识和使用负数的国家，如果将节约电记作，那么浪费记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，比较简单． 首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答． 【详解】解：如果将节约电记作，那么浪费记作， 故答案为：B． 2. 如图，用水平的平面截几何体，所得几何体的截面图形标号是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：当截面的角度和方向不同时，圆锥的截面不相同， 当截面与底面平行时，截面是圆， 当截面与底面垂直时，截面是三角形，还有其他形状的截面图形． 故选A． 3. 下列等式变形中，不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练准确运用等式的基本性质是解题的关键． 等式性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个等式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数(除数不为零)，所得结果仍是等式另外，逐项进行判断即可． 【详解】解：解：A．如果，那么等式两边同时加上1得：仍然成立，故该选项正确，不符合题意； B．如果，那么等式两边同时减去2得：仍然成立，故该选项正确，不符合题意； C．已知，那么等式两边同时乘以得：仍然成立，故该选项正确，不符合题意； D．如果，那么等式两边除以a（0除外）得：，原式未说明，当时，变形无意义，则原式不成立，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 了解一批笔芯的使用寿命 B. 调查我省中学生的视力情况 C. 了解全国中学生每天运动的时间 D. 检测神舟十九号载人飞船的零部件质量情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了普查和抽样调查，解题的关键是熟知普查和抽样调查的定义. 根据普查和抽样调查的定义逐项判断即可． 【详解】解：因为了解一批笔芯的使用寿命采用抽样调查，所以A不符合题意； 因为调查我省中学生的视力情况采用抽样调查，所以B不符合题意； 因为了解全国中学生每天运动的时间采用抽样调查，所以C不符合题意； 因为检查神舟十九号载人飞船的零部件质量情况采用普查，所以D符合题意． 故选：D． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 的系数是 B. 是单项式 C. 是6次单项式 D. 是二次三项式 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式的定义及系数，多项式的定义；根据单项式和多项式的相关定义逐项判断即可． 【详解】解：因为的系数为，所以A正确； 因为是多项式，所以B不正确； 因为是次单项式，所以C不正确； 因为是三次三项式，所以D不正确． 故选：A． 6. 如图，用尺规作出了，作图痕迹中弧是（ ） A. 以点C为圆心，为半径的弧 B. 以点C为圆心，为半径的弧 C. 以点E为圆心，为半径的弧 D. 以点E为圆心，为半径的弧 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图－作一个角等于已知角．根据尺规作图：作一个角等于已知角的方法步骤逐一判断即可得到答案． 【详解】解：根据作一个角等于已知角的方法步骤可知，是以点E为圆心，为半径的弧， 故选：D． 7. 如图所示，一条笔直的公路，在这条公路两旁各有两个村庄C和D，现在要在公路边建一加油站E，使它到两村庄的距离之和最短，则这个加油站E应建在与的交点处，这种做法用数学知识解释是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 射线只有一个端点 C. 两点之间，线段最短 D. 两直线相交只有一个交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段的性质，解题的关键是正确理解两点之间线段最短． 根据两点之间线段最短即可求出答案． 【详解】解：公路边建一加油站E，使它到两村庄的距离之和最短，则这个加油站E应建在与的交点处， 这种做法用数学知识解释是：两点之间，线段最短． 故选：C． 8. 将转化为度、分、秒的形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了度分秒之间的转换， 根据进率为60，将 “度”化为“分”，再将“分”化成“秒”，可得答案． 【详解】解：． 故选：C． 9. 《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意可得野鸭的速度为，大雁的速度为，设经过天相遇，则相遇时野鸭的路程+大雁的路程=总路程，据此即可列出方程． 【详解】解：设经过天相遇， 可列方程为：， 故选：A． 10. 若，则的值为（ ） A. B. 1 C. 或0 D. 0或1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，化简绝对值，分情况讨论是解题关键． 将式子整理为，再分两种情况讨论化简可得答案． 【详解】解：由题意，得． 当时，， ∴原式； 当时，， ∴原式． 所以原式等于． 故选：A． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 2024年珠海航展签约金额达到285600000000元人民币，此次航展展示了包括歼、红等新型装备在内的全领域尖端技术和最新成果，吸引了近60万人次参观，珠海航展不仅是一个贸易盛会，更是中国军工实力的展示，提升了中国在全球军贸市场的影响力．数据285600000000用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 2024年12月16日，视听中国“冰天雪地也是金山银山”短视频大赛在辽宁省沈阳市辽宁广播电视台演播大厅正式启动，本次大赛以短视频形式讲好冰雪故事，推动冰雪文化新繁荣．苗苗同学在一个正方体的表面展开图上写了“弘、扬、冰、雪、文、化”，那么在原正方体中，与“弘”所在面相对的面上的汉字是_______． 弘 扬 冰 雪 文 化 【答案】雪 【解析】 【分析】本题主要考查了正方体的展开与折叠，先分别找出六个面上的字，即可得出答案． 【详解】解：以“冰”字为底面，上面是“化”字，则右面是“雪”， 左面是“弘”字，前面是“文”字，后面是“扬”字，所以“弘”字所对的汉字是“雪”字． 故答案为：雪． 13. 比较大小：_______．（选填“”“ ”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小比较，解题关键是理解并掌握比较有理数大小的方法：1、数轴法：在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大；2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；3、绝对值法：①两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 根据负数都小于零，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小进行比较即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 14. 点A在数轴上距原点2个单位长度，且位于原点右侧，一个点从点A出发，先向左移动7个单位长度，再向右移动3个单位长度到达点B，则点B表示的数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数， 先确定点A表示的数，再分别求出两次移动后表示的有理数即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知点A表示的数是2，向左移动7个单位长度后表示的数是，再向右移动3个单位长度表示的数是． 故答案为：． 15. 已知线段，点C是直线上一点，，若点M是线段的中点，点N是线段上一点，且，则线段的长度是_______． 【答案】7或9 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义， 分当点C在线段的延长线上时，当点C在线段上时，分别画出图形，根据中点的定义，及线段的比，即可求出答案． 【详解】解：点C在线段的延长线上时，如图， ∵， ∴． ∵点M是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴； 点C在线段的上时，如图， ∵， ∴． ∵点M是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． 所线段的长度是7cm或9cm． 故答案为：7或9． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）7；（2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，正确的计算是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算进行计算即可求解； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤解一元一次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项得， 方程两边同除以，得． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值， 先去括号，再合并同类项，然后代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式 ． 18. 为丰富学生的校园生活，某校计划增设五类社团活动课程，分别为A：摄影；B：人工智能；C：合唱；D：创意手工；E：烘焙．为了解学生选择意向（每人必选且只能选择一项），从全校随机抽取部分学生进行调查问卷，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的统计图．请根据统计图的信息回答下列问题： 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求本次调查共抽取多少名学生，并直接补全条形统计图； （2）求在扇形统计图中“B类课程”所对应的扇形圆心角的度数； （3）若该校共有学生2000名，请你估计该校喜欢“E类课程”的学生有多少名？ 【答案】（1）本次调查共抽取200名学生，详见解析 （2）在扇形统计图中“B类课程”所对应的扇形圆心角的度数为 （3）该校喜欢“E类课程”的学生约有300名 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图，求扇形圆心角的度数，样本估计总体的思想，分别求出各课程的人数是解题的关键． 对于（1），根据A课程的人数和A课程所占百分比得出总人数，再根据D课程所占百分比及总人数可求出D课程的人数，最后用总人数减去各组人数可得B课程人数，即可补全统计图； 对于（2），用B课程所占百分比乘以可得答案； 对于（3），用B课程所占百分比乘以总人数可得答案． 【小问1详解】 解：（名）． 答：本次调查共抽取200名学生． D课程的人数为（人），B课程人数为（人）， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：． 答：在扇形统计图中“B类课程”所对应的扇形圆心角的度数为． 【小问3详解】 解：（名）． 答：该校喜欢“E类课程”的学生约有300名． 19. 如图，是由10个大小相同的小正方体块搭建的几何体． （1）请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； （2）在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，使得从左面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加_______个小正方体． 【答案】（1）详见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了小正方体的组合体的三视图， 对于（1），从三个方向观察组合体，再画出平面图形即可； 对于（2），在从上面看的图形中画出添加小正方体的个数解答即可． 【小问1详解】 解：如图所示． 【小问2详解】 解：可以添加的小正方体的个数如图所示， ∴最多可以再添加4个小正方体． 故答案为：4． 20. 某学校深入开展足球进校园活动，为了提高足球运动员快速转身抢断能力，体育老师设计了折返跑训练．在足球场上画一条东西方向的直线，如果约定向东为正，向西为负，一运动员沿着这条直线进行折返跑训练，记录如下（单位：米）：，，，，，，，，，． 请解答下列问题： （1）该运动员最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ （2）该运动员本次训练全程共跑了多少米？ 【答案】（1）该运动员最后到达的地方在出发点的西方，距出发点2米 （2）该运动员本次训练全程共跑了226米 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算以及绝对值的性质和正负数的意义．解题的关键是熟练利用加法的运算法则进行运算． （1）根据有理数加法法则，将所有数据相加，看最后结果．若结果为正，则最后到达的地方在出发点的西边；若结果为负，则最后到达的地方在出发点的东边； （2）利用绝对值的性质以及有理数加法法则求出即可． 【小问1详解】 解：（米）． 答：该运动员最后到达的地方在出发点的西方，距出发点2米． 【小问2详解】 解：（米）． 客：该运动员本次训练全程共跑了226米． 21. 为促进电力资源的优化配置，某地居民用电实施峰谷计费，峰时段为；谷时段为次日．如表为该地某户居民12月份的电费账单的部分信息，设其中的峰时电量为x千瓦时，根据所给信息，解决下列问题． 户主 *** 用电户号 ****** 合计金额 114.9元 合计电量 210千瓦时 抄送周期 2024.12.01-2024.12.31 备注：合计电量=峰时电量+谷时电量 单价（元） 计费数量（千瓦时） 金额（元） 峰时电量 0.59 x ①_______ 谷时电量 0.44 ②_______ ③_______ （1）请将上述电费账单填写完整：（用含x的代数式表示） （2）求该账单中的峰时电量、谷时电量分别为多少千瓦时？（请利用方程解决问题） 【答案】（1）①；②；③ （2）该账单中的峰时电量为150千瓦时，谷时电量为60千瓦时 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格中的信息即可解得； （2）根据总费用等于峰时费用+谷时费用建立方程求解． 【小问1详解】 解：峰时金额为元， 由于总用电210千瓦时， 所以谷时千瓦时， 所以谷时金额元， 故答案为：①，②，③； 【小问2详解】 解：因为该账单中峰时电量为x千瓦时， 根据题意，得 解这个方程得 （千瓦时）． 答：该账单中的峰时电量为150千瓦时，谷时电量为60千瓦时． 22. 两摞规格都相同的纸杯整齐叠放在茶几上，左边的一摞有3个纸杯，右边一摞有7个纸杯，乐乐同学经过测量画出下图，请你根据乐乐所给的数据信息，解答下列问题： （1）这些纸杯整齐摞在一起时，相邻两个纸杯杯口之间的高度相差_______； （2）若x个纸杯整齐摞放在茶几上，求这一摞纸杯的顶部距离地面的高度？（用含x的代数式表示） （3）若茶几上有50个纸杯整齐叠放成一摞，乐乐同学从中取走5个纸杯，求余下的纸杯顶部距离地面的高度？ 【答案】（1）0.6 （2） （3）余下的纸杯顶部距离地面的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查了用代数式表示，代数式求值， （1）先求出4个纸杯杯口的高度，进而得出答案； （2）以3个纸杯的高度为基础，再加上个纸杯杯口的高度，即可用代数式表示； （3）将45代入求值即可． 【小问1详解】 解：（）. 故答案为：0.6； 【小问2详解】 解： 答：这一摞杯的顶部距离地面的高度为； 【小问3详解】 解：当时，. 答：余下的纸杯顶部距离地面的高度为． 23. 【阅读理解】过的顶点O作一条射线，若，则我们称射线是“关于的临近偏分线”，例如：如图1，，当时，射线是“关于的临近偏分线”；当时，射线也是“关于的临近偏分线”． 【知识运用】 （1）如图2，，射线在的内部，且是“关于的临近偏分线”，则_______°”； （2）如图3，，射线在的外部，且是“关于的临近偏分线”，射线是的平分线，求的度数； （3）若，射线是“关于的临近偏分线”，射线是的平分线，则的度数是 ；（用含的代数式表示） （4）如图4，若，射线与射线重合，射线与射线重合，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，同时，射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当射线与射线重合时，运动止，请直接写出运动多少秒时，射线恰好是“关于的临近偏分线”． 【答案】（1）25 （2） （3）或 （4）运动30或45秒时，射线恰好是“关于的临近偏分线”． 【解析】 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线的定义， （1）根据定义可知，即可求出答案； （2）根据定义可知，即可求出，再根据角平分线的定义解答； （3）仿照（1）（2）分两种情况解答即可； （4）根据旋转及运动的速度，结合定义分两种情况画出图形，再根据度数之间的关系求出答案． 【小问1详解】 解：根据题意可知， ∵， ∴． 故答案为：25； 【小问2详解】 解：根据题意可知， ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴； 【小问3详解】 解：当在内时， 根据题意可知， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴； 当在外时， 根据题意可知， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴； 所以的度数为或； 故答案为：或； 【小问4详解】 解：30或45． 过程如下：设运动t秒时射线恰好是“”的临界偏分线， 可知， 当在内时，， ∵， ∴， 即， 解得； 如图所示， 如图所示，当在外时，， ∵， ∴， 即， 解得． 所以当时间是30或45秒时，射线恰好为“关于的临界偏分线”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $