专题04 相似三角形中的常见的四种模型-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（江苏专用）

专题04 相似三角形中的常见的四种模型 模型一、8字模型 1 模型二、A字模型 10 模型三、旋转(手拉手)模型 24 模型四、一线三等角模型 30 46 模型一、8字模型 8字——平行型 条件：CD∥AB, 结论：ΔPAB∼ΔPCD(上下相似); 左右不一定相似,不一定全等，但面积相等; 四边形ABCD为一般梯形. 条件：CD∥AB,PD=PC. 结论：ΔPAB∼ΔPCD∼ΔPDC(上下相似) ΔPAD≅ΔPBC左右全等； 四边形ABCD为等腰梯形； 8字——不平行型 条件：∠CDP=∠BAP. 结论：ΔAPB∼ΔDPC(上下相似); ΔAPD∼ΔBPC(左右相似); 1．（2024·江苏扬州·二模）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为 米． 2．（2024·江苏泰州·二模）凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点到物体的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的 ．    3．（2023·江苏无锡·二模）如图，、、均为等要直角三角形，其中，连接，分别与AC、AD交于点M、N，则 ．    4．（2023·江苏苏州·一模）如图，已知中，，点O是边上的动点（不与点B重合），以O为圆心，为半径的与交于D，连接并延长交于点E，连接．    (1)当时，判断直线与的位置关系并说明理由； (2)若，，的半径为r，求r为何值时，的值最大，这个最大值是多少？ 5．（2024·江苏常州·模拟预测）图1是凸透镜成像示意图，蜡烛发出的光线平行于直线，经凸透镜折射后，过焦点F，并与过凸透镜中心O的光线交于点D，从而得到像．其中，物距，像距，焦距，四边形是矩形，，． (1)如图2，当蜡烛在离凸透镜中心一倍焦距处时，即，请用所学的数学知识说明此时“不成像”； (2)若蜡烛的长为，物距，焦距，求像距v和像的长． 6．（2021江苏·无锡中考真题）如图，四边形为圆内接四边形，平分，与相交于点E． (1)求证：； (2)若，求线段的长度． 模型二、A字模型 A字模型 如图一 如图二 如图三 1．（2024·江苏宿迁·三模）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，用“出入相补”法证明了三角形面积公式．如图，在中，点分别是的中点，作于点，沿虚线分割再重新拼接（无重叠无缝隙）成四边形．若，，则四边形的面积为 ． 2．（2024·江苏宿迁·三模）如图，矩形中，，，与边、对角线均相切，过点B作的切线，切点为P，则切线长的最小值为 ． 3．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，与相交于点．过点的圆O的切线，交的延长线于点，．    (1)求的度数； (2)若，求的半径． 4．（2023·江苏盐城·一模）《海岛算经》是我国魏晋时期的著名数学家刘徽所撰，该书研究的对象全是有关高与距离的测量，因首题测算海岛的高、远，故而书名由此而来，它是中国最早的一部测量数学著作，亦为地图学提供了数学基础．书中第四题为：今有望深谷，偃距岸上，令勾高六尺，从勺端望谷底，入下股九尺一寸， 又设重矩于上，其矩间相去三丈（30尺），更从勺端望谷底，入上股八尺五寸，问谷深几何？大致译文如下:现在要测量谷的深度，拿一个高为6尺的“矩尺”（）仰放在岸上，从G处望向谷底（H在上），下股为9.1尺，在的延长线上重新放置“矩尺”（），其中尺，尺，从E处望向谷底（C在上），下股为8.5尺，求谷的深度．（已知  、）    5．（2023·江苏扬州·二模）【阅读材料】 教材习题 如图，、相交于点，是中点，，求证：是中点．   问题分析 由条件易证，从而得到，即点是的中点 方法提取 构造“平行字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法    请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题． 【基础应用】已知中，，点在边上，点在边的延长线上，连接交于点． (1)如图1，若，，求证：点是的中点； (2)如图2，若，，探究与之间的数量关系； 【灵活应用】如图3，是半圆的直径，点是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，，，，当点从点运动到点，点运动的路径长为______，扫过的面积为______． 6．（2023·江苏泰州·三模）(一)感知：如图，是的中位线，，、分别是、的中点，则；用字母表示与间有怎样的相等关系：． 二探索：如图，在四边形中，，其中，，是的中点，交于点，则．用字母，表示 在上，在上，，且使四边形四边形，则用字母，表示 在上，在上，， 且平分四边形的面积，求的长用字母，表示 三猜想：、、间的大小关系：，用、的表达式表示并对与间的关系进行证明； 四应用：如图，在中，，，，点、分别在、上，平分的面积，求周长的最小值．    模型三、旋转(手拉手)模型 【方法点拨】基本模型： 旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形. 1．（2023•宿城区二模）如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为 ． 2．（2023·江苏无锡·二模）如图，在四边形中，，连接，点E在上，连接，若.    (1)求证：． (2)若，求的度数． 3．（2024•邳州市校级一模）（1）问题发现 如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接． ①线段，之间的数量关系为 ； ②的度数为 ； （2）拓展探究 如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，连接，求的值及的度数； （3）解决问题 如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到直线的距离． 模型四、一线三等角模型 一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。或叫 “K字模型”。 三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下： 当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。 一般类型： 基本类型： 同侧“一线三等角” 异侧“一线三等角” 模型一：一线三直角 图一 图二 模型二：一线三等角 图三 图四 【方法点拨】基本模型： 如图1，∠B=∠C=∠EDF推出△BDE∽△CFD（一线三等角） 如图2，∠B=∠C=∠ADE推出△ABD∽△DCE（一线三等角） 如图3，特别地，当D时BC中点时：△BDE∽△DFE∽△CFD推出ED平分∠BEF，FD平分∠EFC. 1．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）【初步感知】如图①，在正方形中，E为边上一点，连结，过点E作交于点F．易证：．（不需要证明） 【尝试探究】如图②，在矩形中，E为边上一点，连结，过点E作交于点F． （1）求证：； （2）若，，E为的中点，求的长． 【拓展应用】如图③，在中，，，．E为边上一点（点E不与点A、B重合），连结，过点E作交于点F．当为等腰三角形时，的长为__________．    2．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点． (1)如图，若，，求点与点之间的距离； (2)如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值； (3)如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为_______． 3．（2021·江苏常州·一模）在同一平面内，具有一条公共边且不完全重合的两个全等三角形，我们称这两个三角形叫做“共边全等” （1）下列图形中两个三角形不是“共边全等”是_______； （2）如图1，在边长为6的等边三角形中，点D在边上，且，点E、F分别在、边上，满足和为“共边全等”，求的长； （3）如图2，在平面直角坐标系中，直线分别与直线、x轴相交于A、B两点，点C是的中点，P、Q在的边上，当以P、B、Q为顶点的三角形与“共边全等”时，请直接写出点Q的坐标． 4．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，以矩形的顶点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，已知，，将矩形绕点逆时针方向旋转得到矩形．    (1)当点恰好落在轴上时，如图，求点的坐标． (2)连接，当点恰好落在对角线上时，如图，连接，． ①求证：； ②求点的坐标． (3)在旋转过程中，点是直线与直线的交点，点是直线与直线的交点，若，请直接写出点的坐标． 一、单选题 1．（2024·江苏镇江·一模）如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛与凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2023·江苏常州·模拟预测）如图，中，点E在上，交于点F，若，，则 . 3．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）可测量零件的内孔直径.如果，且量得，则零件的厚度x为 ． 4．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图1，在中，，，，D是AB上一点，且，过点D作交AC于E，将绕A点顺时针转到图2的位置，则图2中的值为 ． 5．（2022·江苏无锡·二模）如图，在中，，．矩形DEFG的顶点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，若，则当EC＝ 时，矩形DEFG面积的最大值＝ ． 6．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，已知是等边内的一点，且，延长，，分别交，于点D，E．若，，则的周长等于 ．    三、解答题 7．（2022九年级·江苏·专题练习）如图所示，P为正方形的边上一动点，，垂足分别为，过点P作交于点M． (1)求证：； (2)若的面积为25，，求的面积． 8．（22-23九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，已知是的直径，A为上（异于B、F）一点，过点A的直线与的延长线交于点M，G为上一点，的延长线交于点E，连接，． (1)求证：； (2)，，记的面积为，记的面积为，记的面积为，若，求的半径． 9．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图（1），和均为等腰直角三角形，点，分别在线段，上，且 (1)观察猜想：小华将绕点逆时针旋转，连接，，如图（2），当的延长线恰好经过点时，其： ①的值； ②与的夹角为多少度； (2)类比探究：如图（3），小芳在小华的基础上，继续旋转，连接，，设的延长线交于点，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由． (3)拓展延伸：若，，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长． 10．（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）在中，，在中， ，请探索解答下列问题． 【问题发现】 (1)如图1，若，点D，E分别在上，则与的数量关系是___________，直线与的夹角为___________； 【类比探究】 (2)如图2，若，将绕点A旋转至如图2所示的位置，则与之间是否满足（1）中的数量关系？说明理由． 【拓展延伸】 (3)在（1）的条件下，若m=2，将绕点A旋转过程中，当B，E，D三点共线．请直接写出的长． 11．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）【模型建立】（1）如图1，在等边中，点、分别在、边上，，求证：； 【模型应用】（2）如图2，在中，，，于点，点在边上，，点在边上，，则的值为_________； 【模型拓展】（3）如图3，在钝角中，，点、分别在、边上，，若，，求的长．    1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 相似三角形中的常见的四种模型 模型一、8字模型 1 模型二、A字模型 10 模型三、旋转(手拉手)模型 24 模型四、一线三等角模型 30 46 模型一、8字模型 8字——平行型 条件：CD∥AB, 结论：ΔPAB∼ΔPCD(上下相似); 左右不一定相似,不一定全等，但面积相等; 四边形ABCD为一般梯形. 条件：CD∥AB,PD=PC. 结论：ΔPAB∼ΔPCD∼ΔPDC(上下相似) ΔPAD≅ΔPBC左右全等； 四边形ABCD为等腰梯形； 8字——不平行型 条件：∠CDP=∠BAP. 结论：ΔAPB∼ΔDPC(上下相似); ΔAPD∼ΔBPC(左右相似); 1．（2024·江苏扬州·二模）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为 米． 【答案】2.6 【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据题意可得：，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， ， ， 解得：， 为2.6米， 故答案为：2.6． 2．（2024·江苏泰州·二模）凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点到物体的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的 ．    【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并用相似三角形的性质进行解答是解题的关链；先证出四边形为矩形，得到，再 根据，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几； 【详解】解：由题意知，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 物体被缩小到原来的， 故答案为：； 3．（2023·江苏无锡·二模）如图，、、均为等要直角三角形，其中，连接，分别与AC、AD交于点M、N，则 ．    【答案】 【分析】如图所示，延长交于F，由等腰直角三角形的性质得到，，证明四边形是矩形，得到，，，，证明得到，则；进一步证明是等腰直角三角形，得到，证明，推出，设，则，，即可得到． 【详解】解：如图所示，延长交于F， ∵、、均为等要直角三角形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． 4．（2023·江苏苏州·一模）如图，已知中，，点O是边上的动点（不与点B重合），以O为圆心，为半径的与交于D，连接并延长交于点E，连接．    (1)当时，判断直线与的位置关系并说明理由； (2)若，，的半径为r，求r为何值时，的值最大，这个最大值是多少？ 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2)，的值最大，这个最大值是9 【分析】（1）由圆周角定理可得，再由，，可得，再利用，可得，即可得出结论； （2）利用勾股定理求得，证明，可得，即，设，，可得即可求出结果． 【详解】（1）解：连接，，    ∵是直径， ∴， ∵， ∴， 当时，， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵是半径， ∴与相切． （2）解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，   又∵， ∴， ∴，即， 设，， ∴， ∴时，，的值最大，最大值为9． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、二次函数最值、勾股定理、切线的判定、等腰三角形的定义及圆周角定理，熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 5．（2024·江苏常州·模拟预测）图1是凸透镜成像示意图，蜡烛发出的光线平行于直线，经凸透镜折射后，过焦点F，并与过凸透镜中心O的光线交于点D，从而得到像．其中，物距，像距，焦距，四边形是矩形，，． (1)如图2，当蜡烛在离凸透镜中心一倍焦距处时，即，请用所学的数学知识说明此时“不成像”； (2)若蜡烛的长为，物距，焦距，求像距v和像的长． 【答案】(1)见解析 (2)像的长为厘米，像距v为厘米 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质等知识． （1）先证明得出，即，得出与无交点即可求解； （2）根据可得和，根据相似三角形的性质可列二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形 ∴， 在和中 ∴ ∴ ∴ 则与无交点 即此时“不成像”； （2）解：由和可知： ∴ 答：像的长为，像距v为． 6．（2021江苏·无锡中考真题）如图，四边形为圆内接四边形，平分，与相交于点E． (1)求证：； (2)若，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，从而可得，进而可得，然后再利用等弧所对的圆周角相等可得，即可解答； （2）根据同弧所对的圆周角相等可得，从而证明，进而利用相似三角形的性质可得，然后设，从而利用（1）的结论可得，列出关于a的方程，进行计算即可求出a的值，最后根据等弧所对的圆周角相等可得，从而可得，即可解答． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴, ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴线段的长度为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，角平分线的定义，熟练掌握圆周角定理，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 模型二、A字模型 A字模型 如图一 如图二 如图三 1．（2024·江苏宿迁·三模）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，用“出入相补”法证明了三角形面积公式．如图，在中，点分别是的中点，作于点，沿虚线分割再重新拼接（无重叠无缝隙）成四边形．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】18 【分析】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型，准确识图，掌握矩形的性质和全等三角形的判定和性质是解题关键．通过证明，求出以及即可解决问题． 【详解】解：由题意，， 在矩形中，， ∵， ∴， ∵点D为的中点， ∴， 又∵， ∴ ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， ∴四边形的面积为； 故答案为：． 2．（2024·江苏宿迁·三模）如图，矩形中，，，与边、对角线均相切，过点B作的切线，切点为P，则切线长的最小值为 ． 【答案】 【分析】设与、分别相切于点G、H，连接、、、，连接并延长交于E，过点E作于F，过点O作于K，设，则，可证得，得出，即，求得，再运用勾股定理可得，故当时，． 【详解】解：设与、分别相切于点G、H，连接、、、，连接并延长交于E，过点E作于F，过点O作于K，如图， 则，， ，，， 平分， ， 四边形是矩形， ，，， ，， 平分，，， ， ， ， ， ， 设，则， ，， ， ，即， ， ，， ， 设的半径为r，则， ，， ， ，即， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 是的切线， ， ， 当时，． 故答案为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、切线的性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和判定，作出合适的辅助线是解题的关键． 3．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，与相交于点．过点的圆O的切线，交的延长线于点，．    (1)求的度数； (2)若，求的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，根据为的切线，则，由，则，根据圆周角定理可得，又，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质，代入数据即可求解． 【详解】（1）如图，连接．   为的切线， ． ， ． ， ． ， ． （2）如图，连接， ，， ． ， ，且， ， ，即， ， ，即半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，相似三角形的性质与判定等知识．正确作出辅助线是解题关键． 4．（2023·江苏盐城·一模）《海岛算经》是我国魏晋时期的著名数学家刘徽所撰，该书研究的对象全是有关高与距离的测量，因首题测算海岛的高、远，故而书名由此而来，它是中国最早的一部测量数学著作，亦为地图学提供了数学基础．书中第四题为：今有望深谷，偃距岸上，令勾高六尺，从勺端望谷底，入下股九尺一寸， 又设重矩于上，其矩间相去三丈（30尺），更从勺端望谷底，入上股八尺五寸，问谷深几何？大致译文如下:现在要测量谷的深度，拿一个高为6尺的“矩尺”（）仰放在岸上，从G处望向谷底（H在上），下股为9.1尺，在的延长线上重新放置“矩尺”（），其中尺，尺，从E处望向谷底（C在上），下股为8.5尺，求谷的深度．（已知  、）    【答案】谷的深度为419尺 【分析】先证明A字模型相似，再利用相似三角形的性质可得，从而可得，进而可得，然后证明A字模型相似，再利用相似三角形的性质可得，从而可得，进而可得，最后可得，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴谷的深度为419尺． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，数学常识，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键． 5．（2023·江苏扬州·二模）【阅读材料】 教材习题 如图，、相交于点，是中点，，求证：是中点．   问题分析 由条件易证，从而得到，即点是的中点 方法提取 构造“平行字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法    请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题． 【基础应用】已知中，，点在边上，点在边的延长线上，连接交于点． (1)如图1，若，，求证：点是的中点； (2)如图2，若，，探究与之间的数量关系； 【灵活应用】如图3，是半圆的直径，点是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，，，，当点从点运动到点，点运动的路径长为______，扫过的面积为______． 【答案】(1)见解析；(2)；【灵活应用】， 【分析】（1）过点作，证，即可得点是的中点； （2）过点作，可证，得，由，，得，再证，可得，由平行线分线段成比例得，由，可得，，即可得出； [灵活应用]：由题意可得，过点作，则，可得，进而可得，证，可知，过点作，则，，可得点在以为直径的半圆上运动，可求得运动的路径长度，过点作，则，，则点在以为直径的半圆上运动，可知扫过的面积为以为直径的半圆与以为直径的半圆的面积之差，即可求得答案． 【详解】解：（1）证明：，， ， 过点作，则，，    是等腰直角三角形，则， ， ， ， ， 又， ， ， 点是的中点； （2）过点作，则，    ，，则， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， 则， ， ； [灵活应用]： 是半圆的直径，点是半圆上一点， ， 过点作，则，    ， ， ， ， ， 又， ， ， 过点作，则，， ， ，， ，则， ， 点在以为直径的半圆上运动， 运动的路径长为： 过点作，则，，    ， ， 点在以为直径的半圆上运动， 则扫过的面积为以为直径的半圆与以为直径的半圆的面积之差， 即：扫过的面积为 故答案为：，． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，圆周角定理，动点的运动路径，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 6．（2023·江苏泰州·三模）(一)感知：如图，是的中位线，，、分别是、的中点，则；用字母表示与间有怎样的相等关系：． 二探索：如图，在四边形中，，其中，，是的中点，交于点，则．用字母，表示 在上，在上，，且使四边形四边形，则用字母，表示 在上，在上，， 且平分四边形的面积，求的长用字母，表示 三猜想：、、间的大小关系：，用、的表达式表示并对与间的关系进行证明； 四应用：如图，在中，，，，点、分别在、上，平分的面积，求周长的最小值．    【答案】(一)；；(二)（1）；（2）；（3）；(三)，证明见解析；(四) 【分析】(一)由三角形的中位线定理可得出结论；连接交于点，分别在和，利用三角形中位线定理可得出结论； (二)（1）由(一)中的结论可直接解答； （2）利用相似图得出线段比例关系，进而可得出结论； （3）延长交的延长线于点，过点作于点，交于点，交于点，设，，；由平行可得出，得出比例式用表示和，再根据平分四边形的面积列出等式，整理即可得出结论； 三利用作差法可得出结论； 四由的面积的面积的一半可得出的值，再根据三角形周长，结合不等式的性质可得出结论． 【详解】解：(一)是的中位线， ，， ， ； 、分别是、的中点， ：：， ， ， 如图，连接交于点，则是的中位线，是的中位线，    ， ； 由上可得，， 整理得； 故答案为：；； 二（1）由一中的结论可得， 故答案为：． （2）四边形四边形， ：：， ， 故答案为：； （3）如图，延长交的延长线于点，过点作于点，交于点，交于点，    由题意可知，， ， ：：；：：， 设 则 ，； 平分四边形的面积， ，即， ， ， 整理得，即； 三由上可知，， ， ， ， ， ，即， 故答案为：； 四平分的面积， ，即， ， ， ， 的周长． 【点睛】本题主要考查三角形的中位线定理，相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，勾股定理等相关知识，根据面积相等建立合适的等式是解题关键． 模型三、旋转(手拉手)模型 【方法点拨】基本模型： 旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形. 1．（2023•宿城区二模）如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，连接，则可得，进而可知为定值，所以当时，最小，利用三角函数和相似比列式可表示出、，即可求出结果． 【详解】解：过点作于点，连接，如图所示： ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即在点的运动过程中，的大小不变且等于， 当时，最小， 设此时， ， ， ， ， ， 代入，解得， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查相似三角形综合，熟练掌握手拉手相似模型是解题关键，确定点G的运动路径是本题的难点． 2．（2023·江苏无锡·二模）如图，在四边形中，，连接，点E在上，连接，若.    (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）利用平行线的性质求得，即可证明； （2）利用相似三角形的性质求得，再利用三角形的外角性质求解即可. 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的外角性质及等边对等角等，理解题意，熟练掌握运用各个知识点是解题关键． 3．（2024•邳州市校级一模）（1）问题发现 如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接． ①线段，之间的数量关系为 ； ②的度数为 ； （2）拓展探究 如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，连接，求的值及的度数； （3）解决问题 如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到直线的距离． 【答案】（1）①，②∠AEB的度数为；（2），∠BEC的度数为；（3）点到直线的距离为或． 【分析】（1）①由“SAS”可证△CDA≌△CEB，由全等三角形的性质可求AD=BE； ②由全等三角形的性质可得∠CEB=∠ADC=120°，即可求解； （2）首先证明△CAE∽△BAD，由相似三角形的性质可得∠AEC=∠ADB=135°，，即可求解； （3）由题意可得点P在以点D为圆心，为半径的圆上，同时点P也在以BD为直径的圆上，即点P是两圆的交点，分两种情况讨论，由勾股定理即可求出点C到BP的距离． 【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形， ∴CA=CB=AB，CD=CE=DE，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB， ∴∠ACD=∠BCE， 在△CDA和△CEB中， ， ∴△CDA≌△CEB（SAS）， ∴； ②∵△CDA≌△CEB， ∴∠CEB=∠ADC， ∵∠CDE=60°， ∴∠ADC=120°=∠CEB， ∴∠AEB=120°-60°=60°， 故答案为①，②∠AEB的度数为； （2）证明：和均为等腰直角三角形， ，，， ， 即， ， ，， ， ， ， ， 故，； （3）∵点P满足PD=， ∴点P在以点D为圆心，为半径的圆上， ∵∠BPD=90°， ∴点P在以BD为直径的圆上， ∴如图3，点P是两圆的交点，若点P在BD上方，连结BP，过点C作CH⊥BP于H，过点D作DE⊥CH于E， ∵CD==BC，∠BCD=90°， ∴BD=2， ∵∠BPD=90°， ∴BP=， ∵∠BPD=90°=∠PHE=∠PEH， ∴PH=PE，∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠2，四边形PHED是矩形， ∴PH=DE， 在△BCH和△CDE中， ∴△BCH≌△CDE（AAS） ∴BH=CE，CH=DE， ∴CH=PH， ∵BP=3，BC=， ∴CH=PH=3-BH， 在Rt△CHB中，， 即， 解得BH=或， ∴点到直线的距离为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查的是等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 模型四、一线三等角模型 一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。或叫 “K字模型”。 三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下： 当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。 一般类型： 基本类型： 同侧“一线三等角” 异侧“一线三等角” 模型一：一线三直角 图一 图二 模型二：一线三等角 图三 图四 【方法点拨】基本模型： 如图1，∠B=∠C=∠EDF推出△BDE∽△CFD（一线三等角） 如图2，∠B=∠C=∠ADE推出△ABD∽△DCE（一线三等角） 如图3，特别地，当D时BC中点时：△BDE∽△DFE∽△CFD推出ED平分∠BEF，FD平分∠EFC. 1．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）【初步感知】如图①，在正方形中，E为边上一点，连结，过点E作交于点F．易证：．（不需要证明） 【尝试探究】如图②，在矩形中，E为边上一点，连结，过点E作交于点F． （1）求证：； （2）若，，E为的中点，求的长． 【拓展应用】如图③，在中，，，．E为边上一点（点E不与点A、B重合），连结，过点E作交于点F．当为等腰三角形时，的长为__________．    【答案】[尝试探究]（1）详见解析；（2）；[拓展应用]或8 【分析】[尝试探究]（1）由题意可求，，进而可证；（2）由题意知，，由（1）知，则，即，计算求解即可； [拓展应用]由勾股定理得，则，证明；由题意知，当为等腰三角形时，分，，，三种情况求解；当时，则，，进而可求结果；当时，，则，，进而可求结果；当时，此时不成立． 【详解】解：[尝试探究]（1）证明：四边形是矩形， ， ． ， ， ， ， 又， ； （2）为的中点， ， 由（1）知， ，即， ． [拓展应用]解：∵，， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∴； 由题意知，当为等腰三角形时，分，，，三种情况求解； 当时，则， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴，此时不成立； 综上所述，的长为或8， 故答案为：或8． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 2．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点． (1)如图，若，，求点与点之间的距离； (2)如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值； (3)如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为_______． 【答案】(1)或； (2)； (3)． 【分析】（）设，则，证明，然后根据相似三角形的性质得出，则，转化为，解方程即可； （）设，则，证明，然后根据相似三角形的性质得出，则，转化为然后由二次函数的性质求解即可； （）连接，由四边形是正方形，得，即点对角线所在直线上运动，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，当三点共线时，有最小值，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴，即，则， 解得：或， ∴或； （2）设，则， ∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当时，有最大，最大值为； （3）连接， ∵四边形是正方形， ∴， 即点在对角线所在直线上运动， 如图，作关于的对称点，连接，过作于点， ∴，四边形为矩形， 则点三点共线，， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值， ∴在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解一元二次方程，二次函数的最值，两点之间线段最短等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 3．（2021·江苏常州·一模）在同一平面内，具有一条公共边且不完全重合的两个全等三角形，我们称这两个三角形叫做“共边全等” （1）下列图形中两个三角形不是“共边全等”是_______； （2）如图1，在边长为6的等边三角形中，点D在边上，且，点E、F分别在、边上，满足和为“共边全等”，求的长； （3）如图2，在平面直角坐标系中，直线分别与直线、x轴相交于A、B两点，点C是的中点，P、Q在的边上，当以P、B、Q为顶点的三角形与“共边全等”时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）③；（2）；（3） 【分析】（1）由于第③个图不符合共边要求，所以图③即为答案； （2）为两个全等三角形的公共边，由于点在边上，在边上，两个三角形的位置可以如图②，在公共边异侧，构成一个轴对称图形，也可以构成一个平行四边形（将图③的两条最长边重合形成），分两类讨论，画出图形，按照图②构图，会得到一个一线三等角模型，利用相似，列出方程来解决，按照平行四边形构图，直接得到为等边三角形，计算边长即可求得； （3）由题目要求，可以知道两个全等三角形的公共边为边，由于要构成，所以点只能在和边上，当在边上，两个三角形可以在同侧，也可以在异侧，当在异侧构图时，可以得到图3和图4，在图3中，当在同侧构图时，可以得到图6，当在边上时，只能落在上，得到图7，利用已知条件，解三角形，即可求出点坐标． 【详解】解：（1）①②均符合共边全等的特点，只有③，没有公共边，所以③不符合条件， 答案是③； （2）①如图1，当，且是共边全等时， ， ， 是等边三角形， 是等边三角形， ， ， ， ②如图2，当，且是共边全等时， ， ，， ， 又， ， 又， ， ， 设，则， ， 解得， ，， ， 综上所述，或； （3）联立，解得， ， 令，得， ， ， 为中点， ， ， 由题可得，点只能在边和上， ①在上时，如图3，， ，， ， 四边形为平行四边形， 为中点， 为中点， 又， 为中点， ， ②当在边上，如图4，， ， 如图5，过作于，则，， ， ， 过作于， ， 设，则， ， ， ， ， ， ③当在边上，在边上时，如图6，， ，， 过作于， ，， ， ， 设， ， ， ， ， ④当在上，在上时，，如图7， ， 过，分别作得垂线，垂足分别为，， ，， ， 四边形是平行四边形， 为中点， 为中点， ， 综上所述，或或或． 【点睛】此题是一道一次函数和三角形的综合题，充分利用第一问的构图是此题的突破口，当点所在的位置不确定时，要注意分类讨论，同时，利用已知数据解三角形是解决此题的基本能力要求． 4．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，以矩形的顶点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，已知，，将矩形绕点逆时针方向旋转得到矩形．    (1)当点恰好落在轴上时，如图，求点的坐标． (2)连接，当点恰好落在对角线上时，如图，连接，． ①求证：； ②求点的坐标． (3)在旋转过程中，点是直线与直线的交点，点是直线与直线的交点，若，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①见解析；② (3)，． 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，由勾股定理可求的长，即可求点坐标； （2）①连接交于点，由旋转的性质可得，，，，，，可得，进而得，由可证； ②通过证明点，点关于对称，可求点坐标，进而根据矩形的性质求得点的坐标，即可求解； （3）分两种情况讨论，由面积法可求，由勾股定理可求的值，即可求点坐标． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，， 将矩形绕点逆时针方向旋转得到矩形， ，，， ， 点， （2）①连接交于点，如图所示：    四边形是矩形， ，， ，且， ， 将矩形绕点逆时针方向旋转得到矩形 ，，，，，， ， ，， ，， ， ， ， 又， ， ②， ， ， ， 点，点，点共线， ，， 点，点关于对称，且，， 点，， ，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， ∵， ∴， 解得：,(舍去)， ∴， 设的坐标为，连接，交于点，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 解得：， ∴． （3）如图所示，当点在点右侧，连接，过点作于， + ， 设，则，， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 负值舍去， ， ， 点， 如图所示，若点在点左侧，连接，过点作于，    ， 设，则，， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 点， 综上所述：点，． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，还考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，添加恰当辅助线是解本题的关键． 一、单选题 1．（2024·江苏镇江·一模）如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛与凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．先证得出，再证，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出的长． 【详解】解：由题意得，，，， 四边形是平行四边形． ． ， ， ， ． ， ， ， ． ， 故选：D 二、填空题 2．（2023·江苏常州·模拟预测）如图，中，点E在上，交于点F，若，，则 . 【答案】2 【分析】根据可得出，再由平行四边形的性质得出，从而由，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴．经检验符合题意； 故答案为：2． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质及相似三角形判定与性质，解答本题的关键是根据得出的值． 3．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）可测量零件的内孔直径.如果，且量得，则零件的厚度x为 ． 【答案】cm 【分析】求出和相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出，再根据外径的长度解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（cm）， ∵外径为10cm， ∴， ∴（cm）． 故答案为 cm． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，解决问题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 4．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图1，在中，，，，D是AB上一点，且，过点D作交AC于E，将绕A点顺时针转到图2的位置，则图2中的值为 ． 【答案】/ 【分析】首先根据勾股定理得到，然后证明出，得到，进而得到，然后证明出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】∵在中，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 如图2，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定定理． 5．（2022·江苏无锡·二模）如图，在中，，．矩形DEFG的顶点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，若，则当EC＝ 时，矩形DEFG面积的最大值＝ ． 【答案】 2 【分析】设ED=x，EF=y，过F作FH⊥AC于H，根据求出，HE，勾股定理求出FH，根据AC=AH+HE+EC得到，进而得到关于矩形DEFG面积的解析式，利用二次函数的性质得到面积的最大值． 【详解】解：设ED=x，EF=y，过F作FH⊥AC于H， 在Rt△ECD中， ∵， ∴， ∴， ∵∠FEH+∠CED=90°， ∴∠EFH=∠DEC， ∴， ∴FH=， ∵△AHF是等腰直角三角形， ∴AH=FH=， ∵AC=AH+HE+EC=， ∴=4， ∴， ∴矩形DEFG面积=xy==， ∴当时，矩形EDGF面积有最大值，最大值为， ∴=2， 故答案为：2，． 【点睛】此题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，二次函数最值问题，锐角三角函数，正确掌握各知识点是解题的关键． 6．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，已知是等边内的一点，且，延长，，分别交，于点D，E．若，，则的周长等于 ．    【答案】 【分析】作于点F，在等边中，，，可求，，根据勾股定理可求，再利用相似三角形的判定定理可得，根据相似三角形的性质得，即，求得，，，即可求的周长． 【详解】解：如图，作于点F，    ∵在等边中，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 在中，， ∵P是等边内的一点，且， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴的周长． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，作出辅助线，求出的长是解题的关键． 三、解答题 7．（2022九年级·江苏·专题练习）如图所示，P为正方形的边上一动点，，垂足分别为，过点P作交于点M． (1)求证：； (2)若的面积为25，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】（1）利用正方形的性质可得，根据垂直定义可得，从而可得，即可解答； （2）根据可得，利用一线三等角相似模型证明，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 的面积为25， 的面积为9． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握一线三等角相似模型是解题的关键． 8．（22-23九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，已知是的直径，A为上（异于B、F）一点，过点A的直线与的延长线交于点M，G为上一点，的延长线交于点E，连接，． (1)求证：； (2)，，记的面积为，记的面积为，记的面积为，若，求的半径． 【答案】(1)证明见详解 (2)3 【分析】（1）连接，由，得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，从而得出，最后根据平行线的判定定理即可得出结论； （2）设的面积为，的面积为，，则，证明，由相似三角形的性质得出，再根据，，，进行计算即可求出t的值，得出，然后根据相似三角形的性质求出的长，在中利用勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）设的面积为，的面积为，， 则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为，的面积为，的面积为， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理，得：， 解得：，（舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴的半径为3． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，三角形的面积，属于综合题，有一定难度，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 9．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图（1），和均为等腰直角三角形，点，分别在线段，上，且 (1)观察猜想：小华将绕点逆时针旋转，连接，，如图（2），当的延长线恰好经过点时，其： ①的值； ②与的夹角为多少度； (2)类比探究：如图（3），小芳在小华的基础上，继续旋转，连接，，设的延长线交于点，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由． (3)拓展延伸：若，，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长． 【答案】(1)①；②45 (2)（1）中结论仍然成立，理由见解析 (3)或 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． （1）①如图（2）中，设交于点．证明，推出；②由相似三角形的性质得到，再证明，可得结论． （2）如图（3）中，设交于点．证明，可得结论． （3）分两种情形：如图（4）中，当于时，如图（4）中，当时，延长交于．分别求出，可得结论． 【详解】（1）解：①如图（2）中，设交于点． ，都是等腰直角三角形， ，，， ，， ， ， 故答案为：； ②∵ ∴， ， ， ∴与的夹角为45度， 故答案为： 45． （2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图（3）中，设交于点． ，都是等腰直角三角形， ，，， ，， ， ，， ， ， ，， ∴，与的夹角为45度； （3）解：如图（4）-1中，当于时， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 如图（4）-2中，当时，延长交于． 同法可得，，， ， 综上所述，的长为或． 10．（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）在中，，在中， ，请探索解答下列问题． 【问题发现】 (1)如图1，若，点D，E分别在上，则与的数量关系是___________，直线与的夹角为___________； 【类比探究】 (2)如图2，若，将绕点A旋转至如图2所示的位置，则与之间是否满足（1）中的数量关系？说明理由． 【拓展延伸】 (3)在（1）的条件下，若m=2，将绕点A旋转过程中，当B，E，D三点共线．请直接写出的长． 【答案】(1)， (2)不满足，，直线与的夹角为 (3)或 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，，计算即可； （2）过点C作于H，延长交于点F，根据直角三角形的性质得到，，证明，根据相似三角形的性质解答即可； （3）分点E在线段上、点D在线段上两种情况，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴直线与的夹角为， 故答案为：，； （2）解：不满足，，直线与的夹角为， 理由如下：如图2，过点C作于H，延长交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，直线与的夹角为； （3）解：如图3，点E在线段上， ∵， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 如图4，点D在线段上， ， ∴， 综上所述：当B，E，D三点共线，的长为或． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 11．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）【模型建立】（1）如图1，在等边中，点、分别在、边上，，求证：； 【模型应用】（2）如图2，在中，，，于点，点在边上，，点在边上，，则的值为_________； 【模型拓展】（3）如图3，在钝角中，，点、分别在、边上，，若，，求的长．    【答案】（1）见解析；（2）2；（3） 【分析】（1）利用等边三角形的性质、三角形外角的性质、相似三角形的判定与性质解答即可； （2）先证明为等边三角形，进一步得到，是直角三角形，则，再证得，则，得到答案； （3）在上截取，连接，先证明，再证明，利用相似三角形的性质求得，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：2； （3）解：在上截取，连接，如图3，    ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）或， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形外角的性质、直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质等，熟练掌握等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$