精品解析：北京市怀柔区2024-2025学年八年级上学期数学期末试题

2024-2025学年北京市怀柔区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2024年7月，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举办.运动会共设有32个大项，329个小项，共有206个国家和地区参赛，并且本届奥运会新增了滑板、冲浪、竞技攀岩和霹雳舞四个大项.下面是巴黎奥运会一些项目图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C、D选项中的字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 2. 华为Mate70于2024年11月开售，该款手机搭载的是华为自主研发的麒麟9100芯片，该款芯片采用等效7纳米工艺，1纳米米，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解： 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂相乘，底数不变指数相加计算即可作出判断． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：． 4. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零的条件是解题的关键． 根据分母不为零的条件进行解题即可． 详解】解：由题可知， ， 解得 故选：C． 5. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：是乘法运算，则A不符合题意； 是乘法运算，则B不符合题意； 中等号右边不是整式积的形式，则C不符合题意； 符合因式分解的定义，则D符合题意； 故选：． 6. 如图，在中，，平分交于点D，于点若，，则值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据角平分线的性质得到，，根据直角三角形的性质求得，即可得到结论． 【详解】解：，平分交于点D，于点E， ，， ， ， ， ， 故选： 7. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形是迄今为止人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则的度数和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用多边形的外角和为即可得出答案．本题考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和为是关键． 【详解】解：多边形的外角和为， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8. 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在y轴上．若为等腰三角形时，，则点C的坐标为（ ） A. ，， B. ，， C. D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、坐标与图形性质，熟练掌握以上知识点是关键．分情况讨论当作为腰时得到两个符合条件的C点坐标，当作为等腰三角形的底边时，点C应该在线段的垂直平分线与y轴的交点，求出点C坐标即可． 【详解】解：当作为腰时， ， 或， 当作为等腰三角形的底边时，点C应该在线段的垂直平分线与y轴的交点， ，， ，， ， 在中，， ， 综上分析，或或 故选：A． 二、填空题：本题共7小题，每小题2分，共14分． 9. 计算：______. 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： 故答案： 10. 约分：______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．把分子分母都约去公因式即可． 【详解】解：原式 故答案为： 11. 已知等腰三角形的周长为，其中一边的长为5，则底边的长为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．分类讨论当等腰三角形的底边长为5时，当等腰三角形的腰长为5时，结合三角形的三边关系即可求解； 【详解】解：当等腰三角形的底边长为5时， 等腰三角形的周长为， 它的腰长； 当等腰三角形的腰长为5时， 等腰三角形的周长为， 它的底边长， ， 不能组成三角形； 综上所述：它的底边长为5， 故答案为： 12. 如图，，，要使，可以添加的条件是______（添加一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定方法，由题意得，推出，结合即可求解； 详解】证明：∵， ， ， ， ∵， ∴当时，可通过证； 故答案为：（答案不唯一） 13. 我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文.问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（丈尺，）已知绫布和罗布分别出售均能收入文，每尺绫布和每尺罗布一共需要文.问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有x尺，则可得方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．绫布有x尺，则罗布有尺，然后根据绫布和罗布分别全部出售后均能收入文；绫布和罗布各出售一尺共收入文列出方程即可． 【详解】解：设绫布有x尺，则罗布有尺， 由题意得：， 故答案为： 14. 如图，，小明通过尺规作图、裁剪、重合的操作，证实一种全等三角形的判定方法，以下是小明的操作过程： 第一步：尺规作图. 作法：（1）作射线； （2）以点D为圆心，线段的长为半径画弧交射线于点E； （3）以D为圆心，线段的长为半径画弧； （4）以E为圆心，线段的长为半径画弧，与前弧相交于点F； （5）连接， 第二步：把作出的剪下来，放到上. 第三步：观察发现和重合. 根据小明的操作过程，请你写出小明探究的是哪种判定三角形全等的方法. 小明探究的是______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：；三条边对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】证明：由题意得：，，， 由判定 故答案为： 15. 如图，在和中，，，．连接，交于点．以下四个结论：①；②；③；④平分，其中结论正确有______．（写序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理、角平分线的判定定理等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键．①先证出，再证出，根据全等三角形的性质即可判断①正确；②设与交于点，先根据全等三角形的性质可得，再根据对顶角相等、三角形的内角和定理即可判断②正确；③假设，从而可得，根据三角形的内角和定理可得，再根据角的和差可得，由此即可判断③错误；④过点作于点，于点，先根据全等三角形的性质可得，，再根据三角形的面积公式可得，然后根据角平分线的判定定理即可判断④正确． 【详解】解：①∵， ，即， 在和中， ， ∴， ∴，结论①正确； ②如图1，设与交于点， ∵， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ， ，结论②正确； ③假设， ， ∴， ∴， ∵， ∴，根据已知条件无法得出这个结论， 即假设不成立，结论③错误； ④如图2，过点作于点，于点， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，，且点在的内部， ∴平分，结论④正确； 综上，结论正确有①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题：本题共12小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】利用分式的基本性质即可求得答案．本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据有理数的乘方、绝对值、零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可． 【详解】解： ． 18. 解因式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因数3，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】 ． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算——化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先利用完全平方公式，多项式除以单项式的法则进行计算，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解： ， ， ， ∴， 当时，原式． 20. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，与相交于点O，，，求证： 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，由，得到，即可证明； 【详解】证明：， ， 在和中， ， ∴ 21. 下面是小雅“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程． 已知：直线l及直线l外一点P． 求作：直线PQ，使得PQ⊥l． 做法：如图， ①在直线l的异侧取一点K，以点P为圆心，PK长为半径画弧，交直线l于点A，B； ②分别以点A，B为圆心，大于AB的同样长为半径画弧，两弧交于点Q（与P点不重合）； ③作直线PQ，则直线PQ就是所求作的直线． 根据小雅设计的尺规作图过程： （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵PA＝________，QA＝________， ∴PQ⊥l___________（填推理的依据）． 【答案】（1）见解析 （2）PB，QB；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【解析】 【分析】（1）根据题干提示的作图步骤完成作图即可； （2）根据线段的垂直平分线的判定定理进行解答即可． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 证明：∵PA=PB，QA=QB， ∴PQ⊥l （到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）． 故答案为PB，QB；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图与证明，掌握“作图步骤与理论原理”是解本题的关键． 22. 解分式方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为 23. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 先把前面括号内通分和中括号内的除法运算化为乘法运算，再进行同分母的减法运算，然后把除法运算转化为乘法运算，最后约分即可． 【详解】解： ． 24. 如图，在中，，，垂直平分，交于点，求的度数. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 由等边对等角可得，由三角形的内角和定理可得，由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角可得，然后利用角的和差关系可得，于是得解． 【详解】解：， ， ， 垂直平分， ， ， ． 25. 我们定义：若两个分式A与B的和为一个分式C，且分式C的分子为常数，分母为关于x的一次整式，则称A与B是“合分式”，这个常数称为A与B关于C的“合值”.例如：分式，，，则A与B是“合分式”，A与B关于C的“合值”为 解决下列问题： （1）已知分式，，判断E与F是不是“合分式”.若不是，请说明理由；若是，请证明，并求出E与F关于C的“合值”； （2）已知分式其中a是常数，且，，M与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1，求常数a的值. 【答案】（1）与F是“合分式”，理由见解析，3 （2） 【解析】 【分析】本题考查分式混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 将两式相加并计算即可； 将两式相加并计算，根据M与N关于C的“合值”为1求得a的值即可． 【小问1详解】 解：与F是“合分式”，理由如下： ， 则E与F关于C的“合值”为3； 【小问2详解】 解： ， 与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1， 26. 如图，在中，，过点A在的外部作直线l，作点C关于直线l的对称点P，连接，线段交直线l于点D，连接． （1）①依题意补全图1； ②求证：； （2）如图2，若， ①依题意补全图2； ②用等式表示线段之间的数量关系并证明． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）①见解析；②结论：，见解析 【解析】 【分析】（1）①利用轴对称变换的性质作出图形即可； ②证明，即可； （2）①利用轴对称变换的性质作出图形即可； ②结论：．设交于点O，在线段上截取线段，使得，连接．证明，推出可得结论． 【小问1详解】 解：①如图1所示： ②证明：，C关于直线l对称， ， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：①图形如图2所示； ②结论： 理由：设交于点O，在线段上截取线段，使得，连接． 由（1）可知， ， ， ，， ，都是等边三角形， ，，， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 27. 在平面直角坐标系中，将过x轴上的点，且平行于y轴的直线，记作直线．对于图形M和N，若存在直线，使得图形M关于的对称图形都在图形N内包括边界，则称图形M是图形N的一阶t包含图形．若存在直线与直线且，图形M关于直线的对称图形记为图形W，图形W关于的对称图形都在图形N内包括边界，则称图形M是图形N的二阶m，n包含图形． 已知，，，， （1）若， ①A是线段的一阶k包含图形，则______； ②A是线段的一阶s包含图形，则s的取值范围是______； （2）若点A为四边形的二阶，1包含图形，则a的取值范围是______． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，主要结合四边形、三角形、坐标图形背景考查了新定义内容，正确理解题意和利用中点坐标公式求出一次对称点或者两次对称点是解题关键． （1）①根据定义，利用中点坐标公式直接得解； ②满足A关于直线对称点落在对角线上即可； （2）先求出点A关于直线，直线的二阶对称点，要使点A为四边形的二阶，1包含图形，只需要点落在对角线上即可得解． 【小问1详解】 解：①关于直线的对称点在线段上， ， 故答案为：； ②关于直线的对称点在线段上，且关于直线的对称点为， ， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题可知关于直线对称点，关于直线对称点， 要使点A为四边形的二阶，1包含图形，只需要点落在对角线上即可， ，， ， ， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北京市怀柔区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2024年7月，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举办.运动会共设有32个大项，329个小项，共有206个国家和地区参赛，并且本届奥运会新增了滑板、冲浪、竞技攀岩和霹雳舞四个大项.下面是巴黎奥运会一些项目图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 华为Mate70于2024年11月开售，该款手机搭载是华为自主研发的麒麟9100芯片，该款芯片采用等效7纳米工艺，1纳米米，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，平分交于点D，于点若，，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形是迄今为止人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则的度数和为（ ） A B. C. D. 8. 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在y轴上．若为等腰三角形时，，则点C的坐标为（ ） A. ，， B. ，， C. D. ，， 二、填空题：本题共7小题，每小题2分，共14分． 9. 计算：______. 10. 约分：______. 11. 已知等腰三角形周长为，其中一边的长为5，则底边的长为______. 12. 如图，，，要使，可以添加的条件是______（添加一个即可） 13. 我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文.问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（丈尺，）已知绫布和罗布分别出售均能收入文，每尺绫布和每尺罗布一共需要文.问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有x尺，则可得方程为______. 14. 如图，，小明通过尺规作图、裁剪、重合的操作，证实一种全等三角形的判定方法，以下是小明的操作过程： 第一步：尺规作图. 作法：（1）作射线； （2）以点D为圆心，线段的长为半径画弧交射线于点E； （3）以D为圆心，线段的长为半径画弧； （4）以E为圆心，线段长为半径画弧，与前弧相交于点F； （5）连接， 第二步：把作出的剪下来，放到上. 第三步：观察发现和重合. 根据小明的操作过程，请你写出小明探究的是哪种判定三角形全等的方法. 小明探究的是______. 15. 如图，在和中，，，．连接，交于点．以下四个结论：①；②；③；④平分，其中结论正确有______．（写序号） 三、解答题：本题共12小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： 17. 计算： 18. 解因式：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，与相交于点O，，，求证： 21. 下面是小雅“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程． 已知：直线l及直线l外一点P． 求作：直线PQ，使得PQ⊥l． 做法：如图， ①在直线l的异侧取一点K，以点P为圆心，PK长为半径画弧，交直线l于点A，B； ②分别以点A，B为圆心，大于AB的同样长为半径画弧，两弧交于点Q（与P点不重合）； ③作直线PQ，则直线PQ就是所求作的直线． 根据小雅设计的尺规作图过程： （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵PA＝________，QA＝________， ∴PQ⊥l___________（填推理的依据）． 22. 解分式方程： 23. 计算：． 24. 如图，在中，，，垂直平分，交于点，求的度数. 25. 我们定义：若两个分式A与B的和为一个分式C，且分式C的分子为常数，分母为关于x的一次整式，则称A与B是“合分式”，这个常数称为A与B关于C的“合值”.例如：分式，，，则A与B是“合分式”，A与B关于C的“合值”为 解决下列问题： （1）已知分式，，判断E与F是不是“合分式”.若不是，请说明理由；若是，请证明，并求出E与F关于C的“合值”； （2）已知分式其中a是常数，且，，M与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1，求常数a的值. 26. 如图，在中，，过点A在的外部作直线l，作点C关于直线l的对称点P，连接，线段交直线l于点D，连接． （1）①依题意补全图1； ②求证：； （2）如图2，若， ①依题意补全图2； ②用等式表示线段之间的数量关系并证明． 27. 在平面直角坐标系中，将过x轴上的点，且平行于y轴的直线，记作直线．对于图形M和N，若存在直线，使得图形M关于的对称图形都在图形N内包括边界，则称图形M是图形N的一阶t包含图形．若存在直线与直线且，图形M关于直线的对称图形记为图形W，图形W关于的对称图形都在图形N内包括边界，则称图形M是图形N的二阶m，n包含图形． 已知，，，， （1）若， ①A是线段的一阶k包含图形，则______； ②A是线段的一阶s包含图形，则s的取值范围是______； （2）若点A为四边形二阶，1包含图形，则a的取值范围是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$