精品解析：广东省湛江市2024-2025学年 八年级上学期数学期末试题

2024-2025学年第一学期八年级（数学）核心素养发展调研 （时间：120分钟，满分：120分） 注意事项： 1．请在答题卡指定的位置填写学校、姓名、班级、试室号、座位号． 2．请将答案填写在答题卡相应的位置上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，小狗皮皮看到镜子里自己，觉得很奇怪，此时他所看到的全身像是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各式中，计算正确的是（ ） A B. C. D. 3. 下列实例中没用到三角形稳定性的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，△ABC的一角被墨水污了，但小明很快就画出跟原来一样的图形，他所用定理是（ ） A. SAS B. SSS C. ASA D. HL 6. 把分式中的都扩大到原来的倍，则分式的值（ ） A. 扩大到原来的倍 B. 缩小为原来的 C. 扩大到原来的倍 D. 不变 7. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点，若，则的长为（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 8. 元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，绫布和罗布各出售一尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，则下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，点、分别在、边上，是的中点，，与相交于，，则的面积为（ ） A. 1.5 B. 2.5 C. 3 D. 6 10. 已知，则的值是（ ） A. 4 B. 18 C. 12 D. 16 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若分式有意义，则x满足的条件_______． 12. 因式分解：_____． 13. 已知三角形的三边长为2，，4，化简的结果是______． 14. 如图，在等腰中，，于点，，两动点分别在线段、上运动，若，则当取得最小值时，的度数为_____． 15. 已知，求的值为_____． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 如图，于，于，与相交于点．求证：． 17. 如果一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形的边数是多少？ 18. 先化简，再求值：，当时，求代数式的值． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． ，，三点在格点上． （1）作出关于轴对称 （2）求出面积． 20. 在某段高速公路修建中，需要打通一条隧道，施工方有两个工程队可供选择，若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时间内完成，若乙工程队单独施工，则需要的天数是甲工程队的倍，若甲、乙两个工程队合作天，余下的任务甲工程队单独完成仍需要天． （1）甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天? （2）经过预算，甲工程队每天的施工费用是元，乙工程队每天的施工费用是元，为了尽可能缩短施工时间，施工方打算让两个工程队合作完成，打通这条隧道的施工费用是多少? 21. 如图，AD，AE分别是的高和中线，，，，．求： （1）AD的长： （2）和的周长的差； （3），，求的度数． 五、解答题（三）：本大题共2小题，共27分． 22. 阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法。配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值 解：原式 ∵ ∴当x=6时，的值最小，最小值为0 ∴ ∴当时，的值最小，最小值为1984 ∴代数式：的最小值是1984 例如：分解因式： 解：原式 （1）分解因式； （2）若，求y最大值； （2）当m，n为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 23. 如图，在中，，，为射线上一动点，连接． （1）当点是的中点时，求的面积； （2）过作且（在直线上方）． ①如图，当在线段上，连接，请问的面积的值是否为定值？若为定值请求出该值；若不为定值请说明理由； ②如图，当在的延长线上，连接，与的延长线交于点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期八年级（数学）核心素养发展调研 （时间：120分钟，满分：120分） 注意事项： 1．请在答题卡指定的位置填写学校、姓名、班级、试室号、座位号． 2．请将答案填写在答题卡相应的位置上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，小狗皮皮看到镜子里的自己，觉得很奇怪，此时他所看到的全身像是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面镜成像原理，像跟物应该关于镜面成轴对称. 【详解】根据平面镜成像原理，选项A是小狗在平面镜中的像. 故选A 【点睛】本题考核知识点：轴对称图形. 解题关键点：理解平面镜成像原理. 2. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握，，，进行运算，即可． 【详解】A、不能合并，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 下列实例中没用到三角形稳定性的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的性质，根据三角形具有稳定性判定即可，熟记三角形具有稳定性是解此题的关键． 【详解】解：A、利用“三角形稳定性”，故不符合题意； B、利用了“三角形稳定性”，故不符合题意； C、利用“三角形稳定性”，故不符合题意； D、不是利用“三角形稳定性”，故符合题意； 故选：D． 4. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的判断，掌握分式的定义是解题的关键．根据分式的定义，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、 是单项式，故该选项不符合题意； B 、是分式，故该选项符合题意； C、 是多项式，故该选项不符合题意； D 、是单项式，故该选项不符合题意． 故选B． 5. 如图，△ABC的一角被墨水污了，但小明很快就画出跟原来一样的图形，他所用定理是（ ） A. SAS B. SSS C. ASA D. HL 【答案】C 【解析】 【分析】根据现有的边和角利用全等三角形的判定方法即可得到答案. 【详解】根据题意可知，都是已知的，所以利用ASA可以得到△ABC的全等三角形，从而就可画出跟原来一样的图形. 故选：C. 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. 6. 把分式中的都扩大到原来的倍，则分式的值（ ） A. 扩大到原来的倍 B. 缩小为原来的 C. 扩大到原来的倍 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式基本性质，把都扩大到原来的倍代入分式计算即可判断求解，掌握分式基本性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴把分式中的都扩大到原来的倍，分式的值不变， 故选：． 7. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点，若，则的长为（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，含30度角的直角三角形，三角形外角的性质，和线段垂直平分线的性质，解题的关键是垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 根据线段垂直平分线的性质将的长度转化为的长度，在中，利用含30度角的直角三角形来求的长度． 【详解】解：∵是的垂直平分线 ，是等腰三角形 ∴ ∴ ． 故选：C． 8. 元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，绫布和罗布各出售一尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，则下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：绫布出售一尺共收入罗布出售一尺共收入文，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 详解】解：由题意得 ， 故选：B． 9. 如图，中，点、分别在、边上，是的中点，，与相交于，，则的面积为（ ） A. 1.5 B. 2.5 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，先结合，，得，因为是的中点，则的面积，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的中点， ∴的面积， 故选：D 10. 已知，则的值是（ ） A. 4 B. 18 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了换元法，完全平方公式以及平方差公式，先整理得，再令，则，，解出，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 令， ∴， 则， 即， ∴， ∴， 则， 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若分式有意义，则x满足的条件_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，即，解出不等式即可，列出不等式并正确求解是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 12. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 分析】本题考查了平方差公式分解因式，，即可作答． 详解】解：依题意，， 故答案为：． 13. 已知三角形的三边长为2，，4，化简的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值的性质，根据三角形的三边关系列不等式求出的取值范围，再根据绝对值的性质化简即可，熟记性质是解题的关键． 【详解】解：由三角形的三边关系可得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在等腰中，，于点，，两动点分别在线段、上运动，若，则当取得最小值时，的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】依据题意，连接，先证明，得到，从而推出当、、三点共线且时最小，即此时最小，过点作于点，交于点，连接，由三线合一定理得到，则，故当最小时，，，同理可得，则，利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴，， 又∵是公共边， ∴， ∴， ∴， ∴当、、三点共线且时最小，即此时最小，过点作于点，交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，的度数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，线段最短问题，三角形外角的性质等知识，解题的关键将的最值转化为． 15. 已知，求的值为_____． 【答案】66 【解析】 【分析】本题考查了分式运算，完全平方公式的运算，先整理式子得，因为，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， 故答案为：66． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 如图，于，于，与相交于点．求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，因为于，于，得出，结合，，则，即可作答． 【详解】解：∵于，于， ∴， ∵，， ∴， ∴． 17. 如果一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形的边数是多少？ 【答案】这个多边形的边数是8 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和的综合应用，设多边形的边数是，根据题意，列出方程进行求解即可，掌握多边形的内角和公式以及外角和为360度，是解题的关键． 【详解】解：设多边形的边数是， 由题意，得：， 解得：； 故这个多边形的边数是8． 18. 先化简，再求值：，当时，求代数式的值． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌分式的混合运算顺序和运算法则． 【详解】解： ， 当时， 原式． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． ，，三点在格点上． （1）作出关于轴对称的 （2）求出的面积． 【答案】（1）图形见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了作轴对称图形以及利用网格求三角形面积. （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，然后连接即可； （2）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可． 【小问1详解】 解： ，，关于y轴对称的对应点的坐标分别为： ，，，然后连接，，即可． 如下图，即为所求． 【小问2详解】 ． 20. 在某段高速公路修建中，需要打通一条隧道，施工方有两个工程队可供选择，若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时间内完成，若乙工程队单独施工，则需要的天数是甲工程队的倍，若甲、乙两个工程队合作天，余下的任务甲工程队单独完成仍需要天． （1）甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天? （2）经过预算，甲工程队每天的施工费用是元，乙工程队每天的施工费用是元，为了尽可能缩短施工时间，施工方打算让两个工程队合作完成，打通这条隧道的施工费用是多少? 【答案】（1）甲工程队单独完成此项工程需要天，乙工程队单独完成此项工程需要天 （2）打通这条隧道的施工费用是元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数混合运算的应用； （1）设甲工程队单独完成此项工程需要天，根据“甲、乙两个工程队合作天，余下的任务甲工程队单独完成仍需要天”列分式方程求解即可； （2）结合（1）的答案，先求出甲、乙两个工程队合作完成需要的天数，再乘以每天施工费用之和，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设甲工程队单独完成此项工程需要天， 可得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 天， 所以，甲工程队单独完成此项工程需要天，乙工程队单独完成此项工程需要天． 【小问2详解】 解：甲、乙两个工程队合作完成，需要的天数为：天， （元）， 所以打通这条隧道的施工费用是元． 21. 如图，AD，AE分别是的高和中线，，，，．求： （1）AD的长： （2）和的周长的差； （3），，求的度数． 【答案】（1）4.8m：（2）2cm；（3）10° 【解析】 【分析】（1）利用“面积法”来求线段AD的长度； （2）根据三角形周长公式计算即可； （3）根据已知条件结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：（1）AD是△ABC的高， ∴， ∴， ∴AD＝4.8cm； （2）∵AE是△ABC的中线， ∴BE＝CE， ∵AB＝6cm，AC＝8cm， ∴△ACE和△ABE的周长的差 ＝（AC＋AE＋CE）−（AB＋BE＋AE） ＝AC−AB ＝8−6 ＝2cm； （3）∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴∠DAE＝10°． 【点睛】本题考查了三角形的高线和中线的定义，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握这些性质和定义． 五、解答题（三）：本大题共2小题，共27分． 22. 阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法。配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值 解：原式 ∵ ∴当x=6时，的值最小，最小值为0 ∴ ∴当时，的值最小，最小值为1984 ∴代数式：的最小值是1984 例如：分解因式： 解：原式 （1）分解因式； （2）若，求y的最大值； （2）当m，n为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】（1）（x-20）（x-26）；（2）y的最大值为1314；（3）当m=4，n=3时，有最小值，最小值为2020． 【解析】 【分析】（1）模仿题目中的方法进行因式分解即可； （2）模仿题目中的方法，用配方法求最大值即可； （3）模仿题目中的方法，用配方法求最小值即可； 详解】解：（1）＝（x2﹣46x+529）﹣9＝（x﹣23）2﹣32＝（x﹣23+3）（x﹣23﹣3）＝（x-20）（x﹣26）， 故答案为：（x-20）（x-26）； （2） = = = ∵， ∴， ∴， 当x=1时，y的最大值为1314； （3）＝m2+（﹣2mn﹣2m）+（n2+2n+1）+（n2﹣6n+9）+2020 ＝m2﹣2m（n+1）+（n+1）2+（n﹣3）2+2020 ＝（m﹣n﹣1）2+（n﹣3）2+2020， 当m﹣n﹣1＝0，n﹣3＝0时，原式取最小值． ∴当m＝4，n＝3时，多项式有最小值2020． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质和配方法的运用，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值． 23. 如图，在中，，，为射线上一动点，连接． （1）当点是的中点时，求的面积； （2）过作且（在直线上方）． ①如图，当在线段上，连接，请问的面积的值是否为定值？若为定值请求出该值；若不为定值请说明理由； ②如图，当在延长线上，连接，与的延长线交于点，求证：． 【答案】（1）16； （2）①的面积的值是为定值：；②见解析． 【解析】 【分析】（1）由中点定义求得，根据三角形的面积公式即可求解； （2）①过点作于点，证得，即可求解；②过点作，交的延长线于点，先证，得，再证得，即可证明结论成立． 【小问1详解】 解：∵在中，，，是的中点时， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图，过点作于点， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②过点作，交的延长线于点， 同①的理由可证明， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直定义，直角三角形的两锐角互余，与高有关的面积计算，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$