热点08 三角函数的图象及性质（9题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学【热点·重点·难点】专练（北京专用）

热点08 三角函数的图象及性质 三年考情分析 2025考向预测 2022年，第5题，考察三角函数的单调性 2022年，第13题，考察三角函数的零点 2023年，第13题，考察正切函数的性质 2023年，第17题，考察三角函数的单调性 2024年，第6题，考察三角函数的周期性与最值 该内容是北京卷的必考内容，多在选择题与填空题中进行考查,三角函数的单调性可能会继续作为重点考査内容出现，因为它在近年的考试中被多次提及,也可能会有题目综合考查三角函数的多个性质，如周期性、单调性、奇偶性等, 题型1三角函数的定义域与值域 （1）形如或型,可先由定义域求得的范围,然后求得(或)的范围,最后求得最值. （2）形如型,可利用换元思想,设,转化为二次函数求最值,的范围需要根据定义域来确定. 1．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 2．（2024·北京门头沟·一模）若函数 的最大值为 ， 则 ， ． 3．（2024·江西上饶·一模）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·上海静安·一模）函数的定义域是 ． 5．（2024·湖北·二模）函数，当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 题型2三角函数的周期性及应用 ①对形如或的周期为，对形如的周期为； ②对形如或的周期为，对形如的周期为； 1．（2024·北京·三模）已知函数． ①若，则的最小正周期是 ；， ②若，则的值域是 ． 2．（2023·北京东城·二模）函数在一个周期内的部分取值如下表： 则的最小正周期为 ； ． 3．（2023·北京·模拟预测）如果函数的两个相邻零点间的距离为2，那么的值为（    ）． A．1 B． C． D． 4．（2024·湖南湘西·模拟预测）已知函数的最小正周期为10，则（    ） A． B． C． D．1 5．（2024·安徽合肥·模拟预测）若，则的最小正周期为 ． 题型3三角函数的单调性及应用 在求形如的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换,将“”看作一个整体“”,即通过求的单调区间和对称中心（轴）而求出原函数的单调区间和对称中心（轴）. 注意点：①时,一般用诱导公式转化为后求解;②若,则单调性相反. 1．（2024·北京石景山·一模）下列函数中，在区间上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2011高三·江西·专题练习）若函数在上单调递增,则的最大值为 3．（2024·北京西城·一模）已知．使成立的一组的值为 ； ． 4．（2024·贵州·模拟预测）若函数在上单调，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 5．（2024·辽宁·模拟预测）函数在下列哪个区间上单调递增（    ） A． B． C． D． 题型4三角函数的奇偶性及应用 1．（2024·北京·三模）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京丰台·一模）已知函数，则“”是“是偶函数，且是奇函数”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·全国·模拟预测）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·辽宁·模拟预测）设函数，其中，则是偶函数的充要条件是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·湖南湘西·模拟预测）已知是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 题型5三角函数的对称性及应用 1．（2024·北京海淀·一模）已知函数，则 ；函数的图象的一个对称中心的坐标为 . 2．（2024·北京东城·一模）已知函数的最小正周期为，最大值为，则函数的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于点对称 3．（2024·北京西城·二模）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象再关于轴对称，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·福建宁德·二模）函数图象的一条对称轴为直线，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·广西来宾·模拟预测）下列函数中，不是对称中心的有（    ） A． B． C． D． 题型6三角函数的零点问题 1．（2024·北京通州·二模）已知的数（），若的最小正周期为，的图象向左平移个单位长度后，再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则 ；若在区间上有3个零点，则的一个取值为 ． 2．（2023·北京门头沟·一模）设函数． ①给出一个的值，使得的图像向右平移后得到的函数的图像关于原点对称， ； ②若在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是 ． 3．（2024·北京西城·一模）关于函数，给出下列三个命题： ①是周期函数； ②曲线关于直线对称； ③在区间上恰有3个零点． 其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2024·上海崇明·一模）已知，若函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点，则的取值范围是 ． 5．（2024·安徽·模拟预测）已知函数的一条对称轴为，一个对称中心为点，且在内仅有3个零点，则的值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 题型7根据条件确定三角函数的解析式 （1）如果从图象可直接确定A和,则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“”注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得或选取最值点代入公式,求. （2）待定系数法:通过若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数A,.这里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入列式. 1．（2024·上海·模拟预测）如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为 .    2．（2024·北京西城·二模）已知函数，直线与曲线的两个交点如图所示.若，且在区间上单调递减，则 ； . 3．（2024·北京海淀·三模）函数的部分图象如图所示，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·北京丰台·二模）已知函数的导函数是，如果函数的图像如图所示，那么的值分别为（    ） A．1，0 B． C． D． 5．（2024·北京通州·三模）已知函数（，）的图象在y轴上的截距为，是该函数的最小正零点，则（    ） A． B．恒成立 C．在上单调递减 D．将的图象向右平移个单位，得到的图象关于y轴对称 题型8三角函数图象变换问题 1．（2024·北京·模拟预测）将的图象变换为的图象，下列变换正确的是（    ） A．将图象上点的横坐标变为原来的倍，再将图象向右平移个单位 B．将图象上点的横坐标变为原来的3倍，再将图象向右平移个单位 C．将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的倍 D．将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的3倍 2．（2024·北京东城·二模）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的值； (2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，并求函数在上的最大值和最小值. 条件①：函数是奇函数； 条件②：将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 3．（2024·天津·二模）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，下列结论正确的是（    ）． A．是最小正周期为的偶函数 B．点是的对称中心 C．在区间上的最大值为 D．在区间上单调递减 4．（2024·北京·模拟预测）已知函数，将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若和在区间上均单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·北京延庆·一模）已知函数，的最大值为. (1)求的值； (2)将的图象向右平移个单位得到的图象，求函数的单调增区间． 题型9三角函数的实际应用 读懂题目中的“文字”“图象”“符号”等语言,理解所反映的实际问题的背景，得出相应的数学问题；整理数据,引入变量,找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型；利用所学的三角函数知识解答得到的三角函数模型，求得结果；将所得结论翻译成实际问题的答案 1．（2024·北京·三模）2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距的A，B两点各放置一个传感器，分别实时记录A，B两点与物体P的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a，b所示.和分别是两个函数的极小值点.曲线a经过和，曲线b经过.已知，并且从时刻到时刻P的运动轨迹与线段AB相交.分析曲线数据可知，P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及P的速度大小分别为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京东城·二模）声音是由物体振动产生的，每一个纯音都是由单一简谐运动产生的乐音，其数学模型为，其中表示振幅，响度与振幅有关；表示最小正周期，，它是物体振动一次所需的时间；表示频率，，它是物体在单位时间里振动的次数.下表为我国古代五声音阶及其对应的频率： 音 宫 商 角 徵 羽 频率 小明同学利用专业设备，先弹奏五声音阶中的一个音，间隔个单位时间后，第二次弹奏同一个音（假设两次声音响度一致，且不受外界阻力影响，声音响度不会减弱），若两次弹奏产生的振动曲线在上重合，根据表格中数据判断小明弹奏的音是（    ） A．宫 B．商 C．角 D．徵 3．（2024·重庆·一模）如图，现有一块半径为的半圆形草坪，圆心记为是圆的一条直径，现计划在草坪内修建一条步道和在弧上（不与重合），则步道长的最大值为（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·四川·模拟预测）如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则经过10分钟点Q距离地面 .米 5．（2024·河南驻马店·二模）已知甲､乙两地之间的路线图如图所示，其可大致认为是的图象，某日小明和小红分别从甲、乙两地同时出发沿着路线相向而行，当小明到达乙地时，小红也停止前行.若将小明行走轨迹的点记为，小红行走轨迹的点记为，且满足，函数，则的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·北京顺义·三模）已知函数，则（    ） A．为偶函数且周期为 B．为奇函数且在上有最小值 C．为偶函数且在上单调递减 D．为奇函数且为一个对称中心 3．（2024·北京石景山·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的值是（    ）    A． B．1 C． D． 4．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，，及其导函数的图象如图所示，则函数的解析式为（    ）    A． B． C． D． 5．（2022·23高一下·四川资阳·期中）函数的最小正周期为π，将的图象向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·湖北黄冈·模拟预测）若函数的图象过点，则（    ） A．点是图象的一个对称中心 B．直线是图象的一条对称轴 C．的最小正周期是 D．的值域是 7．（2024·四川广安·二模）已知函数，则下列说法中，正确的是（   ） A．的最小值为 B．在区间上单调递增 C．的最小正周期为 D．的图象可由的图象向右平移个单位得到 8．（2024·北京大兴·三模）已知，，若对任意实数x都有恒成立，则满足条件的一组有序数对为 . 9．（2024·北京·模拟预测）已知函数，且.若两个不等的实数满足且，则 . 10．（2024·北京海淀·二模）已知函数. （i）若，则函数的最小正周期为 . （ii）若函数在区间上的最小值为，则实数 . 11．（2024·北京朝阳·一模）已知函数的最小正周期为. (1)若，，求的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定的解析式，并求函数的单调递增区间. 条件①：的最大值为2； 条件②：的图象关于点中心对称； 条件③：的图象经过点.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分. 12．（2024·北京西城·三模）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)从条件①，条件②，条件③选择一个作为已知条件，求m的取值范围. ①在有恰有两个极值点； ②在单调递减； ③在恰好有两个零点. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 13．（2024·北京·三模）已知函数. (1)若，，求的值； (2)设，求在区间上的最大值和最小值. 14．（2024·北京昌平·二模）已知函数的图像经过点． (1)求实数的值，并求的单调递减区间； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 15．（2024·北京顺义·二模）已知函数，其中. (1)若，求的值； (2)已知时，单调递增，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使函数存在，求m的最大值. 条件①：； 条件②：； 条件③：的图像与直线的一个交点的横坐标为. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 16．（2024·北京门头沟·一模）设函数，已知，，在区间上单调，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在． (1)求的值； (2)当时，若曲线与直线恰有一个公共点， 求的取值范围． 条件①：为函数的图象的一个对称中心； 条件②：直线为函数的图象的一条对称轴； 条件③：函数的图象可由的图象平移得到． 注：如果选择的条件不符合要求，得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点08 三角函数的图象及性质 三年考情分析 2025考向预测 2022年，第5题，考察三角函数的单调性 2022年，第13题，考察三角函数的零点 2023年，第13题，考察正切函数的性质 2023年，第17题，考察三角函数的单调性 2024年，第6题，考察三角函数的周期性与最值 该内容是北京卷的必考内容，多在选择题与填空题中进行考查,三角函数的单调性可能会继续作为重点考査内容出现，因为它在近年的考试中被多次提及,也可能会有题目综合考查三角函数的多个性质，如周期性、单调性、奇偶性等, 题型1三角函数的定义域与值域 （1）形如或型,可先由定义域求得的范围,然后求得(或)的范围,最后求得最值. （2）形如型,可利用换元思想,设,转化为二次函数求最值,的范围需要根据定义域来确定. 1．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】由题意，从而， 因为，所以的取值范围是，的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为. 故答案为：. 2．（2024·北京门头沟·一模）若函数 的最大值为 ， 则 ， ． 【答案】 1 【详解】， 由最大值为，,则, 所以， 所以， 故答案为：； 3．（2024·江西上饶·一模）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 令，，此时函数变为. 对于二次函数，其对称轴为. 当时，. 当时，. 所以在上的值域是. 故选：A. 4．（2023·上海静安·一模）函数的定义域是 ． 【答案】 【详解】，则，. 故答案为： 5．（2024·湖北·二模）函数，当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 其中， 而， 等号成立当且仅当，此时. 故选：B. 题型2三角函数的周期性及应用 ①对形如或的周期为，对形如的周期为； ②对形如或的周期为，对形如的周期为； 1．（2024·北京·三模）已知函数． ①若，则的最小正周期是 ；， ②若，则的值域是 ． 【答案】 【详解】当时，，函数的最小正周期为； 当时，，令， ，求导得， 当或时，，当时，， 函数在，上单调递减，在上单调递增， ，， 所以，的值域是. 故答案为：； 2．（2023·北京东城·二模）函数在一个周期内的部分取值如下表： 则的最小正周期为 ； ． 【答案】 /0.5 【详解】由图表知，当时，，当时，，所以，即, 又，，所以得到，又由，得到，又，所以， 故，所以， 故答案为：，. 3．（2023·北京·模拟预测）如果函数的两个相邻零点间的距离为2，那么的值为（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，函数的周期，而，则，， ，， 所以. 故选：A 4．（2024·湖南湘西·模拟预测）已知函数的最小正周期为10，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】 ， 又的最小正周期为10，所以，解得， 则，则. 故选：C. 5．（2024·安徽合肥·模拟预测）若，则的最小正周期为 ． 【答案】/ 【详解】，其中， ， 故答案为：. 题型3三角函数的单调性及应用 在求形如的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换,将“”看作一个整体“”,即通过求的单调区间和对称中心（轴）而求出原函数的单调区间和对称中心（轴）. 注意点：①时,一般用诱导公式转化为后求解;②若,则单调性相反. 1．（2024·北京石景山·一模）下列函数中，在区间上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A，根据正弦函数的性质可知，，所以在上为增函数，故A错误； B，是偶函数，关于轴对称，，所以在上是增函数，在上是减函数，故B错误； C，的定义域是，函数是区间上是增函数，故C错误； D，根据指数函数的性质可知，在区间上是减函数，故D正确. 故选：D 2．（2011高三·江西·专题练习）若函数在上单调递增,则的最大值为 【答案】/ 【详解】时，， 由题意得， 故解得， 故答案为： 3．（2024·北京西城·一模）已知．使成立的一组的值为 ； ． 【答案】 （答案不唯一） 【详解】取，此时，， 故，符合要求. 故答案为：；（答案不唯一）. 4．（2024·贵州·模拟预测）若函数在上单调，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】，则， 函数在上单调， 所以，解得：， 所以的最大值为. 故选：D 5．（2024·辽宁·模拟预测）函数在下列哪个区间上单调递增（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，，得， 令可得，的一个增区间为，结合选项可得C符合题意. 故选：C 题型4三角函数的奇偶性及应用 1．（2024·北京·三模）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，则为偶函数，但在区间上单调递减， 故A错误； 为偶函数，但在区间上不具有单调性， 故B错误； 的定义域为，且， 则为偶函数，令，当时，则， 则，由对勾函数的性质可知，在单调递增， 所以在区间上单调递增，故C正确； 为奇函数，故D错误； 故选：C 2．（2024·北京丰台·一模）已知函数，则“”是“是偶函数，且是奇函数”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，则， ， 若是奇函数，则，解得， 若是偶函数，则，解得， 所以若是偶函数且是奇函数，则， 所以由推得出是偶函数，且是奇函数，故充分性成立； 由是偶函数，且是奇函数推不出，故必要性不成立， 所以“”是“是偶函数，且是奇函数”的充分不必要条件. 故选：A 3．（2024·全国·模拟预测）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若0在定义域内，由时，得，； 若0不在定义域内，由时，无意义，得． 综上，． 故选：C． 4．（2024·辽宁·模拟预测）设函数，其中，则是偶函数的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，若是偶函数，则，故, 进而可得， 故，, ，故， 故选：D 5．（2024·湖南湘西·模拟预测）已知是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 设，则且为偶函数， 所以为偶函数， 所以，，且， 即，化简可得， 解得，经检验，符合题意. 故选：C. 题型5三角函数的对称性及应用 1．（2024·北京海淀·一模）已知函数，则 ；函数的图象的一个对称中心的坐标为 . 【答案】 （答案不唯一） 【详解】因为，所以， 因为定义域为，当时，， 下证是的一个对称中心， 在上任取点，其关于对称的点为， 又， 所以函数的图象的一个对称中心的坐标为， 故答案为：；（答案不唯一） 2．（2024·北京东城·一模）已知函数的最小正周期为，最大值为，则函数的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于点对称 【答案】C 【详解】，其中， 因为函数的最小正周期为， 所以，解得， 因为函数的最大值为， 所以，解得（舍去）， 所以， 因为， 所以函数图象不关于直线对称，也不关于点对称，故AB错误； 因为， 所以函数图象关于直线对称，不关于点对称，故C正确，D错误. 故选：C. 3．（2024·北京西城·二模）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象再关于轴对称，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，所得函数为， 则函数的图象再关于轴对称得函数. 故选：D. 4．（2024·福建宁德·二模）函数图象的一条对称轴为直线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数图象的一条对称轴为可知： ，即，即， 即，整理得：， 故选：C. 5．（2024·广西来宾·模拟预测）下列函数中，不是对称中心的有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A：令可得，所以关于对称，A选项正确； 对于B：令可得，所以不关于对称，B选项不正确； 对于C：令可得，所以关于对称，C选项正确； 对于D：令， 则 ， 所以关于对称，D选项正确； 故选：B 题型6三角函数的零点问题 1．（2024·北京通州·二模）已知的数（），若的最小正周期为，的图象向左平移个单位长度后，再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则 ；若在区间上有3个零点，则的一个取值为 ． 【答案】 或 6（答案不唯一） 【详解】因为的最小正周期为，所以，解得：， 所以，的图象向左平移个单位长度后， 可得：， 再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象， 所以； 因为，， 在区间上有3个零点， 所以，解得：， 则的一个取值可以为6. 故答案为：或；6（答案不唯一）. 2．（2023·北京门头沟·一模）设函数． ①给出一个的值，使得的图像向右平移后得到的函数的图像关于原点对称， ； ②若在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 （答案不唯一） 【详解】由题意可得， 因为的图像关于原点对称，所以，即， 当时，； ，则，有且仅有两个零点， 则，解得， 故答案为：（答案不唯一）； 3．（2024·北京西城·一模）关于函数，给出下列三个命题： ①是周期函数； ②曲线关于直线对称； ③在区间上恰有3个零点． 其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】对于①，因为，所以，故，所以选项①正确， 对于②，因为， 由对称轴的定义知，为函数的一条对称轴，所以选项②正确， 对于③，因为，令，得到， 解得或，又，由，得到或， 由，得到，所以选项③正确， 故选：D. 4．（2024·上海崇明·一模）已知，若函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，， 因为函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点， 所以，故， 故答案为： 5．（2024·安徽·模拟预测）已知函数的一条对称轴为，一个对称中心为点，且在内仅有3个零点，则的值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【详解】由题设，函数 其对称中心到对称轴的最短距离是，两对称轴间的最短距离是， 所以，即，所以，． 因为函数在内仅有3个零点，所以，解得， 所以. 故选：B 题型7根据条件确定三角函数的解析式 （1）如果从图象可直接确定A和,则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“”注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得或选取最值点代入公式,求. （2）待定系数法:通过若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数A,.这里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入列式. 1．（2024·上海·模拟预测）如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为 .    【答案】 【详解】由函数的图象，不妨令，则，所以， 设，， 因为，可得，解得， 所以 ，所以， 又由图可知，所以. 故答案为：. 2．（2024·北京西城·二模）已知函数，直线与曲线的两个交点如图所示.若，且在区间上单调递减，则 ； . 【答案】 2 【详解】设，， 由得：，， 又，，解得. 此时的小正周期， ，在区间上单调递减， 和分别为单调递减区间的起点和终点， 当时，， ，， 又，， 综上所述：，. 故答案为：2，. 3．（2024·北京海淀·三模）函数的部分图象如图所示，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为. 由函数图象可知：； 又，所以，又. 故选：B 4．（2024·北京丰台·二模）已知函数的导函数是，如果函数的图像如图所示，那么的值分别为（    ） A．1，0 B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 则， 则 ，其中， 由图像可知，函数的最大值为，即，且， 所以，，即， 又函数过点，将点代入可得， 即，或， 又，则当时，无解， 当时，，则， 所以，. 故选：A 5．（2024·北京通州·三模）已知函数（，）的图象在y轴上的截距为，是该函数的最小正零点，则（    ） A． B．恒成立 C．在上单调递减 D．将的图象向右平移个单位，得到的图象关于y轴对称 【答案】C 【详解】对于A，函数（，）的图象在y轴上的截距为， 所以，因为，所以，故A错误； 对于B，因为是该函数的最小正零点， 所以，所以， 解得，所以，， 所以 （其中），故B错误； 对于C，当时，，故C正确； 对于D，将的图象向右平移个单位，得到， 是非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，故D错误． 故选：C． 题型8三角函数图象变换问题 1．（2024·北京·模拟预测）将的图象变换为的图象，下列变换正确的是（    ） A．将图象上点的横坐标变为原来的倍，再将图象向右平移个单位 B．将图象上点的横坐标变为原来的3倍，再将图象向右平移个单位 C．将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的倍 D．将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的3倍 【答案】C 【详解】由的图象变换为的图象，有以下两种思路： （1）先将的图象向右平移个单位，得的图象， 再把所得函数图象上任一点的横坐标变为原来的，纵坐标不变， 得的图象，故C正确，D错误； （2）先将的图象上任一点的横坐标变为原来的，纵坐标不变， 得的图象，再把所得函数图象向右平移个单位， 得的图象，故AB错误. 故选：C 2．（2024·北京东城·二模）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的值； (2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，并求函数在上的最大值和最小值. 条件①：函数是奇函数； 条件②：将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)2 (2)最大值为1，最小值为 【详解】（1）设的最小正周期为， 由题意可得：，即， 且，所以. （2）由（1）可知：， 若选条件①：函数是奇函数， 且，则， 可得，解得，则， 又因为，则， 可知：当，即时，取到最小值； 当，即时，取到最大值； 若选条件②：将函数的图象向右平移个单位长度后， 得到， 且，则， 可得，解得，则， 又因为，则， 可知：当，即时，取到最小值； 当，即时，取到最大值； 若选条件③：因为，即， 且，则， 可知，即，不合题意，舍去. 3．（2024·天津·二模）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，下列结论正确的是（    ）． A．是最小正周期为的偶函数 B．点是的对称中心 C．在区间上的最大值为 D．在区间上单调递减 【答案】D 【详解】， 向左平移个单位长度得到函数，则， 对于A：由以上解析可得为奇函数，故A错误； 对于B：当时，，故B错误； 对于C：因为函数的递增区间为，即， 同理得函数的递减区间为 所以是的一个递减区间， 又当时，， 所以，故C错误； D：由C的解析可知，所以减区间为， 所以当时可得，在区间上单调递减，故D正确； 故选：D. 4．（2024·北京·模拟预测）已知函数，将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若和在区间上均单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，令，解得， 故的单调增区间为，则在上单调递增； 将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则， 令，解得， 故的单调增区间为，则在上单调递增； 若和在区间上均单调递增，则的最大值为. 故选：A. 5．（2024·北京延庆·一模）已知函数，的最大值为. (1)求的值； (2)将的图象向右平移个单位得到的图象，求函数的单调增区间． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 其中，， 所以， 又因为，解得. （2）由（1）可得， 将的图象向右平移个单位可得， 由得， 即函数的单调增区间为. 题型9三角函数的实际应用 读懂题目中的“文字”“图象”“符号”等语言,理解所反映的实际问题的背景，得出相应的数学问题；整理数据,引入变量,找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型；利用所学的三角函数知识解答得到的三角函数模型，求得结果；将所得结论翻译成实际问题的答案 1．（2024·北京·三模）2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距的A，B两点各放置一个传感器，分别实时记录A，B两点与物体P的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a，b所示.和分别是两个函数的极小值点.曲线a经过和，曲线b经过.已知，并且从时刻到时刻P的运动轨迹与线段AB相交.分析曲线数据可知，P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及P的速度大小分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，建立平面直角坐标系，    设动点P的轨迹与y轴重合，其在时刻对应的点分别为（坐标原点），，P的速度为， 因为，可得， 由题意可知：均与y轴垂直，且， 作垂足为，则， 因为，即，解得； 又因为∥y轴，可知P的运动轨迹与直线AB所成夹角即为， 所以P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：建系，设动点P的轨迹与y轴重合，以坐标系为依托，把对应的量转化为相应的长度，进而分析求解. 2．（2024·北京东城·二模）声音是由物体振动产生的，每一个纯音都是由单一简谐运动产生的乐音，其数学模型为，其中表示振幅，响度与振幅有关；表示最小正周期，，它是物体振动一次所需的时间；表示频率，，它是物体在单位时间里振动的次数.下表为我国古代五声音阶及其对应的频率： 音 宫 商 角 徵 羽 频率 小明同学利用专业设备，先弹奏五声音阶中的一个音，间隔个单位时间后，第二次弹奏同一个音（假设两次声音响度一致，且不受外界阻力影响，声音响度不会减弱），若两次弹奏产生的振动曲线在上重合，根据表格中数据判断小明弹奏的音是（    ） A．宫 B．商 C．角 D．徵 【答案】C 【详解】由题意可知：，可得， 则， 结合题意可知：只有“角”的频率为3的倍角， 所以小明弹奏的音是“角”. 故选：C. 3．（2024·重庆·一模）如图，现有一块半径为的半圆形草坪，圆心记为是圆的一条直径，现计划在草坪内修建一条步道和在弧上（不与重合），则步道长的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点，连接， 则⊥，⊥， 因为，所以，， 因为，所以， 因为， 所以， 故，故⊥， 设，，则，， 故，， 故 ， 因为，所以，， 故当，即时，取得最大值，最大值为30， 故步道长的最大值为30m      故选：B 4．（2024·四川·模拟预测）如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则经过10分钟点Q距离地面 .米 【答案】 【详解】依题意，设距离水平地面的高度， 所以，，则， 所以， 则， 故答案为：. 5．（2024·河南驻马店·二模）已知甲､乙两地之间的路线图如图所示，其可大致认为是的图象，某日小明和小红分别从甲、乙两地同时出发沿着路线相向而行，当小明到达乙地时，小红也停止前行.若将小明行走轨迹的点记为，小红行走轨迹的点记为，且满足，函数，则的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意可得，，且，解得， 所以， 令，则，因为在区间内单调递减，在区间内单调递增， 又在上单调递减且， 在上单调递减且， 在上单调递增且， 在上单调递增且， 所以在区间，内单调递减. 故选：A 1．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即， 且，所以. 故选：B. 2．（2024·北京顺义·三模）已知函数，则（    ） A．为偶函数且周期为 B．为奇函数且在上有最小值 C．为偶函数且在上单调递减 D．为奇函数且为一个对称中心 【答案】C 【详解】解：因为， 所以，函数为偶函数且周期为，在上单调递减. 所以，ABD选项错误，C选项正确. 故选：C 3．（2024·北京石景山·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的值是（    ）    A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由图象可知，解得，因为，所以，解得， 将代入解析式化简得，因为，则，得， 故，所以. 故选：A 4．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，，及其导函数的图象如图所示，则函数的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】观察图象知，，而，，则， 当时，，则函数在上单调递增， 因此最大值为1的函数图象为函数的图象，即， 由，求导得，则，解得， 即，由，得，又， 于是，所以函数的解析式为. 故选：C 5．（2022·23高一下·四川资阳·期中）函数的最小正周期为π，将的图象向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由最小正周期，可得， 的图象向左平移个单位长度后为偶函数的图象， 故，，，． ，， 故选：B． 6．（2024·湖北黄冈·模拟预测）若函数的图象过点，则（    ） A．点是图象的一个对称中心 B．直线是图象的一条对称轴 C．的最小正周期是 D．的值域是 【答案】D 【详解】由函数的图象过点，得，因为，所以， 故， 对于A，B，当时，，故A､B均错误； 对于C，的最小正周期为，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：D． 7．（2024·四川广安·二模）已知函数，则下列说法中，正确的是（   ） A．的最小值为 B．在区间上单调递增 C．的最小正周期为 D．的图象可由的图象向右平移个单位得到 【答案】D 【详解】. A：当时，即当时， 函数的最小值为，所以本选项说法不正确； B：由，显然不是的子集， 所以本选项说法不正确； C：的最小正周期为，因此本选项说法不正确； D：的图象向右平移个单位得到 ，所以本选项说法正确， 故选：D 8．（2024·北京大兴·三模）已知，，若对任意实数x都有恒成立，则满足条件的一组有序数对为 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】，若对任意实数x都有恒成立， 则，或， 由，得， 因为，令，得， 由，得， 因为，令，得， 所以满足条件的一组有序数对为或. 故答案为：（答案不唯一） 9．（2024·北京·模拟预测）已知函数，且.若两个不等的实数满足且，则 . 【答案】/ 【详解】因为，其中， 由，可得关于对称， 又两个不等的实数满足且， 所以的最小正周期，又，所以，解得， 所以， 所以，则， 所以 . 故答案为： 10．（2024·北京海淀·二模）已知函数. （i）若，则函数的最小正周期为 . （ii）若函数在区间上的最小值为，则实数 . 【答案】 【详解】当时，,所以最小正周期为， ， 当时，，且二次函数开口向下， 要使得在区间上的最小值为，则需要， 且当时取最小值，故，解得， 故答案为：， 11．（2024·北京朝阳·一模）已知函数的最小正周期为. (1)若，，求的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定的解析式，并求函数的单调递增区间. 条件①：的最大值为2； 条件②：的图象关于点中心对称； 条件③：的图象经过点.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)； 【详解】（1）因为，，则，且，则； （2）因为函数的最小正周期为，则， 若选①②，则，且， 又，则，则，所以， 所以， 若选择①③，则，且，则， 又，则，则，则， 所以 若选择②③，由②可知，， 由③可知，，则， 所以， 令，得， 所以函数的单调递增区间是 12．（2024·北京西城·三模）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)从条件①，条件②，条件③选择一个作为已知条件，求m的取值范围. ①在有恰有两个极值点； ②在单调递减； ③在恰好有两个零点. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）因为 . 所以的最小正周期为. （2）因为，所以. 选择①，因为在有恰有两个极值点. 所以. 所以. 若选择②，因为当时，函数递增， 所以在不可能单调递减，所以②不符合题意； 选择③，因为在恰好有两个零点. 所以. 所以. 13．（2024·北京·三模）已知函数. (1)若，，求的值； (2)设，求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)或 (2)最大值为，最小值为 【详解】（1）因为，由，得到， 解得或， 即或，又， 所以或. （2）因为， 令，因为，得到， 由的图象与性质知，，所以， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 14．（2024·北京昌平·二模）已知函数的图像经过点． (1)求实数的值，并求的单调递减区间； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题意得， 解得 所以 ， 由，得， 所以的单调递减区间为 （2）由（1）可知 因为，所以 所以 所以 当，即时，取得最小值 因为恒成立等价于，所以 所以实数的取值范围是 15．（2024·北京顺义·二模）已知函数，其中. (1)若，求的值； (2)已知时，单调递增，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使函数存在，求m的最大值. 条件①：； 条件②：； 条件③：的图像与直线的一个交点的横坐标为. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）法一： ， 即可得， 又，所以； 法二： ， 所以即得， 又，所以； （2）， 选择②，，， 因为，所以， 因为的最小正周期，， 所以由可得， 所以，； 或法二：因为，， 所以即， 因为，所以，； 选择③，， 的图像与直线的一个交点的横坐标为， 即可得，所以， 又，所以， 法一：令，， 解得，即的单增区间为， 又时，单调递增， 所以，是的一个子区间， 所以，，即可得，又， 所以，故是的一个子区间，所以m的最大值为； 法二：因为，，所以， 因为在上单增， 所以，， 即可得，，， 所以，所以，可得m的最大值为. 不可选择条件①，理由如下： 若，则，即， 由，故该方程无解，故函数不存在，故不可选①. 16．（2024·北京门头沟·一模）设函数，已知，，在区间上单调，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在． (1)求的值； (2)当时，若曲线与直线恰有一个公共点， 求的取值范围． 条件①：为函数的图象的一个对称中心； 条件②：直线为函数的图象的一条对称轴； 条件③：函数的图象可由的图象平移得到． 注：如果选择的条件不符合要求，得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)见解析； (2) 【详解】（1）由，知，从而. 而在区间上单调，的周期为， 这意味着，即，故. 注意到，从而有： ，， 所以，，即，而，故. 从而，故. 若选择条件①，则为函数的图象的一个对称中心，从而这等价于， 所以，从而，故， 所以，由知，故，故，； 若选择条件②，则直线为函数的图象的一条对称轴，从而， 而在区间上单调，，故. 从而，所以，故， 所以，由知，故，故，； 若选择条件③，函数与的振幅不一致，无法通过平移得到， 故不能选择； （2）条件等价于，关于的方程即在上恰有一个解. 记，则，从而和一一对应， 这就表明条件等价于关于的方程在上恰有一个解. 设，则在上递增，在上递减，，，. 此时，若，则，方程无解，不满足条件； 若，则当时，； 当时，. 故方程在上无解，不满足条件； 若，由，，， 知方程在和上各至少有一个根， 从而在上至少有两个根，不满足条件； 若，则当时，. 故方程在上无解； 而在上单调，且，， 所以方程在上恰有一个根. 这就表明方程在上恰有一个根，满足条件； 若，则，当且仅当时等号成立. 而，故当且仅当时等号成立， 故方程在上恰有一个根，满足条件. 综上，的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$