重难点03 不等式恒成立及有解问题（7题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学【热点·重点·难点】专练（北京专用）

重难点03 不等式恒成立及有解问题 三年考情分析 2025年考向预测 2023年，第10题，考察数列与恒成立的结合 不等式恒成立或不等式有解问题设计独特，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，成为高考的一个热点 一、恒成立问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） 二、能成立（有解）问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 ② ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 三、恒成立及有解问题的解决策略 ①构造函数，分类讨论；②部分分离，化为切线；③完全分离，函数最值；④换元分离，简化运算 题型1 与二次型有关的恒成立与有解问题 1．（2024·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为“，使”是假命题， 所以“，”为真命题， 其等价于在上恒成立， 又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 2．（2024·陕西西安·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】. 【详解】当时，不等式恒成立， 所以当时，恒成立，则， 令，则在单调递增， 所以，所以. 故答案为：. 3．（2023·24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 则对都成立， 又，所以， 观察选项可得命题“”是真命题的一个充分不必要条件是BCD. 故选：D. 4．（2023 24高一下·安徽六安·期末）若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，由可得， 又关于的不等式在区间上有解，则， 令，易知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又时，，时，，所以， 故选：D. 5．（2024·新疆·模拟预测）已知不等式的解集为，若关于的不等式的解集非空，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】解不等式可得，，分析可知的解集非空，求解即可. 【详解】由于，故不等式的解集为，所以. 这表明条件等价于关于的不等式的解集非空. 假设，则对任意都有，所以的解集为空，不满足条件，故一定有. 而当时，对有，所以不等式的解集包含，一定非空，满足条件. 所以的最小值是. 故答案为：. 题型2 与函数单调性有关的恒成立与有解问题 1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，，变形得，因为，所以， 所以当，即时，，所以. 故选：A． 2．（2024·25高三上·北京房山·期末）已知函数且在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设函数，则． ①若，则在定义域上单调递减． 又在区间上单调递减，所以在区间上单调递增，故对任意的恒成立． 又，所以对任意的显然成立． 又因为对任意恒成立，所以0，故． ②若，则在定义域上单调递增． 又在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，故对任意的恒成立． 因为抛物线的开口向上，所以不可能对任意的恒成立． 所以的取值范围为． 故选：A． 3．（2024·北京朝阳·模拟预测）已知函数在上是增函数，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则， 因为，令，则， 因为函数在上是增函数，则对任意的，恒成立， 即对任意的，，可得， 因为函数、在区间上为减函数， 所以，函数在上为减函数，则， 因此，实数的最小值为. 故选：B. 4．（2024·25高三上·北京丰台·期末）已知函数f(x)＝2x2－ax＋lnx在其定义域上不单调，则实数a的取值范围(　　) A．(－∞，4] B．(－∞，4) C．(4，＋∞) D．[4，＋∞) 【答案】C 【详解】函数的定义域为，因为， 所以．由函数在区间上不单调可知 有两个正根（因为两根之积为正），即有两个正根． 故有,解得,所以的取值范围为, 故选：C． 5．（2024·上海青浦·一模）若函数 在区间上严格递增，则实数取值范围是 【答案】 【详解】令，则， 函数在区间上严格递增， 由函数在区间上严格递减， 则在区间上严格递减，且， 则由在区间上恒成立，得在区间上恒成立， 因为时，，所以. 且由，得， 则实数取值范围是. 故答案为：. 题型3 与基本不等式有关的恒成立与有解问题 1．（2023·24高一上·陕西延安·阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，故，当且仅当，即时等号成立， 所以不等式恒成立，故，故， 故选：D 2．（2024·25高三上·北京顺义·期末）设，，不等式恒成立，则实数m的最小值是（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【详解】∵，，不等式恒成立， 即恒成立，∴只需, ∵，当且仅当时取等号. 所以， ∴，∴m的最小值为， 故选：D 3．（2024·25高一上·安徽池州·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，且，则， 所以， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 4．（2023·贵州黔东南·三模）正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围 . 【答案】 【详解】因为不等式恒成立，所以， 由，， 可得， 当且仅当时等号成立， 所以，解得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 5．（2023·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【详解】解：已知，且xy+2x+y=6， y= 2x+y=2x+=2(x+1)，当且仅当时取等号， 故2x+y的最小值为4. 故选:A 题型4 与数列有关的恒成立与有解问题 1．（2024·25高三上·北京昌平·期末）已知数列的前n项和为，，数列的前n项和为，，若不等式，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 ①可得，即，当时， ②， 由①-②可得，，即，故是等比数列， 且公比为2，首项为2，则，于是， 因则是等差数列，首项为1，公差为2， 则,由可得，故有， 设，因 ， 由方程可得，或， 故当时，，当时，， 即数列的前两项单调递增，第三项开始单调递减， 又，，因此当时，取得最大值，且最大值为，故， 即实数的取值范围是. 故选：B. 2．（2024·25高三上·北京怀柔·期末）已知是等比数列的前n项和，，，若关于n的不等式对任意的恒成立，则实数t的最大值为（    ） A．12 B．16 C．24 D．36 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为，则， 解得，∴．∴关于n的不等式， 即，即对任意的恒成立． 解法一  设，则， 当时，，当时，， 当时，， 又，∴当或时，，∴． 故选:C． 解法二  由，当且仅当，即时等号成立， 又，∴当或时，取得最小值24，故． 故选:C． 3．（2024·陕西西安·二模）已知数列满足，，，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为数列满足，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 因为不等式恒成立，即， 所以，所以，所以 解得，所以的取值范围为. 故选：D. 4．（2024·浙江·一模）已知数列的首项是1，其前项和是，且，. (1)求，的值及数列的通项公式； (2)若存在实数，使得关于的不等式，有解，求实数取到最大值时的值. 【答案】(1)，， (2)4或5 【详解】（1）∵，∴ 当时，， 即， 当时，也满足， ∴， ∴，. （2）由（1）可知， ∴，∴ 令， ，当时，，单调递增; 当时，,单调递减; ∵, ∴当或时，取得最大值70， ∴取得最大值时，取4或5. 5．（2024·25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知数列的首项为，且满足 (1)求证为等差数列，并求出数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求． (3)若数列的通项公式为，且对任意的恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【详解】（1）因为，故， 所以，即， 所以数列是以首项为，公差为4的等差数列， 可得，所以； （2）由（1）可知： ， 所以 ； （3）因为， 即，可得， 令，解得， 且，可得，即， 可得，所以实数的最小值． 题型5 与向量有关的恒成立与有解问题 1．（2023·24高一下·四川成都·期中）已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则不正确的是（    ） A． B． C．当时，最小 D．的最小值为 【答案】C 【详解】因为为单位向量，且和相互垂直，所以，得到， 对于选项A，如图，设，，则，， 又对任意不等式恒成立，所以，故选项A正确， 对于选项B，由选项A知，，得到，所以， 又，所以，所以选项B正确， 又因为，，，， 所以， 当时，，即，故选项C错误，选项D正确， 故选：C 2．（2024·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系中，点在圆上运动，定点、满足且，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由，则， 以为原点建立坐标系，可设、， 由点在圆上运动，设， 则，， 可得， 由三角函数的定义与性质可知：当时，与均为正数， 此时存在最大值， 因为， 当时，的最大值为， 即有最大值， 因为恒成立， 所以，即实数的取值范围为． 故答案为：． 3．（2023·上海闵行·二模）已知单位向量，若对任意实数，恒成立，则向量的夹角的最小值为 . 【答案】/60o 【详解】，是单位向量，由得：， 依题意，不等式对任意实数恒成立， 则，解得， 而，则， 又，函数在上单调递减， 因此， 所以向量，的夹角的取值范围为.则向量的夹角的最小值为. 故答案为：. 4．（2023·河北·模拟预测）设向量满足，，若存在实数，，则向量与的夹角的取值范围为 ． 【答案】 【详解】设向量与的夹角为，由，利用平面向量的数量积可得 ，即存在实数，使成立，于是，即，所以，所以向量与的夹角的取值范围． 故答案为： 5．（2024·25高三上·北京海淀·期末）已知平面向量满足，，且对任意的实数，都有恒成立，则下列结论正确的是（    ） A．与垂直 B． C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】A 【详解】由恒成立得， 即恒成立， 因为，， 设夹角为，则恒成立， 所以， 即， 所以，则， 所以， 所以， 所以与垂直，A正确； ，B不正确； 设，， 则， 所以 ， 其几何意义是与和连线的距离之和的2倍， 当三点共线时取得最小值，最小值为，C正确； ，， 所以 其几何意义是与和连线的距离之差的2倍， 当三点共线时最得最大值，最大值为，D不正确， 故选：A 题型6 与三角函数有关的恒成立与有解问题 1．（2024·四川成都·二模）若函数对恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为在上恒成立. 设，，则在恒成立. 则. 故答案为： 2．（2024·河北·模拟预测）当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得， 因为，可得，所以， 可得， 又因为， 所以 即， 因为， 因为，可得，所以， 则，则， 要使得不等式，即恒成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 3．（2024·四川成都·模拟预测）当时，关于的不等式有解，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，记， 故函数在上单调递减， 故，故， 所以在上有解， 由于，所以， 所以，所以. 由，当且仅当时取等号，所以的最小值是2. 故选：A 4．（2024·陕西榆林·三模）已知，若当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令， 由题意可得，则， 又因为，所以， 函数的对称轴为， 则， 即， 即，结合，解得. 故选：A. 5．（2020·21高一下·四川成都·阶段练习）已知不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ， 因为，故，故， 故， 因为在上恒成立，故即， 故选：A. 题型7 与双变量有关的恒成立与有解问题 1．（2024·25高三上·北京延庆·期末）已知，，若对任意，都存在，使得，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由得. 设，. 则， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 所以，且当时，； 当时，. 故的值域为； 设，. 则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 所以，且当时，； 当时，. 故的值域为； 若，则，故值域， 且恒有. 由题意对任意，都存在，使得. 但当时，恒有， 即不存在，使得，故， 所以，则函数的值域为， 要使对任意，都存在， 使得，即， 则需的值域，则， 解得，故实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：任意，都存在，使得，即在定义域上的值域是函数在定义域上的值域的子集. 2．（2023·河南·二模）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)当时，若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1），. 当时，恒成立，在上单调递减； 当时，由，解得，即在上单调递增， 由，解得，即在上单调递减. （2）当时，由（1）知， ，恒成立，在上单调递增，所以， 由题意知，即. 设，则，所以为增函数， 又，所以， 即的取值范围是. 3．（2024·陕西西安·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论在上的最大值； (3)是否存在实数a，使得对任意，都有？若存在，求a可取的值组成的集合；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)存在，可取值构成的集合为，理由见解析. 【详解】（1）当时，，，又，， 故曲线在处的切线方程为，也即. （2），，显然在上为单调减函数； 令，即，解得， 故当，，单调递增； 当，，单调递减； 若，即时，在上单调递增，又， 故当时，在上的最大值为； 若，即时，在上单调递减，又， 故当时，在上的最大值为； 若，即时，在单调递增，在上单调递减， 又， 故当时，在上的最大值为； 综上所述，当时，在上的最大值为. 当时，在上的最大值为； 当时，在上的最大值为. （3）由（2）可知，在单调递增，在单调递减，且， 故在上的最大值为； 若存在实数，对任意，都有，则，显然； 又当时，，也即，； 令，则， 则当，，单调递增， 当，，单调递减， 故的最大值为，则，当且仅当时取得等号； 故若存在实数，满足题意，则只有当时，满足； 也即当时，对任意，都有. 综上所述，a可取的值组成的集合为. 【点睛】关键点点睛：处理本题第二问的关键是，利用导数研究的单调性，再求其在区间上的最大值；处理第三问的关键是，根据第二问中函数的单调性和最值，找出需要满足的条件为，再利用导数探讨的可取值. 4．（2024·吉林延边·一模）若对任意，存在实数，使得关于x的不等式成立，则实数的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，， 可得， 构建，则， 构建， 因为在内单调递减， 可知在内单调递减，且， 当时，，即； 当时，，即； 可知在上单调递增，在上单调递减，则， 可得，可得， 所以实数的最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用导数解决不等式存在性问题的方法技巧 根据条件将问题转化为某函数在该区间上最大(小)值满足的不等式成立问题，进而用导数求该函数在该区间上的最值问题，最后构建不等式求解． 5．（2022·23高三上·福建龙岩·阶段练习）已知函数． (1)若曲线在点处的切线经过原点，求a的值； (2)设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由，可得． 因为，， 所以切点坐标为，切线方程为：， 因为切线经过，所以，解得． （2）由题知的定义域为，， 令，解得或， 因为所以，所以， 令，即，解得：， 令，即，解得：或， 所以增区间为，减区间为． 因为，所以函数在区间的最大值为， 函数在上单调递增，故在区间上， 所以，即，故， 所以的取值范围是. （建议用时：60分钟） 1．（2023·四川内江·一模）已知向量，，其中.若，则当恒成立时实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【详解】由题知，， 所以，当同向时等号成立， 所以，要使恒成立，只需，解得或. 故选：B 2．（2024·25高三上·河南·阶段练习）若，对恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以. 当时，； 当时，； 当时，. 因为在上恒成立， 所以和是的两根，且， 则，解得，， 所以，. 故选：B. 3．（2024·福建宁德·模拟预测）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】由两个正实数满足，得， 则， 当且仅当，即时取等号， 又由不等式有解，可得，解得或， 所以实数的取值范围为或. 故选：B. 4．（2024·25高三上·北京大兴·期末）已知是数列的前项和，，，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，又， 数列是首项为1、公差为1的等差数列， ，， ①， ②， ①②得，， ，不等式， 即， 故对任意的恒成立． 又，当且仅当，即时等号成立， ， 故选：A． 5．（2024·湖北·一模）已知函数是减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得， 因为函数是减函数，所以对恒成立， 即对恒成立，所以对恒成立， 所以，又，当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以的取值范围为. 故选：D. 6．（2023·云南昆明·一模）若函数在定义域上不单调，则正整数的最小值是 ． 【答案】3 【详解】解：因为函数， 所以， 令，得， 因为，且， 所以， 当时，，则单调递增， 当时，当时，； 当时，， 所以不单调递增， 所以正整数的最小值是3， 故答案为：3 7．（2023·河北·三模）对，都有恒成立，那么的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可知，恒成立， 当时，恒成立， 当时，， 而，当且仅当时，等号成立，所以； 综上所述：. 故答案为： 8．（2023·安徽·模拟预测）若对一切恒成立，则的最大值为 . 【答案】 【详解】令得， 若时，则，可知在上单调递增， 且当时，与矛盾． 若时，， 可知在内单调递减，在内单调递增， 当时，， 即，可得， 令，则， ， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 当时，的最大值为． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：1．两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 9．（2024·25高三上·北京东城·期末）设正项数列的前项之和，数列的前项之积，且． (1)求证：为等差数列，并分别求，的通项公式； (2)设数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【详解】（1）由题意知，且当时，， 所以由得， 所以，由得，即， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，即，所以； 当时，， 当时，也符合上式，所以． （2）由（1）得， 所以 ， 所以 ， 所以数列是单调递增数列，所以， 因为不等式对任意正整数恒成立， 所以，即，又， 所以解得，所以的取值范围为. 【点睛】易错点睛： 小问1：在证明是等差数列时，必须清楚地理解递推关系如何构建，并确保每一步的推导是严谨的.尤其是求得后，要确保与的关系准确无误. 小问2：求和时，特别是在裂项求和法中，要小心每一项的符号和相加的顺序，特别是涉及到单调性和不等式的推导时，不能忽略最小值的正确性. 10．（2024·江苏苏州·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)若，求的面积; (2)若，求使得恒成立时，实数的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，即，所以， 即，则，所以， 所以，且，由正弦定理可得，则， 所以，则. （2）因为，由余弦定理可得， 又，则，即， 所以，化简可得， 因为，所以，所以， 即，所以，当且仅当时，等号成立， 又，所以，故即可，所以的最小值为. 11．（2024·25高三上·山东聊城·阶段练习）已知函数．（其中是自然对数的底，，）． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若恒成立，求整数的最大值（）． 【答案】(1)答案见解析 (2)1 【详解】（1）函数定义域为，． 当时，，在上是增函数； 当时，由，解得， 由，解得． 所以函数在上是增函数，在上是减函数． 综上，当时，在上是增函数； 当时，在上是增函数，在上是减函数． （2）由题意当时，，整理得． 令函数， 则． 令，则． 当时，恒成立，所以在单调递增． 又，， 所以，使得，即． 故时，；时，． 因此在单调递减，在单调递增， 所以． 令函数．则， 所以在单调递增，因此． 又，， ∴． 因此整数的最大值为1. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点03 不等式恒成立及有解问题 三年考情分析 2025年考向预测 2023年，第10题，考察数列与恒成立的结合 不等式恒成立或不等式有解问题设计独特，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，成为高考的一个热点 一、恒成立问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） 二、能成立（有解）问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 ② ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 三、恒成立及有解问题的解决策略 ①构造函数，分类讨论；②部分分离，化为切线；③完全分离，函数最值；④换元分离，简化运算 题型1 与二次型有关的恒成立与有解问题 1．（2024·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 2．（2024·陕西西安·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 3．（2023·24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 4．（2023 24高一下·安徽六安·期末）若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·新疆·模拟预测）已知不等式的解集为，若关于的不等式的解集非空，则的最小值是 ． 题型2 与函数单调性有关的恒成立与有解问题 1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·25高三上·北京房山·期末）已知函数且在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京朝阳·模拟预测）已知函数在上是增函数，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·25高三上·北京丰台·期末）已知函数f(x)＝2x2－ax＋lnx在其定义域上不单调，则实数a的取值范围(　　) A．(－∞，4] B．(－∞，4) C．(4，＋∞) D．[4，＋∞) 5．（2024·上海青浦·一模）若函数 在区间上严格递增，则实数取值范围是 题型3 与基本不等式有关的恒成立与有解问题 1．（2023·24高一上·陕西延安·阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·25高三上·北京顺义·期末）设，，不等式恒成立，则实数m的最小值是（    ） A． B．2 C．1 D． 3．（2024·25高一上·安徽池州·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2023·贵州黔东南·三模）正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围 . 5．（2023·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 题型4 与数列有关的恒成立与有解问题 1．（2024·25高三上·北京昌平·期末）已知数列的前n项和为，，数列的前n项和为，，若不等式，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·25高三上·北京怀柔·期末）已知是等比数列的前n项和，，，若关于n的不等式对任意的恒成立，则实数t的最大值为（    ） A．12 B．16 C．24 D．36 3．（2024·陕西西安·二模）已知数列满足，，，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江·一模）已知数列的首项是1，其前项和是，且，. (1)求，的值及数列的通项公式； (2)若存在实数，使得关于的不等式，有解，求实数取到最大值时的值. 5．（2024·25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知数列的首项为，且满足 (1)求证为等差数列，并求出数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求． (3)若数列的通项公式为，且对任意的恒成立，求实数的最小值． 题型5 与向量有关的恒成立与有解问题 1．（2023·24高一下·四川成都·期中）已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则不正确的是（    ） A． B． C．当时，最小 D．的最小值为 2．（2024·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系中，点在圆上运动，定点、满足且，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 3．（2023·上海闵行·二模）已知单位向量，若对任意实数，恒成立，则向量的夹角的最小值为 . 4．（2023·河北·模拟预测）设向量满足，，若存在实数，，则向量与的夹角的取值范围为 ． 5．（2024·25高三上·北京海淀·期末）已知平面向量满足，，且对任意的实数，都有恒成立，则下列结论正确的是（    ） A．与垂直 B． C．的最小值为 D．的最大值为 题型6 与三角函数有关的恒成立与有解问题 1．（2024·四川成都·二模）若函数对恒成立，则的取值范围是 . 2．（2024·河北·模拟预测）当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川成都·模拟预测）当时，关于的不等式有解，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西榆林·三模）已知，若当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2020·21高一下·四川成都·阶段练习）已知不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型7 与双变量有关的恒成立与有解问题 1．（2024·25高三上·北京延庆·期末）已知，，若对任意，都存在，使得，则实数的取值范围为 ． 2．（2023·河南·二模）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)当时，若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围. 3．（2024·陕西西安·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论在上的最大值； (3)是否存在实数a，使得对任意，都有？若存在，求a可取的值组成的集合；若不存在，说明理由． 4．（2024·吉林延边·一模）若对任意，存在实数，使得关于x的不等式成立，则实数的最小值为 ． 5．（2022·23高三上·福建龙岩·阶段练习）已知函数． (1)若曲线在点处的切线经过原点，求a的值； (2)设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围． （建议用时：60分钟） 1．（2023·四川内江·一模）已知向量，，其中.若，则当恒成立时实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 2．（2024·25高三上·河南·阶段练习）若，对恒成立，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·福建宁德·模拟预测）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（  ） A． B．或 C． D．或 4．（2024·25高三上·北京大兴·期末）已知是数列的前项和，，，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·湖北·一模）已知函数是减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·云南昆明·一模）若函数在定义域上不单调，则正整数的最小值是 ． 7．（2023·河北·三模）对，都有恒成立，那么的取值范围是 . 8．（2023·安徽·模拟预测）若对一切恒成立，则的最大值为 . 9．（2024·25高三上·北京东城·期末）设正项数列的前项之和，数列的前项之积，且． (1)求证：为等差数列，并分别求，的通项公式； (2)设数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正实数的取值范围． 10．（2024·江苏苏州·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)若，求的面积; (2)若，求使得恒成立时，实数的最小值. 11．（2024·25高三上·山东聊城·阶段练习）已知函数．（其中是自然对数的底，，）． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若恒成立，求整数的最大值（）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$