安徽省A10联盟2025届高三下学期2月开年考试数学试题

数学试题 合肥八中 巢湖一中 淮南二中 六安一中 南陵中学 舒城中学 太湖中学 天长中学 屯溪一中 宣城中学 滁州中学 池州一中 阜阳一中 灵璧中学 宿城一中 合肥六中 太和中学 合肥七中 科大附中 野寨中学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．请在答题卡上作答． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知全集，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，则（ ） A． B． C． D． 4．已知向量，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 5．已知函数，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．设分别是双曲线的上，下焦点，双曲线上的点满足，则的面积等于（ ） A． B．12 C． D．6 7．已知正四棱台的上，下底面积分别为2，8，当正四棱台的外接球的体积最小时，该四棱台的侧面积为（ ） A． B． C． D． 8．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的最小值为，最大值为，其中为正整数，则称为“倍缩函数”．若函数为“4倍缩函数”，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．已知随机变量服从正态分布，则（ ） A． B． C． D． 参考数据：若服从正态分布，则，． 10．已知函数，若及其导函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B．函数在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的最大值为3 11．在平面内，曲线是动点到定点距离之积为常数的点的集合．已知过原点，则（ ） A． B．关于直线对称 C．面积的最大值为2 D． 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知抛物线的顶点，焦点分别为，则以线段为直径的圆的标准方程为_______． 13．已知奇函数的定义域为，其导函数满足，则_______． 14．甲，乙两人进行电子竞技比赛，已知每局比赛甲赢的概率为，乙赢的概率为，且．规定：比赛中先䑄三局者获胜，比赛结束．若每局比赛结果相互独立，记比赛共进行了局，则的数学期望的最大值为_______． 四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知中，角所对的边分别为，已知． （1）求的大小； （2）若，求外接圆的半径； （3）若点在线段上，，求的最小值． 16．（15分）已知函数． （1）若，求的极值； （2）若在区间上存在零点，求实数的取值范围． 17．（15分）如图，在四棱锥中，． （1）求证：； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值． 18．（17分）已知椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，且的短轴长为2．是上不同的四点． （1）求的方程； （2）若点在轴上方，且，求直线的斜率； （3）若都在轴上方，且，求四边形面积的最大值． 19．（17分）已知等差数列的公差为1，且是的等差中项． （1）求数列的通项公式； （2）从数列的前项中，随机选出两个不同的项相乘，所得结果为奇数的概率为．是否存在正整数，当时，恒有，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由； （3）数列满足，记数列的前项中所有奇数项的和为，求证：． A10联盟2025届高三开年考 数学参考答案 一、选择题：本大题共8个小题， 每小题5分，共40分．在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A A D D D B 1．C 由题意得，，所以在复平面内对应的点位于第三象限．故选C． 2．B 由题意得，，则，则．故选B． 3．A ．故选A． 4．A 由题意得，，则在上的投影向量为．故选A． 5．D 当时，，解得；当时，，解得．故选D． 6．D 由题意得，，则，所以，所以为直角三角形，所以．故选D． 7．D 设该正四棱台上，下底面的中心分别为，设该正四棱台的高为，外接球半径为，连接，则该正四棱台的外接球的球心在上，记为，因为，当且仅当与重合时，等号成立，所以，此时四棱台的高，该四棱台的侧面的斜高，所以侧面积．故选D． 8．B 由题意得，为增函数，则，即，所以是方程的两个根．设，则，关于的方程为有两个不等的正实根，所以，解得，故选B． 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分 题号 9 10 11 答案 ABD AC ACD 9．ABD 由题意得，；因为，故，故A正确；由对称性，，故B正确； ，故C错误； ，故D正确．故选ABD． 10．AC 因为，所以，根据图象可知，当时，，所以单调递减，故，又，所以，由得，故A正确；，当，则函数在区间上先增后减，故B错误；因为，所以的图象关于直线对称，故C正确；，其中，故D错误．故选AC． 11．ACD 由题意得，，将代人，解得，故A正确；曲线方程为，整理得，当互换时，方程改变，故B错误；，故C正确；由得，，则，解得，因为，所以，故D正确．故选ACD． 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12． 由题意得，，则圆心为，半径为1，故所求圆的标准方程为． 13．3 由题意得，，则，又，则，解得，因为，所以，则，所以． 14． 易知， 且， ， ，．，，当时，． 四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（1）， 由正弦定理，得， 因为，所以，即， 因为，所以． （2）由余弦定理，得． 由，得， 解得，所以， 则外接圆的半径． （3）因为，所以， 又，故， 故，即， 故， 当且仅当时等号成立， 即的最小值为． 16．（1）由题意得，， 令，则或， 故当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增； 故当时，有极大值， 当时，有极小值； （2）令，则，则． 令， 故． 令，则， 所以在上单调递减， 故，故，则在上单调递增； 且当时，，当时，， 故，则，即实数的取值范围为． 17．（1）取的中点，连接． 不妨设，则． 因为，所以四边形为正方形，则，从而． 又，所以，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以． （2）由（1）知，四边形为正方形，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 故， 则． 设平面的法向量为， 则， 令，得为平面的一个法向量． 由（1）知，平面，则平面的一个法向量为， 故， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 18．（1）由题意设椭圆的焦距为， 则，解得，所以的方程． （2）由题意得，， 因为，即，则直线的斜率是正数． 设， 联立，得， 所以． 由题意知，可得， 解得，所以直线的斜率是1． （3）延长，交椭圆于点， 由，椭圆对称性可知， 则和等底等高，所以， 四边形的面积． 设，由（2）知， 所以， 即，令，所以， 当且仅当即时，四边形的面积取到最大值． 19．（1）是的等差中项， ， ，解得， ． （2）从数列的前项中，随机选出两个不同的项相乘，共有种方法； 要使所得乘积为奇数，则两项均为奇数． ①当为偶数时，前项中有个奇数，个偶数， 从个奇数中任取2个不同的奇数，共有种方法； 则， 由，得，解得，此时的最小值为6． ②当为奇数时，前项中个奇数，个偶数， 从个奇数中任取2个不同的奇数，共有种方法； 则， 由，得，即，该不等式对任意奇数恒成立． 综上所述，存在正整数，当时，恒有，故的最小值为5． （3）由题意得，， 则， 则 ． 构造函数， 则在上单调递减，， 当时，，即恒成立． 令，则，即， ． 以上各式相加得， ． 综上，． 学科网（北京）股份有限公司 $$