精品解析：辽宁省实验中学分校（实验北）2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年度上学期期末测试 高一数学试卷 一､选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义求解. 【详解】因为，， 所以． 故选：B． 2. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合，代入即可求解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且当时，， 所以. 故选：B. 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助指数函数单调性，结合对数运算利用中间值即可比较大小. 【详解】因为在上是增函数，所以，即， 而，所以. 故选：C 4. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量平行坐标表示求解即可. 【详解】当时，，， 此时，故，故充分性成立， 当时，满足，解得， 故此时必要性成立，故C正确. 故选：C 5. 如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，结合图形，利用向量的中线公式，得到，再利用向量的线性运算，即可求解. 【详解】因为点为中点，所以，又，， 所以 故选：C. 6. 甲乙两人各加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否为加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式计算求得结果. 【详解】恰好有一个一等品的概率. 故选：C. 7. 设函数（且）的图象经过第二、三、四象限，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断函数是定义域R上的减函数，再将不等式化为，求解即可. 【详解】函数的图象过第二、三、四象限，则，解得， 则函数是定义域R上的减函数， 不等式化为，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：A 8. 已知在上满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分段函数的单调性结合二次函数和一次函数的单调性求解即可. 【详解】由在上满足可得在上单调递减； 所以需满足，解得； 即实数取值范围为. 故选：B 二､多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 下列函数中既是奇函数，又在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】首先根据函数的定义域及与的关系判断函数的奇偶性，排除选项C；再根据函数在上的单调性排除A即可. 【详解】对于选项A，的定义域为，且，∴函数为奇函数； 又在上单调递减，在上单调递增，不符合题意，故A错误； 对于选项B，的定义域为，且， ∴函数为奇函数；又在上单调递增，符合题意，故B正确； 对于选项C，的定义域为，∴函数不是奇函数，不符合题意，故C错误； 对于选项D，的定义域为，且，∴函数为奇函数； 又在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，符合题意，故D正确. 故选：BD. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若向量共线，则必在同一条直线上 B. 若为平面内任意三点，则 C. 若点为的重心，则 D. 已知向量，若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由向量共线的定义判断A，由向量运算性质判断B，由向量运算性质结合三角形重心的性质可判断C，由向量共线的坐标运算判断D. 【详解】对于A，若向量 ，共线， 只需两个向量方向相同或相反即可， 则A, B, C, D不必在同一直线上，故A错误； 对于B，由向量线性运算性质知，故B正确； 对于C，若点G为的重心， 设AB中点为M，则， 由重心性质知， 所以，故C正确； 对于D，因为向量， 所以， 化简得，故D正确. 故选：BCD. 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是 C. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为32 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，根据分层抽样的定义和概率性质得到答案；B选项，根据平均数公式得到方程，求出，再利用方差公式计算出结果；C选项，先对数据从小到大排序，再根据百分位数定义计算即可；D选项，先得到的方差，根据方差性质得到的方差，进而得到其标准差. 【详解】A选项，个体m被抽到的概率为，A正确； B选项，已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则， 解得， ， 则这组数据的方差是，B正确； C选项，数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共10个数， 从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30， 由于，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数， 即，所以第70百分位数是23.5，C错误； D选项，若样本数据的标准差为8，则的方差为64， 设的平均数为，则， ， 又， 故， 则的标准差为，D错误． 故选：AB 三､填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 若满足，则的最大值为______．最小值为______． 【答案】 ①. 5 ②. 1 【解析】 【分析】由向量不等式及取等条件可得. 【详解】由向量加减法的几何意义可知， 由，得， 当方向相同时，， 当方向相反时，， 即的最大值为．最小值为. 故答案为：；. 13. 已知随机事件A，B，C，与相互独立，与对立，且，，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先求出，再根据相互独立事件的概率乘法公式计算可得. 【详解】因为与对立且，所以， 又与相互独立且， 所以. 故答案为： 14. 建造一个容积为8立方米，深为2米的无盖长方体蓄水池，池壁的造价为每平方米150元，池底的造价为每平方米200元，则建造水池的最低总造价为______元． 【答案】3200 【解析】 【分析】设池底长为米，宽为米，由题意求出总造价，利用基本不等式求解最值即可. 【详解】设池底长为米，宽为米，则蓄水池的体积为，所以， 所以池壁造价为， 又池底造价为，所以总造价． 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以建造水池的最低总造价为(元)． 故答案为：3200 四､解答题（共5小题，满分77分） 15. 已知集合，． （1）若，求和B； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）分别求出集合A和集合B即可. (2) 因为“”是“”的充分不必要条件，所以,即可求出a的取值范围. 【小问1详解】 当时，化为，则， ，； 化为，则， 所以 小问2详解】 因为“”是“”的充分不必要条件，所以， 又， 所以且等号不同时成立， 解得，即的取值范围为． 16. 柜子里有3双不同的鞋，分别用，；，；，表示6只鞋，其中，，表示每双鞋的左脚，，，表示每双鞋的右脚.如果从中随机地取出2只，那么 （1）写出试验的样本空间； （2）求下列事件的概率： ①取出的鞋都是一只脚的；②取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋. （3）求取出的鞋不成双的概率. 【答案】（1）见解析 （2）, （3） 【解析】 【分析】（1）通过列举法写出试验的样本空间； （2）（3）结合（1）所求的样本空间，利用古典概型的概率公式逐一求解即可． 【小问1详解】 该试验的样本空间可表示为,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,； 【小问2详解】 记：“取出的鞋都是一只脚的” ,，,，,，,，,，,， ， ； 记“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”， , , ,，,，,，,， ， ， 【小问3详解】 记“取出的鞋不成双”， 由（1）得， ，,，,，， ， ； 17. 2023年秋末冬初，呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩低于50分的人数； （2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数； （3）首轮竞赛成绩位列前的学生入围第二轮的复赛，请根据图中信息，估计入围复赛的成绩（记为）. 【答案】（1）人 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用分层抽样的定义求解即可； （2）利用平均数公式求解即可； （3）根据题意设入围复赛的成绩的临界值为，则，求出的值即可. 【小问1详解】 成绩在的人数为（人）， 成绩在的人数为（人）， 则按分层抽样方法从成绩低于60分同学中抽取5人， 成绩低于50分的人数为（人）. 故5人中成绩低于50分的人数为2人； 【小问2详解】 由，得， 则平均数， 故该校学生首轮竞赛成绩的平均数约为分； 【小问3详解】 根据频率分布直方图可知： 的频率为，的频率为， 所以入围复赛的成绩一定在， 可知入围复赛的成绩的临界值为， 则，解得， 故估计入围复赛的成绩为分. 18. 如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点. （1）若，求的值； （2）设，，，，求的值； 【答案】（1）； （2）3. 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算的几何表示，将用表示，进而即得； （2）由，将用表示，利用三点共线即得. 【小问1详解】 因， 所以， 又因为的中点， 所以， 所以，又， 所以； 【小问2详解】 因，，，， 所以，，又因， 所以， 又因，，三点共线， 所以，即. 19. 已知函数的图象经过点，. （1）证明：函数的图象是轴对称图形； （2）求关于的不等式的解集； （3）若函数有且只有一个零点，求实数的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点，代入函数的解析式求出，再证明函数为偶函数，即可证明函数的图象是轴对称图形； （2）将利用对数的运算化为，再进行求解即可； （3）将问题转化为只有一个解，结合函数的单调性求出实数的值. 【小问1详解】 证明：由题意可知，， 解得，， 所以. 易知的定义域为， 因为， 所以函数是偶函数， 故函数的图象是轴对称图形. 【小问2详解】 由（1）可知，， 则不等式可化为， 即， 解得， 又，所以， 解得， 故原不等式的解集为. 【小问3详解】 由（1）可知，， 由题意可知，只有一个解， 得，即只有一个解， 令，函数， ，且， 则， 当时，，则，即， 则函数在上单调递减， 当时，，则，即， 则函数在上单调递增， 所以当时，解得，此时只有一个解， 故函数有且只有一个零点时，. 【点睛】关键点睛：第三问首先分离出参数, 然后利用函数的单调性求出构造的新函数的最值，结合函数图象即可确定的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度上学期期末测试 高一数学试卷 一､选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 甲乙两人各加工一个零件，加工为一等品概率分别为和，两个零件是否为加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数（且）的图象经过第二、三、四象限，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知在上满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 下列函数中既是奇函数，又在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若向量共线，则必在同一条直线上 B. 若为平面内任意三点，则 C. 若点为的重心，则 D 已知向量，若，则 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是 C. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为32 三､填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 若满足，则的最大值为______．最小值为______． 13 已知随机事件A，B，C，与相互独立，与对立，且，，则__________. 14. 建造一个容积为8立方米，深为2米的无盖长方体蓄水池，池壁的造价为每平方米150元，池底的造价为每平方米200元，则建造水池的最低总造价为______元． 四､解答题（共5小题，满分77分） 15. 已知集合，． （1）若，求和B； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 16. 柜子里有3双不同的鞋，分别用，；，；，表示6只鞋，其中，，表示每双鞋的左脚，，，表示每双鞋的右脚.如果从中随机地取出2只，那么 （1）写出试验的样本空间； （2）求下列事件的概率： ①取出的鞋都是一只脚的；②取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋. （3）求取出的鞋不成双的概率. 17. 2023年秋末冬初，呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩低于50分的人数； （2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数； （3）首轮竞赛成绩位列前的学生入围第二轮的复赛，请根据图中信息，估计入围复赛的成绩（记为）. 18. 如图所示，是△ABC一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点. （1）若，求的值； （2）设，，，，求的值； 19. 已知函数的图象经过点，. （1）证明：函数的图象是轴对称图形； （2）求关于的不等式的解集； （3）若函数有且只有一个零点，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$