精品解析：广东省茂名市高州市2024-2025学年高一上学期期末质量监测数学试题

高州市2024~2025学年度第一学期期末质量监测 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案 的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔述清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：必修第一册第一章~第五章5.5． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可判断. 【详解】由“”的否定为“”可知： 的否定为. 故选：C． 2. 设全集，集合，则的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合并集与补集的运算，求得，进而得到其子集的个数. 【详解】由题意，全集， 因为，可得， 所以，所以的子集个数为 个. 故选：B. 3. 已知函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数有意义，列出不等式组，解之即得. 【详解】由题意知，解得且 ， 则函数的定义域为． 故选：D． 4. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 7 B. 9 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为正数，满足， 所以， 当且仅当，即 ， 时取等号， 所以的最小值为 . 故选：B 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的运算性质即可结合换底公式求解. 【详解】由题意，. 故选：B． 6. 已知是上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可以判断分段函数是上的单调递减函数，结合一次函数单调性可以求解，再结合 处的函数值的关系建立关于的不等式求解即可. 【详解】因为当时，为减函数，且在上为单调函数， 所以为上的单调递减函数. 当 时，一次函数单调递减， 当时，对数函数单调递减， 当 时，， 又因为在上为单调递减函数， 所以，解得：. 7. 已知定义在上的偶函数满足在区间内单调递增．若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由诱导公式可得，，由余弦函数单调性比较，根据函数单调性比较的大小，结合奇偶性可得结论. 【详解】因为， 由，则． 所以， 又在区间内单调递增， 则， 又函数为偶函数，故则， 所以． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 已知，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式的性质可判断ACD，举反例排除B，从而得解. 【详解】对于ACD，因为， 所以，，，故ACD正确； 对于B，取，则，故B错误. 故选：ACD. 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AC，利用完全平方公式与三角函数的基本关系式即可判断；对于B，结合选项A中结论即可判断；对于D，利用选项C中的结论求得 ，进而求得，再根据二倍角的正切公式即可求解. 【详解】由①，以及， 对等式①两边取平方得，②，故A正确； ，，由②，，，故B正确； ③，故C错误； ①③联立解得，所以，，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知是定义在上且不恒为0的图象连续的函数，若，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 4是的一个周期 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，B，C利用赋值法即可判断；对于D，令和 ，再结合函数的对称性即可判断. 【详解】对于A，令，得， 因为不恒为0，所以，故A错误； 对于B，令，得， 得，则为偶函数，故B正确； 对于C，令 ，得， 则， 则，周期为4，故C正确； 对于D，令，得，，即， 令 ，得，即关于中心对称， 所以，即，所以，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：对于抽象函数的求值或函数性质的求解策略： （1）对于抽象函数的基本性质的求解，通常借助合理赋值，结合函数的单调性、奇偶性的定义，进行推理，得出函数的基本性质，有时借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题； （2）解答抽象函数的周期性问题时，通常先利用周期性中自变量所在区间，结合函数的奇偶性和对称性进行推理，得到，求得函数的周期； （3）解答抽函数的求值问题时，通常利用合理赋值，再结合函数的对称性和周期性，进行求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. ______． 【答案】 【解析】 【分析】结合对数、指数运算法则及特殊角的三角函数值计算即可得. 【详解】由题意知． 故答案为：. 12. 已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据弧度值的定义，结合扇形面积公式求解即可. 【详解】由题意，，故这个扇形的半径，面积为. 故答案为： 13. ______． 【答案】 【解析】 【分析】利用差角的余弦公式以及辅助角公式化简计算即可. 【详解】由题意知 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤． 14. 已知集合．集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）利用并集和补集的定义求解即可； （2）根据交集的定义求解即可. 【小问1详解】 ， 当时，， 所以， 所以或； 【小问2详解】 因为，，易知， 所以或， 解得或， 所以实数的取值范围为或. 15. 某企业年年初花费64万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为30万元，设备使用年后该设备的维修保养费用为万元，盈利总额为y万元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额＝盈利总额÷使用年数）． 【答案】（1） （2）10万元 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，直接求出y关于x的函数关系式； （2）求出年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求得最大值. 【小问1详解】 根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. 【小问2详解】 由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 则，因为（当且仅当 时取等号）， 所以有万元， 故第8年年平均盈利额取得最大值，最大值为10万元. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）求在上的最大值以及取得最大值时的值． 【答案】（1） ；； （2）最大值为，取得最大值时为或 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式将化为，根据最小正周期的求法求得最小正周期，利用整体代入法求得单调递减区间； （2）根据正弦函数的图象及性质即可得出的最大值以及取得最大值时的值. 【小问1详解】 ， 则的最小正周期为； 令，解得， 故的单调递减区间为； 【小问2详解】 由，得， 则当时，取得最大值， 因为，所以，又为整数，所以 或 ， 则或． 故的最大值为，取得最大值时为或． 17. 已知函数 且 ． （1）求的定义域，判断的奇偶性并给出证明； （2）若 ，求实数 的取值范围． 【答案】（1）定义域为， 定义域为，关于原点对称； 又， 所以为奇函数； （2） 当时，实数 的取值范围是；当时，实数 的取值范围是． 【解析】 【分析】（1）根据真数大于零求定义域，利用奇偶性定义判断并证明是奇函数即可； （2）利用奇函数和单调性求解不等式即可. 【小问1详解】 要使有意义，需满足 ，解得，故定义域为； 是奇函数； 证明：略 【小问2详解】 由 ，得． 由（1）知为奇函数，所以 ，所以. 因为， 令 ，则 在上单调递增， 当时，在上单调递减，则，解得； 当时，在上单调递增，则，解得． 综上，当时，实数 的取值范围是；当时，实数 的取值范围是． 18. 已知函数． （1）求c的值； （2）函数图象中心对称的事实：“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何恒成立，其中点称为函数图象的对称中心”．试应用上述事实判断函数的图象是否中心对称，若是，求出其对称中心的坐标；若不是，请说明理由； （3）若对任意（其中），都存在，使得．求实数的取值范围． 【答案】（1）1 （2）是，对称中心为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用求解即可； （2）根据题设可得恒成立，求解即可； （3）由得，进而有，求解即可. 【小问1详解】 由，可得 ； 【小问2详解】 假设函数图象关于点对称，则在定义域内恒成立， 整理得恒成立， 所以，解得 所以的图象关于中心对称，对称中心为； 【小问3详解】 对任意，都存在，使得， 所以，则，即， 所以，则， 因为，则， 因为，所以， 所以，即，解得， 即实数的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：第三问，根据关系式，将问题化为是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高州市2024~2025学年度第一学期期末质量监测 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案 的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔述清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：必修第一册第一章~第五章5.5． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题，则是（ ） A. B. C. D. 2. 设全集，集合，则的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 3. 已知函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 7 B. 9 C. 8 D. 10 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的偶函数满足在区间内单调递增．若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 已知，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知是定义在上且不恒为0的图象连续的函数，若，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 4是的一个周期 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. ______． 12. 已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为_____. 13. ______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤． 14. 已知集合．集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 15. 某企业年年初花费64万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为30万元，设备使用年后该设备的维修保养费用为万元，盈利总额为y万元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额＝盈利总额÷使用年数）． 16. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）求在上的最大值以及取得最大值时的值． 17. 已知函数 且 ． （1）求的定义域，判断的奇偶性并给出证明； （2）若 ，求实数的取值范围． 18. 已知函数． （1）求c的值； （2）函数图象中心对称的事实：“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何恒成立，其中点称为函数图象的对称中心”．试应用上述事实判断函数的图象是否中心对称，若是，求出其对称中心的坐标；若不是，请说明理由； （3）若对任意（其中），都存在，使得．求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $