精品解析：新疆生产建设兵团第三师图木舒克市第一中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

高一数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名，考生号，考场号，座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. 1 D. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 将函数图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 图象关于点中心对称 D. 的图象关于直线对称 6. 函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 已知幂函数在上单调递增，则“”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 8. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量（单位：mg）在内的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量为，如果停止喝酒后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，经过小时后，该驾驶员可以驾驶车辆，那么整数的最小值是（参考数据：）（ ） A 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各式的最小值是4的有（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 有最大值 D. 有最小值 11. 纯音是指单一频率声音，纯音的数学模型是函数.我们在日常生活中听到的声音，几乎都是复合音，而复合音是由多个频率不同的纯音组成的．已知某声音的函数是，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为5 C. 的图象关于直线对称 D. 函数的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12 _________． 13. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过部分 9元 若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民本月用水量为__________． 14. 若函数的定义域中恰有个整数，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 16. 已知是第四象限角，且. （1）求的值； （2）若，求的值. 17. 已知函数，且． （1）判断的奇偶性并说明理由； （2）若在上的最小值是－1，求的值． 18. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某市的摩天轮最高点距离地面的高度为，转盘直径为，设有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速转动，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周约需要.游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后，距离地面的高度为. （1）在转动一周的过程中，求关于的函数关系式； （2）求游客甲在开始转动后距离地面的高度； （3）当游客距离地面的高度不低于时，可以俯瞰该市的全景，求游客甲在摩天轮转动一周的过程中能俯瞰该市全景的时长. 19. 已知函数的定义域为．若且，则称是凹函数；若且，则称是凸函数． （1）已知函数． ①求的解析式； ②判断是凹函数还是凸函数，根据凹函数，凸函数的定义证明你的结论． （2）讨论函数在定义域上的凹凸性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名，考生号，考场号，座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式求解即可 【详解】. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解即可. 【详解】依题意，，则，而， 所以 故选：B 3. 若扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的弧长和面积公式列式运算求解. 【详解】设扇形的半径为，弧长为， 则，解得，. 故选：C. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数单调性比较大小. 【详解】依题意，， 所以. 故选：D 5. 将函数图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 的图象关于点中心对称 D. 的图象关于直线对称 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦型函数性质进行判断即可. 【详解】由题意可得.因为，所以不是奇函数，则A错误; ，则B错误; 令，得，所以的图象的对称中心为，则C错误; 令，得，当时，，则D正确. 故选：D. 6. 函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】将的零点转化为和的图象的交点，结合图象确定正确选项. 【详解】由，得， 在同一坐标系中，作出和图象， 观察图象知，两个函数图象有两个交点，所以零点个数为. 故选：C 7. 已知幂函数在上单调递增，则“”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由幂函数的性质可得，再由不等式的性质逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为在上单调递增，所以. 由，得，反之也成立，则“”是“”的充要条件，故A错误. 由，推不出，则“”不是“”的必要条件，故B错误. 由，得，反之不成立，则“”是“”的必要不充分条件，故C正确. 同理可得，“”是“”的充分不必要条件，故D错误. 故选：C 8. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量（单位：mg）在内的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量为，如果停止喝酒后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，经过小时后，该驾驶员可以驾驶车辆，那么整数的最小值是（参考数据：）（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用题意列出不等式，再利用指对数转化，解不等式，然后用对数运算求值即可. 【详解】由题意可得，则， 即，所以. 因为，所以， 则整数的最小值是8. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各式的最小值是4的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】A.由当判断；B.利用基本不等式判断；C.利用基本不等式判断；D.设，由对勾函数的性质求解判断. 【详解】当时，，则A错误. 因为，所以，当且仅当时，等号成立，则B正确. 因为，所以，当且仅当时，等号成立，则C正确. 设，则，故D错误. 故选：BC 10. 设函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 有最大值 D. 有最小值 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二次函数、对数函数的单调性求出单调区间及最值. 【详解】函数中，，解得， 令，函数在上单调递减， 而函数在上单调递减，因此函数在上单调递增，A错误，B正确； 当时，取得最大值9，所以有最小值，C错误，D正确. 故选：BD 11. 纯音是指单一频率的声音，纯音的数学模型是函数.我们在日常生活中听到的声音，几乎都是复合音，而复合音是由多个频率不同的纯音组成的．已知某声音的函数是，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为5 C. 的图象关于直线对称 D. 函数的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接由周期性定义判断A；逆向推导B选项；验证，判断C；化简，利用正弦函数的性质求最值，判断D. 【详解】对于A，因为， 并且函数的最小正周期为，所以的最小正周期为，A正确； 对于B，由于当时，取最大值为1， 若最大值为5， 则也必须取最大值1，此时，显然不成立，B错误； 对于C，， 所以的图象关于直线对称，C正确； 对于D， ， 其中， 所以当时，函数的最小值为，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：利用辅助角公式化简，利用正弦函数的性质求最值，判断D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. _________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数运算、对数运算计算得解. 【详解】. 故答案为： 13. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民本月用水量为__________． 【答案】15 【解析】 【分析】根据题设条件可得水费与水价的关系式，根据该关系式可求用水量. 【详解】设用水量为，水价为元， 则， 整理得到：， 当时，；时，；时，. 故某户居民本月交纳的水费为54元，则用水量应满足， 令，则， 故答案为：15. 14. 若函数的定义域中恰有个整数，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】解不等式，然后对的取值进行分类讨论，确定整数解，即可求得实数的取值范围. 【详解】对于函数，则有， 即，即， 因为函数的定义域中恰有个整数，则， 当时，解不等式可得， 根据题意可知，满足不等式的个整数分别为、，所以，； 当时，解不等式可得， 根据题意可知，满足不等式的个整数分别为、，所以，. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）解指数不等式化简集合，再利用并集的意义求解. （2）利用给定交集的结果，结合集合的包含关系列式求解. 【小问1详解】 解不等式，得，则， 当时，，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，由，得， 则，解得， 所以的取值范围是 16. 已知是第四象限角，且. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数基本关系式以及二倍角公式求解即可； （2）先利用同角三角函数关系式求得,再利用两角差的正切公式展开，将的值代入求解即可. 【小问1详解】 因为，且，所以， 所以或. 因为是第四象限角，所以，所以， 则. 【小问2详解】 由（1）可知，则， 故 17. 已知函数，且． （1）判断的奇偶性并说明理由； （2）若在上的最小值是－1，求的值． 【答案】（1）为奇函数，理由见解析； （2）或3. 【解析】 【分析】（1）由对数的真数大于零，可求得定义域关于原点对称，由奇偶性定义可得到结论； （2）按底数a分类讨论，依据对数函数的单调性分别去求实数a的值即可解决. 【小问1详解】 为奇函数，理由如下： 由得：，的定义域为关于原点对称； ， 为定义在上的奇函数. 【小问2详解】 令 由得，，，即， 当时，在上单调递减，最小值是－1， 则，解之得； 当时，在上单调递增，最小值是－1， 则，解之得， 综上，实数a的值为或3. 18. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某市的摩天轮最高点距离地面的高度为，转盘直径为，设有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速转动，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周约需要.游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后，距离地面的高度为. （1）在转动一周的过程中，求关于的函数关系式； （2）求游客甲在开始转动后距离地面的高度； （3）当游客距离地面的高度不低于时，可以俯瞰该市的全景，求游客甲在摩天轮转动一周的过程中能俯瞰该市全景的时长. 【答案】（1）， （2）. （3）10分钟 【解析】 【分析】（1）设游客甲乘坐的座舱距离地面最近的位置为点，以摩天轮的轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系，依据题意建立三角函数模型，求出即可； （2）将代入，根据特殊角的三角函数值求解即可； （3）根据正弦函数的图象和性质解不等式即可. 【小问1详解】 设游客甲乘坐的座舱距离地面最近的位置为点，以摩天轮的轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系， 当时，，此时，以为终边的角是， 因为该摩天轮转一周约需要，该摩天轮的角速度约为， 所以，. 【小问2详解】 当时，， 即游客甲在开始转动后距离地面的高度约为. 【小问3详解】 由题意可得，即. 因为，所以， 所以，解得， 则游客甲在摩天轮转动一周的过程中能俯瞰该市全景的时长为. 19. 已知函数的定义域为．若且，则称是凹函数；若且，则称是凸函数． （1）已知函数． ①求的解析式； ②判断是凹函数还是凸函数，根据凹函数，凸函数的定义证明你的结论． （2）讨论函数在定义域上的凹凸性. 【答案】（1）①；②是凹函数，证明见解析 （2）时，函数在定义域上为凸函数；时，函数在定义域上为凹函数 【解析】 【分析】（1）①利用配凑法，求函数解析式； ②采用作差法，比较与的大小，证明其为凹函数； （2）利用作差法，分和得其凸凹性. 【小问1详解】 ①根据题意，， 所以； ②是凹函数； ，且， 则 因为，所以， 所以，即， 故是凹函数. 【小问2详解】 ， 则 ， 因为， 所以， 所以当时，， 即，函数在定义域上为凸函数， 当时，， 即，函数在定义域上为凹函数. 【点睛】关键点点睛：利用作差法比较与的大小，从而得其凸凹性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $