精品解析：浙江省嘉兴市2024-2025学年高二上学期期末测试数学试题

2024-2025学年浙江省嘉兴市高二上学期期末测试数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过点且倾斜角为的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角及直线方程即可求解. 【详解】根据题意，要求直线的倾斜角为，则该直线与x轴垂直，其斜率不存在，  又由直线过点 ， 则其方程为 故选：. 2. 在空间直角坐标系中，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用向量坐标运算计算即可. 【详解】解：因为向量，， 则 故选： 3. 已知等差数列的前n项和为，，，则（ ） A. 9 B. 15 C. 24 D. 35 【答案】D 【解析】 【分析】设等差数列的公差为d，根据等差的数列的通项公式及前项和公式即可求解. 【详解】设等差数列的公差为d，，， 所以，解得， 所以. 故选：. 4. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出焦参数，根据焦点的位置确定准线方程． 【详解】由题意焦点在轴正半轴，，，所以准线方程为． 故选：C． 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设，，根据椭圆定义得到，再由题中条件，结合勾股定理，即可得出结果. 【详解】解：设，， 因为椭圆C：， 所以由椭圆的定义可知，， 所以，即， 由勾股定理可知：， 求得 故选：B. 6. 已知二面角的大小为，棱l上有A，B两点，线段AC与BD分别在这个二面角的两个半平面内，并且线段AC与BD都垂直于若，，，则CD的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出草图，根据向量垂直的结论得到，再根据二面角大小，借助向量法，结合数量积公式计算即可. 【详解】解：，， ， 又直线分别在这个二面角的两个半平面内，二面角的大小为，  ， ，   ，    ，  ，   故选：A. 7. 已知A，B为圆上的两个动点，且，若直线上存在点P，且P为线段AB的中点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取AB的中点为，连接 ，由题意可得，即点 在以为圆心，1为半径的圆上，由题意可得，解不等式即可求解. 【详解】圆 C的方程为 ，所以圆心为 ，半径 ， 取AB的中点为 ，连接 ， 由于，则， 因此点 在以为圆心，1为半径的圆上， 又点 在直线 上， 所以直线 与圆 ，有公共点， 则 ，解得 ， 故实数 m的取值范围是  故选：. 8. 定义若数列的前n项和，数列满足，，令，且恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求得，结合，且恒成立，得到，或者，列出不等式，即可求得取值范围． 【详解】解：因为， 当时，， 当时，，满足上式， 故 因为， 所以即， 所以，即 因为，且恒成立， 所以，或者， 即或者， 解得或者， 所以 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 圆的半径为 B. 椭圆的离心率为 C. 双曲线的实轴长为2 D. 抛物线的焦点坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据圆的方程求得半径，结合椭圆离心率公式，双曲线的实轴概念，抛物线焦点概念，逐项判定即可. 【详解】解：对于A，圆的标准方程为：，半径为，故A正确； 对于B，，，，得，故B正确； 对于C，双曲线的实轴长为4，故C错误； 对于D，由方程的，，焦点坐标为：，故D正确. 故选：ABD. 10. 等比数列的公比为，且满足，，，记，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 使成立的最小自然数等于 【答案】AD 【解析】 【分析】利用等比数列的通项及其性质逐一求解即可. 【详解】对于A选项，因为 为等比数列，且，， 若，则，不合乎题意， 若，则，这与矛盾， 若，则，这与矛盾， 若，由，所以，，故A正确； 对于B选项，由等比中项知，所以，故B错误； 对于C选项，因为 ，故C错误； 对于D选项，由等比中项知： ， ，故D正确； 故选：AD. 11. 四棱锥的底面为正方形，底面，，，，，其中，下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使得异面直线与的所成角为 B. 三棱锥的体积为 C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D. 二面角的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点坐标和线的方向向量，以及面的法向量，结合向量夹角公式，基本不等式和棱锥体积公式计算，逐个验证判断即可. 【详解】解： 如图，将四棱锥补形成正四棱柱，建立空间直角坐标系， 则，，，， 由，得，同理， 对于A选项：，，所以， 即，故A错误； 对于B选项：，故B正确； 对于C选项：，， 设为平面的一个法向量，则，即， 取，， 设直线与平面所成角为， 则， 即， 要求的最大值，只需考虑，令， 则，故，当且仅当，即时取等号， 所以，故C正确； 对于D选项：，，， 设为面的一个法向量，则，即， 取，同理可求得面的一个法向量为， 所以， 所以当时，二面角的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数k的值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解. 【详解】解： ， ， 存在实数使得   ，解得 故答案为： 13. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”等如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过3个步骤变成简称为3步“雹程”现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：为正整数，，当时，使得需要__________步雹程. 【答案】7 【解析】 【分析】由求解. 【详解】解：当时，，共7步， 故答案为：7 14. 已知抛物线，点在C上，k为常数，按照如下方式依次构造点和过点作斜率为k的直线与C的另一交点为，过点作斜率为的直线与C的另一交点为，记的坐标为，的坐标为，直线的斜率为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由在C上，求得抛物线方程，故，再结合抛物线方程得到和，从而得到求解. 【详解】因为点在C上，故，抛物线， 因为，，直线的斜率为k， 所以① 同理②， 两式相加化简得， 所以， 因此，即 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，圆经过点，且与圆相切于点 （1）求直线的方程; （2）求圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线斜率公式所求切线的斜率，再运用点斜式直线方程求解. （2）方法一：用待定系数法即可求解； 方法二：根据圆上的弦的垂直平分线经过圆心即可求解. 【小问1详解】 把圆化为标准方程，得圆心，， 则直线，即 【小问2详解】 方法一：设圆的方程为， 则 两式相减得，则，又因为， 所以，故所求圆的方程为 方法二：圆心线段MN的中垂线方程为， 则圆心在直线上， 也在直线上， 解得圆心， 圆的半径， 圆的标准方程 16. 如图，在直三棱柱中，，，，E为的中点，点F满足，其中 （1）若平面，求的值； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，先根据已知点坐标求出相关向量，再依据线面平行时向量与平面法向量的关系求出参数值，从而得解； （2）利用（1）中结论，结合两个平面法向量的夹角来计算面面角的余弦值. 【小问1详解】 因为，由已知得平面ABC，如图 建立空间直角坐标系，所以，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，即，取， 因为， 所以，， 因为平面， 所以，则 【小问2详解】 因为，所以，，， 设平面AEF的法向量为， 则即，取向量， 设平面与平面AEF所成角为， 则 所以平面与平面DBE所成角的余弦值为 17. 已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线C上. （1）求C的方程; （2）过点的直线l交双曲线C的左支于A，B两点，记直线PA，PB的斜率分别为，，是否存在常数，使得恒成立?若存在，求的值;若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）首先根据双曲线渐近线方程和已知点在双曲线上，求出双曲线方程. （2）设出直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理得到交点坐标的关系，再根据直线斜率公式表示出、，通过计算判断是否存在满足条件的常数. 【小问1详解】 由已知得解得，， 所以双曲线C的方程为 【小问2详解】 设，，由题意知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为， 联立消x得 解得，假设存在实数，使得2恒成立， 当，有一个交点为，此时不满足，故， 因此，， 则 ，故存在实数满足条件. 18. 已知为等差数列，，，记. （1）求数列，的通项公式; （2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， （i）求数列的前n项和 （ii）在数列中是否存在3项，，其中m，k，p成等差数列成等比数列?若存在，求出这样的3项;若不存在，请说明理由. 【答案】（1），； （2）（i）；（ii）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出数列的公差，进而求出通项公式. （2）（i）利用等差数列通项求出，再利用错位相减法求和得；（ii）假定存在，列式推理判断即可得解. 【小问1详解】 依题意，等差数列的公差， ，， 所以数列，的通项公式分别为，. 【小问2详解】 （i）依题意，，则，， 设，记前n项和， ，， 两式相减得： ， 因此，所以. （ii）假设数列中存在3项，（其中成等差数列）成等比数列，则， 于是，即， 由成等差数列，得，则， 化简得，因此，又，则与已知矛盾， 所以数列中不存在三项，，成等比数列. 19. 造型可以看作图中曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为 （1）求a的值; （2）当点在C上时，求证： （3）如图，过点F作两条互相垂直的弦，分别交曲线C于，，，，其中，求四边形面积的最小值. 【答案】（1） （2） 方法一：因为，所以曲线C的方程为， 可化为，即， 因此， 所以，当且仅当且时取等号. 方法二：同上曲线C的方程为， 因此， 所以，当且仅当且时取等号. 方法三：如图设点P在x轴，直线上的射影分别为Q，R， 则根据定义， 因此，即， 所以，当且仅当且时取等号. （3） 【解析】 【分析】（1）根据曲线C上的点满足的条件，结合可求a的值； （2）当点在C上时，方法一：利用解不等式求解；方法二：利用求解；方法三：设点P在x轴与直线上的射影分别为Q，R，利用求解即可. （3）讨论直线的斜率，当斜率存在时，设直线AB的方程为，其中，利用弦长公式，三角形面积公式可得，再结合换元法以及三角函有界性可求四边形面积的最小值. 【小问1详解】 因为O在曲线上，所以O到的距离为，而， 所以有，即 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，得 当其中一条直线的斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，此时 当两条直线斜率均存在且不为0时，设直线AB的斜率为k，倾斜角为，由对称性不妨设， ，则直线AB的方程为，其中，直线的方程为， 联立 化简得到， 所以 则， 故， ， 同理，所以， 令， 令， 因为， 所以，即， 所以在上单调递增，当，即时，， 此时， 综上所述四边形面积的最小值为 【点睛】方法点睛：解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年浙江省嘉兴市高二上学期期末测试数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过点且倾斜角为的直线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前n项和为，，，则（ ） A. 9 B. 15 C. 24 D. 35 4. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知二面角的大小为，棱l上有A，B两点，线段AC与BD分别在这个二面角的两个半平面内，并且线段AC与BD都垂直于若，，，则CD的长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知A，B为圆上的两个动点，且，若直线上存在点P，且P为线段AB的中点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义若数列的前n项和，数列满足，，令，且恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 圆的半径为 B. 椭圆的离心率为 C. 双曲线的实轴长为2 D. 抛物线的焦点坐标为 10. 等比数列的公比为，且满足，，，记，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 使成立的最小自然数等于 11. 四棱锥的底面为正方形，底面，，，，，其中，下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使得异面直线与的所成角为 B. 三棱锥的体积为 C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D. 二面角的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数k的值为__________. 13. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”等如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过3个步骤变成简称为3步“雹程”现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：为正整数，，当时，使得需要__________步雹程. 14. 已知抛物线，点在C上，k为常数，按照如下方式依次构造点和过点作斜率为k的直线与C的另一交点为，过点作斜率为的直线与C的另一交点为，记的坐标为，的坐标为，直线的斜率为，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，圆经过点，且与圆相切于点 （1）求直线的方程; （2）求圆的标准方程. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，E为的中点，点F满足，其中 （1）若平面，求的值； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线C上. （1）求C的方程; （2）过点的直线l交双曲线C的左支于A，B两点，记直线PA，PB的斜率分别为，，是否存在常数，使得恒成立?若存在，求的值;若不存在，请说明理由. 18. 已知为等差数列，，，记. （1）求数列，的通项公式; （2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， （i）求数列的前n项和 （ii）在数列中是否存在3项，，其中m，k，p成等差数列成等比数列?若存在，求出这样的3项;若不存在，请说明理由. 19. 造型可以看作图中曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为 （1）求a的值; （2）当点在C上时，求证： （3）如图，过点F作两条互相垂直的弦，分别交曲线C于，，，，其中，求四边形面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $