精品解析：江苏省扬州中学文昌教育集团2024-2025学年上学期期末测试 七年级数学试卷

扬州中学文昌教育集团2024－2025学年第一学期期末测试 七年级数学试卷 2025．01 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个数中，最小数是（ ） A B. C. D. 2. 将等式变形错误的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列各式中与多项式不相等是（ ） A. B. C. D. 4. 下列四个图中，是三棱锥的表面展开图的是（ ） A. B. C. D. 5. 若是关于的一元一次方程，则的值为（ ） A. 1 B. 0 C. 1或 D. 6. 如图，尺规作，作图痕迹中弧是（ ） A. 以点F为圆心，以长为半径的弧 B. 以点F为圆心，以长为半径的弧 C. 以点G为圆心，以长为半径的弧 D. 以点G为圆心，以长为半径的弧 7. 如图，下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是一条射线，将一把直角三角尺的直角顶点放在处，，将绕着点按每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，分别作出、的角平分线、．在旋转过程中，当或中有一条射线与平行时，的值为（ ）．（注：本题中所有的角均是指大于0度且小于或等于180度的角） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 电影《志愿军：存亡之战》以亿元票房领跑2024年国庆档电影票房．其中数据亿用科学记数法表示为__________． 10. 若代数式与为同类项，则的值为___________． 11. 多项式化简后不含项，则的值为__________． 12. 一个八边形从某一个顶点出发最多可画_______条对角线． 13. 已知是关于方程的解，则代数式__________ 14. 我国古代名著《九章算术》中有一问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”意思为：有只野鸭从南海起飞历经7天到达北海，有只大雁从北海起飞历经9天到达南海，如果野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能相遇?假设经过天相遇，则可列一元一次方程为_______． 15. 已知，以点为端点作射线，使，则的度数为_______． 16. 如图，已知正方形的边长为3，将这个正方形绕它的边所在直线旋转一周，从左面看所得几何体，得到的形状图的面积是______． 17. 如图，长方形中，点，分别在边，上，连接，．将沿折叠，点落在点处；将沿折叠，点恰好落在的延长线上点处．若，则的度数是__________． 18. 已知数轴上的A、B两点对应的数字分别为、3，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程中，取线段的中点C（点C始终在线段上），若线段的长度总为一个固定的值，则m与n应满足的数量关系是_______． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： （1）； （2） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，所有小正方形的边长都为1个单位，、、、均在格点上． （1）过点画线段的平行线； （2）过点画线段的垂线，垂足为； （3）在直线上找一点，使得的值最小； （4）连接，则三角形的面积是 ． 23. 已知有理数、在数轴上对应位置如图： （1）用“”或“”填空： ①；②； （2）比较、、、的大小（用“”把它们连接起来）； （3）化简：． 24. 如图，已知线段AB＝20cm，延长AB至C，使得BC＝AB． （1）求AC的长； （2）若D是AB的中点，E是AC的中点，求DE的长． 25. 如图，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）与相等吗?为什么? （3）若，，求的大小． 26. 在全球信息化时代，人们的出行方式有了更多的选择．下表是网约车的收费标准（打车费=起步费+里程费+远途费+市场费）． A网约车 起步费 6元 里程费 元/公里 远途费 超过10公里后，超出部分加收1元/公里 时长费 元/分钟 若本题中A网约车的平均车速均为40公里/时，请回答以下问题： （1）若乘车里程数为10公里，则时长费是 元，打车费是 元； （2）若打车费为元，可乘坐的里程数是多少公里？ 27. 【问题背景】江津滨江路视野开阔，风景怡人．滨江路上和两地之间相距大约千米，小明骑电动车从地出发，以千米分钟速度向地方向匀速行驶．小华骑自行车从地出发，以千米分钟的速度向地方向匀速行驶；两人同时出发，经过几分钟小明、小华之间相距千米？ 【问题解决】小丰同学在学习了《有理数》之后，发现运用数形结合的方法建立数轴可以较快地解决上述问题：如图，将滨江路抽象为一条数轴，将点与数轴的原点重合，点表示数．小明和小华分别用动点、来表示，设运动的时间为分钟． （1）分钟后点在数轴上对应的数是______，点对应的数是______（用含的代数式表示） （2）我们知道，如果数轴上，两点分别对应数，，则．试运用该方法求经过几分钟，之间相距千米？ （3）在上有一个标记位置，，若点与点之间的距离为，点与点之间的距离为在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得？若存在，请求出运动的时间：若不存在，请说明理由． 28. 在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“5系数补角”． 【概念理解】 （1）若，在，，中，的“2系数补角”是 ：的“3系数补角”是 ． 【初步认识】 （2）在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．①如图1，点为平面内一点，连接，，，若是的“6系数补角”，求的大小． 【问题解决】 （3）如图2，连接．若为平面内一动点（点不在直线，，上），与两个角的平分线交于点．若，，是的“2系数补角”，直接写出的大小的所有情况（用含和的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州中学文昌教育集团2024－2025学年第一学期期末测试 七年级数学试卷 2025．01 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，根据有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可，熟练掌握相关方法是解题的关键． 【详解】解：根据有理数大小比较的法则可得， ∴四个数中，最小的数是， 故选：． 2. 将等式变形错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A、C依据等式的性质1判断；B、D根据等式的性质2判断即可． 【详解】A．根据等式的性质1，在两边都加5，得，故A正确； B．根据等式的性质2，在两边都除以，得，故B正确； C．根据等式的性质1，在两边都减，得，故C正确； D．根据选项知，等式左边乘以，右边乘以2，不符合等式的性质2，故D错误； 故答案选：D． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，掌握等式的基本性质是解题的关键． 3. 下列各式中与多项式不相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据去括号法则逐一对每个选项进行去括号，从而可得答案． 【详解】解：故不符合题意， 故符合题意， 故不符合题意， 故不符合题意， 故选： 【点睛】本题考查的是去括号，掌握去括号的法则是解题的关键． 4. 下列四个图中，是三棱锥的表面展开图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三棱锥的表面展开图，熟练掌握三棱锥的几何特征，及利用展开图围成几何体是解题的关键．利用三棱锥是由四个三角形组成，并利用四个三角形看是否可以围成三棱锥即可解答． 【详解】解：选项A中，是长方体的表面展开图，不是三棱锥的表面展开图，故选项不符合题意； 选项B中，是三棱锥的表面展开图，故选项符合题意； 选项C中，是四棱锥的表面展开图，故选项不符合题意； 选项D中，是三棱柱的表面展开图，故选项不符合题意； 故选：B． 5. 若是关于的一元一次方程，则的值为（ ） A. 1 B. 0 C. 1或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次程的定义，由一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得且， 解得， 故选：A． 6. 如图，尺规作，作图痕迹中弧是（ ） A. 以点F为圆心，以长为半径的弧 B. 以点F为圆心，以长为半径的弧 C. 以点G为圆心，以长为半径的弧 D. 以点G为圆心，以长为半径的弧 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作角，根据尺规作角的方法，得到弧是以点G为圆心，以长为半径的弧，作答即可． 【详解】解：由作图可知：弧是以点G为圆心，以长为半径的弧； 故选D． 7. 如图，下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解决问题的关键．平行线的判定定理：①同位角相等两直线平行；②内错角相等两直线平行；③同旁内角互补两直线平行；根据这三个判定定理逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、由，根据内错角相等两直线平行可以判定，不能判定，符合题意； B、由，根据内错角相等两直线平行可以判定，不符合题意； C、由，根据同位角相等两直线平行可以判定，不符合题意； D、由，根据同旁内角互补两直线平行可以判定，不符合题意； 故选：A． 8. 如图，是一条射线，将一把直角三角尺直角顶点放在处，，将绕着点按每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，分别作出、的角平分线、．在旋转过程中，当或中有一条射线与平行时，的值为（ ）．（注：本题中所有的角均是指大于0度且小于或等于180度的角） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况：①当时，②当时，进行讨论即可． 【详解】解：①如图，当时， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即：， 解得：； ②如图，当时， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 解得：， 综上所述，在旋转过程中，当或中有一条射线与平行时，的值为秒或秒， 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的定义，周角的定义，角的和差运算，一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握角的和差运算，利用分类讨论思想求解是解答的关键． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 电影《志愿军：存亡之战》以亿元票房领跑2024年国庆档电影票房．其中数据亿用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：亿． 故答案为：． 10. 若代数式与为同类项，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同类项定义，根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出、的值，再代入代数式计算即可．熟记同类项定义是解答本题的关键． 【详解】解：∵代数式与为同类项， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 11. 多项式化简后不含项，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据整式的加减运算法则将原式化简，然后根据化简后不含项，可知项的系数为0，即可解题． 【详解】解：， ∵多项式化简后不含项， ∴，解得， 故答案为：． 12. 一个八边形从某一个顶点出发最多可画_______条对角线． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了多边形的对角线，牢记n边形从一个顶点出发可引出条对角线，据此求解即可． 【详解】解：（条）． 故答案为：5． 13. 已知是关于的方程的解，则代数式__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方程的解，根据方程的解满足方程求得，进而代值求解即可． 【详解】解：把代入方程可得， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 我国古代名著《九章算术》中有一问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”意思为：有只野鸭从南海起飞历经7天到达北海，有只大雁从北海起飞历经9天到达南海，如果野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能相遇?假设经过天相遇，则可列一元一次方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】题主要考查了一元一次方程的实际应用（相遇问题），读懂题意，正确列出一元一次方程是解题的关键． 把总路程看作单位“1”，从而可得野鸭与大雁每天的速度，即可列出方程． 【详解】解：设经过天相遇，则可列一元一次方程为， 故答案为：． 15. 已知，以点为端点作射线，使，则的度数为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了角的和差关系计算，注意要分两种情况讨论．先根据题意画出图形，分两种情况作图，结合图形来答题即可． 【详解】解：①如图，； ②如图，； 故答案：或． 16. 如图，已知正方形的边长为3，将这个正方形绕它的边所在直线旋转一周，从左面看所得几何体，得到的形状图的面积是______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查的是平面图形的旋转，从不同方向看立体图形，首先根据题意可得将正方形旋转一周可得圆柱体，圆柱的高为3，底面直径为6，再找出从从左面看到的图形的形状可得答案． 【详解】解：直线为轴，将正方形旋转一周可得圆柱体，圆柱的高为3，底面直径为6， 从几何体的左面看到的图形是长为6，宽为3的长方形， 因此面积为：， 故答案为：18． 17. 如图，长方形中，点，分别在边，上，连接，．将沿折叠，点落在点处；将沿折叠，点恰好落在的延长线上点处．若，则的度数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键． 由题意易得，，因为平角，故，因为，则，即可作答． 【详解】解：由折叠得到：，， 又， ， ， ， 故答案为：． 18. 已知数轴上的A、B两点对应的数字分别为、3，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程中，取线段的中点C（点C始终在线段上），若线段的长度总为一个固定的值，则m与n应满足的数量关系是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查数轴上动点问题，根据动点列出长度，根据定值即与参数无关即可得到答案 【详解】解：设运动秒时， ，， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∵的长度总为一个固定的值，即与无关， ∴，即， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算： （1）根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）先计算乘方，再计算乘除法，最后算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照解一元一次方程的步骤：移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答； （2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了绝对值和偶次幂的非负性质，整式的加减，根据去括号、合并同类项，可化简整式；根据绝对值和偶次幂的非负性，得到，，代入求值可得到答案，去括号是解题的关键． 【详解】解： ， ∵ ∴，， 原式 22. 如图，所有小正方形的边长都为1个单位，、、、均在格点上． （1）过点画线段的平行线； （2）过点画线段的垂线，垂足为； （3）在直线上找一点，使得的值最小； （4）连接，则三角形的面积是 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4）5 【解析】 【分析】本题主要考查了利用格点作平行线、垂线、三角形的面积等知识点，理解相关性质成为解题的关键． （1）通过平移画出平行线即可解答； （2）根据网格的结构特点画出垂线即可； （3）根据两点之间，线段最短作图； （4）利用割补法解答即可． 【小问1详解】 解：如图，取格点，连接，即为所求： 【小问2详解】 解：如图，取格点，连接交线段于点，即为所求： 【小问3详解】 解：连接，相交于点P，则点P即为所求： 【小问4详解】 解：如图： ， 故答案为：5． 23. 已知有理数、在数轴上对应位置如图： （1）用“”或“”填空： ①；②； （2）比较、、、的大小（用“”把它们连接起来）； （3）化简：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，以及数轴的性质，熟知有理数大小比较的法则是解答此题的关键． （1）根据数轴和绝对值的意义，可得答案； （2）根据相反数的意义，数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案； （3）根据绝对值的性质，可得答案． 【小问1详解】 解：由数轴可得： ① ；②； 故答案为：； 【小问2详解】 解：因为 所以，的大小关系为：； 【小问3详解】 解：因为 所以 ． 24. 如图，已知线段AB＝20cm，延长AB至C，使得BC＝AB． （1）求AC的长； （2）若D是AB的中点，E是AC的中点，求DE的长． 【答案】（1）30cm （2）5cm 【解析】 【分析】（1 ）根据BC与AB的关系可得BC，由AC＝AB+BC可得答案； （2 ）根据线段中点的定义分别求出AE和AD的长度，再利用线段的和差得出答案． 【小问1详解】 ∵BC＝AB，AB＝20cm， ∴BC＝＝10cm， ∴AC＝AB+BC＝30cm； 【小问2详解】 ∵D是AB的中点，E是AC的中点， ∴AD＝AB＝10cm，AE＝AC＝15cm， ∴DE＝15﹣10＝5cm． 【点睛】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． 25. 如图，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）与相等吗?为什么? （3）若，，求大小． 【答案】（1），见解析 （2）相等，见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等， （1）根据同旁内角互补，两直线平行进行推理证明； （2）根据对顶角和已知条件得到，则可证明，由平行线的性质推出，即可求证； （2）根据角之间的关系求得，利用平行线的性质求得，即可求解． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由（1）已证 ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴. 26. 在全球信息化时代，人们的出行方式有了更多的选择．下表是网约车的收费标准（打车费=起步费+里程费+远途费+市场费）． A网约车 起步费 6元 里程费 元/公里 远途费 超过10公里后，超出部分加收1元/公里 时长费 元/分钟 若本题中A网约车的平均车速均为40公里/时，请回答以下问题： （1）若乘车里程数为10公里，则时长费是 元，打车费是 元； （2）若打车费为元，可乘坐的里程数是多少公里？ 【答案】（1）3，21 （2）13公里 【解析】 【分析】考查了一元一次方程的应用和有理数混合运算的实际应用， （1）根据时长费及打车费的计费方式进行计算即可； （2）设乘坐的里程数为公里，然后用的式子表示出打车费，再根据“打车费为元”列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵乘车里程数为公里， ∴时长费是：（元）， 打车费是：（元）， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：设乘坐的里程数为公里， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴可乘坐的里程数是公里． 27. 【问题背景】江津滨江路视野开阔，风景怡人．滨江路上和两地之间相距大约千米，小明骑电动车从地出发，以千米分钟的速度向地方向匀速行驶．小华骑自行车从地出发，以千米分钟的速度向地方向匀速行驶；两人同时出发，经过几分钟小明、小华之间相距千米？ 【问题解决】小丰同学在学习了《有理数》之后，发现运用数形结合的方法建立数轴可以较快地解决上述问题：如图，将滨江路抽象为一条数轴，将点与数轴的原点重合，点表示数．小明和小华分别用动点、来表示，设运动的时间为分钟． （1）分钟后点在数轴上对应的数是______，点对应的数是______（用含的代数式表示） （2）我们知道，如果数轴上，两点分别对应数，，则．试运用该方法求经过几分钟，之间相距千米？ （3）在上有一个标记位置，，若点与点之间的距离为，点与点之间的距离为在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得？若存在，请求出运动的时间：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）或 （3）存在，或 【解析】 【分析】本题考查了数轴与有理数，数轴上两点距离，一元一次方程的应用； （1）根据题意，点从点即原点出发，点从点向左运动，速度为，根据路程等于速度乘以时间，结合数轴，即可求解； （2）根据题意得出，解绝对值方程，即可求解； （3）依题意，A点表示的数是4．则，，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，分钟后点在数轴上对应的数是，点对应的数是； 故答案为：，． 【小问2详解】 由题意得： 即或 解得：或 ∴经过4分钟或分钟时，P、Q之间相距1千米． 【小问3详解】 存在某一时刻t，使得，理由如下： ∵， ∴C点表示的数是4． ∴，． ∴ 解得：或 ∴当或时，． 28. 在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“5系数补角”． 【概念理解】 （1）若，在，，中，的“2系数补角”是 ：的“3系数补角”是 ． 【初步认识】 （2）在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．①如图1，点为平面内一点，连接，，，若是的“6系数补角”，求的大小． 【问题解决】 （3）如图2，连接．若为平面内一动点（点不在直线，，上），与两个角的平分线交于点．若，，是的“2系数补角”，直接写出的大小的所有情况（用含和的代数式表示）． 【答案】（1），；（2）；（3）的大小为或或或 【解析】 【分析】（1）设的“2系数补角”是x，根据题意可得，设的“3系数补角”是x，根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）设，，根据三角形外角的性质和是的“6系数补角”，列方程组，解方程组即可得到答案； （3）分六种情况画出图形分别进行求解即可． 【详解】解：（1）设的“2系数补角”是x， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的“2系数补角”是； 设的“3系数补角”是x， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的“3系数补角”是； 故答案为：；； （2）设， 如图，设与相交于点H， ∵，， ∴， ∴， 即①， ∵是的“6系数补角”， ∴， 即② 联立①②得， 解得 即是； （3）∵是的“2系数补角”， ∴ ∴ 如图1，∵与两个角的平分线交于点M． ∴， ∵ ， 过点H作， ∵， ∴ 则 ∴ ∴ ∴； 如图2， 同理可得，， 则； 如图3， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； 如图4， 同理可得，， ∴； 如图5， 同理可得，， ∴； 如图6， 同理可得，， ∴； 综上可知，的大小为或或或． 【点睛】此题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，分类讨论和适当添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $