精品解析：浙江省绍兴市2024-2025学年高一上学期期末调测数学试题

绍兴市2024学年第一学期高中期末调测 高一数学 注意事项： 1.请将学校、班级、姓名分别填写在答卷纸相应位置上.本卷答案必须做在答卷相应位置上. 2.全卷满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若扇形的面积为1cm2，周长为4cm，则扇形圆心角的弧度数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 函数的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增且值域为 B. 在上单调递减且值域为 C. 在上单调递增且值域为 D. 在上单调递减且值域为 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的不等式在上恒成立，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列函数中，为奇函数且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 设函数.若，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则（ ） A. 的最小正周期是 B. 在上单调递减 C. 直线是图象的一条对称轴 D. 在上的所有零点和为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. __________. 13. 命题“，”的否定是__________. 14. 已知函数的图像关于点对称，且在上有且只有两条对称轴，则__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步㵵） 15. 已知函数. （1）求的定义域； （2）证明：在上单调递减. 16. 声强级（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：），k，b为常数.研究发现正常人听觉能忍受的最高声强为，此时声强级为120dB；平时常人交谈时的声强约为，此时声强级为60dB. （1）求k，b的值； （2）实验结果表明，噪声可以降低人的视力敏感性，当噪声声强级达到90dB至115dB时，视网膜中的视杆细胞对光亮度的敏感性会下降，识别弱光反应的时间也会延长.某种型号的拖拉机声的声强约为，若司机长时间在这种噪音环境下驾驶，试判断是否会降低他的视力敏感性？ 17. 已知函数. （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若在上有两个零点，求m的取值范围. 18. 已知函数，，其中. （1）判断与的奇偶性； （2）证明：； （3）若对任意，存在，恒有成立，求a的取值范围. 19. 已知集合，，记，. （1）求集合S，T； （2）对于只含有四个正整数，，，的集合P，若的最小值是k，则称集合P是“k阶积差四元集”. （ⅰ）若，求“1阶积差四元集”C，且满足； （ⅱ）若，是否存在“2阶积差四元集”M，N，使得？若存在，求出所有集合M，N；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网命组卷网 绍兴市2024学年第一学期高中期末调测 高一数学 注意事项： 1.请将学校、班级、姓名分别填写在答卷纸相应位置上本卷答案必须做在答卷相应位置上 2.全卷满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知集合A={1<x<,则A=() A{xx≤-1 B{xr≥ cx≤-1或x2 D.树x<-1或x> 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据补集的概念与运算直接得出结果 【详解】由题意知， A=x≤-1或x21 故选：C 2.sπ 4”是“tana=1”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分别判断充分性，必要性从而可求解 第1页/共20页 学科网组卷网 【详解】必要性：若ana=l,则a=4 =凡+kE乙，故必要性不满足： 元 充分性：若4，则tana=1,故充分性满足； 放uQs 4”是“tana=1”的充分不必要条件，故A正确. 故选：A 3.若扇形的面积为1cm,周长为4cm,则扇形圆心角的弧度数为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】 【分析】设圆心角为“，半径为”，根据扇形面积公式及弧长公式得到方程组，解得即可. 1 ar2=1 a=2 【详解】解：设圆心角为，半径为，依题意可得 2+ar=4’解得 r=1 故选：B 4.函数 f(x)=xInx 的图象大致形状是() 【答案】D 【解析】 f(x) 【分析】由题意，判断”的奇偶性，利用赋值法，结合选项即可求解 第2页/共20页 命学科网组卷网 【详解】f,的定义域为{x≠0)， 关于原点对称， f(-x)=-xn=-f田），所以fo为奇函数， 奇函数的图象关于原点对称，故排除AB: 因为f)=0,又分如20，故拼除c 故选：D 已知tana=2,则sim 4 3 4 A.5 B.-5 c.5 D.5 【答案】C 【解析】 cos2a= 【分析】根据同角的商数、平方关系可得 5,结合诱导公式和二倍角的余弦公式计算即可求解， 【详解】由tana=2,得sina=2cosa, 又sin2a+cos2a=1,所以4cos2a+cos2a=1,解得 所以sn2a2=-cos2a=1-2oas2a- 故选：C 6已知两数f()=2,则f()() A在(，1上单调递增且值域为，+切） B.在-0,1刂上单调递减且值域为，+∞) c在←0，上单调递增且植域为0,1 第3页/共20页 6学科网命组卷网 D.在（←，上单调递减且值域为0，] 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数，二次函数，复合函数的性质求解单调性和值域即可 【详解】令“()=x-2x+1=(c-2∈[0，+o) 则f(☒)视为由y=2”和()=r-2x+1构成的复合函数， 由二次函数性质得“()在（-0，刂上单调递减，在4，+0)上单调递增， 由指数函数性质得'在R上单调递增， 由复合函数性质得()在0，上单调递减， 而u(e[0,+o）,故f()e[,+o）,故B正确 故选：B 7.已知a=3,b=sin2,c=log,4,则() A.a>b>c B.b>a>c c.c>a>b D.a>c>b 【答案】D 【解析】 b<1,c>1 【分析】根据三角函数的性质和对数函数的单调性可知 利用对数的运算性质可得a>C, ,即 可求解。 【详解】a= 4>l,b=sin2<1,c=log,4>1og,3=1 4 由(33)3=3=81>64=4，得33>4，所以10g333>10g34, 即a>C, 所以a>c>b. 第4页/共20页 命学科网命组卷网 故选：D 0. 8.若关于x的不等式(m-1)sin2x-msinx+m-1>0在0,2 上恒成立，则的取值范围是() A.(1,+o∞) B.(2,+∞) c(2,4] D.[B,4 【答案】B 【解析】 m>1+1 【分行1利用换元达（令，：m,将医不等式转化为宁1在10，）上政立结合对购用 数的单调性即可求解 【详解】令t=sinx,则0≤t≤1， 则原问题转化为不等式m-1r-1+m-1>0在t∈[0， 在 上恒成立， t2-t+1)m>t2+1t∈[0,1] 即不等式 在 上恒成立， 又-1=0+0 所以m>-中 。1=1+1 =1+P-+1 1+i在e0,上恒威立， 设10=1+0≤1≤1，则函数0在0，]上单调递增。 1 1+ 1一1+ -=2 所以f0≥f0=2得+1 2-1 所以m>2. 故选：B m>1+1 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将原问题转化为 2+,1在10，上恒成立间题 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题 第5页/共20页 学科网 命组卷网 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列函数中，为奇函数且在(0,1)上单调递增的是() A.=cOSx B.y=x3 C.y=tanx D.y=e 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的性质逐项判断即可 【详解】由cos(-)=c0Sx可得y=c0sx为偶函数，所以A错误， 由(=X可得y=x为奇函数，函数y=r在x∈R上单调递增，即函数y=x在(0,1)上单调递增， 所以B正确： 由m(-)=anx可得y=anx为奇的数，西数y=amr在x∈(22)上单调运增，所以函数 y=tanx在(0,1）上单调递增，所以C正确： 函数y=e 为非奇非偶函数且在x∈R上单调递增，所以D错误， 故选：BC [1-1,0<x≤1 10.设函数 f(x)= 若，且 则() x<x2 f(x)=f(x2) A0<X<2 B.2xx2=x+x2 C比3>1 D.x+七>2 【答案】BCD 第6页/共20页 6学科网列组卷网 【解析】 1+1=2 【分析】作出f(x)的图象，由题意，结合图形可知0<x<1<:2且xx2,化简计算即可求解. f(x) 【详解】作出函数 的图象，如图， y=f(x) X2 由图可知， 0<x<1<x2 1=1-1+1=2 由f(x)=f(x2)知，x x2,即xx2 =1>1 即2xX+>容222，故A销误，B随 由2x=x+,得=5>，所以西>1放C正确， 2 所以+5=2x>2 D正确，· 故选：BCD, 1.己知f(x)=1og,(cos2x+25in0,则() A.f()的最小正周期是π ππ B.f(x)在(6’2上单调递减 C.直线=2是f(x)图象的一条对称轴 D.f()在[0,2元]上的所有零点和为3沉 第7页/共20页 6学科网列组卷网 【答案】ABC 【解析】 【分析】本题考查三角函数的性质有函数周期的定义可得A正确；利用二倍角公式将函数(：)化简为 f(y)=log,(-2sinx+2小in）,利用“同增异减”判断复合函数()的单调性可得B正确；由 f(π-)=f()可得直线2是f(:)图家的一条对称轴，C正确；令 f()=l1og2(cos2x+2sin)=0,可得cos2x+2小in=1,求得在[0,2可]上的所有零点分别为x=0, X= 3 7π 2,x=π，2，x=2π，所有零点之和为2D错误 【详解】对于A,f(x+x)=lbg(cos2(x+)+2sin(+π月=log2(cos2x+2水sin)=f(x),所 以函数()的最小正周期为兀，A正确， 对于B,f(x)=log,(cos2x+2sin0=log2(1-2sin2x+2sinx),令f=sin,t∈[0，， y=b80-r-2.当后引时.=m叫e行 根据复合函数单调性可得，∫(x)在 6’2上单调递减，B正确： 对于c,f(π-x=log,(cos2(r-)+2sin(-x月=log2(cos2x+2sin）=f(x),所以直线 x-5是了()图象价条对将热，C正痛 第8页/共20页 学科网命组卷网 对于D,令f(x)=log2(cos2x+2sinx0=0,可得cos2x+2小in=1,即1-2sin2x+2小sin刘=1， 化简得sinx(1-sin)=0,可得sinx=0或sinr=士1，求得在[0,2m]上的所有零点分别为x=0, π 3π 7π x= X= 2,x=， 2,x=2π，所有零点之和为2，D正确 故选：ABC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.42+1og48= 【答案】2 【解析】 【分析】根据指数幂和对数的运算性质计算即可求解. 【详辨原式=+e,2-2+号2 故答案为：2 13.命题x>1,-1≥0的香定是 【答案】 3x>1x2-1<0 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接写出结论 【详解】命慰x>1,×-120是全称量词命题，其否定是存在量词命愿， 所以所求的否定是： 3x>1x2-1<0 故答案为： 3x>1x2-1<0 14已知脑数)=如+写引≥0)的图修关于点子0对称，且在(：上有且只有两条对称轴。 ππ 第9页/共20页 6学科网命组卷网 则0三 【答案】8 【解析】 ππ 【分析】由三角函数的对称性求出o=-1+3k,k∈Z,再由4’2有且只有两条对称轴求出4≤o≤8， 最后结合三角函数的性质即可求出答案 (0 【f解1居爱)-a+引o>0)X于号0对孩， oT+=kn,kEZ 所以3+3 ,所以0=-1+3k,k∈Z, ππ T<元开≤ T 要使函数在区间4’2上有且只有两条对称轴，所以2242 2ππ<3π 因为0>0，所以2040，所以4<0≤12，所以0=5或0=8或0=11： x∈ππ）】 m5x+π∈19r17m 当0=5时， 4’2,则3(12’6函数只有一个对称轴不合题意： 3函数有且只有两条对称轴符合题意； ππ 当0=11时， 6 函数有三条对称轴不符合题意： 所以0=8 故答案为：8 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步漾） 第10页/共20页 6学科网 6组卷网 15已知函数f()= X )求f(的定义域： (2)证明：f()在L,+o)上单调递减 【答案】(1)∈Rx≠± 2)x,e+o),且<为， w小名名 (-(号-1) 因为>>1，所以5-x>0,-1>0,号-1>0.，+1>0 即7))075P7 所以(x-1(号-1) 故()在（L,+)上的单调递减 【解析】 【分析】(1)根据分式的意义计算即可求解； (2)利用定义法即可证明. 【小问1详解】 因为r-1≠0 解得t≠士 所以f()的定义域为x∈Rx≠± 【小问2详解】 略 16声强级，（单位：B)由公式乙，=k1gI+ 给出，其中I为声强（单位：W/m),k,b为常数 第11页/共20页 6学科网命组卷网 1W/m2 研究发现正常人听觉能忍受的最高声强为 ,此时声强级为120B；平时常人交谈时的声强约为 106W/m2 此时声强级为60B, (1)求k,b的值： (2)实验结果表明，噪声可以降低人的视力敏感性，当噪声声强级达到90dB至115B时，视网膜中的视 杆细胞对光亮度的敏感性会下降，识别弱光反应的时间也会延长某种型号的拖拉机声的声强约为 10-2W/m2 若司机长时间在这种噪音环境下驾驶，试判断是否会降低他的视力敏感性？ k=10 【答案】(1)b=120 (2)司机长时间在这种噪音环境下驾驶，会降低他的视力敏感性， 【解析】 【分析】(1)由题意建立方程组，解之即可求解： (2)由)，将I=102代入即可下结论 【小问1详解】 klg1+b=120 [k=10 由题意知klg106+b=60,解得b=120, 所以，=101g1+120 【小问2详解】 因为=10g1+120,将1=102代人 得乙，=101g102+120=100∈[90,115]. 所以司机长时间在这种噪音环境下驾驶，会降低他的视力敏感性： 17已知函数f(y)=sincos+V3cos2-5 4 4 42 第12页/共20页 命学科网命组卷网 (1)求(~)的最小正周期和单调递增区间； (2)若8()=f)-m在[0，列上有两个零点，求m的取值范围 【答案】(1)最小正周期为4π，3 5 (2)2 ≤m<1 【解析】 【分】4根搭三角面守变锁的化简红可行心)=血行+引.利用T一奇和整休代淡法算即 可求解； 8(0)≤0 π >0 (2)由(1)，根据正弦函数的图象与性质可知 的单调性，进而 30, 解之即可求解。 g(x) g(π)≤0 【小问1详解】 1+cos 2 si 2+2 Cos 2 7-2π =4π 1 所以f(x)的最小正周期为2 +2m≤5+5≤号+2.keZ, 令2 Γ232 巫+4a5x5号4m,keZ, 得3 3 第13页供20页 6学科网命组卷网 , 所以f(x)的单调递增区间为3 +4kT ,k∈Z 【小问2详解】 因为x∈[0， 所以由1)知f)在0 」上单调递增，在3，π 上单调递减， 所以8()=sin 上单调递减 要使得8()=()m在x∈[0，可上有两个零点， 「5 g(0)≤0 2 -m≤0 根据零点存在定理，得 83 >0即 1-m>0 ,解得 1 g(π)≤0 2-ms0 ≤m<1 2 3 所以2 m<1 1E数-2，g间-a 2,其中a>1 (1)判断f()与8()的奇偶性： 2)证明：f(x+)+f(x-)=2f(x)g(y). （3)若对任意∈[0,1，存在与∈[0,1，恒有5f(G)()≥f(2+2x,)+f(2x-2x)成立，求 a的取值范围， 【答案】（山f()为奇函数，8（为偶函数 (2)证明：因为(x+)+f(x-y) 第14页/供20页 6学科网命组卷网 axy-a(y)a-y-a(-y) (aw+a）-(a+a-） 2 _a(a+a）-a(a'+a） (a-a(a'+a'） =2f(x)g(y) (3)1<a≤2. 【解析】 【分析】(1)利用函数得奇偶性的定义求解， (2)利用题目的函数的解析式证明题目给的等式即可， 5f(s)>8(2x (3)由小问(2)中得到的结论，将题目中的不等式转化成2f(2x)g(x2),接着转化成 进而求解结果 【小问1详解】 因为f()与8(t)的定义域均为R, R满起2- 8(x)=a+a 2=8(x) 即（为奇函数，8(）为偶函数 第15页/供20页 6学科网列组卷网 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由2知f(2x+2x)+f(2x-2x)=2f(2x)8(2x) 所以5f(x)8(,)≥2f(2x)）g(2x,) 当龙=0 时，不等式成立， 5f(x)、g(2x) 当x∈(0,1]时，即2f(2x)g(x2) a"-ax f(x) 2 1 1 又因为f2买)a-a西+a2g(G. 2 g(2x_a2+a2_(a+a}-2 g(x2）a5+a a+ax 2 =a+a5- a+a =-2g)g(x】 1 ≥2g(x-1 所以4g(x) g(x2), 2 wren服- 「5 5a 所以4g(m 2(a2+1 第16页/供20页 可学科网命组卷网 1 =1 5a >≥1 所以2(a2+1）, ≤a≤2 解得2 又因为a>1, 所以1<a≤2， 19已知集合A={1,23,45,6,7乃，B={∈Nr-Ir+24≤0，记4nB=S,AUB=T. (1)求集合S,T: (2)对于只含有四个正整数，X,,x4的集合P,若x-的最小值是k,则称集合P是 阶积差四元集”。 k=1 ()若，求“1阶积差四元集”C,且满足 CES ()若k=2,是否存在“2阶积差四元集”M,N,使得MUN=T?若存在，求出所有集合M,N,若 不存在，说明理由 【答案】(1)S={3,45,67.T={12,34,567,8} （2)存在M=42,34,N={5,67,8,或M={5,67,8}.N={红，23,4.M={23,8} N={4,56,7},或M=4,56,7},N=12,38 【解析】 【分析】(1)根据交集及并集得出集合： (2)①)先由CcS得出m=2,再分类讨论求解；()先由-x,=2,得出 第17页/共20页 6学科网列组卷网 x和，一定是同奇数或同偶数，最后分类讨论得出集合。 【小问1详解】 因为x-11x+24≤0，解得3≤x≤8，又x∈N,所以B=3,45,6,78}」 所yS={34,56,7}.T={123,4,56,7,8} 【小问2详解】 因为C∈34,56,7} 若C=34,56,则-x=2,不满足题意； 若C=3,45,},则kx-xxm=1 满足题意： 若C=3,467乃，则-=3，不满足思意： 若C=3,567,则6-=9.不满足题点 若C=4,56,7},则x-xm=2 不满足题意： 综上， C={3,4,5,7} (ii)假设存在“2阶积差四元集”M,N, 因为K名-七=2，其必要条件是存在K6一x=2,所以七名和一定是同奇数或同偶数， 则 ①若M=35,,N=246,8},则MN均不合题意， ②若M=2,4m,川，N=6,8P,9,其中m,m,,q是奇数 则4m-2n=±2，即2m=n±1. 当n=1时，得m=1(舍)，或m=0(舍)； 第18页/供20页 6学科网6组卷网 当”=3时，得m=1,或m=2(舍)，此时M=2,34号，N=5,67,8} 且M,N均符合氏名-l=2 当n=5时，得m=3,或m=2(合)，此时M=23,45},N=L6,78},N不合器意： 当n=7时，相m=3,或m=4(合)，此时M=23,47},V=5,68},N不合盟意， ③若M=26,m,m,N=4,8p,g},其中m儿，q是奇数，则6m-2n=2,即3m=n士1，此 时L,n无解； ④考M={28,m,,N={4,6,P9},其中m,n,,g是奇数，则8m-2n=2,即4m=n±1 1 m= 当n=1时，得”2（舍），或m=0(舍)： 、1 当n=3时，得m=1,或m=2（舍)，此时M={12,38.N={456,7},且MN均符合 4min =2 当n=5时，得m=1,或m=2C舍)，此时M=L,2,5,8N=3,4,6,7乃，N不合 3 当n=7时， 得m=2(舍)，或m=2(舍)： 所以此时M=L23,4号.N=5,67,8或M=123,8,N=456,7y 同理M=567,8,N=12,34号或M=45,67},N=12,38,也满足题忘 综上，存在M=2,34号，N=56,7,8},或M={5,67,8},N=1,23,4 M=12,38,N={456,7,或M={4,56,7},N=1,23,8 第19页/供20页 命学科网组卷网 第20页/共20页