精品解析：安徽省蚌埠市2024-2025学年高二上学期期末学业水平监测数学试题

蚌埠市2024—2025学年度第一学期期末学业水平监测 高二数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 斜率为的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，其中，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3. 过点且方向向量为的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知正项等比数列的前项和为，若，则公比为（ ） A. B. C. 2 D. 3 5. 已知圆心在轴上移动的圆经过，且与轴，轴分别交于两个动点，过分别作轴，轴的垂线，两条垂线的交点记为，则点的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 6. 已知数列满足：，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为，点的坐标为在双曲线上，是的中垂线，若的周长与的周长之差为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知圆，下列说法正确的是（ ） A. 圆心的坐标为 B. 半径 C. 圆被直线截得弦长为 D. 直线与圆相切 9. 在平行六面体中，，,下列结论正确的是（ ） A. B. C. 可以作为空间的一个基底 D. 10. 已知数列满足：，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知点是点在坐标平面内的射影，则点的坐标为__________. 12. 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知经过点，且，则椭圆离心率为__________. 13. 已知实数满足等式，若存在实数满足不等式，则实数的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤. 14. 已知的三个顶点是. （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）过点作直线的垂线，求垂足的坐标. 15. 已知抛物线焦点为，点在上，且. （1）求抛物线的焦准距； （2）若在抛物线上，直线经过点，直线平行于轴，证明：直线经过焦点. 16. 已知等差数列和正项等比数列，的前项和为，且，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）若，求数列的前项和. 17. 如图，在直棱柱中，底面是边长为4的菱形.，分别是棱，的中点，. （1）求证：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为. （i）求到平面的距离； （ii）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆分别是的左，右顶点，点是上一点（与不重合），过原点的直线，满足，其中交于两点，交于两点，其中在轴上方，直线的斜率分别为. （1）求证：为定值； （2）判断是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，请说明理由； （3）如图，将椭圆沿所在直线翻折，使得平面平面.判断是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蚌埠市2024—2025学年度第一学期期末学业水平监测 高二数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 斜率为的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的斜率定义和倾斜角的范围易得. 【详解】设直线的倾斜角为，则，因，故得. 故选：D. 2. 已知向量，其中，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行列方程，由此求得的值. 【详解】由于，所以. 故选：A 3. 过点且方向向量为的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线的方向向量坐标可求出直线斜率，利用点斜式方程即得直线方程. 【详解】因直线的方向向量为，故其斜率为，又直线过点， 故其方程为：，即. 故选：A. 4. 已知正项等比数列的前项和为，若，则公比为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的前 项和公式可得 ，计算可得 的值，结合 的范围分析可得答案. 【详解】根据题意，等比数列 中， ， ， 则有 ， 又由 ， 则有 ， 又由数列 为正项等比数列，则 ， 则 ； 故选： C . 5. 已知圆心在轴上移动的圆经过，且与轴，轴分别交于两个动点，过分别作轴，轴的垂线，两条垂线的交点记为，则点的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】D 【解析】 【分析】设圆心坐标为，得到圆的方程为，再分别令和求得点P的坐标求解. 【详解】设圆心坐标为，则圆的方程为， 令，得或，则， 令，得，则， 所以， 所以， 所以点的轨迹为抛物线， 故选：D 6. 已知数列满足：，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求出，再对自小到大依次赋值，直至求得. 【详解】由可得， 又，可得，，， ，，，. 故选：A. 7. 已知双曲线的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为，点的坐标为在双曲线上，是的中垂线，若的周长与的周长之差为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据是的中垂线、的周长与的周长之差为及双曲线定义可得关于的方程组可得答案. 【详解】因为是的中垂线，所以，， 若的周长与的周长之差为， 则， 即，① 又，所以，② 且，③ 解①②③组成的方程组可得， 则双曲线的方程为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用是的中垂线、的周长与的周长之差得到关于的方程组求解. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知圆，下列说法正确的是（ ） A. 圆心的坐标为 B. 半径 C. 圆被直线截得弦长为 D. 直线与圆相切 【答案】BC 【解析】 【分析】根据圆的知识、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径， 所以A选项错误，B选项正确. 到直线的距离为， 所以圆被直线截得弦长为， 所以C选项正确. 到直线的距离为， 所以直线与圆相交，D选项错误. 故选：BC. 9. 在平行六面体中，，,下列结论正确的是（ ） A. B. C. 可以作为空间的一个基底 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，，，将用基底表示并两边平方结合向量数量积即可求得，可判断A；将分别用基底表示，并由向量数量积计算根据结果可判断B；用基底表示，并判断其是否共面即可判断C；将与分别用基底表示即可判断D. 【详解】设，，，则为空间的一个基底， 因为，， 所以，， 对于A，，得，故A正确； 对于B，，， ，可得，故B正确； 对于C，，，， 则，所以共面，不能作为空间的一个基底，故C不正确； 对于D， ，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知数列满足：，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用，通过分类讨论分析可判断A、B；由得，结合累加法得到，利用此结论推算可判断C、D. 【详解】对于A，当时，，又，，即时，，故，故A正确； 对于B，时，， 当时，， 综上，成立，故B正确； 对于C，由得，，通过累加法得 ，得 则； 所以，故C正确； 对于D，，， 所以， ，故D不正确. 故选：ABC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知点是点在坐标平面内的射影，则点的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间中的点在坐标平面内的射影点的坐标特征易得. 【详解】点在坐标平面内的射影点的横纵坐标保持不变，竖坐标为0， 即. 故答案为：. 12. 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知经过点，且，则椭圆离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据椭圆通径公式和几何性质求解. 【详解】根据题意，， 又，解得， 所以离心率. 故答案为： 13. 已知实数满足等式，若存在实数满足不等式，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由不等式配方后，将其理解为圆及其内部，结合圆，由题意两圆有公共点，根据两圆位置关系的判定方法即可求得参数的取值范围. 【详解】由配方得：， 它表示的平面区域是圆及其内部. 设， 依题意圆与圆有公共点，故， 即， 整理得：，解得. 故答案为： . 【点睛】关键点点睛：本题主要考查两圆位置关系的应用，属于难题. 解题的关键是正确理解题意中等式与不等式之间的关系，需将二元二次不等式配方后理解为一个圆和内部构成的平面区域，结合另一个二元二次方程，说明两圆有公共点，从而得解. 四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤. 14. 已知的三个顶点是. （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）过点作直线的垂线，求垂足的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两点式来求得正确答案. （2）求的直线的方程，通过联立方程组来求得的坐标. 【小问1详解】 中点为，由直线两点式方程， 故边上的中线所在直线的一般方程为. 【小问2详解】 由题意知，，则垂线的斜率， 故直线的方程为，即， 直线的方程为，即 联立和方程，解得垂足. 15. 已知抛物线焦点为，点在上，且. （1）求抛物线的焦准距； （2）若在抛物线上，直线经过点，直线平行于轴，证明：直线经过焦点. 【答案】（1）2 （2） 如图， 由（1）知，直线方程为， 由解得，即得， 因轴，故在中令，解得，即得， 所以直线方程为， 焦点在直线上，即直线经过点. 【解析】 【分析】（1）利用抛物线得焦半径公式求出的值即可； （2）依题写出直线方程，与抛物线方程联立求出点，又由平行于轴，可求得，写出直线的方程，易得其经过点. 【小问1详解】 由， 得，即抛物线的焦准距为2. 【小问2详解】 略 16. 已知等差数列和正项等比数列，的前项和为，且，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）若，求数列的前项和. 【答案】（1），. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设的公差为，的公比为，利用题设条件列出方程组，求出基本量，写出通项公式即可； （2）利用错位相减法即可求得； （3）按照奇数项和偶数项分组求和即得. 【小问1详解】 设的公差为，的公比为， 由，可得：， 解得，故， 由，可得：， 又，故，解得，故. 【小问2详解】 易知， ，① ② 由 ， 故. 【小问3详解】 因数列为等差数列，故数列也是等差数列，故 ， 又数列为等比数列，故数列也是等比数列，故 ， 故数列的前项和为. 17. 如图，在直棱柱中，底面是边长为4的菱形.，分别是棱，的中点，. （1）求证：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为. （i）求到平面的距离； （ii）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为直棱柱，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，，，平面， 故平面， 又平面，所以. （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由直棱柱证，结合条件，证明平面，故得； （2）（i）以为坐标原点建系，设，求出相关点和向量的坐标，利用空间向量夹角的公式列方程，求出，再利用点到平面的空间距离的向量公式计算即得. （ii）利用（i）已得，可求出平面与平面的法向量，利用空间向量夹角的公式计算即得两平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系. 设.因，则,，故， 则 因是棱的中点，故， 于是，，. 设平面的法向量为， 由则可取，, 设与平面所成角为， 则， 解得，此时，，且, 故点到平面的距离. （ii）设平面的法向量为， 由则可取， 因为， 故平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆分别是的左，右顶点，点是上一点（与不重合），过原点的直线，满足，其中交于两点，交于两点，其中在轴上方，直线的斜率分别为. （1）求证：为定值； （2）判断是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，请说明理由； （3）如图，将椭圆沿所在直线翻折，使得平面平面.判断是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，请说明理由. 【答案】（1）易知，设，则 则， 又因为，故 （2）是，20 （3）是，18 【解析】 【分析】（1）设，利用在椭圆上直接计算可得； （2）设，代入椭圆方程求得交点坐标，再计算可得； （3）写出折叠后各点的空间坐标，由空间两点间距离公式再计算可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，联立解得， 同理，得， 由椭圆对称性得， 【小问3详解】 易知，， . 【点睛】方法点睛：一般直线与椭圆相交中的定值问题，解题方法是设直线方程，设交点坐标是，直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理得，然后由交点坐标计算要求定值的量，代入韦达定理的结论化简即可得．本题中直线过原点，因此直接设出直线方程代入椭圆方程求得交点坐标，再计算即可得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $