精品解析：浙江省嘉兴市 2024-2025学年九年级数学上学期期末试卷

九年级（上）学科期末检测 数学 试题卷 【考生须知】1．本卷为试题卷，请将答案写在答题卷上． 2．本次检测不使用计算器． 一、选择题（每小题有4个选项，其中有且只有一个正确，请把正确选项的代码填入答题卷的相应空格，每小题3分，共30分） 1. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：二次函数图象的顶点坐标是， 故选：B． 2. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d>r. 解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符. 故选D. “点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系. 3. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 两个负数的和是正数 B. 在一个只装有黑球的袋中摸出白球 C. 任意画一个三角形，内角和为 D. 抛掷一枚硬币，正面朝上 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件的识别，正确理解随机事件、必然事件、不可能事件的定义是解题的关键．根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义分别分析各选项，即可得出结论． 【详解】A.两个负数的和是正数，是不可能事件，不符合题意； B.在一个只装有黑球的袋中摸出白球，是不可能事件，不符合题意； C.任意画一个三角形，内角和为，是必然事件，不符合题意； D.抛掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，符合题意； 故选：D 4. 已知，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 根据比例的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， 故选：A． 5. 如图，与是位似图形，点为位似中心，．若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似图形的概念，相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据根据位似图形的概念得到，证明，根据相似三角的形的性质得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，计算即可． 【详解】解：与是位似图形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C ． 6. 小华同学根据学习二次函数的经验，用描点法画出了函数的图象．由图象可知，方程的实数根有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象及方程的根，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．根据函数图像直接得出结论． 【详解】观察函数的图象可知， 图象与直线有3个交点， ∴方程的实数根有3个 故选：C 7. 沈括在《梦溪笔谈》中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，主要思路是局部以直代曲，进行近似计算．如图，是以为圆心、为半径的圆弧，是弦的中点，是的中点，则长度的近似值．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由是弦的中点，根据垂径定理得到，；由是的中点，根据垂径定理得到；根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，得到点O，C，D三点共线，设，则，后根据勾股定理得到，求得的大小，代入公式计算即可． 本题考查了垂径定理及其推论，勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵点是弦的中点， ∴，； ∵是的中点， ∴； 根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，得到点O，C，D三点共线， 设，则， ∴， 解得； ∴， ∴， 故选：A． ． 8. 如图，是的直径，是的弦，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据是的直径，得到，根据，得到，解答即可． 本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 9. 如图，由四个全等的直角三角形和小正方形拼成正方形，连接交于．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，证明，得出，根据勾股定理得出，求出，得出，根据勾股定理得出． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵为直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵图中为四个全等的直角三角形， ∴， ∴， ∵正方形中， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 已知二次函数，当时函数值有最小值，且函数图象向右平移3个单位后经过坐标原点，则的值为（ ） A. B. 或 C. 或1 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象的平移，由二次函数图象平移的规律得，由经过原点得，由抛物线的对称轴为直线，①当时，②当时，由二次函数的性质，即可求解；能熟练利用二次函数的性质求最值是解题的关键． 【详解】解：向右平移3个单位， 经过原点， ， 整理得：， ， 二次函数的对称轴为直线， ①当时， 当时函数值有最小值， 当时，， ， ， 解得：； ②当时， ， 当时，， ， ， 解得：； 综上所述：的值为或1． 故选：C． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 正六边形的每个内角等于______________°． 【答案】120 【解析】 【详解】解：六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°， ∴正六边形的每个内角为：， 故答案为：120 12. 在相同条件下对某品种绿豆进行发芽试验，得到如下的数据： 每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数 96 282 382 570 949 1902 2850 发芽频率 则估计这种绿豆的发芽概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了频率估计概率，熟练掌握大量反复试验下频率会逐渐稳定在某个值附近是解题的关键．根据表格中绿豆发芽的频率，估计出概率即可． 【详解】解：根据表格中的数据可知，绿豆个数越多，发芽的频率越稳定在附近， ∴这种绿豆的发芽概率是． 故答案为：． 13. 如图，将矩形对折后展开，得到矩形和矩形，记．若矩形与矩形相似，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似多边形，根据相似多边形的对应边成比例，列式计算即可． 【详解】解：∵对折， ∴， ∵矩形与矩形相似， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍掉）； 故答案为：． 14. 如图，的两条中线相交于点，过点作交于点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的三角形相似问题，利用三角形中位线性质与平行线的性质得到相似三角形是解题关键．根据题意得，和，可证，有，由得，设，则，，即可求得比值． 【详解】解：∵、是的中线，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴． 故答案为：． 15. 在直角坐标系中，已知点，，点在线段上，设，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，得到n与m的关系是解题是关键．求得直线的解析式，由题意得到，则，结合二次函数的性质即可求得最值． 【详解】解：设直线为， ∵点，， ∴， 解得， ∴直线为， ∵点在线段上， ∴， ∴， ∵， ∴当时，t有最大值为． 故答案为：． 16. 如图，将沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心，且与弦相交于点，，连结．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】作半径于D，连接，，根据折叠的性质可得，根据正弦的定义可求出，根据三角形内角和定理、圆周角定理等可求出，，则可证是等边三角形，得出，，过B作于E，根据等腰三角形的性质得出，，根据含角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理得出，解方程即可求解． 【详解】解∶如图，作半径于D，连接，， ∵将沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 过B作于E， ∴，， ∴， ∴， 又，， ∴， 在中，， ∴， ∴(负值舍去)， ∴， 故答案为∶ ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，折叠的性质，含角的直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识，证明是等边三角形是截图的关键． 三、解答题（本题有8小题，第17～22题每题6分，第23、24题每题8分，共52分） 17. 已知二次函数． （1）求函数图象与坐标轴的交点坐标． （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）与轴的交点坐标为，与轴的交点为， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点以及根据交点确定不等式的解集，熟记相关知识及求解方法即可； （1）分别令、即可求解； （2）根据抛物线开口向上，与轴的交点为，即可求解； 【小问1详解】 解：∴令，则； ∴与轴的交点坐标为， 令，解得：，， 与轴的交点为，． 【小问2详解】 解：∵抛物线开口向上，与轴的交点为，． ∴当时，的取值范围是或． 18. 一个不透明的布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球． （1）从中随机摸出一个球，求摸出的球是红球的概率． （2）从中随机摸出一个球，放回后摇匀，再随机摸出一个球，请用树状图或列表法，求两次摸出的球颜色相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算，列举法求概率．正确的画树状图是解题的关键． （1）利用概率公式计算求解即可； （2）根据题意画树状图，然后求概率即可． 【小问1详解】 由题意知，从袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率为． 【小问2详解】 记三个红球为， 依题意画树状图如下： 共有16种等可能的结果， 其中两次摸出的球颜色相同共有10种等可能的结果， ∵， ∴两次摸出的球颜色相同的概率为． 19. 如图，在中，是边上的一点，且． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理和性质是解题关键． （1）根据“两个角分别相等的两个三角形相似”即可证明； （2）根据相似三角形的性质得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，即， ， ． 20. 如图，是正三角形． （1）用直尺和圆规作它的外接圆（保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，连结，．若，求扇形的面积． 【答案】（1） 作图如图所示，即为所求作的的外接圆． （2）扇形的面积为 【解析】 【分析】本题考查了作图—线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，圆周角定理和扇形的面积，熟练掌握线段垂直平分线的性质和扇形的面积公式是解题的关键． （1）作线段和的垂直平分线，它们的交点为O，然后以O点为圆心，为半径画圆即可； （2）根据圆周角定理得到，再利用扇形面积公式即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 扇形的面积为． 21. 如图为一座拱桥的示意图，桥洞的拱形是抛物线，已知水面宽，桥洞顶部离水面． （1）请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． （2）若有一艘船的宽度为，高度为，则这艘船能否从该桥下通过？ 【答案】（1） 按如图方式建立直角坐标系（答案不唯一）， （2）能通过 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是建立平面直角坐标系，熟练掌握待定系数法． （1）先建立平面直角坐标系，然后用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）把代入抛物线解析式，求出，然后作出判断即可． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为：， 把代入，得， 解得：， ． 【小问2详解】 解：当时，， 能通过． 22. 如图1，中，，，，分别取，的中点，，连结．如图2，将图1中的绕点逆时针旋转，连结，． （1）在旋转过程中，与之间存在怎样的数量关系？ （2）当点落在边上时（如图3），求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可得，由图1中的、分别为、的中点可得，，进而可得，由旋转的性质可得，进而可得，于是可证得，由相似三角形的性质可得，由此即可得出结论； （2）由三角形的中位线定理可得，，，，由两直线平行同位角相等可得，由旋转的性质及邻补角互补可得，由（1）可得，，则，由勾股定理可得，然后根据即可求出的长． 【小问1详解】 解：如图2，当点不在直线上时， ，，， ， 图1中的、分别为、的中点， ，， ， ， ， ， ， ， 答：在旋转过程中，与之间始终保持； 【小问2详解】 解：图1中的、分别为、的中点， ，，，， ， 如图3， 点在上， ， 由（1）可得：，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，线段中点的有关计算，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，两直线平行同位角相等，利用邻补角互补求角度，线段的和与差等知识点，熟练掌握旋转的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 23. 我们规定：在直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则这个点叫做“点”．如就是“点”． （1）任意写一个二次函数，使它的图象上存在“点”． （2）已知二次函数． ①求证：该函数图象上一定存在两个“点”． ②若这两个“点”的横坐标分别是，且，求的取值范围． 【答案】（1）（答案不唯一） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，正确理解题意是解题关键． （1）对于任意二次函数，若其图象上存在“点”，则方程有解；即：方程有解；推出即可求解； （2）①令，则，根据即可求证；②设，由题意得函数图象与轴相交于点，，根据该函数图象开口向上，且，可推出当时，即，即可求解； 【小问1详解】 解：对于任意二次函数，若其图象上存在“点”， 则方程有解； 即：方程有解； ∴； 二次函数满足要求； 【小问2详解】 解：①令，则， ， 一定存在两个“点”． ②设， 是的解， 函数图象与轴相交于点，， 该函数图象开口向上，且， 当时，即， ． 24. 如图，中，，，点分别在边上，且．经过点的分别交边于点，连结． （1）求证：． （2）若，，求的长． （3）如图，连结，若，请直接写出的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）． 【解析】 【分析】连结，根据可知是直径，从而可得，根据可得，所以可证，根据同圆或等圆中同弧或等弧所对的弦相等可证； 利用勾股定理可以求出，设，则，可得，，则有，根据圆内接四边形对角互补可得，所以可证，根据相似三角形对应边成比例可得，解方程求出，根据可求结果； 根据可证，根据圆内接四边形的性质和平行线的性质可证，根据等角对等边可证，设，，则有，整理可得． 【小问1详解】 证明：如下图所示，连结， ， 是直径， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如下图所示， ，， ， 设，则， ， 由可知， ， ， ，， ， 又， ， ， ， 解得：， ； 【小问3详解】 解：． 理由如下， 由、得：， ， ， ， ， ， ， 又， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ． 设，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、圆的基本性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是根据图形的性质找到边、角之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）学科期末检测 数学 试题卷 【考生须知】1．本卷为试题卷，请将答案写在答题卷上． 2．本次检测不使用计算器． 一、选择题（每小题有4个选项，其中有且只有一个正确，请把正确选项的代码填入答题卷的相应空格，每小题3分，共30分） 1. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 两个负数的和是正数 B. 在一个只装有黑球的袋中摸出白球 C. 任意画一个三角形，内角和为 D. 抛掷一枚硬币，正面朝上 4. 已知，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与是位似图形，点为位似中心，．若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 小华同学根据学习二次函数的经验，用描点法画出了函数的图象．由图象可知，方程的实数根有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 沈括在《梦溪笔谈》中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，主要思路是局部以直代曲，进行近似计算．如图，是以为圆心、为半径的圆弧，是弦的中点，是的中点，则长度的近似值．若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，是的弦，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，由四个全等的直角三角形和小正方形拼成正方形，连接交于．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数，当时函数值有最小值，且函数图象向右平移3个单位后经过坐标原点，则的值为（ ） A. B. 或 C. 或1 D. 1 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 正六边形的每个内角等于______________°． 12. 在相同条件下对某品种绿豆进行发芽试验，得到如下的数据： 每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数 96 282 382 570 949 1902 2850 发芽频率 则估计这种绿豆的发芽概率是______． 13. 如图，将矩形对折后展开，得到矩形和矩形，记．若矩形与矩形相似，则______． 14. 如图，的两条中线相交于点，过点作交于点，则的值为______． 15. 在直角坐标系中，已知点，，点在线段上，设，则的最大值为______． 16. 如图，将沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心，且与弦相交于点，，连结．若，则的长为______． 三、解答题（本题有8小题，第17～22题每题6分，第23、24题每题8分，共52分） 17. 已知二次函数． （1）求函数图象与坐标轴的交点坐标． （2）当时，直接写出的取值范围． 18. 一个不透明的布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球． （1）从中随机摸出一个球，求摸出的球是红球的概率． （2）从中随机摸出一个球，放回后摇匀，再随机摸出一个球，请用树状图或列表法，求两次摸出的球颜色相同的概率． 19. 如图，在中，是边上的一点，且． （1）求证：． （2）若，，求的长． 20. 如图，是正三角形． （1）用直尺和圆规作它的外接圆（保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，连结，．若，求扇形的面积． 21. 如图为一座拱桥的示意图，桥洞的拱形是抛物线，已知水面宽，桥洞顶部离水面． （1）请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． （2）若有一艘船的宽度为，高度为，则这艘船能否从该桥下通过？ 22. 如图1，中，，，，分别取，的中点，，连结．如图2，将图1中的绕点逆时针旋转，连结，． （1）在旋转过程中，与之间存在怎样的数量关系？ （2）当点落在边上时（如图3），求的长． 23. 我们规定：在直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则这个点叫做“点”．如就是“点”． （1）任意写一个二次函数，使它的图象上存在“点”． （2）已知二次函数． ①求证：该函数图象上一定存在两个“点”． ②若这两个“点”的横坐标分别是，且，求的取值范围． 24. 如图，中，，，点分别在边上，且．经过点的分别交边于点，连结． （1）求证：． （2）若，，求的长． （3）如图，连结，若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $