精品解析：广东省茂名市电白区2024-2025学年高一上学期期末质量监测数学试卷

2024-2025学年度第一学期期末质量监测 高一数学 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1 已知集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. “函数满足”是“函数在区间上有零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知角的终边在直线上，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 4. 当取得最小值时，（ ） A. 0 B. 1 C. D. 5. 若与（且，，）互为相反数，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，①②③④中不属于函数的一个是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 7. 函数，的图象与直线的交点个数为（ ） A. B. C. D. 8. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 给定函数用表示中最大者，记为，则（ ） A. 函数的单调递增区间是 B. 函数无最大值 C. 函数的最小值为1 D. 10. 已知函数是定义在上且周期为的偶函数，当时，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 11. 已知函数，则下列命题正确的是（ ） A. 若在上单调递增，则的取值范围是 B. 若在上恰有3个零点，则的取值范围是 C. 若在上的值域为，则的取值范围是 D. 若在上有最大值，没有最小值，则的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，为第四象限角，则__________． 13. 已知，则的最小值为__________． 14. 若函数在内恰有一个零点，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1） （2） 16. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为． （1）求的值； （2）若，求的坐标． （3）分别计算和的值，根据计算结果，请你提出一个猜想，并证明你的猜想． 17. 对于函数， （1）若函数是增函数，求的取值范围； （2）是否存在实数使函数为奇函数？ 18. 2023年金年中国新能源汽车产销量分别达到958.7万辆和949.5万辆，比分别增长和；我国新能源汽车产销量占全球比重超过，连续9年位居世界第一位．新能源汽车出口120.3万辆、同比增长，均创历史新高．2024年中国数家车企推出多款电动新能源汽车，引起市场轰动，电动新能源汽车还逐步成为人们购车的热门选择．有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量P（单位：）与速度v（单位：）的数据如下表所示： v 60 70 80 90 100 110 120 P 8 104 13.2 164 20 24 28.4 为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量P与速度v的关系，现行以下两种函数模型供选择：①，②． （1）请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式； （2）李华驾驶一辆同型号电动汽车从银川出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的甘肃省天水市秦安县．出发前汽车电池存量为，汽车到达秦安县后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）．已知该高速公路上服务区有功率为的充电桩（充电量=充电功率×充电时间），若不充电，该电动汽车能否到达秦安县？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从银川到达秦安县所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值（结果保留一位小数） 19 函数. （1）若的定义域为，求实数a的取值范围； （2）当时，为定义域为的奇函数，且时，， ①求的解析式 ②若关于x的方程恒有两个不同的实数根，求t的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期期末质量监测 高一数学 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性，可求得集合，根据集合的交集运算，即可求得答案. 【详解】因为是上单调递增函数，故时，， 故， 是R上的减函数，故时，， 即， 故， 故选：A 2. “函数满足”是“函数在区间上有零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】运用充分条件，必要条件概念，结合零点存在性定理判断即可. 【详解】若函数满足， 根据零点存在定理，如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线， 并且有，那么函数在区间内有零点. 但是这里并没有说明函数在区间上的图象是连续不断的， 比如函数，当，时，， 但在上没有零点. 所以“函数满足”不能推出“函数在区间上有零点”，充分性不成立. 若函数在区间上有零点，比如函数在区间上有零点，此时. 这说明“函数在区间上有零点”不能推出“函数满足”，必要性不成立. “函数满足”是“函数在区间上有零点”既不充分也不必要条件. 故选：D. 3. 已知角的终边在直线上，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得余弦值不为零，取直线上非原点的任一点，利用正弦函数与余弦函数的定义，可得答案. 【详解】由题知， 设角的终边上一点，则. 当时，，，， 所以； 当时，，，， 所以. 故选：C. 4. 当取得最小值时，（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对式子进行变形转化，再利用完全平方的非负性，结合基本不等式等知识来找到取得最小值时的情况. 【详解】将变形为. 设（），那么式子就变为. 根据均值不等式则，当且仅当时等号成立. 由（），即，解得（舍去，因为）. 当时，也就是，那么，所以. 当取得最小值时，. 故选：A. 5. 若与（且，，）互为相反数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数的性质对已知条件进行转化，从而得出与满足的等式. 【详解】因与互为相反数，则，即得. 故选：C. 6. 如图，①②③④中不属于函数的一个是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的图象性质与底数之间的关系判断即可. 【详解】根据题意函数中两个底数，图象单调递增，故③，④满足题意. 根据增长规律，“在定点右边，顺时针底数越来越大”，知道③对应，④对应. 由于函数，则它与关于x轴对称，且①与④关于x轴对称.故函数图象为①. 则②不属于函数的一个. 故选：B. 7. 函数，的图象与直线的交点个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】数形结合可得出结果. 【详解】作出函数，的图象与直线的图象如下图所示： 由图可知，函数，的图象与直线有个交点. 故选：D. 8. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过构造函数或者利用对数的运算性质转换来逐步分析它们的大小. 【详解】比较和，采用作差法，将和转化为同底数形式来比较. 利用换底公式，则，. 计算. 根据基本不等式，对于和，有. 而，即. 所以，也就是，即. 比较与的大小，同样利用换底公式，，. 计算. 由基本不等式，对于和，. 且，即. 所以，也就是，即. 综上可得. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 给定函数用表示中的最大者，记为，则（ ） A. 函数的单调递增区间是 B. 函数无最大值 C. 函数的最小值为1 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先求出的表达式，再分析其单调性、最值等性质.通过比较与的大小来确定在不同区间的表达式，然后根据表达式来分析各个选项. 【详解】令，即. 解这个不等式，可得. 所以当时，. 令，即. 解这个不等式，可得或. 所以当或时，. 综上，. 分析选项A，对于，其对称轴为，在上单调递减，在上单调递增. 对于，在上单调递增. 所以的单调递增区间是，A选项错误. 分析选项B，当时，（时）或（时），的值会无限增大，所以无最大值，B选项正确. 分析选项C，当时，；当时，. 且在的整个定义域内，在处取得最小值，C选项正确. 分析选项D，当时，因为，所以，D选项错误. 故选：BC. 10. 已知函数是定义在上且周期为的偶函数，当时，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 【答案】AC 【解析】 【分析】首先利用函数的奇偶性和周期性将所给区间外的自变量转化到已知区间内，再根据已知区间的函数表达式来判断各选项的正确性. 【详解】已知函数是偶函数，则，所以. 当时，，那么，所以，选项正确. 由于函数周期为，则. 因为函数是偶函数，所以. 当时，，那么，所以选项错误. 当时，. 因为函数是偶函数，所以，已知当时，，那么，选项正确. 当时，. 因为函数周期为，所以. 由前面选项可知当时，，那么，所以选项错误. 故选：AC. 11. 已知函数，则下列命题正确的是（ ） A. 若在上单调递增，则的取值范围是 B. 若在上恰有3个零点，则的取值范围是 C. 若在上的值域为，则的取值范围是 D. 若在上有最大值，没有最小值，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】把的范围求出来，看成一个整体，再利用正弦曲线的性质，即可得到范围的判断. 【详解】对于A，当时，， 又在上单调递增，所以，可得，故A正确； 对于B，当时，，若在上恰有3个零点， 则，所以，故B错误； 对于C，由题意得，即，故C正确； 对于D，由题意得，解得，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，为第四象限角，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据同角三角函数关系得出,最后求出正切值即可. 【详解】，又因为为第四象限角，所以， 则． 故答案为:. 13. 已知，则最小值为__________． 【答案】20 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值即得. 【详解】，而，则， 当且仅当时取等号，所以所求最小值为20. 故答案为：20 14. 若函数在内恰有一个零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据判别式结合零点存在原理分类讨论即可. 【详解】当时，，解得，符合题意，则； 当时，二次函数的判别式为：， 若，即时，函数的零点为，符合题意，则； 当，即时，由，解得且， 则且； 当时，，方程另一根，当时， ，方程中一根，则或， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】（1）根据对数运算律计算求值； （2）应用根式及分数指数幂的运算律计算求值. 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 . 16. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为． （1）求的值； （2）若，求的坐标． （3）分别计算和的值，根据计算结果，请你提出一个猜想，并证明你的猜想． 【答案】（1） （2） （3）；猜想：，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义可得，再由诱导公式化简，利用齐次式弦切互化即可代入求解； （2）根据，利用诱导公式即可结合三角函数的定义求解； （3）求出，再猜想，结合同角三角函数关系式证明即可. 【小问1详解】 因为点在单位圆上且，所以且， 解得，即， 故， 故原式． 【小问2详解】 由题意，故， ，故． 【小问3详解】 由（1）知， 所以． 根据计算结果猜想：. 证明：， 故猜想成立． 17. 对于函数， （1）若函数是增函数，求的取值范围； （2）是否存在实数使函数为奇函数？ 【答案】（1） （2）存在 【解析】 【分析】（1）根据增函数的定义求参数的取值范围. （2）根据奇函数的定义求参数的值. 【小问1详解】 函数的定义域为，在上任取且， 若函数是增函数，则，即， 故 ∵，∴． 所以，的取值范围是． 【小问2详解】 假设存在实数使函数为奇函数， 则，都有． 所以，，即， 所以， 所以时函数为奇函数． 18. 2023年金年中国新能源汽车产销量分别达到958.7万辆和949.5万辆，比分别增长和；我国新能源汽车产销量占全球比重超过，连续9年位居世界第一位．新能源汽车出口120.3万辆、同比增长，均创历史新高．2024年中国数家车企推出多款电动新能源汽车，引起市场轰动，电动新能源汽车还逐步成为人们购车的热门选择．有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量P（单位：）与速度v（单位：）的数据如下表所示： v 60 70 80 90 100 110 120 P 8 10.4 13.2 16.4 20 24 28.4 为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量P与速度v的关系，现行以下两种函数模型供选择：①，②． （1）请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式； （2）李华驾驶一辆同型号电动汽车从银川出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的甘肃省天水市秦安县．出发前汽车电池存量为，汽车到达秦安县后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）．已知该高速公路上服务区有功率为的充电桩（充电量=充电功率×充电时间），若不充电，该电动汽车能否到达秦安县？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从银川到达秦安县所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值（结果保留一位小数） 【答案】（1）选择函数模型②，解析式为 （2）该车不在服务区充电不能到达秦安县；小时 【解析】 【分析】（1）由表格中的数据，由增长速度可知，选择函数模型②，代入数据计算系数可得函数解析式； （2）设耗电量为，则， 由单调性的定义可得在区间单调递增，的，所以该车不在服务区充电不能到达秦安县；设行驶时间与充电时间分别为，总和为，由，可得，利用基本不等式即可求得所用时间的最小值. 【小问1详解】 由表格中所列数据，与的函数关系，在定义域内单调递增， 由增长速度可知，选择函数模型②， 由题意有：解得： 所以. 【小问2详解】 设耗电量为，则， 任取， ， 由，，，， 则有，即， 所以函数在区间单调递增， ， 即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车不在服务区充电不能到达秦安县； 又设行驶时间与充电时间分别为，总和为，若能到达秦安县， 则初始电量+充电电量-消耗电量保障电量， 即，解得， 所以总时间， 当且仅当，即时取等，所以该汽车到达秦安县的最少用时约为小时. 【点睛】方法点睛： 函数模型的选择有： 一、观察法寻找自变量与函数值的变化规律，如线性关系较明确的，可直接待定系数法求出解析式； 二、对于规律不明显的，则要先作出散点图（作图要恰当选择单位等），再观察散点图的特征，看这些点的分布最近接哪类初等函数，一般有直线型的，指数型的，正（余）弦波型的等，选一个或2个模型带入比较，最后确定一个误差较小的． 在解决一般应试题时，一定要仔细研读题意，并且注意联系实际生活常识（或现有理论）等，一步到位的选择模型． 19. 函数. （1）若的定义域为，求实数a的取值范围； （2）当时，为定义域为奇函数，且时，， ①求的解析式 ②若关于x的方程恒有两个不同的实数根，求t的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由函数定义域为，推得恒成立，只需求的值域即得. （2）①先求出时的的解析式，再利用函数奇偶性求得时的解析式，结合，即得分段函数的解析式； ②结合的解析式，将方程等价转化成，再利用在上的单调性，并化简得到，最后利用双勾函数的值域求得的取值范围. 【小问1详解】 因的定义域为，故恒成立，即恒成立， 设，则， 在上单调递增， 则，即，故，即. 【小问2详解】 ①因，则当时，； 若，则，， 又因为为定义域为的奇函数，所以当时，， 故； ②方程等价于， 根据解析式可知，当时，， 当时，，当时，， 即，，故方程即为， 由于在上是单调递增函数， 故方程等价于，即：， 当时，函数在单调递减，在上单调递增， 而，故要使得有两个不同的实数解，须使，即； 当时，同理可得. 综上可得，. 【点睛】思路点睛：本题主要考查求解分段函数的解析式和方程的根与函数零点关系的综合运用，属于难题. 解题思路为：求解分段函数解析式时，注意不重不漏，利用函数奇偶性求解并正确书写；对于函数与方程的关系，一般要有等价转化思想，巧妙运用函数奇偶性和单调性将其转化为求解函数的值域问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$