精品解析：广东省东莞松山湖区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2024—2025学年度第一学期期末考试 九年级数学试卷 考试时间：120分钟 总分：120分 一、单选题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 垃圾分类一小步，低碳生活一大步，垃圾桶上常有以下四种垃圾分类标识的图案和文字说明，其中图案是中心对称图形的是( ) A. 有害垃圾 B. 厨余垃圾 C. 其它垃圾 D. 可回收物 【答案】A 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转后与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与自身重合．理解和掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 2. 下列语句所描述的事件是必然事件的是（ ） A. 任画一个三角形，它一定有内心 B. 奥运射箭冠军射击一次，命中靶心 C. 抛一枚均匀的硬币2次，反面向上的次数为1次 D. 掷一个质地均匀的正方体骰子（六个面分别有1到6个点），点数为7 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握其概念是解题的关键． 根据必然事件、随机事件等概念进行判断即可． 【详解】解：A．任画一个三角形，它一定有内心，是必然事件，故本选项符合题意； B．奥运射箭冠军射击一次，命中靶心，是随机事件，故本选项不符合题意； C．抛一枚均匀的硬币2次，反面向上的次数为1次，是随机事件，故本选项不符合题意； D．掷一个质地均匀的正方体骰子（六个面分别有1到6个点），点数为7，是不可能事件，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 已知点与点关于原点对称，则n的值为（ ） A. 6 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的点的坐标横坐标与纵坐标分别互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特征，可得，，即可求解． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 故选：D． 4. 已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由根与系数的关系可知，以，为根的一元二次方程是， 故选A． 考点：根与系数的关系． 5. 已知关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，熟知一元二次方程有两个不相等是实数根；一元二次方程有两个相等是实数根；一元二次方程没有实数根是解决问题的关键．根据方程有实数根，得出，解不等式即可． 【详解】解∶∵方程有实数根， ∴， ∴， 故选：D． 6. 在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的图像的平移，掌握函数图像平移的法则“上加下减，左加右减”是解答本题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线为 ， ∴顶点坐标为， 故选：A． 7. 如图，、分别切于A、B两点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，连接，根据切线的性质，结合四边形的内角和，求出的度数，再利用圆周角定理进行求解即可． 详解】解：连接，由题意，得：， ∴， ∴； 故选C 8. 在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意及相似三角形的判定定理可知，当是的垂线时，即时，，然后根据作图痕迹逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：当是的垂线时，即时，，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 根据作图痕迹可知： 选项中，是边的中线，不与垂直，故选项不符合题意； 选项中，是的垂线，故选项符合题意； 选项中，是平分线，不与垂直，故选项不符合题意； 选项中，不与垂直，故选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质，相似三角形的判定，作垂线（尺规作图），作角平分线（尺规作图）等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理及尺规作图的方法是解题的关键． 9. 如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点A，B在x轴上，顶点F在y轴上，若，则中心P的坐标为（ ） A. B. （1，） C. （2，2） D. （3，2） 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了正多边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，连接，作于Q，由正六边形的性质得到，得到，勾股定理求出，再证得四边形是矩形，得到，即可得到点P的坐标 【详解】如图，连接，作于Q， 由正六边形的性质可得． 在中，． ∴． ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∴点P的坐标为． 10. 如图，抛物线m：与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，将抛物线m绕点B旋转，得到新的抛物线n，它的顶点为，与x轴的另一个交点为．若四边形为矩形，则a，b应满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，再求出，，根据矩形性质得，即可求解． 【详解】解：在抛物线中，令，得， ∴， 令，得， ∴， ∴，， ∴，， 由旋转的性质知，C、B、三点共线， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B 【点睛】本题主要考查了二次函数与矩形综合，涉及二次函数图象和性质，旋转的性质，矩形性质等知识点，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 关于x的一元二次方程的一个根是1，则k的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键． 根据题意将根代入方程，求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根是1， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 圆锥的侧面积为，底面圆的半径为，则这个圆锥的母线长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是圆锥的侧面积的计算公式，熟练掌握圆锥侧面积的计算公式是解题的关键． 根据圆锥的侧面积的计算公式计算即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 则， 解得， 故答案为：2． 13. 如图，与是位似图形，且，则与的面积比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查位似图形，相似三角形的性质，根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形， ∴，相似比为：； ∴与的面积比为； 故答案为：． 14. 如图，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求解 再利用线段的和差可得答案． 【详解】解：由题意可得： 同理： 故答案为： 【点睛】本题考查的是锐角的正切的应用，二次根式的减法运算，掌握“利用锐角的正切求解三角形的边长”是解本题的关键． 15. 如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转，点B的对应点为，连接，若，则图中阴影部分的面积是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查计算不规则图形的面积，设旋转后与半圆O交于点C，连接，根据求解即可． 【详解】解：设旋转后与半圆O交于点C，连接，过点C作于点D，如图， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题一（共3小题，满分21分，每小题7分） 16. （1）解方程：； （2）如图，弧的长为，圆心角，求此弧所在圆的半径r． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，已知弧长求半径： （1）移项后，利用因式分解法解方程即可； （2）根据弧长公式，进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， ， ∴， ∴； （2）由题意，， ∴， 答：弧所在圆的半径为． 17. 如图，等边的边长为1，将绕点C顺时针旋转到，点A，C，E三点共线． （1）旋转角的度数______； （2）连接，求的长． 【答案】（1）120 （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理： （1）根据旋转的性质结合平角的定义，得到，即可； （2）设交于点，三线合一，结合30度的直角三角形的性质和勾股定理，求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵等边， ∴，， ∵点A，C，E三点共线， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转到， ∴的度数即为旋转角的度数，即：旋转角的度数为； 故答案为：120； 【小问2详解】 设交于点， ∵将绕点C顺时针旋转到， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字，，；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为． （1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标； （2）求点在函数的图象上的概率． 【答案】（1）树状图见解析，，，，，，，，， （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法、利用概率公式计算事件的概率，熟练掌握列表法与树状图法、以及概率公式计算事件的概率是解题的关键． （1）通过树状图展示所有9种等可能的结果数即可； （2）找出满足点落在函数的图象上的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示， 故共有9种可能，即，，，，，，，，． 【小问2详解】 解：∵点在函数的图象上的有，， ∴点在函数的图象上的概率为：． 四、解答题二（共3小题，满分27分，每小题9分） 19. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 m 0 3 … （1）______； （2）求这个二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出它的图象； （3）当时，直接写出y的取值范围：______． 【答案】（1）0 （2），图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，求出函数解析式，准确的画出图象是解题的关键： （1）根据对称性求出的值即可； （2）待定系数法求出函数解析式，描点，连线画出函数图象即可； （3）根据图象，写出y的取值范围即可． 【小问1详解】 解：由表格可知：和的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∴和的函数值相同，即：； 小问2详解】 由（1）可知：抛物线的顶点坐标为：， ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：，解得：； ∴； 根据题干表格中的数据，描点，连线，画出函数图象如图： 【小问3详解】 由图象可知：当时： 时，函数取得最小值为：， 时，函数取得最大值为：， ∴． 20. 一次函数与x轴交于C点，与y轴交于B点，点在直线上，反比例函数（）过点A． （1）求a与k的值； （2）当时，对应的自变量x的取值范围是：______．（请直接写出答案） （3）在x轴是否存在点D，使得，若存在，请直接写出点D坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）点D的坐标为或，理由见解析 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）由图像即可判断； （3）分点D在轴正半轴上时和负半轴上时两种情况，再分别求得点的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴， 又∵反比例函数（）过点A， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：当时，由图可知， 故答案为： 小问3详解】 解：当点D在轴正半轴上时，如图， 过点A作轴交于点，则，此时， 此时点； 当点D在轴负半轴上时，如图，设与轴交于点， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，得， 解得：， ∴， 综上所述，点D的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数和反比例函数图象上点的坐标的特征，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 21. 综合与实践 【驱动任务】 小北发现因为“母亲节”的到来，各个花店的鲜花礼品都进入了销售旺季，他所在的综合实践小组以探究“鲜花最佳销售方案”为主题开展了项目调查． 【研究步骤】 数据收集：综合实践小组以某款每束进价为20元的鲜花礼品为研究对象展开调查，收集到附近五家花店近期日销售的相关消息，并将数据按一定顺序整理在表中： 售价x（元/束） 25 30 35 40 45 日销售量y（束） 150 140 130 120 110 数据分析：观察表格中数据的变化规律可知日销售量y是售价x的一次函数． 【问题解决】 （1）直接写出日销售量y关于售价x的函数关系式：______； （2）根据以上信息，在销售该款鲜花礼品时， ①要想每天获得1400元的利润，并使顾客获得更多实惠，应该如何定价？ ②当鲜花礼品日销售量不低于100束时，售价为多少时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）①定价为每束30元②售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是3000元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设每天的总利润为，根据总利润等于单件利润乘以销量列出二次函数表示式，令，解方程解决问题①；二次函数求最值，解决问题②即可． 【小问1详解】 解：设日销售量y关于售价x函数关系式为， 由题意，把代入得： ，解得：， ∴； 【小问2详解】 设每天的总利润为，则：， ①当时，则：， 解得：， ∵使顾客获得更多实惠， ∴； 答：应定价为每束30元； ②由题意，得：， 解得：， ∵， ∴抛物线的开口向下，当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值为：； ∴售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是3000元． 五、解答题三（共2小题，满分27分，第22题13分，第2314分） 22. 综合探究 【背景】小北和小松在数学实践活动课上合作学习，共同探究解题． （1）如图1，四边形内接于，为的直径，平分．若，．求的长？他们很快完成解答，请你帮忙写出解答过程： 【猜想】在解题过程中，他们想求线段的长度，但遇到了很大的困难．小北大胆猜想：已知是的角平分线，可证．为了验证是否正确，小松经过思考，可以构造相似三角形来证明．小松的证明思路是：如图2，过点B作，交的延长线于点E，从而证得． （2）请参照小松提供的思路，利用图2证明：； （3）利用以上这个结论，他们可以解决下列两个问题，请你一起完成： ①如图3，是的角平分线，M是边的中点，过M点作，交的延长线于点N，交于点G，若，，求线段的长； ②如图1，在（1）的条件下、通过计算，直接写出线段的长． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出，再利用角平分的定义推出，进而得到，再借助勾股定理即可求解； （2）根据平行线的性质推出，进而得到，然后证得，即可证明； （3）①先推得，再借助平行线分线段成比例得出，然后利用平行线的性质得，即可求解； ②连接，先求出，，然后利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 【小问2详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 即． 【小问3详解】 解：①由（2）知，， ∴， ∵M是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴． ②连接，如图所示， 由①知，，且， ∴， ∵， ∴， ∵，O为中点， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握平行线分线段成比例，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理求线段长，熟练掌握相似三角形的性质与判定以及勾股定理是解题的关键． 23. 综合运用 在矩形中，以点O为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，点E是射线上一动点，连接，过点O作于点D，交直线于点F． （1）如图1，当矩形是正方形时，若点E在线段上，线段与的数量关系是______；若，，求的长； （2）如图2．当点E在线段上，且，以点F为直角顶点在矩形的外部作直角三角形，且，连接，交点G，求的值； （3）如图3，若点，点，点E在线段的延长线上，点F在线段的延长线上，，，连接，取的中点M，连接，取的中点N，连接，过点D作于点K，设，，请直接写出： ①______； ②m关于n的函数关系式：______． 【答案】（1）相等， （2） （3）①② 【解析】 【分析】（1）根据得到，从而得到，根据角边角判定，得到，证明，求出，勾股定理求出的长即可； （2）先证，再证，结合相似三角形面积比等于相似比直接求解即可得到答案； （3）①求出的长，勾股定理求出的长即可；②先证，再证，利用相似三角形及勾股定理，表示相应边的长度，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵矩形是正方形， ∴，， 在与中， ∴， ∴， 故答案为：相等； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，； 【小问2详解】 是直角三角形， 又 ∴四边形是平行四边形 ， ，， ， ， ， ， 设，则， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：①∵点，点， ∴， ∵矩形， ∴，， ， ∴， ∴， 在中，； 故答案为：； ②， ， ， ， ， ， ， ，， 取中点，连接，过点作，垂足为， 是的中点， 是的中位线，则，， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ， 又， ， ， ， ，，， ． 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，矩形的性质，正方形的性质，坐标与图形，解题的关键是作出辅助线，构造相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期末考试 九年级数学试卷 考试时间：120分钟 总分：120分 一、单选题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 垃圾分类一小步，低碳生活一大步，垃圾桶上常有以下四种垃圾分类标识的图案和文字说明，其中图案是中心对称图形的是( ) A 有害垃圾 B. 厨余垃圾 C. 其它垃圾 D. 可回收物 2. 下列语句所描述的事件是必然事件的是（ ） A. 任画一个三角形，它一定有内心 B. 奥运射箭冠军射击一次，命中靶心 C. 抛一枚均匀硬币2次，反面向上的次数为1次 D. 掷一个质地均匀的正方体骰子（六个面分别有1到6个点），点数为7 3. 已知点与点关于原点对称，则n的值为（ ） A. 6 B. C. 2 D. 4. 已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，、分别切于A、B两点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点A，B在x轴上，顶点F在y轴上，若，则中心P的坐标为（ ） A. B. （1，） C. （2，2） D. （3，2） 10. 如图，抛物线m：与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，将抛物线m绕点B旋转，得到新的抛物线n，它的顶点为，与x轴的另一个交点为．若四边形为矩形，则a，b应满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 关于x的一元二次方程的一个根是1，则k的值是______． 12. 圆锥的侧面积为，底面圆的半径为，则这个圆锥的母线长为______． 13. 如图，与是位似图形，且，则与的面积比为______． 14. 如图，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为_________． 15. 如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转，点B的对应点为，连接，若，则图中阴影部分的面积是 ________． 三、解答题一（共3小题，满分21分，每小题7分） 16. （1）解方程：； （2）如图，弧的长为，圆心角，求此弧所在圆的半径r． 17. 如图，等边的边长为1，将绕点C顺时针旋转到，点A，C，E三点共线． （1）旋转角度数______； （2）连接，求的长． 18. 有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字，，；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为． （1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标； （2）求点在函数的图象上的概率． 四、解答题二（共3小题，满分27分，每小题9分） 19. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 m 0 3 … （1）______； （2）求这个二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出它的图象； （3）当时，直接写出y的取值范围：______． 20. 一次函数与x轴交于C点，与y轴交于B点，点在直线上，反比例函数（）过点A． （1）求a与k的值； （2）当时，对应的自变量x的取值范围是：______．（请直接写出答案） （3）在x轴是否存在点D，使得，若存在，请直接写出点D坐标；若不存在，请说明理由． 21. 综合与实践 【驱动任务】 小北发现因为“母亲节”的到来，各个花店的鲜花礼品都进入了销售旺季，他所在的综合实践小组以探究“鲜花最佳销售方案”为主题开展了项目调查． 【研究步骤】 数据收集：综合实践小组以某款每束进价为20元的鲜花礼品为研究对象展开调查，收集到附近五家花店近期日销售的相关消息，并将数据按一定顺序整理在表中： 售价x（元/束） 25 30 35 40 45 日销售量y（束） 150 140 130 120 110 数据分析：观察表格中数据的变化规律可知日销售量y是售价x的一次函数． 【问题解决】 （1）直接写出日销售量y关于售价x的函数关系式：______； （2）根据以上信息，在销售该款鲜花礼品时， ①要想每天获得1400元的利润，并使顾客获得更多实惠，应该如何定价？ ②当鲜花礼品日销售量不低于100束时，售价为多少时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 五、解答题三（共2小题，满分27分，第22题13分，第2314分） 22. 综合探究 【背景】小北和小松在数学实践活动课上合作学习，共同探究解题． （1）如图1，四边形内接于，为的直径，平分．若，．求的长？他们很快完成解答，请你帮忙写出解答过程： 【猜想】在解题过程中，他们想求线段长度，但遇到了很大的困难．小北大胆猜想：已知是的角平分线，可证．为了验证是否正确，小松经过思考，可以构造相似三角形来证明．小松的证明思路是：如图2，过点B作，交的延长线于点E，从而证得． （2）请参照小松提供的思路，利用图2证明：； （3）利用以上这个结论，他们可以解决下列两个问题，请你一起完成： ①如图3，是的角平分线，M是边的中点，过M点作，交的延长线于点N，交于点G，若，，求线段的长； ②如图1，在（1）的条件下、通过计算，直接写出线段的长． 23. 综合运用 在矩形中，以点O为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，点E是射线上一动点，连接，过点O作于点D，交直线于点F． （1）如图1，当矩形是正方形时，若点E在线段上，线段与的数量关系是______；若，，求的长； （2）如图2．当点E在线段上，且，以点F为直角顶点在矩形的外部作直角三角形，且，连接，交点G，求的值； （3）如图3，若点，点，点E在线段延长线上，点F在线段的延长线上，，，连接，取的中点M，连接，取的中点N，连接，过点D作于点K，设，，请直接写出： ①______； ②m关于n的函数关系式：______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $