精品解析：重庆市开州区2024-2025学年九年级上学期期末质量监测数学试卷

开州区2024～2025学年度（上）九年级期末质量监测数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成； 4．考试结束，由监考人员将答题卡收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下面的交通标志图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B．是中心对称图形，故该选项符合题意； C．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 二次函数与轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由二次函数得，当时，，从而求解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由二次函数，当时，， ∴与轴的交点坐标是， 故选：． 3. 下列一元二次方程有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴方程没有实数根，不符合题意； 、∵， ∴方程没有实数根，不符合题意； 、∵， ∴方程没有实数根，不符合题意； 、∵， ∴方程有两个相等的实数根，符合题意； 故选：． 4. 下列事件中是随机事件的是（ ） A. 明天太阳从东方升起 B. 从一副普通扑克中抽到黑桃0 C. 投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 D. 任意画一个三角形的外角和是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，熟知必然事件、不可能事件、随机事件的概念：必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、明天太阳从东方升起是必然事件，此选项不符合题意； B、从一副普通扑克中抽到黑桃0是不可能事件，此选项不符合题意； C、投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上是随机事件，此选项符合题意； D、任意画一个三角形的外角和是是必然事件，此选项不符合题意； 故选：C． 5. 下列图案是用埃舍尔风格画的鸽子，图有只鸽子，图有只鸽子，图有只鸽子，按照这样画下去，则图鸽子的只数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题意可得图鸽子的只数为（只），图鸽子的只数为（只），图鸽子的只数为（只），根据规律即可求出图鸽子的只数，仔细的观察图形并正确的找到规律是解题的关键． 【详解】解：图鸽子的只数为（只）， 图鸽子的只数为（只）， 图鸽子的只数为（只）， ； 按照这样画下去，则图鸽子的只数为（只）， 故选：． 6. 在某个商品交易会上，参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了份合同．则参加交易会的公司有（ ） A. 家 B. 家 C. 家 D. 家 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设共有家公司参加商品交易会，根据题意列出方程，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设共有家公司参加商品交易会， 根据题意得：，整理得：， 解得：，（舍去）， ∴共有家公司参加商品交易会， 故选：． 7. 如图，已知二次函数的图象如图所示，其中，下列说法错误的是（ ） A. 图象关于直线对称； B. 函数的最小值是； C. 若是任意实数，则； D. 3是方程的一个根． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象以及二次函数的性质，数形结合是解答的关键．根据二次函数的图象结合二次函数的性质即可得出、二次函数对称轴为直线以及二次函数的顶点坐标，再逐项分析四个选项即可得出结论． 【详解】解：A、∵， ∴对称轴为直线，即图象关于直线对称， 故此选项正确，不符合题意； B、观察二次函数图象，发现：开口向上，，抛物线的顶点坐标为， ∴函数的最小值是， 故此选项正确，不符合题意； C、当时，函数y取得最小值， ∴若是任意实数，则，即， 故此选项错误，符合题意； D、由图象知，二次函数的图象与轴的一个交点为，又对称轴为直线， ∴二次函数的图象与轴的另一个交点为， ∴3是方程的一个根， 故此选项正确，不符合题意； 故选：C． 8. 如图，在矩形中，，，把线段绕点顺时针旋转，点落在边上的点处，再把线段绕点顺时针旋转，旋转角等于，得到线段，连接交于点．则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作于点，由矩形的性质得，，，则，，由旋转得，可证明，得，则，再证明，，则，，而，即可证明，则，求得，从而求解，掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作于点， 则， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴，， ∵线段绕点顺时针旋转，点落在边上的点处， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转，旋转角等于，得到线段， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9. 已知整式（是正整数，）． ①当时，则； ②当，时，则； ③当，时，则． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究、代数式求值，解答的关键是观察规律并求解．根据整式A的变化规律分别代值求解即可． 【详解】解：①当时，则，故①正确； ②当，时，， ∴， 两式相减，得，故②正确； ③当，时，， 当，时，， ∴当，时，则或5．故③错误， 综上，正确的个数是2个， 故选：B． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 10. 一元二次方程的解是___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据直接开平方法即可求解． 【详解】解：， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 11. 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位，则平移后抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．根据平移的规律：左加右减，上加下减，可得答案． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位， 得到：，即， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 12. 寒假期间，小明、小红二人在《满江红》《流浪地球2》《中国乒乓》《熊出没》四部影片中各自随机选择了一部影片观看（假设两人选择每部影片的机会均等），则二人恰好选择同一部影片观看的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图，共有种等可能的结果，其中小明、小红二人恰好选择同一部影片观看的结果有种，再由概率公式求解即可. 【详解】把《满江红》《流浪地球2》《中国乒乓》《熊出没》四部影片分别记为A、B、C、D，画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中小明、小红二人恰好选择同一部影片观看的结果有种， ∴小明、小红二人恰好选择同一部影片观看的概率为 故答案为： 【点睛】本题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率为所求情况数与总情况数之比. 13. 某村种植的杂交水稻年的平均亩产量为千克，年的平均亩产量为千克，则此水稻亩产量的年平均增长率为________． 【答案】 【解析】 【分析】设水稻亩产量的年平均增长率为x，根据年的平均亩产量列方程求解即可得到答案； 【详解】解：设水稻亩产量的年平均增长率为x，由题意可得， ， 解得：，（不符合题意舍去）， 故答案为：； 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是从题干中得到等量关系式列方程求解． 14. 如图，点是等边的中心，，点是边上任意一点，作，射线交边于点，则四边形的面积等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形面积，连接，，并延长交于点，由是等边三角形，点是等边的中心，则，，，，，证明，则有，再通过，如果勾股定理求出，然后求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，并延长交于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∵点是等边的中心， ∴，，， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由上可知：，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，的半径是，是直径，点是延长线上一点，且，切于点，交于点，连接交于点，则的周长是______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质，勾股定理以及正弦的定义等可求出，，根据三角形外角的性质和圆周角定理可求出，根据平行线的性质求出，进而得出，根据垂径定理得出，根据可证明，得出，然后根据正弦和余弦的定义求出，，即可求解． 【详解】解∶连接， ∵，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，， ∴的周长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适的辅助线是解题的关键． 16. 若关于的不等式组，有解且至多有两个偶数解，且关于的分式方程的解为正整数，则符合条件的整数的值的和为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式及解分式方程，先求出不等式组的解集，根据题意得，解分式方程得，根据题意得或1，符合，则再将符合条件的数相加即可求解，熟练掌握不等式组的解法及分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：化简得：， 解不等式组得：， 不等式组至多有两个偶数解， ， ， 方程， 解得：， 分式方程的解为正整数， 且为整数，， ∴m的值为1或5， 结合得：符合条件的整数的值的和为：， 故答案为：6． 17. 一个四位自然数满足各数位上的数字均不为，且，则称这个四位数为“平衡数”．例如：四位数，∵，∴是“平衡数”．最大的“平衡数”是______；若是一个“平衡数”，设，且能被整除，则满足条件的的最小值是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减运算，根据新定义“平衡数”，仿照示例，可得到最大的“平衡数”是，先表示出，代入到中，得到能被整除， 结合题意，得到符合条件的最小“平衡数”， 正确理解新定义，并加以应用是解题的关键． 【详解】解：∵根据“平衡数”的定义，各数位上的数字均不为，且， ∴要取得最大的平衡数，则千位取值尽量大， 又∵，的值最大为， ∴的值最大为， ∴当时，不符合题意， 当时， 则可取，不符合题意， 当时，，则，， ∴最大的“平衡数”为； ∵是一个“平衡数”， ∴ ， ∴ ， ∵能被整除， ∴能被整除， ∴能被整除， ∴能被整除， ∵各数位上的数字均不为， ∴要使最小, 先设，则能被整除， ∴最小取， ∴， ∴当时，， ∴满足条件的最小的值为， 故答案为：，． 三、解答题：（本大题8个小题，19小题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上． 18. 解方程与化简： （1）解方程： （2）化简： 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（）利用公式法求解即可； （）先将括号里的异分母分式相减化为同分母分式相减，再算分式的除法运算得以化简； 本题考查了解一元二次方程，分式的化简，正确掌握一元二次方程的解法和掌握运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解： ． 19. 在学习了正方形的相关知识后，小东同学进行了更深入的研究，他发现，连接正方形的一个顶点和它对边上任意一点得到一条线段，作该线段的垂直平分线交正方形两边得到两个交点，那么这两个交点与这条线段的两个端点所构成的四边形是“筝形”，可利用证明三角形全等得到相关结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）如图，在正方形中，点是的任意一点，连接．用尺规作的垂直平分线，分别交，于点，，连接，，．（不写作法，保留作图痕迹） （2）如图，已知正方形形，点在上，直线垂直平分线段，垂足为，分别交，于点，，连接、、．设，求筝形的面积． 解：∵四边形是正方形， ∴，，， 在上图中，过点画，分别交，于点，， ∴______是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴______， ∴______， 结论：连接正方形的一个顶点和它对边上任意一点得到一条线段，该线段的垂直平分线交正方形两边得到两个交点，那么这两个交点与这条线段的两个端点所构成“筝形”的面积等于______． 【答案】（1） 如图， （2）四边形；；；对角线之积的一半． 【解析】 【分析】（）根据垂直平分线的作法即可求解； （）先画出图形，然后过点画，分别交，于点，，则有四边形是平行四边形，故，，再证明，根据性质可得，则，然后用即可求解； 本题考查了尺规作图——作垂直平分线，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的的应用是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 为了了解学生的视力健康情况，某校从八、九年级各随机抽取20名学生进行视力检查，并对其视力情况的数据进行整理和分析．视力情况共分4组：．视力，视力正常；．视力，轻度视力不良；．视力，中度视力不良；．视力，重度视力不良．下面给出了部分信息： 抽取的八年级学生的视力在组的数据是：4.6，4.6，4.7，4.7，4.8，4.8； 抽取的九年级学生的视力在组的数据是：，，，，，，，； 被抽取的八，九年级学生视力的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 八年级 4.82 4.9 九年级 4.82 4.7 （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校八年级和九年级学生的视力情况谁更健康，请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级共有学生1000人，九年级有1200人，请估计八，九年级学生视力正常的总人数． 【答案】（1），， （2） 八年级学生的视力情况更健康，理由如下： 因为八、九年级学生视力情况的平均数相等，而八年级学生视力情况的中位数大于九年级学生视力情况的中位数，同时八年级学生视力情况的众数也大于九年级学生视力情况的众数，所以八年级学生的视力情况更健康（答案不唯一，合理即可）； （3） 【解析】 【分析】（1）由中位数的定义结合题意即可得出、的值，由扇形统计图中各组比例之和为即可得出的值； （2）根据中位数、众数的意义解答即可； （3）利用样本估计总体即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ， ， ， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：八、九年级学生视力正常的总人数为： （人）， 估计八、九年级学生视力正常的总人数约为人． 【点睛】本题主要考查了求中位数，求扇形统计图的某项数目，频数分布直方图，运用中位数做决策，运用众数做决策，用样本估计总体等知识点，熟练掌握中位数、众数的概念及扇形统计图和频数分布直方图是解题的关键． 21. 如图，在中，，是 的平分线，是上一点，以为半径的经过点，交于点． （1）求证∶是的切线； （2）若，，求长． 【答案】（1） 证明：， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）的长为4． 【解析】 【分析】本题考查了切线的证明，角平分线的定义，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先通过，得到，结合是的平分线，推出，从而知道，判定，再利用平行线的性质，推出，得证； （2）在，利用，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，， ， ， ， 的长为4． 22. 智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人平均每秒可以完成范围内苹果的识别，并自动对成熟的苹果进行采摘，它的一个机械手平均可以采摘一个苹果，已知采摘工人平均可以采摘一个苹果． （1）一定范围内的苹果被机器人识别，机器人采摘比工人采摘多用了，求这个范围内的苹果有多少个？ （2）为了提高了工作效率，公司为该智能机器人搭载了个机械手，升级了智能机器人的操作系统，测得每个机械手平均每秒可摘个苹果，据统计，该智能机器人工作采摘的苹果数量与个采摘工人工作小时采摘的苹果数量相等，求的值． 【答案】（1）这个范围内的苹果有个； （2）的值为． 【解析】 【分析】（）设这个范围内的苹果有个，由题意列出方程，然后解方程即可； （）由题意得，然后解方程并检验即可； 本题考查了一元一次方程和一元二次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设这个范围内的苹果有个， 由题意得：， 解得：； 答：这个范围内的苹果有个； 【小问2详解】 解：由题意得， ， 解得：（舍去），， ∴的值为． 23. 如图，在中，，，，动点以每秒的速度从点出发，沿折线方向运动，动点以每秒的速度从点同时出发，沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为，的面积为． （1）请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）当的面积为时，请直接写出的值（保留一位小数，误差不得超过0.2）． 【答案】（1） （2） 如图，分别描出对应点然后顺次连线． 该函数的一个性质：当时，有最大值6（答案不唯一） （3）或 【解析】 【分析】本题考查动点问题函数图象，一次函数和二次函数图象的作法，勾股定理， （1）首先根据勾股定理求出，然后求出，当两者相遇时，，然后分以及分别求解即可得出答案； （2）根据函数解析式描点连线作图，根据图象可写出一条性质； （3）将分别代入和求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ． 如图1所示，过点C作于点D， ∵ ∴ ∴当两者相遇时， ∴； 分两种情况： ①当时，点E在上，点F在上时，如图2， 由题意得，， ∴； ②当时，点E和点F都在上时，过点C作于D，如图3， 由题意得，， ∴ ∴ 综上所述，y关于x的函数解析式为； 【小问2详解】 由（1）中得到的函数解析式可知， 当时，； 当时，； 该函数的一个性质：当时，有最大值6（答案不唯一）． 【小问3详解】 当时，代入函数，得， 解得（负值舍去）； 当时，代入函数，得， 解得． 综上所述，当的面积为时，或． 24. 如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点，连接，点在抛物线上运动，作点关于轴的对称点，连接，，，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点在抛物线上从点运动到点的过程中（点与点，不重合），记的面积为，记的面积为，求的最大值及点的坐标； （3）如图2，若，连接，求证：平分． 【答案】（1） （2）最大值为12， （3） 证明：由得抛物线的对称轴为直线， 当时，，则， ∵， ∴点P、C关于对称轴对称， ∴，则， 设直线交x轴于点H，其函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为， 当时，由得， ∴，又，轴， ∴垂直平分， ∴， ∴，即平分． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，则轴，设，则，利用坐标与图形得到，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）先判断出点P、C关于对称轴对称，则，，然后求出直线的函数表达式为，进而求得，可判断垂直平分，利用线段垂直平分线和等腰三角形的三线合一可得结论． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点和， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图1，连接，则轴， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为12，此时； 【小问3详解】 略 【点睛】本题是二次函数与几何图形的综合题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、轴对称性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、坐标与图形等知识，解答的关键是利用数形结合思想把代数与几何图形结合起来，利用点的坐标表示线段的长度，进而得到线段之间的关系． 25. 已知，和都是等腰三角形，且，． （1）如图1，若，点是上一点，连接，求证：； （2）如图2，若，绕点旋转，经过的中点，点落在上，请探究、、之间的数量关系并给出证明； （3）如图3，若，，点和点重合，连接，点为上一点，连接，，当面积的最大值时，请直接写出的最小值． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）， 证明：过点B作于F，如图2， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵，经过的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． （3）6 【解析】 【分析】（1）证明即可由全等三角形的性质得出结论； （2）过点B作于F，利用等腰三角形三线合一的性质证得，，，，得出，即可得出． （3）当面积的最大值时，此时，可证得、是等边三角形，求得，当点P与点A重合时，最小，最小值为，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，，，点和点重合， ∴ 当面积的最大值时，此时， ∵， ∴， ∵， ∴、是等边三角形， ∴， ∵点为上一点， ∴， ∴当点P与点A重合时，最小，最小值为， ∴当面积的最大值时，最小值． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，最短路径问题．熟练掌握等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开州区2024～2025学年度（上）九年级期末质量监测数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成； 4．考试结束，由监考人员将答题卡收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下面的交通标志图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数与轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 下列一元二次方程有实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中是随机事件的是（ ） A. 明天太阳从东方升起 B. 从一副普通扑克中抽到黑桃0 C. 投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 D. 任意画一个三角形的外角和是 5. 下列图案是用埃舍尔风格画的鸽子，图有只鸽子，图有只鸽子，图有只鸽子，按照这样画下去，则图鸽子的只数为（ ） A. B. C. D. 6. 在某个商品交易会上，参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了份合同．则参加交易会的公司有（ ） A. 家 B. 家 C. 家 D. 家 7. 如图，已知二次函数的图象如图所示，其中，下列说法错误的是（ ） A. 图象关于直线对称； B. 函数的最小值是； C. 若是任意实数，则； D. 3是方程的一个根． 8. 如图，在矩形中，，，把线段绕点顺时针旋转，点落在边上的点处，再把线段绕点顺时针旋转，旋转角等于，得到线段，连接交于点．则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知整式（是正整数，）． ①当时，则； ②当，时，则； ③当，时，则． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 10. 一元二次方程的解是___________ 11. 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位，则平移后抛物线的顶点坐标是______． 12. 寒假期间，小明、小红二人在《满江红》《流浪地球2》《中国乒乓》《熊出没》四部影片中各自随机选择了一部影片观看（假设两人选择每部影片的机会均等），则二人恰好选择同一部影片观看的概率为________． 13. 某村种植的杂交水稻年的平均亩产量为千克，年的平均亩产量为千克，则此水稻亩产量的年平均增长率为________． 14. 如图，点是等边的中心，，点是边上任意一点，作，射线交边于点，则四边形的面积等于______． 15. 如图，的半径是，是直径，点是延长线上一点，且，切于点，交于点，连接交于点，则的周长是______． 16. 若关于的不等式组，有解且至多有两个偶数解，且关于的分式方程的解为正整数，则符合条件的整数的值的和为______． 17. 一个四位自然数满足各数位上的数字均不为，且，则称这个四位数为“平衡数”．例如：四位数，∵，∴是“平衡数”．最大的“平衡数”是______；若是一个“平衡数”，设，且能被整除，则满足条件的的最小值是______． 三、解答题：（本大题8个小题，19小题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上． 18. 解方程与化简： （1）解方程： （2）化简： 19. 在学习了正方形的相关知识后，小东同学进行了更深入的研究，他发现，连接正方形的一个顶点和它对边上任意一点得到一条线段，作该线段的垂直平分线交正方形两边得到两个交点，那么这两个交点与这条线段的两个端点所构成的四边形是“筝形”，可利用证明三角形全等得到相关结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）如图，在正方形中，点是的任意一点，连接．用尺规作的垂直平分线，分别交，于点，，连接，，．（不写作法，保留作图痕迹） （2）如图，已知正方形形，点在上，直线垂直平分线段，垂足为，分别交，于点，，连接、、．设，求筝形的面积． 解：∵四边形是正方形， ∴，，， 在上图中，过点画，分别交，于点，， ∴______是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴______， ∴______， 结论：连接正方形的一个顶点和它对边上任意一点得到一条线段，该线段的垂直平分线交正方形两边得到两个交点，那么这两个交点与这条线段的两个端点所构成“筝形”的面积等于______． 20. 为了了解学生的视力健康情况，某校从八、九年级各随机抽取20名学生进行视力检查，并对其视力情况的数据进行整理和分析．视力情况共分4组：．视力，视力正常；．视力，轻度视力不良；．视力，中度视力不良；．视力，重度视力不良．下面给出了部分信息： 抽取的八年级学生的视力在组的数据是：4.6，4.6，4.7，4.7，4.8，4.8； 抽取的九年级学生的视力在组的数据是：，，，，，，，； 被抽取的八，九年级学生视力的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 八年级 4.82 4.9 九年级 4.82 4.7 （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校八年级和九年级学生的视力情况谁更健康，请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级共有学生1000人，九年级有1200人，请估计八，九年级学生视力正常的总人数． 21. 如图，在中，，是 的平分线，是上一点，以为半径的经过点，交于点． （1）求证∶是的切线； （2）若，，求长． 22. 智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人平均每秒可以完成范围内苹果的识别，并自动对成熟的苹果进行采摘，它的一个机械手平均可以采摘一个苹果，已知采摘工人平均可以采摘一个苹果． （1）一定范围内的苹果被机器人识别，机器人采摘比工人采摘多用了，求这个范围内的苹果有多少个？ （2）为了提高了工作效率，公司为该智能机器人搭载了个机械手，升级了智能机器人的操作系统，测得每个机械手平均每秒可摘个苹果，据统计，该智能机器人工作采摘的苹果数量与个采摘工人工作小时采摘的苹果数量相等，求的值． 23. 如图，在中，，，，动点以每秒的速度从点出发，沿折线方向运动，动点以每秒的速度从点同时出发，沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为，的面积为． （1）请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）当的面积为时，请直接写出的值（保留一位小数，误差不得超过0.2）． 24. 如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点，连接，点在抛物线上运动，作点关于轴的对称点，连接，，，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点在抛物线上从点运动到点的过程中（点与点，不重合），记的面积为，记的面积为，求的最大值及点的坐标； （3）如图2，若，连接，求证：平分． 25. 已知，和都是等腰三角形，且，． （1）如图1，若，点是上一点，连接，求证：； （2）如图2，若，绕点旋转，经过的中点，点落在上，请探究、、之间的数量关系并给出证明； （3）如图3，若，，点和点重合，连接，点为上一点，连接，，当面积的最大值时，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $