精品解析：广东省惠州市第一中学2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题

惠州一中2027届高一上学期期末数学测试 注意事项： 1.答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上. 2.做选择题时，必须用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其它答案标号. 3.非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效. 第一部分 选择题 （共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是 A. B=A∩C B. B∪C=C C. AC D. A=B=C 2. 已知条件，，则是的（ ）条件 A 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 若，θ为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图像不可能是（ ） A. B. C. D. 5. 函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，.那么使不等式成立的的范围是（ ） A. B. C. D. 6. “喊泉”是一种地下水的毛细现象.在合适的条件下，人们在泉口吼叫或发出其他声响时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生一系列物理声学作用.已知声音越大，涌起的泉水越高，声强与参考声强之比的常用对数称作声强的声强级，记作（单位：分贝），即.若某处“喊泉”的声强级（单位：分贝）与喷出的泉水高度（单位：分米）满足关系式，两人分别在这处“喊泉”大喊一声，若“喊泉”喷出泉水的高度比“喊泉”喷出的泉水高度高5分米，则“喊泉”的声强是“喊泉”声强的（ ） A. 5倍 B. 10倍 C. 20倍 D. 100倍 7. 已知命题为假命题，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 8. 已知函数在区间上单调递减，且在区间上有且仅有1个零点，则ω的值可以为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的有（ ） A 函数图象关于原点对称 B. 函数定义域为且对任意实数恒有.则为偶函数 C. 的定义域为，则 D. 的值域为，则 10. 若实数m，，满足，以下选项中正确的有（ ） A. mn的最大值为 B. 的最小值为 C. 最小值为 D. 最小值为 11. 如图，正方形边长为，、分别为边、上的动点，若的周长为定值，则（ ） A. 的大小为 B. 面积的最小值为 C. 长度的最小值为 D. 点到的距离可以是 第二部分非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中第14题第一空2分，第二空3分. 12. 已知函数在区间上有一个零点，如果用二分法求的近似值（精确度为），则应将区间至少等分的次数为______. 13. 函数取得最大值时的值是______. 14. 设函数的定义域为，如果存在区间，使得在上值域为且单调，则称为函数的保值区间.已知幂函数在上是单调增函数. （1）函数的解析式______； （2）若函数存在保值区间，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为. （1）求的值； （2）若，求的值. 16. 已知函数的图象相邻对称轴之间的距离是，若将的图像向右移个单位，所得函数为奇函数. （1）求的解析式； （2）若函数的一个零点为，且，求 17. 某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，项目乙研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，，且． （1）求实数a，b，c的值； （2）已知科研部门计划将27万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，使得投资期望收益最大？并求出最大期望利润． 18. 已知为上的偶函数，当时函数. （1）求并求的解析式； （2）若函数在的最大值为，求值并求使不等式成立实数的取值范围. 19. 已知函数在区间上的最大值为5，最小值为2，记. （1）求实数、的值： （2）若不等式成立，求实数取值范围； （3）定义在上的一个函数，用分法将区间任意划分成个小区间，如果存在一个常数，使得和式恒成立，则称函数为在上的有界变差函数.试判断函数是否为在上的有界变差函数？若是，求的最小值；若不是，请说明理由. （参考公式：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州一中2027届高一上学期期末数学测试 注意事项： 1.答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上. 2.做选择题时，必须用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其它答案标号. 3.非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效. 第一部分 选择题 （共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是 A B=A∩C B. B∪C=C C. AC D. A=B=C 【答案】B 【解析】 【分析】由集合A，B，C，求出B与C的并集，判断A与C的包含关系，以及A，B，C三者之间的关系即可． 【详解】由题BA， ∵A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}， ∴B∪C＝{小于90°的角}＝C，即BC， 则B不一定等于A∩C，A不一定是C的真子集，三集合不一定相等， 故选B． 【点睛】此题考查了集合间的基本关系及运算，熟练掌握象限角，锐角，以及小于90°的角表示的意义是解本题的关键，是易错题 2. 已知条件，，则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】由可得，解得或， 因为或，所以，是的充分不必要条件. 故选：A. 3. 若，θ为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角公式求出，再利用二倍角的余弦公式化简即得. 【详解】由θ为第二象限角，则， 所以. 故选：D 4. 函数的图像不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由于函数的解析式中含有参数，因此可考虑对直接进行取值，然后再判断的大致图象即可. 【详解】函数的定义域为，且， 所以该函数为偶函数，下面只讨论时的情况：， 当时，，图象为C； 当时，，图象为B； 若时，函数单调递增，图象为D； 所以函数的图象可能为：BCD. 故选：A. 5. 函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，.那么使不等式成立的的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式，可得出的可能取值，结合题中定义可得出的取值范围. 【详解】由可得， 由题中定义可知的可能取值有、， 当时，；当时，. 综上所述，使不等式成立的的范围是. 故选：C. 6. “喊泉”是一种地下水的毛细现象.在合适的条件下，人们在泉口吼叫或发出其他声响时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生一系列物理声学作用.已知声音越大，涌起的泉水越高，声强与参考声强之比的常用对数称作声强的声强级，记作（单位：分贝），即.若某处“喊泉”的声强级（单位：分贝）与喷出的泉水高度（单位：分米）满足关系式，两人分别在这处“喊泉”大喊一声，若“喊泉”喷出泉水的高度比“喊泉”喷出的泉水高度高5分米，则“喊泉”的声强是“喊泉”声强的（ ） A. 5倍 B. 10倍 C. 20倍 D. 100倍 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的运算性质可求. 【详解】设的声强分别为“喊泉”喷出泉水的高度分别为， 则，即， 从而，即，所以. 故“喊泉”的声强是“喊泉”声强的100倍. 故选：D 7. 已知命题为假命题，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出给定命题的否定，再利用一元二次型不等式恒成立求出的范围. 【详解】由命题为假命题，则为真命题， 当时，恒成立，满足要求； 当时，，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：B 8. 已知函数在区间上单调递减，且在区间上有且仅有1个零点，则ω的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦函数单调性，结合零点情况求出的范围即可得解. 【详解】函数，当时，， 而余弦函数在上单调递减，又， 因此，解得， 由，得，当时，， 而函数在上有且仅有1个零点，则，解得， 因此，ABD不满足，C满足. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的有（ ） A. 函数图象关于原点对称 B. 函数定义域为且对任意实数恒有.则为偶函数 C. 定义域为，则 D. 的值域为，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性定义可判断A；利用赋值法，结合函数奇偶性定义判断B；根据函数的定义域为R，列不等式求解，可判断C；根据函数的值域为R，列不等式求解，可判断D. 【详解】对于A，的定义域为R，满足， 即为奇函数，其图象关于原点对称，A正确； 对于B，令，则， 令，则， 即为奇函数，B错误； 对于C，的定义域为，即在R上恒成立， 故，即，C错误； 对于D，的值域为，即能取到内的所有值， 故或，即，D正确， 故选：AD 【点睛】易错点点睛：解答本题容易出错的是选项C、D的判断，解答时要注意区分定义域和值域为R时的区别，列出的不等式是不一样的，因此要特别注意这一点. 10. 若实数m，，满足，以下选项中正确的有（ ） A. mn的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本不等式解决条件的最值问题求解和为定值或乘积为定值. 【详解】解：对于A，由m，，得，又， 所以，解得，当且仅当， 即，时等号成立， 所以mn最大值为，选项A正确； 对于B，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，选项B错误； 对于C，由，得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，又m，， 所以，选项C错误； 对于D，由m，，，得， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，选项D正确． 故选：AD． 11. 如图，正方形的边长为，、分别为边、上的动点，若的周长为定值，则（ ） A. 的大小为 B. 面积的最小值为 C. 长度的最小值为 D. 点到的距离可以是 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A：设线段、的长度分别为、，可得，可得，设，可得，可得；选项B：设可得，由可得；选项C：由，根据基本不等式可得；选项D：根据线段、的长度分别为、，可得直线的方程为 ，根据距离公式可得距离为. 【详解】对于A选项，设线段、的长度分别为、，，， 则，，因为的周长为定值，所以． 则由勾股定理得，即， 又因为，，于是， 因为，所以即，故A正确； 对于B选项，设，则，， ， ， 因为所以，即， 故，故B正确； 对于C选项，由A选项的推理可知，， 所以，所以，即， 又因得，当且仅当即时等号成立，故C正确； 对于D选项，以为轴正向，为轴正向建立平面直角坐标系， 由选项A可知：，，，， 则直线的方程为，即， 即， 则C点到直线的距离 ，故D错误． 故选：ABC. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 第二部分非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中第14题第一空2分，第二空3分. 12. 已知函数在区间上有一个零点，如果用二分法求的近似值（精确度为），则应将区间至少等分的次数为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二分法的定义可得出，求出正整数的最小值，即可得解. 【详解】由于每等分一次，零点所在区间的长度变为原来的， 则等分次后区间长度变为原来的， 由题意可得，可得，且， 所以，正整数的最小值为，即至少等分的次数为. 故答案为：. 13. 函数取得最大值时的值是______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用辅助角公式可化简函数的解析式，利用诱导公式可得出取最大值时的值. 【详解】令，， 则 ， 当时，即当时，函数取最大值， 此时，，其中. 故答案为：. 14. 设函数的定义域为，如果存在区间，使得在上值域为且单调，则称为函数的保值区间.已知幂函数在上是单调增函数. （1）函数的解析式______； （2）若函数存在保值区间，则实数的取值范围是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由幂函数定义以及函数单调性即可求得，所以； （2）根据保值区间的定义，即可知方程在上有两个不等的实根，由换元法并利用二次函数根的分布即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为幂函数在上是单调增函数， 所以，解得， 所以函数的解析式为. （2）因为函数在上单调递增， 若存在保值区间，则，即， 也就是方程在上有两个不等的实根， 令，得， 所以在上有两个不等的实根， 令， 则，可得，解得， 故实数的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数得定义求出角得三角函数值，然后化弦为切即可得解； （2）根据，可得，再利用诱导公式即可得解. 【小问1详解】 解：因为角终边与单位圆相交于点 ， 所以， 所以； 【小问2详解】 解：因为， 所以， 所以. 16. 已知函数的图象相邻对称轴之间的距离是，若将的图像向右移个单位，所得函数为奇函数. （1）求的解析式； （2）若函数的一个零点为，且，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由周期求出，再由题意可得函数为奇函数，可得的值，可得函数的解析式； （2）由题意可得，即可求出，再由及两角差的余弦公式计算可得． 【小问1详解】 由题意可得，可得，又， 而，可得， 此时， 由题意可得， 要使函数为奇函数，则，， 即，，而， 所以， 所以； 【小问2详解】 由题意令， 可得，即， 因为， 所以，所以， 所以 17. 某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，项目乙研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，，且． （1）求实数a，b，c的值； （2）已知科研部门计划将27万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，使得投资期望收益最大？并求出最大期望利润． 【答案】（1） （2）项目甲投入3万元，项目乙投资24万元时，科研部门获得最大利润30万元 【解析】 【分析】（1）由结合解析式可得答案； （2）设项目甲研发投入资金为万元，则项目乙投入万元，投资收益为，由题可得 表达式，后由对数运算结合基本不等式可得答案. 【小问1详解】 由， 可得，解得 故； 【小问2详解】 设项目甲研发投入资金为万元，则项目乙投入万元，投资收益为， 则 ，其中. 则 . 由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立. 所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 所以项目甲投入3万元，项目乙投资24万元时，科研部门获得最大利润30万元． 18. 已知为上的偶函数，当时函数. （1）求并求的解析式； （2）若函数在的最大值为，求值并求使不等式成立实数的取值范围. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由为上偶函数，得，可求的值；当时，代入 求得当时的解析式； （2）讨论对称轴的位置，确定的单调性，根据在的最大值为求得，根据的对称性与单调性解不等式得的范围. 【小问1详解】 ∵为R上的偶函数， ∴， ∴关于x=1对称， ∴ . 又， ， 当即时， ， 故. 【小问2详解】 当 时在上单调递增，的最小值为，与题意矛盾， 同理当对称轴即时，则在上单调递减， ，矛盾. 若，则，， ， ， 显然当时，在上值域为 在上最大值为，符合题目要求.故. 不等式成立即成立， 当时函数为增函数， 所以在对称轴右侧为增函数，左侧为减函数，距离对称轴越远其值越大， ，解得 故m的取值范围为 【点睛】的奇偶性的处理方法：若具有奇偶性，则的对称轴为轴或对称中心为原点，可以得到也有对称轴或对称中心，方法是通过平移变换与伸缩变换将的图象变换到的图象，在变换过程中对称轴或中心也跟着作相应的变换.如为R上的偶函数，向右平移个单位得到的图象，则的图象关于对称，再将的图象横坐标变为原来的2倍，得到的图象，则的图象关于对称. 19. 已知函数在区间上的最大值为5，最小值为2，记. （1）求实数、的值： （2）若不等式成立，求实数的取值范围； （3）定义在上的一个函数，用分法将区间任意划分成个小区间，如果存在一个常数，使得和式恒成立，则称函数为在上的有界变差函数.试判断函数是否为在上的有界变差函数？若是，求的最小值；若不是，请说明理由. （参考公式：） 【答案】（1）， （2） （3）是上的有界变差函数，的最小值为 【解析】 【分析】（1）利用二次函数性质得，，根据题意列方程组求解即可； （2）利用的奇偶性和单调性可得，解不等式即可； （3）由函数解析式得在上单调递增，结合有界变差函数的定义判断即可. 【小问1详解】 因为，由二次函数性质知，开口向上，对称轴为，所以在上单调递增， ， ，解得，； 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 因为，所以为偶函数， 函数的图象如图， 不等式等价于， 即或，解得， 所以实数的取值范围是； 【小问3详解】 是上的有界变差函数,理由如下， 由（2）知函数在上单调递增， 所以，， 则对任意划分， 有 所以， 整理得：， 所以存在常数，使得恒成立， 所以是上的有界变差函数，的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查了根据最值求参数，根据函数的单调性解不等式，函数的新定义，意在考查学生的计算能力，数形结合能力，知识迁移能力，其中正确理解新定义，运用新定义是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $