第7章 复数 章末检测卷(word练习)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教A版2019）

[对应素能提升训练第103页] （本卷满分150分；考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．(全国新课标Ⅱ)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i＋3＝6＋8i，在复平面内对应的点的坐标为(6，8)，位于第一象限，故选A． 答案　A 2．(全国甲理)设a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析　(a＋i)(1－ai)＝a－a2i＋i＋a＝2a＋(1－a2)i＝2，所以解得a＝1，故选C． 答案　C 3．(全国新课标Ⅰ)已知z＝，则z－＝(　　) A．－i B．i C．0 D．1 解析　z＝＝＝＝＝－i，则＝i，∴z－＝－i－i＝－i，故选A． 答案　A 4.复数z＝（i为虚数单位）的虚部为 （　　） A.1 B.－1 C.±1 D.0 解析　因为z＝＝－1－i，所以复数z的虚部为－1. 答案　B 5.已知i为虚数单位，复数z满足z·i＝1＋2i，则z的共轭复数为 （　　） A.2－i B.1－2i C.2＋i D.i－2 解析　因为z·i＝1＋2i，所以z＝＝＝＝2－i，所以其共轭复数为2＋i.故选C. 答案　C 6.已知复数z＝（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点为 （　　） A. B.（1，1） C. D.（1，－1） 解析　z＝＝＝＝＝＋i，所以复数z在复平面内对应的点的坐标为. 答案　A 7.复数2＋i与复数在复平面上的对应点分别是A，B，若O为坐标原点，则∠AOB等于 （　　） A. B. C. D. 解析　∵＝＝－，∴它在复平面上的对应点为B，而复数2＋i在复平面上的对应点是A（2，1），则cos ∠AOB＝＝＝，∴∠AOB＝.故选B. 答案　B 8.已知i为虚数单位，m∈R，若复数（2－i）（m＋i）在复平面内对应的点位于实轴上，则复数的模为 （　　） A. B. C. D.2 解析　因为复数（2－i）（m＋i）＝2m＋1＋（2－m）i在复平面内对应的点位于实轴上，所以2－m＝0，即m＝2.所以＝＝－1＋i，所以＝.故选C. 答案　C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在复平面内，若z＝m2（1＋i）－m（4＋i）－6i所对应的点位于第二象限，则实数m的值可以是 （　　） A. B. C.3 D.4 解析　整理得z＝（m2－4m）＋（m2－m－6）i，对应的点位于第二象限，则解得3＜m＜4.故选AB. 答案　AB 10．若复数z满足(1－i)z＝3＋i(其中i是虚数单位)，则(　　) A．z的实部是2 B．z的虚部是2i C．＝1－2i D．|z|＝ 解析　z＝＝＝＝1＋2i，即z的实部是1，虚部是2，所以A，B错误．＝1－2i，|z|＝＝，所以C，D均正确． 答案　CD 11．(湖北荆州高一期中)已知复数z1＝1－i，z2＝2－i，z3＝2＋2i在复平面内对应的点分别为A，B，C，且O为复平面内的坐标原点，则下列说法正确的是(　　) A．z1＋z2的虚部为－2i B．z2－z3为纯虚数 C．OA⊥OC D．以OA，OB，OC的长度为三边长的三角形为钝角三角形 解析　对于A，因为z1＋z2＝3－2i，所以z1＋z2的虚部为－2，所以A错误；对于B，因为z2－z3＝－3i，所以z2－z3为纯虚数，所以B正确；对于C，因为＝(1，－1)，＝(2，2)，所以·＝0，所以OA⊥OC，所以C正确；对于D，由已知可得OA＝|z1|＝，OB＝|z2|＝，OC＝|z3|＝2，且OA2＋OB2＝7<8＝OC2，所以OA2＋OB2－OC2<0，所以以OA，OB，OC的长度为三边长的三角形为钝角三角形，所以D正确． 答案　BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若复数z满足(3－4i)z＝4＋3i，则|z|＝________． 解析　因为(3－4i)z＝4＋3i，所以z＝＝＝＝i.则|z|＝1. 答案　1 13．若(a，b∈R)与(2－i)2互为共轭复数，则a＝________，b＝________．(本题第一空2分，第二空3分) 解析　∵＝＝b－ai，(2－i)2＝4－4i－1＝3－4i，(a，b∈R)与(2－i)2互为共轭复数， ∴b＝3，a＝－4. 答案　－4　3 14．设函数f(z)(z为复数)满足f(f(z))＝(z－z－)2.若f(1)＝0，则|f(i)－1|＝________. 解析　因为f(f(i))＝(i－i－)2＝1，所以f(f(f(i)))＝f(1)＝0.又f(f(f(i)))＝(f(i)－f(i)－)2，所以f(i)－f(i)－＝0，即(f(i)－1)＝1，即|f(i)－1|＝1. 答案　1 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)计算：(1)＋()2 020； (2)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i). 解　(1)＋()2 020＝＋ ＝i(1＋i)＋ ＝－1＋i＋(－i)1 010 ＝－1＋i－1＝－2＋i. (2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i) ＝22－14i＋25－25i＝47－39i. 16．(15分)(河北沧州高一期中)已知复数z＝m＋2i(i是虚数单位，m∈R)是方程x2－6x＋13＝0的根． (1)求|z|； (2)设复数z1＝，且复数z1在复平面内所对应的点在第二象限，求实数a的取值范围． 解　(1)由题知(m＋2i)2－6(m＋2i)＋13＝0，∴(4m－12)i＋m2－6m＋9＝0，即解得m＝3，∴z＝3＋2i，|z|＝＝. (2)z1＝＝＝. ∵复数z1在复平面内所对应的点在第二象限， ∴解得－<a<，∴实数a的取值范围为. 17．(15分)已知复数w满足w－4＝(3－2w)i(i为虚数单位)，z＝＋|－2|. (1)求z； (2)若(1)中的z是关于x的方程x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根． 解　(1)由w－4＝(3－2w)i，得w(1＋2i)＝4＋3i， ∴w＝＝＝2－i，∴＝2＋i. ∴z＝＋|－2|＝＋|i|＝＋1＝3＋i. (2)∵z＝3＋i是关于x的方程x2－px＋q＝0的一个根， ∴(3＋i)2－p(3＋i)＋q＝0， 即(8－3p＋q)＋(6－p)i＝0. ∵p，q为实数，∴解得 解方程x2－6x＋10＝0，得x＝3±i. ∴方程x2－6x＋10＝0的另一个根为x＝3－i. 18．(17分)已知复数z和w满足zw＋2iz－2iw＋1＝0，其中i为虚数单位． (1)若z和w还满足－z＝2i，求z和w的值； (2)求证：如果|z|＝，那么|w－4i|的值是一个常数，并求出这个常数． 解　(1)设w＝x＋yi(x，y∈R)， 则由－z＝2i，得z＝－2i＝x－(y＋2)i. ∴zw＋2iz－2iw＋1＝[x－(y＋2)i](x＋yi)＋2i[x－(y＋2)i]－2i(x＋yi)＋1＝x2＋y2＋6y＋5－2xi＝0. 根据复数相等的充分必要条件，得 ∴或 ∴z＝－i，w＝－i或z＝3i，w＝－5i. (2)证明：∵zw＋2iz－2iw＋1＝0， ∴z(w＋2i)＝2iw－1， ∴|z(w＋2i)|＝|2iw－1|，即|z|·|w＋2i|＝|2iw－1|. 又|z|＝，∴|w＋2i|＝|2iw－1|. 设w＝x＋yi(x，y∈R). 代入上式并整理得 ·＝. 两边平方，得3x2＋3y2＋12y＋12＝4x2＋4y2＋4y＋1. 化简，得x2＋y2－8y＝11. ∴|w－4i|＝|x＋yi－4i|＝＝＝＝＝3是一个常数． 故|w－4i|的值是一个常数，且这个常数为3. 19．(17分)(湖南岳阳高一下期末)设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，d∈R.在复数系中定义一个新运算，规定：z1z2＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)i. (1)已知|(2－i) (x＋i)|＝，求实数x的值； (2)现给出如下有关复数新运算的两个命题： ②若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0. 请判断以上两个命题是真命题还是假命题，并说明理由． 解　(1)由定义，得|(2－i) (x＋i)|＝|(2x－1)＋(2－x)i|＝，即(2x－1)2＋(2－x)2＝2，整理得5x2－8x＋3＝0，所以x＝1或x＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$