第6章 平面向量及其应用 章末检测卷(word练习)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教A版2019）

[对应素能提升训练第100页] （本卷满分150分；考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知P＝{a｜a＝（1，0）＋m（0，1），m∈R}，Q＝{b｜b＝（1，1）＋n（－1，1），n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于 （　　） A.{（1，1）} B.{（－1，1）} C.{（1，0）} D.{（0，1）} 解析　由题意可知P＝{a｜a＝（1，m），m∈R}，Q＝{b｜b＝（1－n，1＋n），n∈R}，设c∈P∩Q，则存在m，n使c＝（1，m）＝（1－n，n＋1），∴n＝0，m＝1，∴c＝（1，1）. 答案　A 2.已知O（0，0），A（2，0），B（3，1），则（－）·＝ （　　） A.4 B.2 C.－2 D.－4 解析　由已知得＝（2，0），＝（3，1），－＝（1，1），则（－）·＝（1，1）·（3，1）＝3＋1＝4. 答案　A 3．若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为(　　) A． B． C． D． 解析　因为＝4＝r＋s，所以＝＝(－)＝r＋s，所以r＝，s＝－，所以3r＋s＝－＝. 答案　C 4．(新课标全国Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) A．－2　　　　B．－1　　　　C．1　　　　D．2 解析　因为b⊥，所以b·＝0， 所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2. 答案　D 5.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ccos B＋bcos C＝，且b2＋c2－a2＝bc，则＝ （　　） A. B. C.2 D. 解析　把余弦定理代入ccos B＋bcos C＝得a＝， 由b2＋c2－a2＝bc得2bccos A＝bc， ∴cos A＝，∴A＝.∴＝＝2.故选C. 答案　C 6．已知P是△ABC的外心，且3＋4－2＝0，则cos C＝(　　) A．－ B．－ C．或－ D．或－ 解析　因为P是△ABC的外心，所以||＝||＝||.由题知2＝3＋4，两边平方得4||2＝9||2＋16||2＋24·，即4||2＝9||2＋16||2＋24||·||cos 2C，即4＝9＋16＋24cos 2C，所以－＝cos 2C＝2cos2 C－1，则cos C＝±.又由2＝3＋4＝3＋3＋4＋4，得＝＋.因为＋>1，所以C与外心P在AB的异侧，即C在劣弧AB上，所以C为钝角，即cos C＝－.故选B． 答案　B 7．(江苏无锡高一期末)设△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b＝2，a2sin C＝6sin A，则△ABC面积的最大值为(　　) A． B． C． D．3 解析　由正弦定理及a2sin C＝6sin A可得a2c＝6a，即ac＝6.由b＝2及余弦定理可知4＝a2＋c2－12cos B，所以4＋12cos B＝a2＋c2≥2ac＝12，当且仅当a＝c时取等号，所以cos B≥，所以sin B＝≤＝，所以S△ABC＝acsin B≤×6×＝，当且仅当a＝c时取等号，所以△ABC面积的最大值为.故选B． 答案　B 8.已知向量a，b满足｜a｜＝1，b＝（t，2－t），a－b与a垂直，则｜a－b｜的最小值为 （　　） A. B.1 C. D.2 解析　由题意知a－b与a垂直，则（a－b）·a＝0， 可得a·b＝a2＝1. 又由｜a－b｜＝＝＝， 所以当t＝1时，｜a－b｜取得最小值1.故选B. 答案　B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是 （　　） A.a2＝b2＋c2－2bccos A B.asin B＝bsin A C.a＝bcos C＋ccos B D.acos B＋bcos A＝sin C 解析　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，在A中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，故A正确；在B中，由正弦定理得＝，∴asin B＝bsin A，故B正确；在C中，由余弦定理得bcos C＋ccos B＝b×＋c×＝＝a，故C正确；在D中，由余弦定理得acos B＋bcos A＝a×＋b×＝c≠sin C，故D错误.故选ABC. 答案　ABC 10.在△ABC中，若b＝，c＝3，B＝30°，则a等于 （　　） A. B.2 C.3 D.4 解析　由正弦定理得＝，即＝，所以sin C＝.又0°＜C＜180°，所以C＝60°或120°.故A＝90°或30°，当A＝90°时，a2＝32＋（）2，a＝2；当A＝30°时，a＝b＝. 答案　AB 11．如图，已知长方形ABCD中，AB＝3，AD＝2，＝λ(0<λ<1)，则(　　) A．当λ＝时，＝＋ B．当λ＝时，cos 〈，〉＝ C．对任意λ∈(0，1)，⊥不成立 D．|＋|的最小值为4 解析　如图，以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(3，0)，C(3，2)，D(0，2)，由＝λ，可得E(3λ，2). 当λ＝时，E(1，2)，则＝(1，2)，＝(－2，2)，设＝m＋n，又＝(0，2)，所以得故＝＋，故A错误；当λ＝时，E(2，2)，则＝(2，2)，＝(－1，2)，故cos 〈，〉＝＝＝，故B正确；＝(3λ，2)，＝(3λ－3，2)，若⊥，则·＝3λ(3λ－3)＋2×2＝9λ2－9λ＋4＝0，对于方程9λ2－9λ＋4＝0，Δ<0，故不存在λ∈(0，1)，使得⊥，故C正确；＋＝(6λ－3，4)，所以|＋|＝≥4，当且仅当λ＝时等号成立，故D正确． 答案　BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在△ABC中，O为外心，H为△ABC所在平面内一点，且＝＋＋，则点H为△ABC的________心． 解析　因为＝＋＝＋，所以·＝(＋)·(－)＝0，所以⊥，同理⊥，⊥，则点H为△ABC的垂心． 答案　垂 13．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________． 解析　由余弦定理得b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×(－)，解得b＝4. 答案　4 14.如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一动点(含端点A，B).若AB＝2，则|＋|的取值范围是________. 解析　因为点C为的中点，AB＝2，所以||＝，∠CAB＝，所以|＋|2＝(＋)2＝2＋2＋2·＝||2＋||2＋2||||cos ＝||2＋2||＋2＝(||＋1)2＋1.因为点M为线段AB上的一动点(含端点)，所以0≤||≤2，所以2≤(||＋1)2＋1≤10，所以|＋|的取值范围是[，]. 答案　[，] 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知a＝(2x－y＋1，x＋y－2)，b＝(2，－2). (1)当x，y为何值时，a与b共线？ (2)是否存在实数x，y，使得a⊥b，且|a|＝|b|？若存在，求出xy的值；若不存在，请说明理由． 解　(1)因为a与b共线，所以存在实数λ，使得a＝λb， 所以解得 所以当x＝，y为任意实数时，a与b共线． (2)由a⊥b⇒a·b＝0⇒(2x－y＋1)×2＋(x＋y－2)×(－2)＝0⇒x－2y＋3＝0.① 由|a|＝|b|⇒(2x－y＋1)2＋(x＋y－2)2＝8.② 联立①②解得或 所以xy＝－1或xy＝. 所以存在实数x，y，使得a⊥b，且|a|＝|b|， 此时xy＝－1或xy＝. 16．(15分)已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量m＝(cos B，sin B－2sin C)，n＝(2cos C＋cos B，sin B)，且m⊥n. (1)求A； (2)若BC＝，求AB＋AC的取值范围． 解　(1)∵m＝(cos B，sin B－2sin C)，n＝(2cos C＋cos B，sin B)，且m⊥n， ∴m·n＝cos B(2cos C＋cos B)＋sin B(sin B－2sin C)＝0， 化简得2cos (B＋C)＋1＝0，即－2cos A＋1＝0， ∴cos A＝.∵A∈(0，π)，∴A＝. (2)由正弦定理可得＝＝＝＝2，∴AC＝2sin B，AB＝2sin C． ∴AB＋AC＝2sin C＋2sin B＝2sin B＋2×sin (－B)＝2sin B＋2(cos B＋sin B) ＝2sin (B＋). ∵B∈(0，)，∴B＋∈(，)， ∴sin (B＋)∈(，1]， ∴2sin ∈(，2]. 即AB＋AC∈(，2]. 17．(15分)(新课标全国Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2. (1)求A； (2)若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长． 解　(1)解法一：常规方法(辅助角公式) 由sin A＋cos A＝2可得sin A＋cos A＝1， 即sin ＝1， 由于A∈(0，π)⇒A＋∈，故A＋＝， 解得A＝. 解法二：常规方法(同角三角函数的基本关系) 由sin A＋cos A＝2，又sin2 A＋cos2 A＝1，消去sin A得到4cos2 A－4cos A＋3＝0⇔(2cos A－)2＝0， 解得cos A＝.又A∈(0，π)，故A＝. (2)由题设条件和正弦定理可得 bsin C＝csin 2B⇔sin Bsin C＝2sin Csin Bcos B． 又B，C∈(0，π)，则sin Bsin C≠0，进而cos B＝， 得到B＝，于是C＝π－A－B＝， sin C＝sin (π－A－B)＝sin (A＋B) ＝sin Acos B＋sin Bcos A＝. 由正弦定理可得＝＝， 即＝＝， 解得b＝2，c＝＋， 故△ABC的周长为2＋＋3. 18．(17分)某景区拟开辟一个平面示意图是如图所示的五边形ABCDE的观光步行道，BE为景点电动车专用道，∠BCD＝∠CDE＝，∠AEB＝2∠A，DE＝12 km，BC＝CD＝3km. (1)求景点电动车专用道BE的长； (2)由于受资金的限制，折线步行道BAE(即AB＋AE)不能超过20 km，问景区可不可以铺设该步行道？ 解　(1)连接BD，在△BCD中， CD＝BC＝3，∠DCB＝， 所以BD2＝CD2＋BC2－2CD·BC cos ∠DCB＝(3)2＋(3)2＋2×3×3×＝81， 所以BD＝9. 由题意可知∠CDB＝，所以∠EDB＝. 在Rt△EDB中，BE2＝DE2＋BD2＝122＋92＝225， 所以BE＝15，即景点电动车专用道BE的长为15 km. (2)设∠A＝θ，则∠AEB＝2θ，∠ABE＝π－3θ，0<θ<. 在△AEB中，由正弦定理得＝＝， 所以AB＝＝30cos θ，AE＝＝＝＝15(cos 2θ＋2cos2 θ)＝15(4cos2 θ－1)， 所以AB＋AE＝30cos θ＋15(4cos2 θ－1)＝15(4cos2 θ＋2cos θ－1). 设t＝cos θ，<t<1， 则AB＋AE＝15(4t2＋2t－1)＝60－. 因为y＝60－在上单调递增， 所以15<y<75. 因为15<20<75，所以景区可以铺设该步行道． 19．(17分)给出定义：对于向量＝(sin x，cos x).若函数f(x)＝·，则称向量为函数f(x)的伴随向量，同时称函数f(x)为向量的伴随函数． (1)设向量＝(，1)的伴随函数为g(x)，若g(α)＝，且α∈，求cos α的值； (2)已知A，B(1，3)，函数h(x)的伴随向量为＝(0，1)，请问函数h(x)的图象上是否存在一点P，使得|＋|＝||，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解　(1)由题意得g(x)＝sin x＋cos x＝2sin ， 由g(α)＝2sin ＝，得sin ＝. 因为α∈，所以α＋∈， 所以cos ＝＝， 所以cos α＝cos ＝cos cos ＋sin sin ， 即cos α＝×＋×＝. (2)由题意得h(x)＝cos x，设P(x，cos x)， 因为A，B(1，3)， 所以＝，＝(x－1，cos x－3)，＝， 所以＋＝. 由|＋|＝||，得＝， 即＝－x2. 因为－1≤cos x≤1，所以－≤cos x－≤－， 所以≤≤. 又－x2≤，所以当且仅当x＝0时，和－x2同时等于，此时＝－x2成立，所以在函数h(x)的图象上存在一点P(0，1)，使得|＋|＝||. 学科网（北京）股份有限公司 $$