7.3.1 复数的三角表示式 7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义(word练习)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教A版2019）

[对应素能提升训练第35页] 1.复数－＋i的三角形式是 （　　） A.cos 60°＋isin 60° B.－cos 60°＋isin 60° C.cos 120°＋isin 60° D.cos 120°＋isin 120° 解析　令z＝－＋i＝a＋bi（a，b∈R），则r＝｜z｜＝1，a＝－，b＝，∴可取θ＝120°. ∴－＋i的三角形式是cos 120°＋isin 120°. 答案　D 2.复数（sin 10°＋icos 10°）（sin 10°＋icos 10°）的三角形式是 （　　） A.sin 30°＋icos 30° B.cos 160°＋isin 160° C.cos 30°＋isin 30° D.sin 160°＋icos 160° 解析　（sin 10°＋icos 10°）（sin 10°＋icos 10°）＝（cos 80°＋isin 80°）（cos 80°＋isin 80°）＝cos 160°＋isin 160°.故选B. 答案　B 3.2÷[2（cos 60°＋isin 60°）]＝ （　　） A.＋i B.－i C.＋i D.－i 解析　2÷2（cos 60°＋isin 60°）＝2（cos 0°＋isin 0°）÷[2（cos 60°＋isin 60°）]＝cos（0°－60°）＋isin（0°－60°）＝cos（－60°）＋isin（－60°）＝－i.故选B. 答案　B 4.复数cos ＋isin 经过n次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n的值等于 （　　） A.3 B.12 C.6k－1（k∈Z） D.6k＋1（k∈Z） 解析　由题意，得＝cos ＋isin ＝cos －isin ，由复数相等的定义，得 解得＝2kπ－（k∈Z）， ∴n＝6k－1（k∈Z）. 答案　C 5.复数cos ＋isin 的辐角主值是　　　　. 解析　原式＝cos＋isin＝cos ＋isin ，故其辐角主值为. 答案　 6.设（1＋i）z＝i，则复数z的三角形式为　　　　. 解析　∵（1＋i）z＝i，∴z＝＝＝（1＋i）＝. 答案　 7.计算： （1）2×； （2）2÷. 解　（1）原式＝2× ＝＝－＋i. （2）原式＝2÷ ＝2 ＝2＝－2i. 8.设A，B，C是△ABC的内角，z＝（cos A＋isin A）÷（cos B＋isin B）（cos C＋isin C）是一个实数，则△ABC是 （　　） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.形状不能确定 解析　由题意知arg z＝A－B＋C＝π－2B＝0，则B＝. 答案　C 9.复数z＝cos ＋isin 是方程x5＋α＝0的一个根，那么α的值为 （　　） A.＋i B.＋i C.－－i D.－－i 解析　因为z＝cos ＋isin 是方程x5＋α＝0的一个根，所以α＝－x5＝－＝－cos －isin ＝－－i. 答案　D 10．(河北沧州高一期中)已知(cos x＋isin x)n＝cos nx＋isin nx(其中i为虚数单位)，那么复数(cos ＋isin )2 023在复平面内所对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　由(cos x＋isin x)n＝cos nx＋isin nx，可得(cos ＋isin)2 023＝cos ＋isin ＝cos(404π＋)＋isin(404π＋)＝cos ＋isin .因为cos <0，sin >0，所以复数(cos ＋isin)2 023在复平面内所对应的点位于第二象限．故选B． 答案　B 11．(上海高一期末)欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，则复数的虚部为________. 答案　1 12.如图所示，等边三角形ABC的两个顶点A，B所表示的复数分别是＋i和2，则点C所表示的复数为　　　　. 解析　A，B所表示的复数分别是＋i和2，所表示的复数为－i，把逆时针旋转60°得到，对应的复数为（cos 60°＋isin 60°）＝＋i，＝＋＝＋i＋＋i＝2＋i，即点C对应的复数是2＋i. 答案　2＋i 13.设z1＝＋i，z2＝1－i，z3＝sin ＋icos ，求的值. 解　∵z1＝＋i＝2， z2＝1－i＝， ∴＝ ＝ ＝4 ＝4 ＝－2－2i. 14.设复数z1＝＋i，复数z2满足｜z2｜＝2，且z1·在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，且arg z2∈（0，π），求z2的代数形式. 解　因为z1＝＋i＝2， 设z2＝2（cos α＋isin α），α∈（0，π）， 所以z1·＝2×4（cos 2α＋isin 2α）＝8. 由题设知2α＋＝2kπ＋（k∈Z）， 所以α＝kπ＋（k∈Z）. 又a∈（0，π），所以α＝， 所以z2＝2＝－1＋i. 学科网（北京）股份有限公司 $$