训练十八 复数的三角表示式 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测素能提升训练（人教A版2019）

训练十八 复数的三角表示式 复数乘、除运算的 三角表示及其几何意义 基础练学考测评 1.D 令z=-2+停i=a+bi(a,b∈R),则r=|z|=1, ∴可取0=120°. ∴-2+i的三角形式是cos 120°+isin 120°. 2.B (sin 10°+icos 10°)(sin 10°+icos 10°)=(cos 80°十 isin 80°)(cos 80°+isin 80°)=cos 160°+isin 160°.故选B. 3.B 2÷2(cos 60°+isin 60°)=2(cos 0°+isin 0°)÷ [2(cos 60°+isin 60°)]=cos(0°-60°)+isin(0°—60°) =cos(-60°)+isin(-60°)=2-3i.故选B. (cos 3+isin3)=cos3T+isin3=4.C 由题意，得 cos 3-isin3,由复数相等的定义，得 解得”3=2kπ-3(k∈Z), n=6k-1(k∈Z). 5.解析 原式=cos(2π+号)+isin(2π+号)=cos7+ isin7, 7.,故其辐角主值为 7答案 6.解析 ∵(1+i)z=i,∴z=1+-i(-=2(1+i)= (cos 4+isin 否). (cos 4+isin否)答案 7.解(1)原式=2×4[os(否+3m)+isn(6+3m)] =3(cos5m+isingm)=-343+3 (2)原式=2√3[cos(-否)+isin(-6)]÷ [√3(cos g+ising)] =2[cos(-6-弯)+isin(-6-g)] =2[cos(-否)+isin(-云)]=-2i. 能力练迁移运用 B=28.C 由题意知 arg z=A-B+C=π—2B=0,则 9.D 因为z=cos i5+isin 15是方程 x3+α=0的一个 根，所以a=-a?=-(cos 5+isin 5)=-cosg- ising=-2- (cos号10.B 由(cos x+isin x)"=cos nx+isin nx,可得( +isin号)=cos2023m+isin2023m=cos(404m+ cos55)+isin(404π+5)=cos?+isin35.因为 <0,sin3弯>0,所以复数(cos零+isin号)在复平 面内所对应的点位于第二象限.故选B. eti=cos4+isin=空+gi,所以11.解析 依题意得 --aa2)-2-z望-1+. 的虚部为1.所以复数 答案 1 +停和2,AB所12.解析 A,B所表示的复数分别是 3-3i,把AB逆时针旋转 60°得到AC,表示的复数为 (2-;)(cos 60°+isin 60°)=AC对应的复数为 2+停，c=0A+Ac=2+停+2+i=2+ √3i,即点C对应的复数是2+√3i. 答案 2+√3i 13.解 ∵x?=√3+i=2(cos 6+isin6), z?=1-i=√2(cos4+isin4), ( =4√2 cos(6+24-五)+isin(6+4五) =4√2[cos(5π+弯)+isin(5π+弯)] =-2√2-2√6i. 创新练素能培优 14.解 因为z?=√3+i=2(cos 6+isin 6), 设z?=2(cos a+isin α),α∈(0,π), 所以?·=2(cos 6+isin6)×4(cos2a+isin 2a) =8[cos(2a+否)+isin(2a+否)]. 由题设知2a+6=2kπ+2(k∈Z), a=kπ+2(k∈Z).所以 α=3,又 a∈(0,π),所以 ?=2(cos s+isin2r)=-1+√3i.所以 训练十九 棱柱、棱锥、棱台 基础练学考测评 1.D 由棱柱定义知，①③为棱柱。 2.B 余下部分是四棱锥A'-BCCB'. 3.AD 根据棱台的定义“用一个平行于棱锥底面的平面 去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台”,可 66 训练十八 复数的三角表示式 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 基础练 学考测评 1.复数一+2i的三角形式是 ( ) A.cos 60°+isin 60° B.—cos 60°+isin 60° C.cos 120°+isin 60° D.cos 120°+isin 120° 2.复数(sin 10°+icos 10)(sin 10°+icos 10°) 的三角形式是 ( ) A.sin 30°+icos 30° B.cos 160°+isin 160° C.cos 30°+isin 30° D. sin 160°+icos 160° 3.2÷[2(cos 60°+isin 60°)]= ( ) A.2+ B.-2 D.3-c.s+2 cos g+ising经过n次乘方后，所得4.复数c 的复数等于它的共轭复数，则 n的值等于 ( ) A.3 B.12 C.6k—1(k∈Z) D.6k+1(k∈Z) cos15m+isin15π5.复数 的辐角主值是 6.设(1+i)z=i,则复数z的三角形式为 7.计算： (1)2(cos 否+isin否)×4(cos 3π+ isingm); (2)2√3(cos 6-isin6)÷[√3(cos g+ ising)]. 能力练 迁移运用 8.设 A,B,C是△ABC的内角，z=(cos A+ isin A)÷(cos B+isin B)(cos C+isin C) 是一个实数，则△ABC是 ( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.形状不能确定 9.复数 z=cos 15+isin5是方程x?+a=0 的一个根，那么α的值为 ( ) A.+2 B.2+经 D.-1-c.-3-2 10.(河北沧 州高一期中)已知(cos x十 isin x)”=cos nx+isin nx(其中i为虚数 单位),那么复数(cosg+isin5)在复 ( )平面内所对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 35 ?高中数学·必修 第二册 11.(上海高一期末)欧拉公式 e2= cos x+ isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学 家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩 大 到 复 数 集，则 复 数 的 虚 部 为 12.如图 所示，等边 三角 形 y ?C A ABC的两个顶点 A,B所 o B +表示的复数分别是 和2,则点C所表示的复数为 . 创新练 素能培优 14.设复数z?=√3+i,复数z2满足|z?|=2, 且≈1·z2在复平面内对应的点在虚轴的 负半轴上，且 arg z?∈(0,π),求z2的代 数形式. 13.设z?=√3+i,z?=1-i,z3= sin2+ icos 12,求 的值. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3