6.3.1 平面向量基本定理(word练习)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教A版2019）

[对应素能提升训练第11页] 1．已知{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列选项中，不能作为基底的是(　　) A．{2e1－e2，2e2－4e1} B．{e1＋e2，e1－2e2} C．{e1－2e2，e1} D．{e1＋e2，2e2＋e1} 解析　 A 因为2e2－4e1＝－2(2e1－e2)，所以2e1－e2和2e2－4e1共线，不能作为基底 B 设e1＋e2＝λ(e1－2e2)＝λe1－2λe2，则无解，故e1＋e2和e1－2e2不共线，能作为基底 C 与B同理可得e1－2e2和e1不共线，e1＋e2和2e2＋e1也不共线，均能作为基底 D 由以上分析知选A． 答案　A 2.已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件为 （　　） A.λ＝0 B.e2＝0 C.e1∥e2 D.e1∥e2或λ＝0 解析　当e1∥e2时，a∥e1.因为b＝2e1，所以b∥e1.又因为e1≠0，所以a与b共线；当λ＝0时，a∥e1，因为b＝2e1，所以b∥e1.又因为e1≠0，所以a与b共线.故选D. 答案　D 3.已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有＝＋λ，则λ＝ （　　） A. B. C.－ D.－ 解析　因为A，B，D三点共线，所以存在实数t，使＝t，则－＝t（－）.所以＝＋t（－）＝（1－t）＋t.所以解得λ＝－. 答案　C 4.在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，F满足＝2.若＝x＋y，则x＋y＝ （　　） A.－ B.－ C.－ D.－ 解析　因为＝＋＝－－，x＋y＝x（＋）＋y＝（x＋y）＋x，所以x＋y＝－.故选A. 答案　A 5．(山东泰安高一期中)已知{e1，e2}是平面内的一个基底，若向量a＝4e1－2e2与b＝－2e1＋λe2共线，则λ＝________. 解析　因为a＝4e1－2e2与b＝－2e1＋λe2共线，所以存在实数t，使a＝tb，即4e1－2e2＝t(－2e1＋λe2)＝－2te1＋λte2，所以解得λ＝1. 答案　1 6.如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a，b表示＝　　　　　　　　　　. 解析　＝＋＋＝a＋b＋＝a＋b＋b－a＝a＋b. 答案　a＋b 7.如图，设D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且AF＝AB，BD＝BC，CE＝CA.若记＝m，＝n，试用m，n表示，，. 解　∵＝m，＝n， ∴＝－m－n， ∴＝＋＝＋ ＝－m－n＋n＝－m－n. ＝＋＝＋＝n＋m. ＝＋＝＋＝m＋（－m－n）＝m－n. 8．(多选)若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法正确的是(　　) A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B．对于平面α内的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数多对 C．若λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2) D．若存在实数λ，μ，使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 解析　由平面向量基本定理，可知A，D说法正确，B说法错误．对于C，当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故C说法错误． 答案　AD 9.在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝4，P为AD的中点，＝ （　　） A.a＋b B.a＋b C.－a－b D.a＋b 解析　在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，所以＝a＋b，所以＝4＝＝（a＋b）.因为P为AD的中点，所以＝－＝b－＝－a－b. 答案　C 10．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为线段AB上的点，且＝x·＋y·，则xy的最大值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　∵P为线段AB上的点，∴存在实数λ使得＝λ(0≤λ≤1)，∴＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ(0≤λ≤1).又＝＋，∴∴xy＝12(1－λ)λ＝－12＋3≤3，当且仅当λ＝时，等号成立，故xy的最大值是3. 答案　C 11.已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且＝2，则＝　　　　　　，＝　　　　　　（用，表示）.  解析　如图，∵＝2，∴＝－＝－，＝＋＝＋＝＋（－） ＝＋. 答案　－　＋ 12.已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝y，＝x，其中x，y∈R，且均不为0.若∥，则＝　　　　. 解析　因为＝－＝x－y， 由∥，可设＝λ， 即x－y＝λ（－）＝λ ＝－＋λ，所以则＝. 答案　 13.证明三角形的三条中线交于一点. 证明　 如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线. 令＝a，＝b，则＝－＝a－b，＝＋＝a－b， ＝＋＝－a＋b. 令AD与BE交于点G1，并假设＝λ，＝μ， 则有＝λa－b，＝－a＋μb. 又＝＋＝a＋（μ－1）b， ∴解得λ＝μ＝，∴＝. 再令AD与CF相交于点G2，同理可得＝.∴G1与G2重合，即AD，BE，CF相交于同一点.故三角形的三条中线交于一点. 14．(河南郑州月考)如图，在△ABC中，点O在边BC上，且OC＝2OB．过点O的直线分别交射线AB、射线AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n. (1)求2m＋n的值； (2)若＋≥2＋恒成立，求实 数t的最小整数值． 解　(1)连接AO，因为OC＝2OB， ＝m，＝n， 所以＝＋＝m＋n. 因为M，O，N共线，所以m＋n＝1，则2m＋n＝3. (2)显然t>0，所以＋≥2＋等价于＋≥，即≥.因为＋＝(2m＋n)＝≥1＋，当且仅当n＝m，即m＝3－，n＝3－3时，＋取到最小值，为1＋＝，于是≥，t≥6－3.故实数t的最小整数值是2. 学科网（北京）股份有限公司 $$