6.3.1平面向量基本定理同步练习-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.3.1　平面向量基本定理 一．选择题 1．给出下列三种说法： ①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量． 其中，说法正确的有(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是(　　) A．e1＋e2和e1－e2 B．2e1－3e2和4e1－6e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e2和e1＋e2 3．在△ABC中，＝a，＝b，若＝，M为线段AD的中点，则＝(　　) A．a＋b B．a＋b C．a－b D．a－b 4．如图所示，在矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于(　　) A．(5e1＋3e2) B．(5e1－3e2) C．(3e2－5e1) D．(5e2－3e1) 5．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知＝3＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b 6．如图，在△ABC中，E为边AB的中点，F为边AC的中点，BF交CE于点G.若＝x＋y，则xy等于(　　) A． B． C． D． 7．如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)．若＝a＋b，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a，b满足(　　) A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0 8．(多选题)已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，＝b，给出下列结论，其中正确的结论为(　　) A．＝－a－b B．＝a＋b C．＝－a＋b D．＝a 二．填空题 9．如图，向量a－b＝________. 10．如图，点A，B，C是圆O上三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P.若＝m＋2m，＝λ，则λ＝________. 三．解答题 11．如图，点B与点C关于点A对称，点D在线段OB上，＝2，DC和OA交于点E.设＝a，＝b，用a和b表示向量. 12．在△ABC中，已知D为边BC的中点，E，F为边BC的三等分点．若＝a，＝b，用a，b表示. 13．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2． (1)证明：{a，b}可以作为一个基底； (2)以{a，b}为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式； (3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值． 6.3.1　平面向量基本定理 一．选择题 1．B　解析：只要两个平面向量不共线都可以作为基底，所以①错误，②③正确．故选B． 2．B　解析：不共线的向量可以作为基底，所以不能作为基底的便是共线向量，显然选项B中，4e1－6e2＝2(2e1－3e2)，所以2e1－3e2和4e1－6e2共线．故选B． 3．A　解析：如图所示，可知2＝＝＝＝)＝，所以＝a＋b.故选A． 4．A　解析：＝＝)＝)＝(5e1＋3e2)．故选A． 5．A　解析：因为＝3， 所以＝＝＝)＝(－)， 所以＝，整理，得＝＝a＋b. 故选A． 6．C　解析：由题意知，G是△ABC的重心，延长AG与边BC交于点D(图略)， 所以＝＝)＝. 又因为E为边AB的中点，F为边AC的中点，故＝2＝2， 则＝，即x＝y＝，所以xy＝.故选C． 7．B　解析：因为＝a＋b，点P落在第Ⅲ部分，则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a与方向相同，b与方向相反，所以a＞0，b＜0． 故选B． 8．ABC　解析：如图所示， ＝＝－＝－＝－b－a，A正确； ＝＝a＋b，B正确； ＝＝－b－a，＝＝＝b＋(－b－a)＝b－a，C正确； ＝＝－a，D不正确． 故选ABC． 二．填空题 9．e1－3e2　解析：不妨令a＝，b＝，则a－b＝＝，由平行四边形法则可知＝e1－3e2． 10． 　解析：因为与共线，所以存在实数μ，使＝μ＝mμ＋2mμ. 因为＝， 所以＝mμ＋2mμ＝(mμ－1)＋2mμ＝λ＝λ()＝－λ＋λ. 因为与不共线， 所以 解得λ＝. 三．解答题 11．解：因为点B与点C关于点A对称，所以A是BC的中点． 因为＝a，＝b，所以2＝，即2a＝b＋， 所以＝2a－b，＝＝2a－b－b＝2a－2b. 又因为＝2，所以＝＝b＋2a－2b＝2a－b. 综上，＝2a－b，＝2a－b. 12．解：如图所示，＝a，＝b， 故＝＝b－a. ＝＝＝a＋(b－a)＝a＋b； ＝＝＝a＋(b－a)＝a＋b； ＝＝＝a＋(b－a)＝a＋b. 13．(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)． 由e1，e2不共线，得所以λ不存在，故a与b不共线，可以作为一个基底． (2)解：设c＝ma＋nb(m，n∈R)， 则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2， 所以解得 所以c＝2a＋b. (3)解：由4e1－3e2＝λa＋μb， 得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2． 所以解得 故所求λ，μ的值分别为3和1． 1/7 学科网（北京）股份有限公司 $$