精品解析：安徽省六安第一中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

六安一中2024年秋学期高二年级期末考试 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若函数的导函数存在，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 直线，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C 充要 D. 既不充分也不必要 3. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知定点，点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 5. 点A是曲线上任意一点，则点A到直线最小距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列为等比数列，为数列的前n项和.若，，成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 7. 若直线l与两函数、的图象都相切，则该直线的斜率为（ ） A. 0或1 B. 1或 C. 1或 D. 或 8. 已知为椭圆的右焦点，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，若△OFP是以OF为底边的等腰三角形，且外接圆的面积为，则椭圆C的短轴长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列命题不正确的是（ ） A. 常数列既是等差数列，又是等比数列 B. 等差数列的公差，则是递增数列 C. 数列的前项和，则是等比数列 D. 等比数列是递增数列，则的公比 10. 已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆两条切线，切点分别为A、，则下列描述正确的有（ ） A. 直线与圆相交 B. 的最小值为 C. 不存在点，使得 D. 直线过定点 11. 下列不等关系中正确的有（ ） A. B. C. D 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的导函数为，若，则__________. 13. 若数列满足，，则__________． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点，直线与双曲线的另一交点为，若，且的面积是的面积的3倍，则双曲线的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，，数列是以1为公差的等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列前项和. 16. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且，直线与抛物线交于另一点，点在抛物线的准线上，且轴. （1）求抛物线的方程； （2）若线段中点的纵坐标为，求直线的方程； （3）求证：直线过定点，并求该定点坐标. 17. 已知函数. （1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围； （2）若在区间上的最小值为，求实数的值. 18. 已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点. （1）若椭圆上点满足，求的值； （2）定点在轴上，若点S为椭圆上一动点，当取得最小值时点S恰与椭圆的右顶点重合，求实数的取值范围； （3）设椭圆的左右顶点分别为、，过的直线交椭圆于点、（异于、），设直线、的斜率分别为、，求的值. 19. 已知函数的定义域为，设，曲线在点处的切线交轴于点，当时，设曲线在点处的切线交轴于点，依次类推，称得到的数列为函数关于的“数列”，已知. （1）求证：的图象与轴有两个交点； （2）若是函数关于的“数列”，记. ①证明：数列为等比数列，并求其通项公式； ②记，（），证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 六安一中2024年秋学期高二年级期末考试 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若函数的导函数存在，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的概念将已知式配凑成定义式可得答案. 【详解】，所以， 故选：C. 2. 直线，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两直线垂直时的值，进而可判断充分必要条件． 【详解】直线， 当时，有，解得或. 所以“”时“”成立，“”时“”不一定成立， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线焦点得双曲线的半焦距，进而求得，即可求解渐近线方程. 【详解】的焦点是，∴双曲线的半焦距， 又虚半轴长且， ∴双曲线的渐近线方程是. 故选：D 4. 已知定点，点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中点关系，即可将代入圆的方程求解. 【详解】设，则，由于在上运动， 故，化简得， 故选：D. 5. 点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】动点在曲线，则找出曲线上某点的斜率与直线的斜率相等的点为距离最小的点，利用导数的几何意义即可 【详解】不妨设，定义域： 对求导可得： 令 解得：（其中舍去） 当时，，则此时该点到直线的距离为最小 根据点到直线的距离公式可得： 解得： 故选：A 6. 已知数列为等比数列，为数列的前n项和.若，，成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差中项性质以及等比数列前n项和公式代入计算可得结果. 【详解】设数列的公比为， 由，，成等差数列可得，即， 因为，所以，解得或（舍）； 所以. 故选：A 7. 若直线l与两函数、的图象都相切，则该直线的斜率为（ ） A. 0或1 B. 1或 C. 1或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】设出直线方程，利用导数的几何意义可得答案. 【详解】设直线l的方程为，分别与两函数相切于， ，，则，整理得①； 由，整理得②； 联立①②可得，解得或. 故选：C 8. 已知为椭圆的右焦点，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，若△OFP是以OF为底边的等腰三角形，且外接圆的面积为，则椭圆C的短轴长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由外接圆面积求半径，应用正弦定理求中的，结合已知有，根据中点弦，应用点差法有，即可求椭圆的长轴长. 【详解】 由外接圆的面积为， 则其外接圆半径为，设， 因为是以为底边等腰三角形， 所以，所以， 所以，所以或， 不妨设点在轴下方，由是以OF为底边的等腰三角形得或， 根据点差法可得， 有，而（此时焦点在轴上，舍去）， 因为为椭圆的右焦点， 所以，故椭圆的短轴长为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：利用外接圆的面积求半径，由正弦定理、等腰三角形的性质求相关直线斜率，应用点差法列方程求椭圆参数. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列命题不正确的是（ ） A. 常数列既是等差数列，又是等比数列 B. 等差数列的公差，则是递增数列 C. 数列的前项和，则是等比数列 D. 等比数列是递增数列，则的公比 【答案】ACD 【解析】 【分析】举例说明判断A；利用递增等差数列及公差的意义判断B；由数列的通项和前项和的关系求解判断C；利用递增等比数列求得公比判断D. 【详解】对于A，当时，该常数列不是等比数列，A错误； 对于B，若，即，则，是递增数列，B正确； 对于C，由，当时，， 当时，， 当时，代入上式，，所以， 则数列不是等比数列，C错误； 对于D，等比数列是递增数列，当时，；当时，，D错误. 故选：ACD 10. 已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A、，则下列描述正确的有（ ） A. 直线与圆相交 B. 的最小值为 C. 不存在点，使得 D 直线过定点 【答案】BD 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离及点圆的位置关系可判定A，B；由切线长定理结合正弦函数的单调性确定的最大值即可判定C，根据两圆的位置关系及公共弦方程可得直线方程判定D. 【详解】圆的圆心，半径，连接， 对于A，点到直线的距离， 直线与圆相离，故A错误； 对于B，点在圆上，则，故B正确； 对于C，由切线长定理知，，而， 又是锐角，正弦函数在上单调递增，则的最大值为， 当且仅当时取等号，因此的最大值为，故C错误； 对于D，设，则以为直径的圆的方程为， 即， 与已知圆的方程相减可得直线的方程为， 即，由， 解得，即直线过定点，故D正确. 故选：BD. 【点睛】思路点睛：利用点与圆可处理直线与圆上点的距离最值问题，根据直线与圆、圆与圆的位置关系处理相切及切点弦问题即可. 11. 下列不等关系中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，利用导数说明函数的单调性，利用函数的单调性判断A、D，利用与0的大小关系判断B；令，求导，利用单调性判断C. 【详解】令，则， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以， 又，所以，所以， 所以，所以，故A正确； 又，即，所以，即，故D正确； 因为，所以，故B正确； 令，则， 当时，，即函数在上为减函数， 所以，所以，所以， 所以，即即，故C错误. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解决的关键在于观察不等式的结构，通过构造函数，判断函数的单调性，利用单调性比较大小即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数导函数为，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由求导，先求得，进而得到 求解. 【详解】解：因为， 所以，则 ， 解得 ，所以 ， 所以 ， 故答案为： 13 若数列满足，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据与的关系，结合累乘法求解即可. 【详解】因为①， 所以②， ②①得，， 所以有， 所以． 故答案为：. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点，直线与双曲线的另一交点为，若，且的面积是的面积的3倍，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的定义，结合三角形的余弦定理和离心率公式，计算可得所求值． 【详解】设，由双曲线的定义可得， 由的面积是的面积的3倍，可得， 因为，所以，解得，，在中，； 在中，，解得，即. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：本题关键结合双曲线的定义及余弦定理求出a、c 的关系. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，，数列是以1为公差的等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数列是以1为公差的等差数列，得到，再利用通项和前n项和的关系求解； （2）由，利用错位相减法求解. 【小问1详解】 解：数列是以1为公差的等差数列，且， ，， 当时，； 经检验，当时，满足上式. . 【小问2详解】 由，则， 则， ， 两式相减得 ， 所以. 16. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且，直线与抛物线交于另一点，点在抛物线的准线上，且轴. （1）求抛物线的方程； （2）若线段中点的纵坐标为，求直线的方程； （3）求证：直线过定点，并求该定点坐标. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）由可得，进而可得； （2）设方程为，联立，可得，进而可得； （3）设，可得直线方程为，由，，可得，进而可得. 【小问1详解】 由抛物线的定义知：， 所以，解得，所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，，因为的斜率不为，设方程为，， 联立，得， 所以， 又由，得，所以方程为，即. 【小问3详解】 由（2）知：， 因为，所以方程为， 即：，又因为， 所以， 故直线方程为， 所以直线经过点. 17. 已知函数. （1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围； （2）若在区间上的最小值为，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）问题转化为在上恒成立，进而可得； （2）先根据与区间的关系分类：当时，函数单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在单调递减，进而根据最小值为可得. 【小问1详解】 由题意函数的定义域为， ， 因为在区间上单调递增，所以在上恒成立， 只需，即实数的取值范围是. 【小问2详解】 令，得或， ①当时，恒成立，在单调递增， 所以，不合题意，舍去； ②当时，；， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以，解得； ③当时，恒成立，在单调递减， 所以，解得，舍去； 综上所述，. 18. 已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点. （1）若椭圆上点满足，求的值； （2）定点在轴上，若点S为椭圆上一动点，当取得最小值时点S恰与椭圆的右顶点重合，求实数的取值范围； （3）设椭圆的左右顶点分别为、，过的直线交椭圆于点、（异于、），设直线、的斜率分别为、，求的值. 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用椭圆定义求解. （2）设，利用两点间距离公式建立函数关系，借助二次函数探讨最小值. （3）设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算即得. 【小问1详解】 椭圆的焦点， 由，设点，则，解得，即， 所以. 【小问2详解】 设，则，， 则， 所以，， 要使时取最小值，则必有，所以. 【小问3详解】 依题意，，设， 由消去，得， 则，即， 所以. 19. 已知函数的定义域为，设，曲线在点处的切线交轴于点，当时，设曲线在点处的切线交轴于点，依次类推，称得到的数列为函数关于的“数列”，已知. （1）求证：的图象与轴有两个交点； （2）若是函数关于的“数列”，记. ①证明：数列为等比数列，并求其通项公式； ②记，（），证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析，；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，求得单调区间，进而利根的存在性定理可判断在每个区间上各有一个零点； （2）①根据“数列”的含义，结合等比数列定义，即可证明结论；②，利用累加法可证明结论. 【小问1详解】 由题意知，， 当单调递减；当单调递增， 所以， 因为（或者：当时，）， （或者：）， 所以在和上各有一个零点， 即的图象与轴有两个交点. 【小问2详解】 ①， 则在处的切线斜率为， 所以在处的切线方程为， 令，解得， 所以，所以， 即， 所以是以首项为，公比为2的等比数列，所以 ②由， 则. 【点睛】难点点睛：本题考查了导数和数列知识的综合问题，难度较大，解答的难点在于数列不等式的证明，放缩法与累加法的运用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$