精品解析：广东省佛山市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量检测数学试题

2024~2025学年上学期佛山市普通高中教学质量检测 高一数学 2025年1月 本试卷共4页，19小题.满分150分.考试用时120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，集合，则. 故选：D. 2. 已知命题，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】由题意可知，命题为全称量词命题，该命题的否定为：，. 故选：B. 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数定义域和具体函数的定义域的求法，即可列式求解. 【详解】函数的定义域需满足不等式，解得：且， 所以函数的定义域是. 故选：C 4. 已知某扇形的弧长和面积数值均为，则该扇形的圆心角（正角）为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形的弧长、面积公式列方程组来求得正确答案. 【详解】设圆心角为，半径为， 则，解得. 故选：B 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合选项中函数图象的特征，利用函数的性质，采用排除法求解即可. 【详解】由题可知，函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以函数为奇函数，所以排除选项BD；又，所以排除选项C. 故选：A. 6. 函数的最小值和最大值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出图象，结合图象可得的最小值和最大值. 【详解】画出的图象如图 画出图象如图 将两个图象画在一起，取下方图象，画出的图象，如图， 根据图象可知，函数的最小值和最大值分别为， 故选：B. 7. 若关于的方程有两相异实根，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两相异实根满足得到关于的不等式组，再解不等式组可得答案. 【详解】因为方程有两相异实根，且， 则，解得. 故选：C. 8. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则是（ ） A. 奇函数，在上单调递增 B. 奇函数，在上单调递减 C. 偶函数，在上单调递增 D. 偶函数，在上单调递减 【答案】A 【解析】 【分析】取及进行赋值可以判断奇偶性，再由单调性的定义进行证明即可． 【详解】解：因为， 所以，得， 令， 则， 得，则函数为奇函数， 设，且，得，则， 则 ， 因为，所以，而， 则， 得，得，故函数在上单调递增． 故选：A． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是第二象限角，且，角、、、的终边与角的终边分别关于原点、轴、轴、直线对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】求出的值，可得出角、、、的终边与单位圆的交点坐标，结合三角函数的定义逐项判断即可. 【详解】对于A选项，因为是第二象限角，且，则， 设角终边与单位圆（圆心为原点）的交点为， 由题意可知，角的终边与单位圆的交点坐标为，则，A错； 对于B选项，角的终边与单位圆的焦点坐标为，则，B对； 对于C选项，角的终边与单位圆的交点坐标为，则，C对； 对于D选项，角的终边与单位圆的交点坐标为，则，D错. 故选：BC. 10. 某机构根据逻辑斯蒂增长模型结合过去15年的数据，对2010~2040年我国新能源汽车的市场渗透率进行了模拟和预测，得到我国新能源汽车的市场渗透率与时间（单位：年，规定表示2010年初）的函数关系为，则下列结论正确的是（ ）参考数据：. A. 的图象关于点中心对称 B. 的图象关于直线对称 C. 2022年初，我国新能源汽车的市场渗透率不足 D. 预计2030年初，我国新能源汽车的市场渗透率超过 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出的值判断A；求出的值判断B；结合，求出判断C；结合，求出判断D. 【详解】对于A，， 所以的图象关于点中心对称，故A正确； 对于B，， 所以的图象不关于直线对称，故B错误； 对于C，，因为，所以，所以， 所以，故C正确； 对于D，，因为，所以， 所以，故D正确； 故选：ACD. 11. 2024年国庆假期期间，佛山市安排了精彩纷呈的文旅体活动，其中文化旅游活动备受市民青睐.某学校对120名学生在国庆期间参与佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演，顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动，广东千古情的“火人狂欢节”活动的情况进行了统计，统计结果如下表所示： 参与情况 参与人数 参与了佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演 60 参与了顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动 89 参与了广东千古情的“火人狂欢节”活动 50 至少参与了其中的一个活动 105 则下列说法正确的是（ ） A. 三项活动都没有参与的人数为15 B. 三项活动都参与的人数最多为47 C. 恰好参与一个活动的人数最少为21 D. 恰好参与两个活动的人数最多为94 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过设未知数，根据已知条件列出方程来求解各项人数的范围，结合图象从而判断选项的正确性. 【详解】设三项活动都参与的人数为，只参与佛山祖庙和顺德欢乐海岸活动的人数为， 只参与佛山祖庙和广东千古情活动的人数为， 只参与顺德欢乐海岸和广东千古情活动的人数为， 只参与佛山祖庙活动的人数为， 只参与顺德欢乐海岸活动的人数为，只参与广东千古情活动的人数为， 对于A，已知至少参与了其中一个活动的人数为105， 那么三项活动都没有参与的人数为，所以选项A正确； 对于B，根据已知条件可得： ，① ，② ，③ ，④ 将① ② ③得： ， ⑤ 用⑤ ④可得： ，即， 因为，即，解得， 所以三项活动都参与的人数最多为47，选项B正确； 对于C，由④可得， 将代入可得：， 因为，所以， 即恰好参与一个活动的人数最少为11， 选项C错误； 对于D，恰好参与两个活动的人数为， 因为，所以， 所以恰好参与两个活动的人数最多为94，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：本题主要涉及集合的相关概念和容斥原理。容斥原理是指先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中14题第一空2分，第二空3分. 12. 计算：__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数和对数运算求得正确答案. 【详解】原式， 故答案为：. 13. 若正数满足，则的最小值为__________. 【答案】25 【解析】 【分析】由，得到，再利用“1”的代换求解. 【详解】解：因为正数满足， 所以， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为25， 故答案为：25 14. 定义在上的函数满足，当时，，则__________，不等式的解集为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用题中解析式可得出，可求出的值；然后对所在区间进行分类讨论，结合指数函数单调性可解不等式，即可得出原不等式的解集. 【详解】因为定义在上的函数满足，当时，， 则； 当时，由，此时，恒成立； 当时，则，则， 由，可得， 又因为，则，解得，此时，； 当且时，且当时，则， 则， 此时，不等式无解； 当时，，则， 由可得， 由于，可得，解得，此时，； 当且时，且当，则， 则， 此时，不等式无解. 综上所述，不等式解集为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对所在区间进行讨论，求出函数解析式，结合指数函数单调性求解. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合或. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求集合，再求交集； （2）分集合和两种情况，列式求参数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 又因为或，所以； 【小问2详解】 若， 当，即时，，满足； 当，即时，， 要满足，只需， 解得，又因，所以. 综上可知，实数的取值范围为. 16. 已知. （1）求； （2）若是第一象限角，求的值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）配凑分母，根据正余弦齐次式的求法可构造方程求得结果； （2）利用同角三角函数关系化简所求式子，并求得的值，代入即可得到结果. 【小问1详解】 ， ，解得：或. 【小问2详解】 ， 是第一象限角，，， 由（1）知：，由得：， . 17. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，若函数. （1）求曲线的对称中心； （2）判断在区间上的单调性，并用定义证明. 【答案】（1） （2）单调递减，证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先设函数，判断函数是奇函数，即可判断函数的对称中心； （2）根据函数单调性定义，结合作差法，即可证明. 【小问1详解】 设， 则函数的定义域为，其定义域关于原点对称， 且， 所以为奇函数， 所以函数的对称中心为. 【小问2详解】 函数在上单调递减. 证明：，且， 则 ， 因为，所以， 又，所以，所以，即， 所以函数在上单调递减. 18. 已知函数. （1）讨论函数的零点个数； （2）若有两个零点有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由函数的零点转化为方程的根，设，利用数形结合法求解； （2）先根据有两个零点和有两个零点，得到，然后由，，利用对数运算构造求解. 【小问1详解】 解：函数的零点即方程的根， 设， 则函数的零点个数转化为方程根的个数. ， 显然在上单调递减，在上单调递增， 故. 所以，当时，没有零点； 当时，有1个零点； 当时，有2个零点. 【小问2详解】 由（1）知有两个零点，则， 有两个零点，则有两个根， 令，则有两个不同的交点， 如图所示： 则，综合可得. 结合（1）即，可知，即. 同理可求得， 所以， ， 当且仅当即取等号，所以. 因此的取值范围为. 19. 如图，有一块矩形空地，其中米，米，计划在图中的矩形内种植某种蔬菜，其中米，米，并过点修建一条笔直的小路（宽度忽略不计），点在线段上（含端点），点在线段上（含端点），设米，米. （1）求的值； （2）求面积的最小值，并求面积取得最小值时的值； （3）在线段上取一点，过点作，，垂足分别为、，求矩形面积最大值. 【答案】（1） （2）面积的最小值为，此时 （3） 【解析】 【分析】（1）由、，可得出，，结合可得出的值； （2）利用基本不等式可求得的最小值，利用等号成立的条件求出的值，再结合三角形的面积公式可求得结果； （3）过点作于点，作于点，设，对点的位置进行分类讨论，求出四边形的面积关于的函数关系式，结合二次函数的基本性质求解即可. 【小问1详解】 因为，所以；同理，由，得， 而，所以，即，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，即，则， 当且仅当时，即当时等号成立. 所以，当且仅当时取等号， 所以面积的最小值为平方米，面积取得最小值时的值为. 【小问3详解】 由题可知，矩形的面积取决于点的位置，连接并延长交于点， 连接并延长交于点， 则点在和的内部及其边界上， 显然，只有当点位于线段和线段上时，矩形的面积才有可能取到最大值. 则，即，即. 过点作于点，作于点，设. 如图1，当点在线段上时，由相似关系可得，即， 所以， 此时矩形的面积， 又，所以当时，矩形的面积取得最大值，最大值为平方米. 如图2，当点在线段上时，由相似关系可得，即， 所以， 此时矩形的面积， 又，所以当时，矩形的面积取得最大值，最大值为平方米. 综上可知，矩形的面积的最大值为平方米. 【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序： 第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论； 第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义； 第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年上学期佛山市普通高中教学质量检测 高一数学 2025年1月 本试卷共4页，19小题.满分150分.考试用时120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则命题否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知某扇形的弧长和面积数值均为，则该扇形的圆心角（正角）为（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C D. 6. 函数的最小值和最大值分别为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的方程有两相异实根，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则是（ ） A. 奇函数，在上单调递增 B. 奇函数，在上单调递减 C. 偶函数，在上单调递增 D. 偶函数，在上单调递减 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是第二象限角，且，角、、、的终边与角的终边分别关于原点、轴、轴、直线对称，则（ ） A. B. C. D. 10. 某机构根据逻辑斯蒂增长模型结合过去15年数据，对2010~2040年我国新能源汽车的市场渗透率进行了模拟和预测，得到我国新能源汽车的市场渗透率与时间（单位：年，规定表示2010年初）的函数关系为，则下列结论正确的是（ ）参考数据：. A. 图象关于点中心对称 B. 的图象关于直线对称 C. 2022年初，我国新能源汽车的市场渗透率不足 D. 预计2030年初，我国新能源汽车的市场渗透率超过 11. 2024年国庆假期期间，佛山市安排了精彩纷呈的文旅体活动，其中文化旅游活动备受市民青睐.某学校对120名学生在国庆期间参与佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演，顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动，广东千古情的“火人狂欢节”活动的情况进行了统计，统计结果如下表所示： 参与情况 参与人数 参与了佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演 60 参与了顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动 89 参与了广东千古情的“火人狂欢节”活动 50 至少参与了其中的一个活动 105 则下列说法正确的是（ ） A. 三项活动都没有参与的人数为15 B. 三项活动都参与的人数最多为47 C. 恰好参与一个活动的人数最少为21 D. 恰好参与两个活动人数最多为94 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中14题第一空2分，第二空3分. 12. 计算：__________. 13. 若正数满足，则的最小值为__________. 14. 定义在上的函数满足，当时，，则__________，不等式的解集为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合或. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知. （1）求； （2）若是第一象限角，求的值. 17. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，若函数. （1）求曲线的对称中心； （2）判断在区间上的单调性，并用定义证明. 18. 已知函数. （1）讨论函数的零点个数； （2）若有两个零点有两个零点，求的取值范围. 19. 如图，有一块矩形空地，其中米，米，计划在图中的矩形内种植某种蔬菜，其中米，米，并过点修建一条笔直的小路（宽度忽略不计），点在线段上（含端点），点在线段上（含端点），设米，米. （1）求的值； （2）求面积的最小值，并求面积取得最小值时的值； （3）在线段上取一点，过点作，，垂足分别为、，求矩形面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$