精品解析： 江苏省扬州市树人集团2024-2025学年上学期七年级数学期末试卷

扬州中学树人教育集团2024－2025学年第一学期期末试卷 七年级数学 （试卷总分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，运算正确是（ ） A. B. C. D. 3. 要整齐地栽一行树，只要确定两端树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里面包含的数学事实是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 两点能够确定多条直线 D. 点动成线 4. 如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（ ） A. 与是同旁内角 B. 与是同旁内角 C. 与是同位角 D. 与是内错角 5. 手机移动支付给生活带来便捷．右图是张老师2022年12月26日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），张老师当天微信收支的最终结果是（ ） A. 收入19.00元 B. 支出10元 C. 支出3.00元 D. 支出22.00元 6. 临近月考，学生总是有些焦虑，但请你相信“努力总会发光！”．如图是正方体的展开图，已知一个正方体展开图六个面依次书写“努”“力”“总”“会”“发”“光”，则折叠后与“力”相对的是（　　） A. 总 B. 发 C. 努 D. 力 7. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百六十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行160里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（　　） A. B. C. D. 8. 如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为，点落在1的位置．如果将圆在数轴上沿负方向连续滚动，那么落在数轴上的点是点（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共10小题，每题3分，共30分） 9. 2024年10月1日早晨6时许，迎着清晨第一缕阳光，来自五湖四海123000名市民游客齐聚天安门广场，共同见证五星红旗冉冉升起的庄严时刻，庆祝新中国75周年华诞．将123000用科学记数法表示为______． 10. 用“”，“”，“”填空：_________． 11. 与是同类项，则______． 12. 如图，点O在直线上，是的平分线，若，则________． 13. 一种商品每件成本为a元，按成本增加25%定价，售出60件，可盈利___________元（用含a的式子表示）． 14. 已知多项式与是恒等的，则______． 15. 如果，那么称与互为“平等数”，若与互为“平等数”，则代数式______． 16. 如图，将一张长方形纸片沿折叠，点、分别落在点、处．若，则______． 17. 整式值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为 ______． 0 1 2 1 4 18. 定义：如图1，点在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点是线段的“绝美点”．如图2，已知，动点分别从点同时出发沿相向运动，速度分别为，，当点到达点时，运动停止．设点的运动时间为，当点恰好是线段的“绝美点”时，最大值与最小值的差为______． 三．解答题（共10小题，共96分） 19. 计算 （1）； （2）． 20. 解方程： （1）； （2） 21. 若，． （1）试判断、的大小关系并说明理由； （2）当，时，求值． 22. 如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，都在格点上． （1）利用网格作图： ①过点作直线的平行线； ②过点作直线的垂线，垂足为． （2）线段长度是点___________到点__________的距离． （3）比较大小：_____________（填“”“”或“=”），理由：_____________． 23. 如图，C为线段AD上一点，B为CD的中点，AD＝20cm，AC＝12cm． （1）图中共有 条线段； （2）求BD的长； （3）若点E在线段BD上，且BE＝3cm，求AE的长． 24. 如图，， （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 25. 列方程解应用题：扬州的水果种类繁多，四季皆有美味佳果．春季的枇杷甘甜滋润，夏季的西瓜和葡萄带来清凉解暑，秋季的柿子和苹果挂满枝头，冬季的柑橘类水果酸甜适口．在秋收的季节，一家公司计划前往扬州的果园基地，采购一批上等的苹果．果园基地对购买量在1000千克（含1000千克）以上的有两种销售方案， 方案一：每千克25元．由基地送货上门； 方案二：每千克21元．由顾客自己租车运回．已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元． （1）公司购买多少千克苹果时，选择两种购买方案的付款费用相同； （2）如果公司打算购买2500千克苹果，选择哪种方案付款最少？为什么？ 26. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”． （1）请判断方程与方程是否互为“毓德方程”； （2）若关于的方程与方程互为“毓德方程”，求的值； （3）若关于的方程与互为“毓德方程”，则关于的方程的解为______． 27. 如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足． （1）______，______； （2）若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． （3）若射线绕点顺时针先转动15秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 28. 【材料阅读】 如图1，数轴上有三个点，表示的数分别是，，1． （1）若要使两点的距离与两点距离相等，则可将点向左移动______个单位长度． （2）若动点分别从点、点出发，以每秒5个单位长度和每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点，同时出发，设运动时间为秒． ①秒后，点表示的数分别为______，______，______（用含的代数式表示）； ②记点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，则的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 【方法迁移】 （3）如图2，，平分．现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线、的夹角为？ 【生活运用】 （4）周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为，经过______分钟后，分针与时针的夹角首次变成 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州中学树人教育集团2024－2025学年第一学期期末试卷 七年级数学 （试卷总分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元一次方程的定义求解即可，只含有一个未知数并且未知数的次数为1的整式方程为一元一次方程． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； C、含有一个未知数并且未知数的次数为1，是一元一次方程，符合题意； D、未知数的次数为2，不是一元一次方程，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握一元一次方程的定义． 2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项法则和去括号法则进行计算即可． 【详解】解：选项A：，故错误； 选项B：，故正确； 选项C：，故错误； 选项D：不是同类项不能计算，故错误； 故选：B 【点睛】本题考查了合并同类项的计算，解答关键是按照相关定义和法则进行计算． 3. 要整齐地栽一行树，只要确定两端树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里面包含的数学事实是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 两点能够确定多条直线 D. 点动成线 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了直线的公理，熟知两点确定一条直线是解题的关键． 【详解】解：要整齐地栽一行树，只要确定两端树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里面包含的数学事实是两点确定一条直线， 故选：A． 4. 如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（ ） A. 与是同旁内角 B. 与是同旁内角 C. 与同位角 D. 与是内错角 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查邻补角、同位角、内错角、同旁内角，根据邻补角、同位角、内错角、同旁内角对选项进行判断即可求解． 【详解】解：A. 与是同旁内角，说法正确； B. 与是邻补角，原说法错误； C. 与是内错角，原说法错误； D. 与是同旁内角，原说法错误； 故选：A． 5. 手机移动支付给生活带来便捷．右图是张老师2022年12月26日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），张老师当天微信收支的最终结果是（ ） A. 收入19.00元 B. 支出10元 C. 支出3.00元 D. 支出22.00元 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：（元），即表示支出3元， 故选：C． 【点睛】本题考查了正负数的意义，掌握有理数的加减运算是解题的关键． 6. 临近月考，学生总是有些焦虑，但请你相信“努力总会发光！”．如图是正方体的展开图，已知一个正方体展开图六个面依次书写“努”“力”“总”“会”“发”“光”，则折叠后与“力”相对的是（　　） A. 总 B. 发 C. 努 D. 力 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体的展开图，可以得到折叠后的正方体，结合展开图中的各面的字，可以得到结果． 【详解】解：如图，把正方体的展开图折叠成正方体后， ∵正对的面上的字是“力”，左侧面上的字是“努”，上面的字是“总”， 右侧面上的字是“会”，下面的字是“光”，后面的字是“发”， ∴折叠后与“力”相对的是“发”． 故选：B． 7. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百六十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行160里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由慢马先行12天，可得出快马追上慢马时慢马行了天，利用路程=速度时间，结合快马追上慢马时快马和慢马行过的路程相等，即可得出关于的一元一次方程，此题得解；本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：∵慢马先行12天，快马天可追上慢马， ∴快马追上慢马时，慢马行了天 根据题意得： 故选：D． 8. 如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为，点落在1的位置．如果将圆在数轴上沿负方向连续滚动，那么落在数轴上的点是点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，数字类的规律探索，由于圆的周长为个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以6，看余数是几，再确定和谁重合． 【详解】解：由图形可知，每滚动一周，向数轴负方向前进6个单位长度，在第一次滚动过程中，点对应的数是0，点对应的数为1，点对应的数为，点对应的数据为，点对应的数为，点对应的数为，……， 以此类推，从数字1开始向左数，A、B、C、D、E、F与数轴上的整点依次对应，且A、B、C、D、E、F循环出现， ∵在数轴上到1的距离为，， ∴数轴上的点与对应的点相同，即点． 故选D． 二．填空题（共10小题，每题3分，共30分） 9. 2024年10月1日早晨6时许，迎着清晨第一缕阳光，来自五湖四海的123000名市民游客齐聚天安门广场，共同见证五星红旗冉冉升起的庄严时刻，庆祝新中国75周年华诞．将123000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 用“”，“”，“”填空：_________． 【答案】 【解析】 【分析】对于负分数之间的比较，应该先比较该分数绝对值的大小，再比较负分数的大小，负分数的绝对值越大，负分数越小． 【详解】∵，， 又∵， ∴， 故答案为：＞． 【点睛】本题主要考查有理数大小的比较，对于负分数之间的比较，负分数的绝对值越大，负分数越小． 11. 与是同类项，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同类项的定义和代数式求值，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此求出m、n的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，点O在直线上，是的平分线，若，则________． 【答案】160 【解析】 【分析】本题考查的知识点是利用邻补角互补求角度和角平分线的有关计算，解题关键是熟练掌握角平分线的定义．先根据角平分线的定义得到，再求邻补角，从而求得，最后根据即可求解． 【详解】解：是的平分线， ， 在直线上，且， ， ， ． 故答案为：． 13. 一种商品每件成本为a元，按成本增加25%定价，售出60件，可盈利___________元（用含a的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据利润=售价-进价列出代数式即可． 【详解】解：一种商品每件成本为a元，按成本增加25%定价，售出60件，可盈利（元）． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列代数式，解题的关键是熟练掌握利润=售价-进价． 14. 已知多项式与是恒等，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，根据题意可得，则，据此求出a、b、c的值即可得到答案． 【详解】解：∵多项式与是恒等的， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如果，那么称与互为“平等数”，若与互为“平等数”，则代数式______． 【答案】2029 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，根据，得到，并整体代入计算求值即可． 【详解】解：∵与互为“平等数”， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：2029． 16. 如图，将一张长方形纸片沿折叠，点、分别落在点、处．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，先由平行线的性质得到的度数，再由折叠的性质可得的度数，据此可由平角的定义求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故答案为：． 17. 整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为 ______． 0 1 2 1 4 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解方程和方程组，根据表中和，得到关于和的二元一次方程并求解，将和的值代入解方程即可．熟练掌握二元一次方程组及一元一次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：由和， 得， 解得， 将代入， 得， 解得， 故答案为：． 18. 定义：如图1，点在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点是线段的“绝美点”．如图2，已知，动点分别从点同时出发沿相向运动，速度分别为，，当点到达点时，运动停止．设点的运动时间为，当点恰好是线段的“绝美点”时，最大值与最小值的差为______． 【答案】3 【解析】 【分析】此题重点考查一元一次方程的应用、新定义问题的求解、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长度是解题的关键． 分三种情况求t的值，一是，则；二是，则；三是，则，解方程可知t的最大值和最小值，求出它们的差即得到问题的答案． 【详解】解：∵点P是线段的“美点”， ∴或或， 当时，则， 解得； 当时，则， 解得； 当时，则， 解得， ∵， ∴t的最大值为7，最小值为4， ∴， 故答案为：3． 三．解答题（共10小题，共96分） 19. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数的加减计算： （1）根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）先计算乘方，再根据乘法分配律去括号，接着计算乘法，最后计算加减法即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 若，． （1）试判断、大小关系并说明理由； （2）当，时，求的值． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式的化简求值： （1）根据整式的加减计算法则求出的结果即可得到结论； （2）先计算，再根据整式的加减计算法则求出的结果，最后代值计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： ， 当，时，原式． 22. 如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，都在格点上． （1）利用网格作图： ①过点作直线的平行线； ②过点作直线的垂线，垂足为． （2）线段的长度是点___________到点__________的距离． （3）比较大小：_____________（填“”“”或“=”），理由：_____________． 【答案】（1）见解析 （2）C， （3），垂线段最短 【解析】 【分析】本题主要考查作图、平行线、垂线段最短、点到直线的距离等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． （1）①在A的右侧取格点D，满足，再画直线即可，②如图，取格点K，再画直线交于E即可； （2）根据点到直线的距离的定义即可解答； （3）根据垂线段最短即可解答． 【小问1详解】 解：①如图，直线即为所求作； ②如图，直线即为所求作． 【小问2详解】 解：线段的长度是点C到直线的距离． 故答案为：C，． 【小问3详解】 解：．理由：垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 23. 如图，C为线段AD上一点，B为CD的中点，AD＝20cm，AC＝12cm． （1）图中共有 条线段； （2）求BD的长； （3）若点E在线段BD上，且BE＝3cm，求AE的长． 【答案】（1）6 （2）BD的长是4cm （3）AE的长是19cm． 【解析】 【分析】（1）根据线段的定义找出线段即可； （2）先根据点B为CD的中点，求出线段CD的长，再根据AC＝AD﹣CD即可得出结论； （3）根据AB＝AD﹣BD求出线段AB的长，再根据BE＝AB+AE即可得出结论． 【小问1详解】 解：图中共有1+2+3＝6条线段． 故答案为：6； 【小问2详解】 ∵AD＝20cm，AC＝12cm． ∴CD＝AD﹣AC＝8cm． ∵B为CD的中点． ∵BD＝CD＝4cm， 【小问3详解】 AB＝AD﹣BD＝20﹣4＝16（cm）， AE＝AB+BE＝16+3＝19（cm）． 故AE的长是19cm． 点睛】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是详解此题的关键． 24. 如图，， （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义： （1）由于，可判断，则，由得出，可判断出； （2）根据平行线的性质得出，根据垂线的定义和角的和差关系求出，则可得到的度数，据此求解即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 25. 列方程解应用题：扬州的水果种类繁多，四季皆有美味佳果．春季的枇杷甘甜滋润，夏季的西瓜和葡萄带来清凉解暑，秋季的柿子和苹果挂满枝头，冬季的柑橘类水果酸甜适口．在秋收的季节，一家公司计划前往扬州的果园基地，采购一批上等的苹果．果园基地对购买量在1000千克（含1000千克）以上的有两种销售方案， 方案一：每千克25元．由基地送货上门； 方案二：每千克21元．由顾客自己租车运回．已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元． （1）公司购买多少千克苹果时，选择两种购买方案的付款费用相同； （2）如果公司打算购买2500千克苹果，选择哪种方案付款最少？为什么？ 【答案】（1）1250千克 （2）如果公司打算购买2500千克苹果，选择方案二付款最少，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）设公司购买x千克苹果时，选择两种购买方案的付款费用相同，分别表示出两种方案的费用，再令两种方案的费用相等，进而建立方程求解即可； （2）分别计算出两种方案的费用，比较即可得到结论． 【小问1详解】 解：设公司购买x千克苹果时，选择两种购买方案的付款费用相同， 由题意得，， 解得， 答：公司购买1250千克苹果时，选择两种购买方案的付款费用相同； 【小问2详解】 解：如果公司打算购买2500千克苹果，选择方案二付款最少，理由如下： 当公司购买2500千克苹果时，方案一的费用为元， 方案二的费用为元， ∵， ∴如果公司打算购买2500千克苹果，选择方案二付款最少； 26. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”． （1）请判断方程与方程是否互为“毓德方程”； （2）若关于的方程与方程互为“毓德方程”，求的值； （3）若关于的方程与互为“毓德方程”，则关于的方程的解为______． 【答案】（1）方程与方程是互为“毓德方程” （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程．掌握“毓德方程”的定义，是解题的关键． （1）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，进行判断即可； （2）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，列出关于的方程，进行求解即可； （3）先求出的解，根据“毓德方程”的定义，得到的解，进而得到中的值，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：解方程，得：； 解方程，得：， ∵， ∴方程与方程是互为“毓德方程”； 【小问2详解】 解：解方程得， 解方程得 ∴， ∵关于的方程与方程互为“毓德方程”， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：解方程得， ∵关于的方程与互为“毓德方程”，， ∴的解为， ∵， ∴ ∴， ∴． 27. 如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足． （1）______，______； （2）若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． （3）若射线绕点顺时针先转动15秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 【答案】（1）8；2 （2）9秒 （3）6秒或10秒 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解方程的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0． （1）依据非负数的性质即可得到，的值； （2）依据，，即可得到射线、射线第一次互相垂直的时间； （3）分两种情况讨论，依据时，，列出方程即可得到射线、射线互相平行时的时间． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ，， ，， 故答案为：8；2； 【小问2详解】 解：设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直． 如图，设旋转后的射线、射线交于点，则， ， ， ， ， 又，， ， ， ∴至少旋转9秒时，射线、射线互相垂直； 【小问3详解】 解：设射线再转动秒时，射线、射线互相平行． 如图，射线绕点顺时针先转动15秒后，转动至的位置，则， ∴； 分两种情况： ①当时，，， ∵， ∴， ，， 当时，， ∴， 解得； ②当时，，， ，， 当时，， 此时，， 解得； 综上所述，射线再转动6秒或10秒时，射线、射线互相平行． 28. 【材料阅读】 如图1，数轴上有三个点，表示的数分别是，，1． （1）若要使两点的距离与两点距离相等，则可将点向左移动______个单位长度． （2）若动点分别从点、点出发，以每秒5个单位长度和每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点，同时出发，设运动时间为秒． ①秒后，点表示的数分别为______，______，______（用含的代数式表示）； ②记点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，则的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 【方法迁移】 （3）如图2，，平分．现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线、的夹角为？ 【生活运用】 （4）周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为，经过______分钟后，分针与时针的夹角首次变成 【答案】（1）2；（2）①，，；②不变化，；（3）11秒或19秒；（4）分钟 【解析】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，整式的加减，数轴，一元一次方程的应用，线段的计算，以及钟面角等问题，根据题意列出方程是解决问题的关键． （1）根据中点坐标公式求出中点表示的数，再用移到前点B表示的数减去中点表示的数即可得到答案； （2）①根据左减右加（路程）的规律求解即可； ②表示出，化简后即可判断； （3）分追上前和追上后两种情况分别建立方程解答即可； （4）设经过y分钟后，分针与时针的夹角首次变成，分别求出时针和分针每一分钟所走的路程，再列方程解答即可． 【详解】解：（1）， ． 故可将点B向左移动2个单位长度． 故答案为：2； （2）①t秒后，点P，Q，R表示的数分别为，，． 故答案为：，，； ②点P与点Q之间的距离， 点Q与点R之间的距离， ∴ ∴不变化，； （3）∵，平分， ∴． （秒）． 设经过x秒后，射线、的夹角为， 当追上前，则 解得：． 当追上后，则， 解得：． ∴经过11秒或19秒后，射线的夹角为． （4）设经过y分钟后，分针与时针夹角首次变成， ∵分针每分钟旋转，时针每分钟旋转， ∴， 解得：， ∴经过分钟后，分针与时针的夹角首次变成． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $