精品解析：浙江省台州市2024-2025学年高一上学期1月期末质量评估数学试题

2024-2025学年浙江省台州市高一上学期1月期末质量评估数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 若幂函数经过点，则（ ） A. 81 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】用待定系数法求出幂函数的解析式，计算出的值即可． 【详解】设幂函数，则，所以， 所以 故选：C. 2. 已知函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，，，，则函数在区间上的零点至少有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在定理，判断函数值的符号，然后判断函数零点个数即可． 【详解】解：因为函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线， 且，，，， 根据根的存在性定理可知，在区间和内至少含有一个零点， 故函数在区间上的零点至少有2个. 故选：B 3. “且”是“”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】按照充分必要条件的判断方法判断，“且”能否推出“”，以及“”能否推出“且”，判断得到正确答案， 【详解】当且时，成立， 反过来，当时，例：，不能推出且. 所以“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，重点考查基本判断方法，属于基础题型. 4. 已知扇形的圆心角为1rad，面积为8，则扇形的弧长为（ ） A. 8 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由扇形的面积公式 可得半径，进而由弧长公式可得答案. 【详解】设该扇形的弧长为l ，圆心角为 ，半径为r ， 由 ，可得 ，解得 ， 故 . 故选：B. 5. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知结合 求出、，即可求  【详解】因为，所以， 又因为 ，所以  ， 解得：  ，或  ， 因为 ，所以， 此时可得  ，则  ， 故选：D. 6. 将函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象关于y轴对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象平移得到偶函数，即，即可求 【详解】由题意，将函数的图象向左平移个单位长度， 得到偶函数的图象，  所以，求得， 又，故的值为 . 故选：B 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数换底公式、对数运算及不等式的性质来比较大小. 【详解】因为，， 且， 所以， 因为 所以， 所以 故选：C. 8. 光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向通常会发生改变，这种现象称为光的折射.光在折射过程中，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值是一个常数.例如，一束光线从空气斜射入水时，会发生折射现象，并满足（其中是入射角，是折射角）当入射角增加时，折射角增加，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用题干所给定义，列式，结合两角和与差的正弦公式，可得结果. 【详解】已知光从空气斜射入水时，满足即. 当入射角增加时，设此时入射角为+，折射角变为+， 根据折射定律有：，即++， 因为+， 将代入 可得++ + 由于<<，的值在0到1之间，，， 当时，+ 而当时所以. 故答案为：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据不等式性质及作差法判断各项的正误. 【详解】选项A，若，则，正确； 选项B，若，则，错误； 选项C，，则，所以，正确； 选项D，因为，则，所以，正确 故选：ACD 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的值域为 B. 函数的最小正周期为 C. 在上单调递减 D. 的图象关于对称 【答案】AD 【解析】 【分析】应用辅助角公式化简三角函数式，根据正弦型函数的性质、代入法判断对称中心，即可得各项的正误. 【详解】由， 对于A，因为，故的值域为，正确； 对于B，因为的最小正周期为，则函数的最小正周期为，错误； 对于C，当时，，在给定区间内不单调，错误； 对于D，因为，则的图象关于对称，正确. 故选：AD 11. 已知，都是定义在R上的函数，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 存在，使得 D. 若是增函数，则是增函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用求函数值判断ABC，利用复合函数的单调性判断D即可. 【详解】对于选项A，，则，故A正确； 对于选项B：，， 则，故B正确； 对于选项C，若存在使得，则， 由于是增函数，对于不同的x值，的值不同， 因此不存在满足条件的，故C错误； 对于选项D，若是增函数，则时，， 由，可得，， 由于且，所以， 即是增函数，选项 D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：对于D选项关键点是利用复合函数的单调性判断解题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数（且）的图象恒过定点______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数过定点求解. 【详解】解：由， 令，得， 所以函数（且）的图象恒过定点， 故答案为： 13. 已知，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式计算可得答案. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 14. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量单位：与时间单位：间的关系为，其中，k是正常数．污染物的初始含量为__________；如果在前5 h消除了的污染物，那么污染物减少需要花费__________小时精确到参考数据： 【答案】 ①. ②. 57 【解析】 【分析】代入数据，根据指对互化，即可求解. 【详解】因为过滤过程中废气的污染物含量 P与时间t间的关系为， 所以时，； 设要消除的污染物，至少需要的时间 t小时， 由题意得， 故答案为：；57. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求值： （1） （2） 【答案】（1）； （2）1. 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算性质化简求值； （2）利用诱导公式化简求值. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 原式 16. 已知集合， （1）若时，求 （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数定义域求法求得集合B，由此求得 （2）由知，列不等式来求得a的取值范围. 【小问1详解】 ，或， 【小问2详解】 由知， ， ①当时，， ②当时，，； ③当时，，不满足题意. 所以a的取值范围为 17. 已知函数是奇函数. （1）求a的值，判断函数的单调性并请说明理由; （2）对任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1），函数在R上单调递增，理由见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由求得a，然后验证即可，再利用函数单调性定义证明单调性； （2）根据函数的奇偶性和单调性得恒成立，应用基本不等式求右侧最值，即可得结果. 【小问1详解】 因为函数是奇函数，所以有，得 则，有，符合题设， 所以，即，  ，，且， 则，  因为，所以，又，所以，即 所以函数在R上单调递增. 【小问2详解】 由题设及奇函数性质知对任意恒成立， 因为在R单调递增，所以，即， 设，当时取等号， 所以k的取值范围为 18 已知，，，， （1）请写出以x轴的非负半轴为始边，射线OA为终边的角的集合; （2）作点A关于直线OB的对称点. ①当，时，求点C坐标; ②若，，求 【答案】（1）； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意，射线OA为终边的角的集合是所有与终边相同的角，即可得答案； （2）①根据题意，利用余弦和正弦的和角公式计算和，可求得点C坐标； ②根据题意，进而得，可得，利用余弦和正弦和差公式得到，即可求解. 【小问1详解】 由在角的终边上，所以射线OA为终边的角的集合为； 【小问2详解】 ①由题知，， ，， ，， 所以，， ②由题知，，则 由，知，故， 所以，即， 又，所以， 所以 19. 给定函数，若对任意一个三角形，只要它的三边长，，都在的定义域内，就有，，也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”. （1）判断函数是否为“保三角形函数”，并说明理由; （2）若是“保三角形函数”，求的最小值; （3）若函数同时满足以下条件： ①； ②在区间上单调递增； ③对任意，，都有 证明：函数是“保三角形函数”. 【答案】（1）是，理由见解析 （2）1 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用“保三角形函数”定义判断即可； （2）由是“保三角形函数”，得，由题意可证m的最小值为1； （3）由“保三角形函数”及函数在区间上单调递增，可证明函数是“保三角形函数”. 【小问1详解】 不妨假设，有， 此时，，， 且有， 所以，，可以构成某三角形的三边， 所以是“保三角形函数”. 【小问2详解】 因为是“保三角形函数”， 所以，，且，，， 必有对恒成立， 所以，解得 下证：当时，是“保三角形函数”. 不妨设，有 此时，，， 则 ， 即是“保三角形函数”. 所以若是“保三角形函数”，的最小值为 【小问3详解】 不妨设，且， ，， 由，， 知当时，， 所以， 所以 而，在区间上单调递增， 所以 所以，即函数是“保三角形函数”. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解“保三角形函数”的定义，实际上即说明较小两边之和大于最大边长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年浙江省台州市高一上学期1月期末质量评估数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 若幂函数经过点，则（ ） A. 81 B. C. 3 D. 2. 已知函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，，，，则函数在区间上的零点至少有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. “且”是“”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知扇形的圆心角为1rad，面积为8，则扇形的弧长为（ ） A. 8 B. 4 C. D. 5. 若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象关于y轴对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向通常会发生改变，这种现象称为光的折射.光在折射过程中，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值是一个常数.例如，一束光线从空气斜射入水时，会发生折射现象，并满足（其中是入射角，是折射角）当入射角增加时，折射角增加，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 值域为 B. 函数的最小正周期为 C. 在上单调递减 D. 图象关于对称 11. 已知，都是定义在R上的函数，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 存在，使得 D. 若是增函数，则是增函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数（且）的图象恒过定点______． 13. 已知，则_________. 14. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量单位：与时间单位：间的关系为，其中，k是正常数．污染物的初始含量为__________；如果在前5 h消除了的污染物，那么污染物减少需要花费__________小时精确到参考数据： 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求值： （1） （2） 16. 已知集合， （1）若时，求 （2）若，求实数a的取值范围. 17. 已知函数是奇函数. （1）求a值，判断函数的单调性并请说明理由; （2）对任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围. 18. 已知，，，， （1）请写出以x轴的非负半轴为始边，射线OA为终边的角的集合; （2）作点A关于直线OB的对称点. ①当，时，求点C坐标; ②若，，求 19. 给定函数，若对任意一个三角形，只要它的三边长，，都在的定义域内，就有，，也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”. （1）判断函数是否为“保三角形函数”，并说明理由; （2）若是“保三角形函数”，求的最小值; （3）若函数同时满足以下条件： ①； ②在区间上单调递增； ③对任意，，都有 证明：函数是“保三角形函数”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$