精品解析：江西省南昌市江西科技学院附属中学2024-2025学年上学期九年级数学期中试卷

江科附中2024-2025学年第一学期初三年级期中考试数学学科试卷 考试分数120分，考试时间120分钟 一、单选题（每题3分，共18分） 1. 下列图案，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 的半径为5，点到圆心的距离为5，点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在外 C. 点在上 D. 无法确定 3. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 对称轴为直线 D. 当时，y随x的增大而增大 4. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的从小到大顺序是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形内接于，连接对角线与交于点E，且为的直径，已知，，则（　　） A. B. C. D. 6. 二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如下表： x 0 1 3 y 3 5 3 下列结论： （1）； （2）当时，y的值随x值的增大而减小； （3）3是方程的一个根； （4）当时，． 其中正确的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每题3分，共18分） 7. 已知和关于原点对称，则______． 8. 若将一个二次函数的图象向下平移2个单位，再向左平移3个单位，所得函数解析式是，那么这个函数解析式为______ 9. 如图，的弦与直径的延长线相交于点，则_______． 10. 如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为______ 11. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为____________． 12. 在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，将边AD绕它的端点旋转，当另一端点恰好落在边BC所在直线的点E处时，线段DE的长为__________． 三、解答题（每题6分，共30分） 13. 用适当的方法解方程 （1） （2） 14. 如图所示，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上，． （1）求的度数； （2）若，求的长． 15. 已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0①有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k＝1时，求x12+x22的值． 16. 如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． （1）求证：； （2）若，求的度数． 17. 如图，经过A，B，C三个格点，请仅用无刻度的直尺作图， （1）画出圆心P； （2）画弦，使平分． 四、解答题（每题8分，共24分） 18. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出向左平移5个单位长度后得到的； （2）请画出关于原点对称的； （3）P的坐标为，请求出的面积． 19. 如图，为的直径，过圆上一点D作的切线交的延长线于点C，过点O作交于点E，连接． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的半径及的长． 20. 如图，利用一面墙（墙长28米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为x米． （1）若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长； （2）矩形围栏面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，诸说明理由； （3）矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在请说明理由． 五、解答题（每题9分，共18分） 21. 大学毕业生小李自主创业，开了一家小商品超市．已知超市中某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价必须低于34元，设每件商品的售价上涨元（为非负整数），每个月的销售利润为元． （1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ （3）利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？ 22. 【综合与实践】 【问题情境】数学课上，老师给出：某广场计划用透明钢化玻璃制作一种半球形展览装置，其截面是以为直径的半圆O，放置于地面上，装置中盛有一些彩色液体（图中阴影部分），其中液面截线，已知液面截线宽，彩色液体的最大深度为． 【数学思考】（1）求直径的长； 【拓展再探】（2）如图1，“智慧小组”突发奇想，在同一截面内，当装置（半圆O）在地面上向右缓慢摆动，始终保持半圆O与相切，使一部分液体流出．如图2，当时停止摆动，其中半圆的中点为点Q，与半圆的切点为点E，连接交于点 D． ①在摆动中圆心O到地面的距离 （填“改变”或“不变”）； ②求此时的长及操作后液面高度下降了多少； ③为保证安全，需要在点E处加装制动装置，此时点E 离点F有多远？ 六、解答题（本题12分） 23. 如图1，正方形的顶点，的坐标分别为，，顶点，在第一象限．点从点出发，沿正方形按方向运动，同时，点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为，的面积（平方单位）． （1）正方形的边长为 ； （2）当点由点运动到点时，过点作轴交轴于点，已知随着点在上运动时，的面积与时间之间的函数图象为抛物线的一部分（如图2所示）， 求：①点，两点的运动速度为______； ②关于的函数关系式为______； （3）当点由点运动到点时，经探究发现的面积是关于时间的二次函数，其中与部分对应取值如下表： 10 15 20 28 76 求：的值及关于的函数关系式． （4）在（2）的条件下若存在2个时刻，对应的的形状是以为腰的等腰三角形，点沿正方形按方向运动时直接写出当时，的面积的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江科附中2024-2025学年第一学期初三年级期中考试数学学科试卷 考试分数120分，考试时间120分钟 一、单选题（每题3分，共18分） 1. 下列图案，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题关键． 轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意； C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 2. 的半径为5，点到圆心的距离为5，点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在外 C. 点在上 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外⇔；点P在圆上⇔；点P在圆内⇔． 直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【详解】解：∵的半径为5，点P到圆心O的距离为5， ∴点P到圆心O的距离等于圆的半径， ∴点P在上． 故选：C． 3. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 对称轴为直线 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论． 【详解】解：A、∵， ∴抛物线的开口向下，本选项错误， B、抛物线的顶点为，本选项正确， C、抛物线的对称轴为：直线，本选项错误， D、∵抛物线的开口向下且对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，本选项错误， 故选B． 4. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的从小到大顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式，分别把，，1代入，计算出对应的函数值，然后比较大小即可． 【详解】解：，，为二次函数的图象上的三点， ， ， ， ． 故选：D． 5. 如图，四边形内接于，连接对角线与交于点E，且为的直径，已知，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理．根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质求出，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∴， 由圆周角定理得，， ∴， ∴， 故选：D． 6. 二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如下表： x 0 1 3 y 3 5 3 下列结论： （1）； （2）当时，y的值随x值的增大而减小； （3）3是方程的一个根； （4）当时，． 其中正确的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，由时，，所以，时，，所以，结合时，，可得，即（1）正确；再利用表格中数据可得对称轴为，即可判断（2）；根据时，，得，将3代入即可判断（3）；分别求得和时，的值与0等关系即可判断． 【详解】解：（1）由图表中数据可得出：时，， 所以二次函数开口向下，； 又时，， 所以， 所以，故（1）正确； （2）∵二次函数开口向下，且对称轴为， 则当时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误； （3）∵时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵时，， ∴3是方程的一个根，故（3）正确； （4）∵时，，得， ∴时，， ∵时，，且函数有最大值， ∴当时，，故（4）正确． 故选：B． 二、填空题（每题3分，共18分） 7. 已知和关于原点对称，则______． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据关于原点对称点的坐标特征，求出的值，相加即可； 【详解】解：和关于原点对称， 则， ； 故答案为：-1 【点睛】本题考查了关于原点对称点的坐标变化规律，解题关键是求出的值． 8. 若将一个二次函数的图象向下平移2个单位，再向左平移3个单位，所得函数解析式是，那么这个函数解析式为______ 【答案】 【解析】 【分析】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律，由反向平移得到原来的函数，再按照“左加右减，上加下减”的规律解答即可． 【详解】解：将二次函数的图象向上平移2个单位，再向右平移3个单位可得． 故答案为：． 9. 如图，的弦与直径的延长线相交于点，则_______． 【答案】##72度 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质．利用数形结合的思想是解题关键．由同圆半径相等，三角形外角的性质结合题意可求出，再根据三角形内角和定理可求出，从而可求出，最后再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 10. 如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为______ 【答案】九##9 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提． 根据圆周角定理可得正多边形的边所对的圆心角，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案． 【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接，， ， ， 而， 这个正多边形为正九边形， 故答案为：九． 11. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为____________． 【答案】2024 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解的定义，已知式子的值求代数式的值．将方程的解代入方程得到，再代入代数式求值即可． 【详解】解：将代入方程，得， ∴， ∴， 故答案为：2024． 12. 在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，将边AD绕它的端点旋转，当另一端点恰好落在边BC所在直线的点E处时，线段DE的长为__________． 【答案】或或5 【解析】 【分析】分两种情形：绕A旋转或绕D旋转，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=3，AD=BC=5，∠ABC=∠DCB=90°， 当AD绕A旋转，AD==5时，， ∴C=1，C=9， ∴，， 当AD绕D旋转时，， 综上所述，满足条件的DE的值为或3或5， 故答案为：或3或5． 【点睛】本题考查旋转变换，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 三、解答题（每题6分，共30分） 13. 用适当的方法解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）把方程左边提公因式2，然后把方程右边移到左边，继续提公因式，即可利用因式分解法解一元二次方程， （2）把方程展开，用十字相乘法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ， ∴， 【小问2详解】 解： ∴， 14. 如图所示，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上，． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）60° （2） 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，垂径定理等知识点， （1）连接，由，推出，由，根据垂径定理即可推出； （2）根据（1）所推出的结论，求出，利用勾股定理求出，可得结论． 【小问1详解】 连接，则， ， ∴， ； 【小问2详解】 ，， ， ， ， ． 15. 已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0①有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k＝1时，求x12+x22的值． 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】（1）由方程根的个数，根据根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围； （2）由根与系数的关系可求得两根之和与两根之积，再结合完全平方公式的变形，代入求解即可． 【小问1详解】 ∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（2k+1）2﹣4k2＝4k+1＞0， 解得：； 【小问2详解】 当k＝1时，方程为x2+3x+1＝0， ∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1， ∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝9﹣2＝7． 【点睛】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式与根的个数的关系是解题的关键． 16. 如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵将线段绕点旋转到的位置， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明是解题的关键． (1)由旋转的性质可得，利用证明，根据全等三角形的对应边相等即可得出； (2)根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，那么．由，得出，再根据三角形外角的性质即可求出，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴的度数为． 17. 如图，经过A，B，C三个格点，请仅用无刻度的直尺作图， （1）画出圆心P； （2）画弦，使平分． 【答案】（1） 点P即为所求； （2） 如图所示，即为所求；     【解析】 【分析】（1）如图所示，连接，取格点，连接交于，则点P即为所求； （2）连接，的中点为E，连接并延长交于点D，连接，即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，连接，取格点，连接交于，则点P即为所求； ∵，，， ∴， ∴， ∴是圆的直径， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为圆心． 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 理由：连接，的中点为E， 连接并延长交于点D，连接， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴平分． 【点睛】此题考查了垂径定理的应用，圆周角定理的应用，网格作图，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 四、解答题（每题8分，共24分） 18. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出向左平移5个单位长度后得到的； （2）请画出关于原点对称的； （3）P的坐标为，请求出的面积． 【答案】（1） 解：所作如图所示： （2） 解：所作如图所示： （3）的面积为 【解析】 【分析】本题考查的是平移变换作图，中心对称作图，求网格中三角形面积．解题的关键在于掌握作图的一般步骤． （1）将A、B、C按平移条件找出它的对应点、、，再顺次连接、、，即得到平移后的图形． （2）将A、B、C按原点对称找出它的对应点、、，再顺次连接、、，即得到中心对称后的图形． （3）利用三角形面积公式即可求出的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：P的坐标为，如图， 的面积为． 19. 如图，为的直径，过圆上一点D作的切线交的延长线于点C，过点O作交于点E，连接． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的半径及的长． 【答案】（1） 证明：与相切于点D， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 直线是的切线； （2）的半径为3；的长为6 【解析】 【分析】（1）由切线的性质可得，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得平方，从而可得，进而可证，最后利用全等三角形的性质即可解答； （2）设的半径为r，在中，利用勾股定理求出r的长，再利用（1）的结论可得，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 设的半径为r， 在中，， ， ， ， ， 由（1）得， ， 在中，， ， 解得． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键． 20. 如图，利用一面墙（墙长28米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为x米． （1）若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长； （2）矩形围栏面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，诸说明理由； （3）矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在请说明理由． 【答案】（1）10米 （2） 不可能，理由如下： 依题意，得：， 整理得：， ∵， ∴方程没有实数根， ∴矩形围栏面积不可能达到240平方米； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）先表示出的长，再根据矩形围栏面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论； （2）根据矩形围栏面积为240平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形围栏面积不可能达到240平方米； （3）设矩形围栏面积为S，首先得到，然后表示出S，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵设栅栏长为x米 ∴， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 答：栅栏的长为10米； 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：设矩形围栏面积为S 根据题意得， ∴ ∴ ∵ ∴当时，即米时，S有最大值． 【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是掌握以上知识点． 五、解答题（每题9分，共18分） 21. 大学毕业生小李自主创业，开了一家小商品超市．已知超市中某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价必须低于34元，设每件商品的售价上涨元（为非负整数），每个月的销售利润为元． （1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ （3）利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？ 【答案】（1）；自变量的取值范围为，且x为整数 （2）每件商品售价为33元时，每个月可获得最大利润，最大利润为1950元 （3）每件商品售价为32元时，每个月可获得的利润恰好为1920元 【解析】 【分析】本题是函数应用问题，考查了求函数关系式，二次函数的最值，解一元二次方程等知识，根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）根据：每件商品的利润销售量销售利润，列出函数关系式即可； （2）根据二次函数的性质即可求解； （3）根据利润为1920元及所列的函数式，得到关于x的一元二次方程，解此方程即可．注意根据自变量的取值范围舍去不合题意的解． 【小问1详解】 解：由题意得：， 整理得：， 其中自变量取值范围为，且x为整数； 答：与的函数关系式为，自变量的取值范围为，且x为整数； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵当，且x为整数时， ∴当时，最大值（元）， 此时售价为（元）； 答：每件商品售价为33元时，每个月可获得最大利润，最大利润为1950元； 【小问3详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得：； ∵，且x为整数， ∴， 此时售价为（元）； 答：每件商品售价为32元时，每个月可获得的利润恰好为1920元． 22. 【综合与实践】 【问题情境】数学课上，老师给出：某广场计划用透明钢化玻璃制作一种半球形展览装置，其截面是以为直径的半圆O，放置于地面上，装置中盛有一些彩色液体（图中阴影部分），其中液面截线，已知液面截线宽，彩色液体的最大深度为． 【数学思考】（1）求直径的长； 【拓展再探】（2）如图1，“智慧小组”突发奇想，在同一截面内，当装置（半圆O）在地面上向右缓慢摆动，始终保持半圆O与相切，使一部分液体流出．如图2，当时停止摆动，其中半圆的中点为点Q，与半圆的切点为点E，连接交于点 D． ①在摆动中圆心O到地面的距离 （填“改变”或“不变”）； ②求此时的长及操作后液面高度下降了多少； ③为保证安全，需要在点E处加装制动装置，此时点E 离点F有多远？ 【答案】（1）；（2）①不变；②，；③ 【解析】 【分析】（1）设半圆O与地面相切于点F，交于点P，连接，利用圆的切线的性质定理和垂径定理得到,设半圆O的半径为r,利用勾股定理列出方程解答即可； （2）①利用两个图形中圆心O到地面的距离为半圆O的半径的特征解答即可；②连接，利用弧长公式求得的长，利用圆的切线的性质定理和含角的直角三角形的性质求得，则操作后液面高度下降的高度可求；③画出符合题意的图形，可得圆心O向右移动的距离为，利用矩形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理解答即可． 【详解】解：（1）设半圆O与地面相切于点F，交于点P，连接， ∴． ∵， ∴， ∴． 设半圆O的半径为r， 由题意得， ∴. 在 中， ，解得， ∴半圆O的直径的长为． （2）①由图1得，圆心O 到地面的距离为半圆O的半径，由图2得，圆心O到地面的距离为半圆O的半径， ∴在摆动中圆心O到地面的距离不变． 故答案为：不变． ②如图2，连接． ∴的长为 ∵与半圆的切点为点 E， ∴． ∵， ∴于点 D． ∵， ． ∴操作后液面高度下降了 ． 答：此时的长为操作后液面高度下降了． ③如图3，可得圆心O 向右移动的距离为， ∴， ∴是矩形． 由旋转得． ∵于点 D，， ∴， ∴． ∵， ． ∴制动装置安装点 E 离点 F 的距离为 ． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质、圆周角定理、垂径定理、圆的切线的性质定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质等知识点，连接经过切点的半径和添加恰当的辅助线是解题的关键． 六、解答题（本题12分） 23. 如图1，正方形的顶点，的坐标分别为，，顶点，在第一象限．点从点出发，沿正方形按方向运动，同时，点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为，的面积（平方单位）． （1）正方形的边长为 ； （2）当点由点运动到点时，过点作轴交轴于点，已知随着点在上运动时，的面积与时间之间的函数图象为抛物线的一部分（如图2所示）， 求：①点，两点的运动速度为______； ②关于的函数关系式为______； （3）当点由点运动到点时，经探究发现的面积是关于时间的二次函数，其中与部分对应取值如下表： 10 15 20 28 76 求：的值及关于的函数关系式． （4）在（2）的条件下若存在2个时刻，对应的的形状是以为腰的等腰三角形，点沿正方形按方向运动时直接写出当时，的面积的值． 【答案】（1）10 （2）①1单位／秒；② （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由，的坐标分别为，，根据勾股定理计算即可得出答案； （2）①由图可知，当时，，此时点从点移动到点，即点从点移动到点用了，结合进行计算即可；②由题意得，，，则，计算出，则，再由计算即可； （3）先求出点的坐标，从而得出的值，再利用待定系数法求二次函数解析式即可； （4）分两种情况：当时，当时，利用等腰三角形的性质、勾股定理等知识，建立方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：，的坐标分别为，， ， 正方形的边长为10， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①由图可知，当时，，此时点从点移动到点， 点从点移动到点用了， 由（1）得：， ， 、两点的速度为1（单位/秒）， 故答案为：1（单位/秒）； ②如图， ， 由题意得：，，， ， ， ， ， 即； 【小问3详解】 解：由题意可得： 由题意可得：时，点运动到点处，， ， 过点作轴于，过点作轴交于点， ， 则， ， ，四边形为矩形， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，的坐标分别为，， ，，， ，，， ，， 点坐标， ， 设关于的函数关系式为， ， 由，得：， 解得：， ； 【小问4详解】 解：由题意得：，，， ， ， ， ， ， 当时，作于， ， 则，四边形是矩形， ， ， 解得：； 当时，， ， 解得：， 综上可得：，， ， ， 当时，． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、勾股定理、等腰三角形的定义及性质、坐标与图形、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $