第七章 三角函数重难点检测卷 -2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第二册）

第七章 三角函数重难点检测卷 注意事项： 1.本试卷答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答非选择题，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：必修第二册第七章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）直线是函数图象的一条对称轴，给出的一个可能的值为 . 2．（23-24高一下·上海嘉定·期中）若将函数向右平移个单位后其图像关于轴对称，则 . 3．（23-24高一下·上海浦东新·阶段练习）函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是 ． 4．（23-24高一下·上海黄浦·期末）设，若函数的.定义域为，则的值为 ． 5．（23-24高一下·上海徐汇·期中）定义区间的长度为，其中.不等式的解集构成的各区间的长度和超过，则数b的取值范围为 ． 6．（24-25高一下·上海·课后作业）关于三角函数的图像，有下列命题： ①与的图像关于轴对称； ②与的图像相同； ③与的图像关于轴对称. 其中正确命题的序号是 . 7．（23-24高一下·上海松江·期中）已知函数（其中）．给出下列四个结论： ①若，则是函数的一个零点； ②若，函数的最小值是； ③若，函数图象关于直线对称； ④若，函数图象可由图象向右平移个单位长度得到．其中所有正确结论的序号是 ． 8．（23-24高一下·上海金山·期末）若函数的部分图象如图所示，则函数的解析式 ． 9．（24-25高一下·上海·课后作业）某同学用“五点法”画函数（，）在一个周期内的简图时，列表如下： 0 x y 0 2 0 –2 0 则有 ， ， . 10．（24-25高一下·上海·开学考试）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的声波曲线是（其中，，），则 11．（23-24高一下·上海徐汇·期中）在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终点经过点，且（），定义：，称“”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质，其中正确的是 .（填上所有正确的序号） ①该函数的值域为；②该函数的图象关于原点对称；③该函数的图象关于直线对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为. 12．（2024·上海闵行·一模）如图，某小区内有一块矩形区域，其中米，米，点、分别为、的中点，左右两个扇形区域为花坛（两个扇形的圆心分别为、，半径均为20米），其余区域为草坪．现规划在草坪上修建一个三角形的儿童游乐区，且三角形的一个顶点在线段上，另外两个顶点在线段上，则该游乐区面积的最大值为 平方米．（结果保留整数） 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（24-25高一下·上海·期中）已知函数为偶函数，则的对称中心为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·上海·课后作业）下列命题中正确的个数为（    ） ①的单调增区间为（）； ②在第一象限是严格增函数； ③在上是严格增函数. A．1 B．2 C．3 D．0 15．（24-25高一下·上海·开学考试）已知，在上的最小值为，最大值为，在上的最小值为，最大值为，有以下两个命题：①且的充要条件是，；②存在，使且；下列选项正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 16．（22-23高一下·上海杨浦·阶段练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（    ）    A． B． C．1s D． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数，的单调减区间． 18．（23-24高一·上海·课堂例题）比较下列各组数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与； (3)与，． 19．（24-25高一下·上海·阶段练习）对于，，，如果存在非零实数，，使得，那么称函数为，的生成函数. (1)当，时，由，生成函数．若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． (2)设，生成的函数为，若直线是函数图象的一条对称轴，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标． 20．（24-25高一下·上海嘉定·开学考试）函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； 21．（23-24高一下·上海·期中）足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练.如图，教练员指导运动员沿着与边路平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置处起脚射门进球的可能性最佳（即点对球门所张的角最大），假如每条虚线都表示在规定的区域内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点，为了研究方便，如图建立坐标系，设、，在轴的上方. (1)若，求此时的外接圆的圆心坐标 (2)过点作轴的垂线，垂足为，若，求当最大时，点的坐标 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 三角函数重难点检测卷 注意事项： 1.本试卷答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答非选择题，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：必修第二册第七章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）直线是函数图象的一条对称轴，给出的一个可能的值为 . 【答案】（答案不唯一，满足的均可以） 【分析】根据正弦型函数的对称性可得，解方程即可得的取值. 【详解】因为直线是函数图象的一条对称轴， 则，所以. 所以的一个可能的值. 故答案为：（答案不唯一，满足的均可以）. 2．（23-24高一下·上海嘉定·期中）若将函数向右平移个单位后其图像关于轴对称，则 . 【答案】 【分析】根据三角函数的图象变换及性质计算即可. 【详解】易知函数向右平移个单位后得函数， 此时函数关于轴对称，则， 又，所以时，. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海浦东新·阶段练习）函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由可得出，再结合可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为，则，且， 则，解得. 故答案为：. 4．（23-24高一下·上海黄浦·期末）设，若函数的.定义域为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据正切函数的定义域，列式求解. 【详解】由题意可知，，， 所以. 故答案为： 5．（23-24高一下·上海徐汇·期中）定义区间的长度为，其中.不等式的解集构成的各区间的长度和超过，则数b的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据三角恒等变换可得，要使解集构成的各区间的长度和超过，需，解不等式可得 【详解】 由可得， 即，即 要使解集构成的各区间的长度和超过，需，解得， 故答案为： 6．（24-25高一下·上海·课后作业）关于三角函数的图像，有下列命题： ①与的图像关于轴对称； ②与的图像相同； ③与的图像关于轴对称. 其中正确命题的序号是 . 【答案】② 【分析】利用正余弦函数的图象与性质可判断结论. 【详解】对于①：，所以当时，与的图像相同，不关于于轴对称；当时，与的图像关于轴对称；故①不正确； 对于②：与，所以两函数的图像相同，故②正确； 对于③:的图象无轴下方的图象，故与的图像不关于轴对称,故③错误. 故答案为：②. 7．（23-24高一下·上海松江·期中）已知函数（其中）．给出下列四个结论： ①若，则是函数的一个零点； ②若，函数的最小值是； ③若，函数图象关于直线对称； ④若，函数图象可由图象向右平移个单位长度得到．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】当，得，从而可对①②判断；当，，从而可对③判断；由图象向左平移可对④判断； 【详解】对①②：当，， 因为，所以当时，，故②正确； 当时，，故①正确； 对③④：当，， 当，，故③正确； 将图象向左平移得，故④错误. 故答案为：①②③. 8．（23-24高一下·上海金山·期末）若函数的部分图象如图所示，则函数的解析式 ． 【答案】 【分析】根据给定的图象，结合五点法作图方法求出解析式. 【详解】由图象知，，函数的周期，因此， 又，则，而，于是， 所以函数的解析式. 故答案为： 9．（24-25高一下·上海·课后作业）某同学用“五点法”画函数（，）在一个周期内的简图时，列表如下： 0 x y 0 2 0 –2 0 则有 ， ， . 【答案】 2 3 【分析】根据表格中最大值和最小值，得到振幅，由周期得到的值，代入点得到的值. 【详解】函数（，）， 由“五点法”所列表格，得函数的最大值和最小值为2和，所以， 函数最小正周期，解得， 当时，，解得. 故答案为：2；3；. 10．（24-25高一下·上海·开学考试）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的声波曲线是（其中，，），则 【答案】 【分析】根据题意，结合余弦型函数的性质进行求解即可. 【详解】由于抵消噪声，所以振幅没有改变，周期没有改变，即，， 即，要想抵消噪声，需要主动降噪芯片生成的声波曲线是， 即，又因为，所以令，即， 故答案为：. 11．（23-24高一下·上海徐汇·期中）在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终点经过点，且（），定义：，称“”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质，其中正确的是 .（填上所有正确的序号） ①该函数的值域为；②该函数的图象关于原点对称；③该函数的图象关于直线对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为. 【答案】①④ 【分析】利用三角函数的定义得到，，，再逐项判断. 【详解】对于①：由三角函数的定义可知，， ，故①正确； 对于②：由于，， 函数关于原点对称是错误的，故②错误； 对于③：当时，， 图象关于对称是错误的，故③错误： 对于④：由于，函数为周期函数，且最小正周期为，故④正确， 综上，故正确的是①④. 故答案为：①④ 12．（2024·上海闵行·一模）如图，某小区内有一块矩形区域，其中米，米，点、分别为、的中点，左右两个扇形区域为花坛（两个扇形的圆心分别为、，半径均为20米），其余区域为草坪．现规划在草坪上修建一个三角形的儿童游乐区，且三角形的一个顶点在线段上，另外两个顶点在线段上，则该游乐区面积的最大值为 平方米．（结果保留整数） 【答案】137 【分析】根据已知条件知，当三角形的两边分别与圆弧相切时，三角形的面积最大，设切点为，，由三角形全等得到，将三角形面积的表达式用表示，从而转化为三角函数，利用换元法转化为基本不等式求最值即可求解. 【详解】设游乐区所在的三角形为，在线段上，在线段上，如图所示， 当分别于圆弧相切时，取得最大值， 由对称性，只讨论， 设与圆弧相切于点，连接， 设，因为≌，≌， 则，， 因为，所以，， ，， 所以 ， 因为，所以， 令，则， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以平方米， 即该游乐区面积的最大值为137平方米． 故答案为：137. 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（24-25高一下·上海·期中）已知函数为偶函数，则的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，进而可得的解析式，从而可求对称中心. 【详解】因为为偶函数， 所以，又，所以， 所以， 由，解得， 所以的对称中心为. 故选：B. 14．（24-25高一下·上海·课后作业）下列命题中正确的个数为（    ） ①的单调增区间为（）； ②在第一象限是严格增函数； ③在上是严格增函数. A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【分析】根据正弦函数的单调性一一判断即可. 【详解】对于①：的单调增区间为（），故①错误； 对于②：函数在（）上单调递增， 在（）上单调递减，则在第一象限不单调，故②错误； 对于③：在上是严格增函数，故③正确. 故选：A 15．（24-25高一下·上海·开学考试）已知，在上的最小值为，最大值为，在上的最小值为，最大值为，有以下两个命题：①且的充要条件是，；②存在，使且；下列选项正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 【答案】B 【分析】通过举特例可判断选项正误. 【详解】注意到当时，在上的最小值为，最大值为1； 在上的最小值为，最大值为1，但不满足，这个形式，故①错误； 又注意到当时，在上，当时，取最小值，时，取最大值； 在上，当时，取最小值，时，取最大值；满足且，故②正确. 故选：B 16．（22-23高一下·上海杨浦·阶段练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（    ）    A． B． C．1s D． 【答案】C 【分析】先根据周期求出，再解不等式，得到的范围即得解. 【详解】因为，，，所以，又，所以， 则，由可得， 所以，， 所以，，故， 所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为1s. 故选：C. 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数，的单调减区间． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先得函数解析式，再利用二倍角公式变形，结合正弦型函数的周期公式求解即可； （2）由定义域得的取值范围，根据正弦函数的单调性列不等式，求解即可. 【详解】（1）由，得， 则函数， 故最小正周期为. （2）由，得，； 由，得， 令，解得； 故单调减区间为. 18．（23-24高一·上海·课堂例题）比较下列各组数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与； (3)与，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数的单调性进行判断. （2）根据函数的单调性进行判断. （3）利用诱导公式进行判断. 【详解】（1）在区间上单调递增， 而，所以. （2）在区间上单调递减， 而，所以. （3），， 所以. 19．（24-25高一下·上海·阶段练习）对于，，，如果存在非零实数，，使得，那么称函数为，的生成函数. (1)当，时，由，生成函数．若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． (2)设，生成的函数为，若直线是函数图象的一条对称轴，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】(1)； (2)证明见解析，. 【分析】（1）根据生成函数的定义以及对数的运算法则得到，求出的范围，将恒成立问题转化为函数的最值问题求解即可； （2）根据生成函数的定义以及辅助角公式得到，其中，根据对称轴求出的值，进而得到即可求解. 【详解】（1）当，时，为增函数， 所以当时，， 因为在上恒成立， 即在上恒成立，所以， 因为， 所以当时，有最大值， 所以； （2）由题知，其中， 因为直线是函数图象的一条对称轴， 所以，，则，， 所以，即， 所以直线， 所以直线过定点. 20．（24-25高一下·上海嘉定·开学考试）函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）先由图象和周期公式得，，进而由结合正弦函数性质得，从而得解. （2）先由平移变换求出函数的解析式，接着由得，再结合正弦函数性质即可得和，从而得解. 【详解】（1）由函数的部分图象可知，， 所以，所以，所以函数， 又，所以， 解得，由可得， 所以. （2）将向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到， 令，由，可得， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，， 所以在上的最大值为，最小值为. 21．（23-24高一下·上海·期中）足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练.如图，教练员指导运动员沿着与边路平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置处起脚射门进球的可能性最佳（即点对球门所张的角最大），假如每条虚线都表示在规定的区域内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点，为了研究方便，如图建立坐标系，设、，在轴的上方. (1)若，求此时的外接圆的圆心坐标 (2)过点作轴的垂线，垂足为，若，求当最大时，点的坐标 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用正弦定理求出的外接圆半径，再设出圆心坐标，借助勾股定理求解即得. （2）利用直角三角形边角关系，用点的纵坐标表示，再利用差角的正切公式建立函数关系，借助基本不等式求解即得. 【详解】（1）在中，设其外接圆半径为，,， 由正弦定理得，解得， 显然的外接圆圆心在线段的中垂线，即轴上，设圆心坐标为， 于是，解得， 所以的外接圆的圆心坐标为. （2）设点，显然，而轴， 则， 于是， 当且仅当，即时取等号，而是锐角，正切函数在上单调递增， 因此最大，当且仅当最大， 所以当最大时，点的坐标是. 【点睛】关键点点睛：涉及直角三角形锐角的三角函数，合理利用直角三角形中边的比表示是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$