专题03 代数方程60道计算题专项训练（6大题型）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题03 代数方程60道计算题专训（6大题型） 题型一 解分式方程 题型二 分式方程无解问题 题型三 分式方程增根问题 题型四 根据分式方程解的情况求值 题型五 无理方程计算 题型六 二元二次方程组计算 【经典计算题一 解分式方程】 1．（2024八年级·全国·竞赛）解分式方程． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的步骤是解题的关键．根据移项，去分母，展开得到，系数化为1，最后检验即可． 【详解】解：原方程可变为， 得， 即， ∴， 即， 解得， 检验：当时， ， ∴原方程的解为． 2．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤及正确去分母求解是解题的关键，解分式方程不要忽略检验． （1）方程两边同时乘以去分母，求解并检验即可； （2）方程两边同时乘以去分母，求解并检验即可． 【详解】（1）解： ， 检验，当时，， 原方程无解； （2）解： ， 检验，当时，， 原方程的解为． 3．（24-25八年级下·上海静安·阶段练习）解方程 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程及解分式方程，熟练掌握并灵活运用适当的解方程方法是解题关键． （1）利用提公因式法求解． （2）利用配方法进行求解． （3）先去分母，再解一元一次方程，最后检验即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 4．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）解下列分式方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)（增根），原方程无解 (3) (4)（增根），原方程无解． 【分析】（1）根据解分式方程的步骤求解即可，注意要检验； （2）根据解分式方程的步骤求解即可，注意要检验； （3）根据解分式方程的步骤求解即可，注意要检验； （4）根据解分式方程的步骤求解即可，注意要检验． 【详解】（1）解：， ， ， 检验：当是原分式方程的解； （2）解：， ， ， 检验：当是原分式方程的增根， 所以，原方程无解； （3）解：， ， ， ， 检验：当是原分式方程的解； （4）解：， ， ， 检验：当是原分式方程的增根， 所以，原方程无解． 【点睛】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤，正确求解是解题的关键，注意要检验． 5．（23-24八年级下·上海闵行·期中）（1）解方程： （2）分解因式： （3）解不等式组： 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （3）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【详解】解：（1）去分母得， 解得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程的解为； （2）原式 ； （3）， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为． 【点睛】此题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键． 6．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）计算题： (1)； (2)； (3)解不等式组 (4)解分式方程：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法、不等组的解法及分式方程的解法，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据因式分解法求解方程即可； （2）根据公式法求解方程即可； （3）利用不等组的解法求解即可； （4）先去分母，然后再求解方程即可． 【详解】（1）解： 或 解得：； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解： 由①可得：， 由②可得：， ∴原不等式组的解集为； （4）解： 去分母得： 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：； 经检验：是原方程的解． 7．（24-25八年级下·上海金山·期中）关于x的方程的解与方程的解相同，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，准确进行计算是解题的关键，注意要检验． 先将方程的解求出，再将该解代入，得到关于a的方程，最后解方程并在检验后得出结论． 【详解】解：解方程得； 经检验是方程的解； ∵两方程的解相同； ∴将代入方程中得， 解得， 经检验是方程的解 ∴． 8．（23-24八年级下·上海松江·期中）解方程 (1) (2) (3) (4)先化简再求值，其中是方程的解． 【答案】(1) (2)无解 (3)， (4)， 【分析】本题考查解分式方程，解一元二次方程，分式的化简求值． （1）根据分式方程的解法，经过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，再检验即可； （2）根据分式方程的解法，经过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，再检验即可∶ （3）用公式法解一元二次方程的解法即可； （4）根据分式的混合运算的方法进行化简，再用因式分解法求出方程的解，再根据解的合理性进行判断，代入计算即可 【详解】（1）解： ， ， 经检验，是原方程的解， ∴是原分式方程的解． （2） 经检验，是方程的增根， ∴原分式方程无解． （3）即 ，，， ∵ ∴， ∴， （4） ∴或， 当时，原分式无意义， ∴， ∴原式 9．（2024八年级下·全国·专题练习）一般地，形如（是已知数）的分式方程有两个解，通常用，表示．请你观察下列方程及其解的特征： （1）的解为； （2）的解为； （3）的解为； 猜想：方程的解为，___________； 关于的方程的解为___________；___________． 【答案】，， 【分析】本题考查分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．弄清题中的规律是解本题的关键．仿照方程解方程，归纳总结得到结果，方程变形后，利用得出的规律求解即可． 【详解】解：∵的解为； 的解为； 的解为； ∴的解为； 关于的方程，两边同时减1， 得：， ∴或， ∴，． 10．（23-24八年级下·上海崇明·期末）下面是小云同学解分式方程的部分过程，请认真阅读并完成以下各题： 解分式方程： 解：……………………第一步 ……………………第二步 ………………………第三步 …… (1)第二步的解题依据是______； A．分式的性质    B．等式的性质    C．单项式乘以多项式法则 (2)以上解方程步骤中，第______步开始错误的，错误原因是______； (3)请写出该分式方程的正确解答过程． 【答案】(1)B (2)三；去括号时，括号前面是负号的，去括号后，括号内的第二项没有变号 (3)见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程．解题的关键是熟练掌握解分式方程的基本步骤，准确计算． （1）根据去分母的基本原理进行解答即可； （2）查找方程出错的步骤，分析其原因即可； （3）按照正确的解法求出方程的解，写出正确的结果即可． 【详解】（1）解：第二步的解题依据是等式的基本性质，故B正确； 故选：B． （2）解：以上解方程步骤中，第三步开始出现错误，这一步错误的原因是：括号前面是负号的，去括号后，括号内的第二项没有变号． （3）解：， 整理得：， 去分母得： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 【经典计算题二 分式方程无解问题】 11．（23-24八年级下·上海青浦·期末）解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)原方程无解． 【分析】（1）本题考查解分式方程，掌握解分式方程步骤即可解题．注意不要忘了检验． （2）本题解法与（1）类似，掌握解分式方程步骤即可解题．注意不要忘了检验． 【详解】（1）解： ， 经检验，当时，，所以是方程的解． （2）解： ， 经检验，当时，，所以不是方程的解． 故该方程无解． 12．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）若分式方程无解，求的值． 【答案】2或1 【分析】本题主要考查了根据分式方程的无解求参数的值，分式方程的无解包括两种情况，①当分母为0时，分式方程无解，求出x的值，代入到去分母后的整式方程求出参数的值；②去分母整理成的形式，如果，此时分式方程也无解． 根据分式方程无解分为有增根或去分母后的整式方程无解两种情况进行解答即可． 【详解】解： 去分母得：， 整理得：， ∴当或时原方程无解， 当时，， 当时，即时，，得， ∴当或时，原方程无解． 13．（24-25八年级下·上海·阶段练习）若关于x的分式方程无解，求：m的值 【答案】的值为1或． 【分析】本题考查了分式方程的无解问题．先把分式方程化为整式方程得到，由于关于的分式方程无解，分两种情况可求得m． 【详解】解：， 去分母，得， ． 关于的分式方程无解， 当时，原方程无解， ∴； ∵最简公分母， ， 当时，得， 综上：的值为1或． 14．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）已知关于的分式方程． (1)若，求分式方程的解； (2)若分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2)或或 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）将代入，分式方程去分母转化为整式方程，即可求出x的值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求解得到，由分式方程无解，得到或或，即可求出 m的值． 【详解】（1）解：去分母得 ， 解得 ， 经检验：是方程的解； （2）解：去分母得 ，即 ，              当时，即时，整式方程无解，符合题意； 当时，则 ∴或， ∴或，       综上所述，或或. 15．（2024·上海宝山·一模）已知关于x的分式方程无解． (1)求a的值； (2)先化简，后求值：． 【答案】(1)a=-1 (2)-a-2；－1 【分析】（1）先求出分式方程的解，再根据关于x的分式方程无解，即可求得a的值； （2）先算括号内的减法，然后计算括号外的除法，即可将题目中的式子化简，然后将（1）中的a的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】（1）由方程得： ， ， ∵此分式方程无解， ∴此分式方程有增根， ∴即； （2）原式＝， ＝， ＝， ∵由（1）， ∴原式＝． 【点睛】本题考查分式的化简求值、分式方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出a的值． 16．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）给定关于x的分式方程，求： (1)m为何值时，这个方程的解为？ (2)m为何值时，这个方程无解？ 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了解分式方程以及分式方程无解问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把原分式方程化简为整式方程，整理得，把代入原方程，即可作答． （2）无解即为分母为0的情况，进行列式代入数值，进行计算即可． 【详解】（1）解： ∴ ∵ ∴ 解得 （2）解：∵，且该方程无解 ∴或者原分式方程的分母为0，即 ∴ 把代入，得 ∴ 综上：或，方程无解． 17．（23-24八年级下·上海奉贤·阶段练习）已知关于x的分式方程． (1)当时，求这个分式方程的解； (2)小明认为当时，原分式方程无解，你认为小明的说法正确吗?请判断并说明理由． 【答案】(1)是原方程的解 (2)小明的说法正确，理由见解析 【分析】（1）转换为具体分式方程，解方程即可； （2）转换为具体分式方程，解方程即可； 本题考查了分式方程的解法，无解的意义，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）当时，原方程可化为， 方程两边同乘以，得 解这个整式方程，得． 检验：把代入最简公分母得， ∴是原方程的解． （2）小明的说法正确．理由如下： 当时，原方程可化为， 方程两边同乘以，得 解这个整式方程，得． 检验：当时，， ∴是原方程的增根，原分式方程无解． ∴小明的说法正确． 18．（23-24八年级下·上海青浦·阶段练习）计算题 (1)解不等式组． (2)把下列各式因式分解： ①； ②． (3)先化简，再求值：，其中． (4)当m为何值时，关于x的方程无解． 【答案】(1) (2)①；② (3)，4 (4) 【分析】（1）分别求出每个不等式的解集，继而得到不等式组的解集； （2）①先提公因式，再利用完全平方公式分解；②先利用平方差公式变形，再利用完全平方公式分解； （3）先通分，计算括号内的减法，将分子分母因式分解，将除法转化为乘法，约分得到最简结果，再将代入计算即可； （4）去分母，求出解，再根据方程无解，得到解为增根，即，解之即可． 【详解】（1）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：； （2）① ； ② ； （3） ， 当时，原式； （4）， 去分母得：， 解得：， ∵方程无解， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，因式分解，分式的化简求值，分式方程无解问题，解题的关键是掌握相应的运算法则，注意要细心计算． 19．（23-24八年级下·上海静安·阶段练习）圆圆同学解答“解分式方程”的过程如下，请指出他解答过程中开始错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母得：……， 去括号得：……， 移项得：……， 合并同类项得：……， 系数化为1得：……， 经检验，不是原分式方程的解，所以原分式方程无解． 【答案】错误步骤的序号为，分式方程的解为． 【分析】本题考查了解分式方程，先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：错误步骤的序号为①， 去分母得： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为． 20．（23-24八年级下·上海长宁·期末）（1）化简：； （2）小丁和小迪分别解方程的过程如下： 小丁： 解：去分母，得 ， 去括号，得， 合并同类项，得， 解得， ∴原方程的解是． 小迪： 解：去分母，得， 去括号得， 合并同类项得， 解得， 经检验，是方程的增根， 原方程无解． 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在他们的名字后的横线上打“”；若错误，请在他们的名字后的横线上打“”，并写出你的解答过程． 小丁：__________；小迪：__________． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据分式的性质，乘法公式的运用对分式进行化简即可； （2）根据分式的混合运算，运用解分式方程的方法即可求解． 【详解】解：（1） ； （2），， 解： 去分母得，， 去括号得，， 移项得， 合并同类项得，， 检验：把代入， ∴是原方程的解． 【点睛】本题主要考查分式的化简，解分式方程，掌握分式的性质，分式有意义的条件，解分式方程的方法是解题的关键． 【经典计算题三 分式方程增根问题】 21．（2024八年级下·全国·专题练习）若关于x的分式方程有增根，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，解题的关键是掌握增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．根据分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到是增根，即可解答． 【详解】解：解方程， 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． x的系数化为1， 得． ∵关于的分式方程有增根， ， ． 22．（2024八年级下·全国·专题练习）当为何值时，关于的方程会产生增根？ 【答案】 【分析】本题考查了分式方程增根问题，①化分式方程为整式方程，求出表示的代数式；②把增根代入的代数式，即可求得相关字母的值． 【详解】解：方程两边同乘以得：， 解得：， 将代入上式，得， 答：当时，方程产生增根． 23．（23-24八年级下·上海虹口·期中）（1）若关于x的方程有增根，求m的值． （2）在（1）中的条件下，若，求的值． 【答案】（1）  （2）2 【分析】本题主要考查了解分式方程以及增根的概念，如果一个分式方程的根能使此方程的最简公分母为零，那么这个根就是原方程的增根，掌握解分式方程以及增根的概念是解本题的关键． （1）先找出最简公分母，方程两边同乘以，解得，再将方程的增根代入，即可求解． （2）由（1）得，进而解分式方程，得到，解得，即可求解． 【详解】（1）方程两边同乘以，得，， 解得， 方程有增根， ， 把代入中，得， 解得， 的值为1． （2）由（1）得， 方程为， 方程两边同乘以，得， ， ， 可得， 解得， ． 24．（2024·上海闵行·模拟预测）已知关于x的分式方程 (1)当时，解这个分式方程； (2)若方程有增根，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程有增根的条件； （1）按步骤：去分母，解方程，检验，进行解答，即可求解； （2）化成整式方程，求出含有的解，由方程有增根得，即可求解； 掌握解分式方程的步骤及分式方程有增根的条件，并能将求出的值进一步检验是解题的关键． 【详解】（1）解：方程两边同时乘以得 ， 解得， 检验：当时， ， 是原分式方程的解． （2）解：去分母得 ， ， 方程有增根， ， ， ∴， 解得或， 当时， ， 整理得：，矛盾； 舍去， ． 25．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）（1）若方程有增根，则增根是__________； （2）若方程有增根，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了分式方程有增根的情况； （1）根据分式方程有增根，即分母为0进行求解即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根确定出的值即可． 【详解】解：（1）∵分式方程有增根， ∴， ∴， 故答案为：； （2） 去分母得：， 移项得：， 解得： ∵分式方程有增根， ∴，即， ∴， 解得． 26．（23-24八年级下·上海松江·期末）解决下列问题： (1)计算：； (2)计算：； (3)分解因式：； (4)已知关于的分式方程有增根，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式混合运算，因式分解，分式方程的增根； （1）先进行乘方、零次幂、负指数幂运算，再进行加减运算，即可求解； （2）先利用平方差和完全平方公式进行运算，再去括号，最后进行加减运算，即可求解； （3）先用多项式乘以多项式进行运算，再用完全平方差公式进行分解因式，即可求解； （4）将分式方程化为整式方程得，由分式方程有增根的条件得，求出，将其代入整式方程，即可求解； 掌握、(，整式混合运算步骤，因式分解方法，理解增根满足的条件：“①增根是化简后对应整式方程的根，②使最简公分母的值为零；”是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：方程两边同时乘以得 ， 整理得：， 原方程有增根， ， 解得：，， 当时， ，矛盾，等式不成立， 此种情况不存在； 当时， ， 解得：， 故的值为． 27．（2024八年级下·全国·专题练习）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：． (1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程；  ②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． （1）“？”当成5，解分式方程即可， （2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将代入即可解答． 【详解】（1）解：依题意， 方程两边同时乘以得 解得 经检验，是原分式方程的解； （2）解：设？为， 方程两边同时乘以得 ∵是原分式方程的增根， ∴把代入上面的等式得 ∴，原分式方程中“？”代表的数是． 28．（2024·上海金山·一模）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 老师批改时说小丁和小迪的解题过程有错误，请你把小丁和小迪开始错误的步骤划上横线，然后写出正确的解答过程． 【答案】小丁和小迪的解法都是第一步错误；见解析 【分析】本题考查分式方程的解法，根据解分式方程的步骤进行计算并判断和解答即可． 【详解】解：小丁和小迪的解法都是第一步错误． 正确解法如下： 去分母得：， 移项，合并同类项得： 解得： 检验：将代入中可得：， 故原分式方程的解是． 29．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）在解分式方程时，我们通常会通过去分母来简化方程，这一步就需要在等式两边同时乘以最简公分母．然而，在这个过程中，我们无法确定所乘的最简公分母是否为0．这就可能导致未知数的取值范围被不恰当地扩大．如果去分母后得到的整式方程的某个解，使得原分式方程的最简公分母为0，那么这个解就是增根．虽然增根满足整式方程，但它并不满足原分式方程． (1)解分式方程时产生了增根，这个增根是：　　　　； (2)若关于x的方程有增根，求m的值：　　　　； (3)已知整数m使关于x的方程有整数解，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了分式方程的增根，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值. （1）解分式方程时产生了增根，则据此求出这个增根即可； （2）首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到或据此求出的值，代入整式方程求出的值即可； （3）首先根据用含的式子表示出，然后根据关于的方程 有整数解，求出的值即可. 【详解】（1）解：解分式方程时产生了增根， ∴， 解得， 故答案为：； （2）， ， ． 将代入方程得：．不符合条件． 将代入方程得：． ． 综上所述，． （3）， ， ． ∵． ∴． ∵为整数， ∴， ∴． 综上所述，． 30．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）马超同学在学习物理第七章第二节《怎样比较运动的快慢》时，遇到一个这样的问题：甲、乙两地之间为一座山丘，一同学从甲地到乙地先上坡再下坡，上坡速度为，下坡速度为，上坡和下坡路程相等，则这位同学从甲地到乙地的平均速度为多少？马超经过计算得出平均速度为．聪明的马超对公式进行变形得到，他马上联想到数学中也有类似变形，例如，，通过查阅资料知道了这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．请你利用上述方法，解决以下问题： (1)计算：______； (2)解方程：； (3)若分式方程有增根，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)4或8 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，解分式方程： （1）根据题意把所求式子裂项求解即可； （2）把裂项变成，再化简解分式方程即可； （3）先把式子，裂项变成，，再化简得到，再根据分式方程有增根进行讨论求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解； （3）解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵原方程有增根， ∴当时，， 当时，， 当时，（舍去） 综上所述，m的值为4或8． 【经典计算题四 根据分式方程解的情况求值】 31．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知关于x的方程：的解是正数，求m的取值范围 【答案】且 【分析】本题主要考查了分式方程的解，先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，求出x的值，然后根据分式方程的解为正数，分式方程的分母，列出关于m的不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘得： ， ， ， ， ∵此方程的解为正数， ∴， 解得， ∵分式方程有解， ∴， ∴，， ∴，， ∴m的取值范围为：且． 32．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）若关于的分式方程有增根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的知识，根据分式方程有增根，则该方程无解，解出，即可求出． 【详解】解： 去分母得，， 移项，合并同类项得，， ∵有增根， ∴该方程无解，即， 解得：， ∴ ∴． 33．（24-25八年级下·上海宝山·期中）已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是多少？ 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，先去分母得到整式方程，再由整式方程的解为负数得到，由整式方程的解不能使分式方程的分母为0得到，即且，然后求出几个不等式的公共部分得到k的取值范围． 【详解】解：去分母得， 整理得， 因为方程的解为负数， 所以且，即且， 解得且， ∴k的取值范围为且． 34．（2024·上海·一模）已知方程的解为x=2，先化简，再求它的值． 【答案】，4． 【分析】先根据x=2是方程的解，代入原方程可求得a=2，再进行分式的化简，最后把a的值代入求解即可． 【详解】解：∵方程的解为x=2， ∴把x=2代入得 解得：a=3， ＝ = 当a=3时，原式==4． 【点睛】本题考查了分式方程解的定义和分式的化简求值，理解分式方程解的定义，准确进行分式的化简是解题关键． 35．（24-25八年级下·上海金山·期中）关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，把分式方程与一元一次不等式的解分别求出，再根据题意求的范围，最后确定的整数解，再相加即可． 【详解】解：关于的分式方程化为整式方程是：， 解得：， 关于的分式方程的解为正数， ， ， 关于的分式方程可能会产生增根2， ， ， 解关于的一元一次不等式组得：， 关于的一元一次不等式组有解， ， ， 综上，且， 为整数， 或或0或1或2， 满足条件的整数的值之和是：． 36．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）已知是关于的分式方程． (1)当时，求方程的解； (2)若该方程的解为正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查的是分式方程的解法，分式方程的解的定义，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． （1）将代入原方程，解关于x的方程即可求解； （2）先求出原方程的解，然后根据解为正数和分式有意义得出关于a的不等式组，然后求解即可． 【详解】（1）解：原方程为， 解得， 检验：当时，． ∴是原方程的根； （2）解：解分式方程得， ∵分式方程的解是正数， ∴且， ∴且， 解得：且， ∴的取值范围是：且． 37．（23-24八年级下·上海宝山·期中）（1）若关于x的分式方程的解是非负数，求a的取值范围． （2）化简求值，（）÷，其中x是不等式组的整数解． 【答案】（1） ；（2）， 【分析】（1）首先解方程，再根据解为非负数可得a的取值范围． （2）据分式的运算法则化简，再把x的值代入即可，注意代入的值要使分式有意义； 【详解】（1）分式方程两边同时乘得： 解得： ∵分式方程的解是非负数 ∴，且 解得； （2）原式= = 解不等式组得： ∵x是不等式组的整数解 ∴ 把代入得 【点睛】本题考查分式的混合运算、解分式方程以及解一元一次不等式组，熟练的掌握分式的运算法则是解题关键． 38．（2024·上海长宁·模拟预测）（1）计算：； （2）关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，求所有满足条件的整数a的值之和． 【答案】（1）1  （2）13 【分析】（1）根据负指数幂，零次幂，特殊角的三角函数值的计算法则先计算结果，再根据实数的运算法则即可求解； （2）先解分式方程可得参数的解集为且，再解不等式组，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间中，大大小小无解”方法求解集，由此即可求解． 【详解】解： ； （2） 分式方程去分母得，， 解得：， ∵分式方程的解为正数，即且， ∴且， 解不等式组， 由得：，由得：， ∵解集为， ∴， 解得：， 综上可知a的整数解有：3，4，6，它们的和为13． 【点睛】本题主要考查负指数幂，零次幂，特殊角的三角函数值的计算，分式方程，解一元一次不等式组及解集求参数，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 39．（23-24八年级下·上海奉贤·阶段练习）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (2)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (3)若为正整数，且也为正整数，则的值为 ； (4)若分式 的值为整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】(1) (2) (3)2或6 (4)8 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的情况求值： （1）根据题意变形即可； （2）根据题意变形即可； （3）根据（2）得到变形后的结果，然后根据是正整数可得到的值； （4）先把式子变形，然后根据题意可分别得到的值，最后求和即可； 正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：由题可得， 故答案为：； （2）解：由题可得， 故答案为：； （3）解：由（2）可得变形为， ∵为正整数，且也为正整数， ∴或， 解得：或， 故答案为：2或6； （4）解：先将变形， 即， ∵分式 的值为整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴a的和为：， 故答案为：8． 40．（23-24八年级下·上海虹口·期末）阅读下列材料：求分式方程的解，不妨设，，可得，是该分式方程的解．例如：求分式方程的解，可发现，，容易检验，是该方程的解．根据以上材料回答下列问题： (1)求分式方程的解为 ； (2)若，是分式方程的两个解，求的值； (3)设n为自然数，若关于x的分式方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查分式方程；理解“阅读材料”中的答题方法，能够将所求分式方程转化为，求解是解题的关键． （1）类比题目中“阅读材料”的答题方法即可求解； （2）结合运用“阅读材料”即可求出和的值，并代数运算即可求解； （3）善于观察并分析方程，即可求出和的值，代入运算即可求解． 【详解】（1）解：可化为， ∴，． 经检，是该方程的解． 故答案为：，； （2）由已知得，， ∴ ． （3）原方程变为， ∴，， ∴，， ∴． 【经典计算题五 无理方程计算】 41．（23-24八年级下·上海杨浦·阶段练习）解方程： 【答案】 【分析】本题考查解无理方程，设，则：方程变为：，移项后，利用平方法解方程求出的值，再根据，求出的值即可，注意要进行检验． 【详解】解：设，方程变为：， ∴， ∴，解得：， 将方程两边平方，得：， 移项，得：， 解得：，（舍掉）； ∴， 解得：， 经检验：是原方程的根， ∴原方程的解为：． 42．（2024八年级下·上海·专题练习）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查的是换元法解无理方程，可采用换元法使方程简便，注意无理方程需验根．应先把根式内进行整理，然后用换元法求解． 【详解】解：可化为：， 设，则：， 解得：，， 即：或， 解得：，． 经检验的原方程的解为：，． 43．（24-25八年级下·上海宝山·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理方程，解一元一次方程，二次根式的性质混合运算，先把含x项整理一起，常数项一起，再利用二次根式的性质化简并运算，并求出x的值即可． 【详解】解： 44．（24-25八年级下·上海·阶段练习）解方程组： 【答案】或或或 【分析】本题考查了解无理方程，解一元二次方程等知识，先把原方程组变形为，然后令，，则原方程组转化为，解方程组求出m、n，则得出或，然后分别求解即可． 【详解】解∶ ∵， ∴方程②变形为， 令，， ∴原方程组转化为， 由③得，， 把代入④，得， 解得，， 当时，； 当时，， ∴或， 解方程组， ∵，即， ∴， ∴， 联立方程组或 解得或； 解方程组， ∵，即， ∴， ∴， 联立方程组或 解得或； 综上，方程组的解为或或或． 45．（2024·上海静安·模拟预测）解方程： (1)； (2)方程的解为 ． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解分式方程和解无理方程，能把分式方程转化成整式方程和能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键． （1）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边平方得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】（1）解：， 方程两边都乘，得， 解得：或， 检验：当时，，所以是分式方程的解； 当时，，所以是分式方程的解， 分式方程的解是，； （2）解：， 方程两边平方，得， ， ，， 经检验：不是方程的解，是方程的解， 方程的解是． 故答案为：． 46．（23-24八年级下·上海奉贤·期中）计算： （1）解方程：； （2）解方程：； （3）解方程组：． 【答案】（1）x=1（2）方程无解；（3）， 【分析】（1）去分母，化为整式方程，然后检验； （2）两边平方，化为有理方程求解，然后检验； （3）先因式分解组中的②为两个一次方程，与原方程组中的①组成新的方程组，求解即可． 【详解】解：（1）原方程可变形为：， 去分母，得x(x﹣3)+6＝x+3， 整理，得x2﹣4x+3＝0， ∴（x-1）（x-3）=0 ∴x1=1，x2=3 经检验，x＝1是原方程的解．x=3不是原方程的解 ∴x=1 （2）＝2﹣x， 两边平方，得2x﹣5＝4﹣4x+x2， 整理，得x2﹣6x+9＝0， ∴（x﹣3）2＝0， ∴x1＝x2＝3； 经检验，x＝3不是原方程的解， 所以原方程无解； （3）， 由②，得(x﹣2)(x+y)＝0， ∴x﹣2y＝0③或x+y＝0④． 由①③、①④组成新的方程组，得 或， 解得，． 【点睛】本题考查了分式方程、无理方程、二元二次方程组的解法，解分式方程和无理方程结果都要验根． 47．（2024八年级下·上海徐汇·阶段练习）（1）已知实数、满足，试证明：．为正整数，且 （2）试解下列方程： ① ② 【答案】（1）见解析；（2）①或或或；②或 【分析】本题考查了因式分解的应用， （1）利用完全平方公式进行证明； （2）①利用（1）的结论求解； ②先两边平方，把无理方程化为有理方程求解，要检验． 【详解】（1）证明：， ， 或， 当时，左边右边， 当时，左边右边， 所以． （2）解：①， 由（1）得或， 解得：或， 解得：或， 所以方程的解为：或或或； ②方程两边同时平方得：， ， ，或， 当时，解得：或， 当时，解得：或； 经检验：或是原方程的解． 48．（23-24八年级下·上海青浦·阶段练习）阅读小明用下面的方法求出方程． 解：移项，得，方程两边同时平方，得，解得或 经检验，或都是原方程的解． 所以，原方程的解为或． 请仿照他的方法，求出方程的解． 【答案】或 【分析】根据题目中的方法得到，解得或，经检验即可得到方程的解．此题考查了无理方程的解法，读懂题意，正确进行计算是解题的关键． 【详解】解： 移项得，， 方程两边同时平方，得， 解得，或， 经检验或都是原方程的解． 所以，原方程的解为或． 49．（24-25八年级下·上海奉贤·阶段练习）阅读下面的材料： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点． 它的解法通常采用换元法降次：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，所以；当时，，所以；所以原方程有四个根：，，，． 仿照上述换元法解下列方程． (1) (2)． (3) 【答案】(1)，，， (2)， (3)， 【分析】本题考查换元法解方程，根据题目换元法思路解题即可； （1）设，则原方程可变为，解方程即可； （2）设，则原方程可变为，解方程即可； （3）设，则原方程可变为，解方程即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可变为， 解得，， 当时，，所以； 当时，，所以； 所以原方程有四个根：，，，； （2）解：设，则原方程可变为， 去分母得， 解得，， 经检验，是的根， 当时，，解得，经检验是的根； 当时，，解得，经检验是的根； 所以原方程有两个根：，； （3）解：设，则原方程可变为， 解得，， 当时，，解得； 当时，，解得； 所以原方程有两个根：，． 50．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）定义：我们将（＋）与（－）称为一对“对偶式”．因为（＋）（－）＝（）2 －（）2＝a－b，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将（＋）和（－）中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如＝＝3＋2．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)请直接写出＋的对偶式_________； (2)已知m＝，n＝，求的值； (3)利用“对偶式”相关知识解方程：－＝2，其中x≤4． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由定义直接可得答案； （2）先化简m、n，求出m+n、m-n，mn，再将所求式子变形，代入即可算得答案； （3）方程的两边同时乘以，得到，两式相加即可求解． 【详解】（1）解：＋的对偶式是， 故答案为：； （2）解：∵ ∴ ； （3）解：∵①， ∴， ∴， ①+②得： 20-x=25， ∴x=-5， 经检验，x=-5是原方程的解， ∴原方程的解是x=-5． 【点睛】本题考查二次根式的及相关的运算，涉及新定义，无理方程等知识，解题的关键是掌握二次根式运算的相关法则． 【经典计算题六 二元二次方程组计算】 51．（24-25八年级下·上海·期末）解方程组：． 【答案】或 【分析】本题考查了解二元二次方程组，熟练掌握加减消元法是解题关键．先将方程②因式分解成两个方程，可得两个二元一次方程组，再利用加减消元法解方程组即可得． 【详解】解：由得：， 则方程组可转化为或， 方程组， ①③得：，解得， 将代入①得：，解得， 所以这个方程组的解为； 方程组， ①④得：，解得， 将代入①得：，解得， 所以这个方程组的解为； 综上，原方程组的解为或． 52．（23-24八年级下·上海黄浦·期中）用换元法解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了换元法解方程组．设，，则原方程组可化为，求出，从而得到，求解即可． 【详解】解：设，，则原方程组可化为， 解得， 于是，得， 得， 检验：把，代入原方程组中所含各分式的分母，各分母的值不为零， 原方程组的解是． 53．（23-24八年级下·上海杨浦·阶段练习）解方程组 【答案】 【分析】本题考查解二元二次方程组，将，转化为：，得到或，分别代入第一个方程进行求解即可． 【详解】解：由，得：， ∴或， ∴或， 把代入，得：， 解得：， 当时，， 当时，； 把代入，得：， 解得：， 当时，， 当时，； ∴原方程组的解为：． 54．（2024八年级·全国·竞赛）求关于的方程的整数解． 【答案】或或或 【分析】本题考查解二元二次方程和因式分解的应用； 先对方程左边分解因式，再分类讨论求解即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴或或或， 解得：或或或 55．（2024八年级下·上海·专题练习）（1）解方程：． （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2）； 【分析】此题主要考查了解分式方程和解二元二次方程组，解答（1）得关键是熟练掌握利用去分母把分式方程转化为整式方程得方法与技巧，由于去分母把分式方程转化为整式方程，扩大了未知数得取值范围，因此会产生增根，所以必须验根，这也是解答此类问题的易错点之一；解答（2）得关键是熟练掌握把二元二次方程组转化为两个二元一次方程组的方法与技巧． （1）首先把原方程转化为，再去分母，将方程两边同时乘以得，然后解这个整式方程求出，最后再验根即可得出原方程的解； （2）先将转化为，进而得，据此可将原方程中转化为①，②，然后解这两个二元一次方程组即可得出原方程中的解． 【详解】解：（1）原方程可转化为， 去分母，方程两边同时乘以，得：， 整理得：， 解得：，， 检验：当时，， 当时，， 是增根， 原方程的解为：； （2）由，得：， ， 原方程中可转化为①，②， 解①得：； 解②得：． 原方程组的解为：；． 56．（23-24八年级下·上海崇明·期末）计算 (1)解方程组； (2)． 【答案】(1)或或 (2) 【分析】本题考查了解二元二次方程组，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）先整理方程组，再利用代入消元法求解方程即可； （2）先计算乘方，零指数幂，负整数幂，开立方根，再计算加减即可． 【详解】（1）解：方程组整理得， ②代入①得：，即， 解得：或， 将代入②得：， 解得：或， 即或； 将代入②得：， 解得：， 即； 综上，方程组的解为：或或； （2）解：原式 ． 57．（23-24八年级下·上海虹口·阶段练习）计算： （1） （2）解方程组： （3）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来： 【答案】（1）；（2） ；（3）. 【详解】【分析】(1)先求开方运算，再进行加减；（2）用加减法解方程组；（3）解不等式组，再在数轴上表示解集. 【详解】解：（1）原式=-3+4-= （2） ①×2+②，得x=0 把x=0代入①式 y= 所以，方程组的解是 （3） 由①式得，x≥- 由②式得，x＜ 所以，不等式组的解集是， 把解集在数轴上表示： 【点睛】本题考核知识点：开方，解二元一次方程组，解不等式组.解题关键点：掌握相关解法. 58．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）解方程及方程组 (1)解方程：； (2)解方程组：； (3)若，解方程组：； (4)因式分解：． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查解分式方程、解二元一次方程组、因式分解，熟练掌握分式方程的解法、二元一次方程组的解法、因式分解的概念是解答本题的关键． （1）将分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，再进行检验即可． （2）先将方程组化简为：，再利用加减消元法求解即可． （3）根据题意可得，则，进而可得方程组为①，②，③，④，利用加减消元法分别求解即可． （4）令，则可变形为． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为一得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． （2）解： 方程组化简为：， 得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为：． （3）解： ， ， ， ， 即， ， ∴①，②，③，④， 解方程组①得：，解方程组②得：，解方程组③得：，解方程组④得：， ∵， ∴方程组的解为或． （4）解： 令， 则 ． 59．（23-24八年级下·上海青浦·期中）若规定＝ad﹣bc，如＝2×0﹣3×（﹣1）＝3 （1）计算：； （2）计算：； （3）解方程组：． 【答案】（1）﹣17；（2） 5x+3y；（3） 【分析】（1）根据所给的式子求出代数式的值即可； （2）根据所给的式子得出关于x、y的方程即可； （3）先根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出x、y的值即可． 【详解】解：（1）∵＝ad﹣bc， ∴原式＝﹣2﹣15 ＝﹣17； （2）原式＝5x+3y； （3）由题意可得， 解得． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键． 60．（23-24八年级下·上海宝山·期中）我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如的二元二次方程组，实质是将二元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解．其解法如下： 解：由②得：    ③ 将③代入①得： 整理得：，解得， 将，代入③得， ∴原方程组的解为或． (1)请你用代入消元法解二元二次方程组：； (2)若关于x，y的二元二次方程组有实数解，求实数a的取值范围． 【答案】(1)原方程组的解为或 (2) 【分析】本题考查解二元二次方程组，一元二次方程的根的判别式等知识，读懂题意掌握给出的方法是解题的关键． （1）将前一个方程转化为，代入后一个方程求出x的值，继而利用得出y的值，从而得解； （2）将前一个方程转化为，代入后一个方程得到关于x的方程，然后分所得方程是一元一次方程还是一元二次方程讨论，对于前者直接求解即可，对于后者根据根的判别式与方程的根的关系得出，继而得到关于a的不等式，从而得解． 【详解】（1） 由①，得③ 把③代入②，得． 整理，得． 解得，． 把，代入③，得，． 故原方程组的解为或 （2） 由①得，得③ 把③代入②，得． 整理，得． ①若，则．此时原方程可化为，解得，符合题意； ②若，则且． 解得且． 综上可知，． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 代数方程60道计算题专训（6大题型） 题型一 解分式方程 题型二 分式方程无解问题 题型三 分式方程增根问题 题型四 根据分式方程解的情况求值 题型五 无理方程计算 题型六 二元二次方程组计算 【经典计算题一 解分式方程】 1．（2024八年级·全国·竞赛）解分式方程． 2．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）解下列方程： (1)． (2)． 3．（24-25八年级下·上海静安·阶段练习）解方程 (1)； (2)； (3)． 4．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）解下列分式方程： (1) (2) (3) (4) 5．（23-24八年级下·上海闵行·期中）（1）解方程： （2）分解因式： （3）解不等式组： 6．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）计算题： (1)； (2)； (3)解不等式组 (4)解分式方程：． 7．（24-25八年级下·上海金山·期中）关于x的方程的解与方程的解相同，求a的值． 8．（23-24八年级下·上海松江·期中）解方程 (1) (2) (3) (4)先化简再求值，其中是方程的解． 9．（2024八年级下·全国·专题练习）一般地，形如（是已知数）的分式方程有两个解，通常用，表示．请你观察下列方程及其解的特征： （1）的解为； （2）的解为； （3）的解为； 猜想：方程的解为，___________； 关于的方程的解为___________；___________． 10．（23-24八年级下·上海崇明·期末）下面是小云同学解分式方程的部分过程，请认真阅读并完成以下各题： 解分式方程： 解：……………………第一步 ……………………第二步 ………………………第三步 …… (1)第二步的解题依据是______； A．分式的性质    B．等式的性质    C．单项式乘以多项式法则 (2)以上解方程步骤中，第______步开始错误的，错误原因是______； (3)请写出该分式方程的正确解答过程． 【经典计算题二 分式方程无解问题】 11．（23-24八年级下·上海青浦·期末）解下列分式方程： (1)； (2)． 12．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）若分式方程无解，求的值． 13．（24-25八年级下·上海·阶段练习）若关于x的分式方程无解，求：m的值 14．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）已知关于的分式方程． (1)若，求分式方程的解； (2)若分式方程无解，求的值．                15．（2024·上海宝山·一模）已知关于x的分式方程无解． (1)求a的值； (2)先化简，后求值：． 16．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）给定关于x的分式方程，求： (1)m为何值时，这个方程的解为？ (2)m为何值时，这个方程无解？ 17．（23-24八年级下·上海奉贤·阶段练习）已知关于x的分式方程． (1)当时，求这个分式方程的解； (2)小明认为当时，原分式方程无解，你认为小明的说法正确吗?请判断并说明理由． 18．（23-24八年级下·上海青浦·阶段练习）计算题 (1)解不等式组． (2)把下列各式因式分解： ①； ②． (3)先化简，再求值：，其中． (4)当m为何值时，关于x的方程无解． 19．（23-24八年级下·上海静安·阶段练习）圆圆同学解答“解分式方程”的过程如下，请指出他解答过程中开始错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母得：……， 去括号得：……， 移项得：……， 合并同类项得：……， 系数化为1得：……， 经检验，不是原分式方程的解，所以原分式方程无解． 20．（23-24八年级下·上海长宁·期末）（1）化简：； （2）小丁和小迪分别解方程的过程如下： 小丁： 解：去分母，得 ， 去括号，得， 合并同类项，得， 解得， ∴原方程的解是． 小迪： 解：去分母，得， 去括号得， 合并同类项得， 解得， 经检验，是方程的增根， 原方程无解． 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在他们的名字后的横线上打“”；若错误，请在他们的名字后的横线上打“”，并写出你的解答过程． 小丁：__________；小迪：__________． 【经典计算题三 分式方程增根问题】 21．（2024八年级下·全国·专题练习）若关于x的分式方程有增根，求m的值． 22．（2024八年级下·全国·专题练习）当为何值时，关于的方程会产生增根？ 23．（23-24八年级下·上海虹口·期中）（1）若关于x的方程有增根，求m的值． （2）在（1）中的条件下，若，求的值． 24．（2024·上海闵行·模拟预测）已知关于x的分式方程 (1)当时，解这个分式方程； (2)若方程有增根，求m的值． 25．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）（1）若方程有增根，则增根是__________； （2）若方程有增根，求的值． 26．（23-24八年级下·上海松江·期末）解决下列问题： (1)计算：； (2)计算：； (3)分解因式：； (4)已知关于的分式方程有增根，求的值． 27．（2024八年级下·全国·专题练习）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：． (1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 28．（2024·上海金山·一模）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 老师批改时说小丁和小迪的解题过程有错误，请你把小丁和小迪开始错误的步骤划上横线，然后写出正确的解答过程． 29．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）在解分式方程时，我们通常会通过去分母来简化方程，这一步就需要在等式两边同时乘以最简公分母．然而，在这个过程中，我们无法确定所乘的最简公分母是否为0．这就可能导致未知数的取值范围被不恰当地扩大．如果去分母后得到的整式方程的某个解，使得原分式方程的最简公分母为0，那么这个解就是增根．虽然增根满足整式方程，但它并不满足原分式方程． (1)解分式方程时产生了增根，这个增根是：　　　　； (2)若关于x的方程有增根，求m的值：　　　　； (3)已知整数m使关于x的方程有整数解，求m的值． 30．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）马超同学在学习物理第七章第二节《怎样比较运动的快慢》时，遇到一个这样的问题：甲、乙两地之间为一座山丘，一同学从甲地到乙地先上坡再下坡，上坡速度为，下坡速度为，上坡和下坡路程相等，则这位同学从甲地到乙地的平均速度为多少？马超经过计算得出平均速度为．聪明的马超对公式进行变形得到，他马上联想到数学中也有类似变形，例如，，通过查阅资料知道了这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．请你利用上述方法，解决以下问题： (1)计算：______； (2)解方程：； (3)若分式方程有增根，求m的值． 【经典计算题四 根据分式方程解的情况求值】 31．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知关于x的方程：的解是正数，求m的取值范围 32．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）若关于的分式方程有增根，求的值． 33．（24-25八年级下·上海宝山·期中）已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是多少？ 34．（2024·上海·一模）已知方程的解为x=2，先化简，再求它的值． 35．（24-25八年级下·上海金山·期中）关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是多少？ 36．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）已知是关于的分式方程． (1)当时，求方程的解； (2)若该方程的解为正数，求的取值范围． 37．（23-24八年级下·上海宝山·期中）（1）若关于x的分式方程的解是非负数，求a的取值范围． （2）化简求值，（）÷，其中x是不等式组的整数解． 38．（2024·上海长宁·模拟预测）（1）计算：； （2）关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，求所有满足条件的整数a的值之和． 39．（23-24八年级下·上海奉贤·阶段练习）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (2)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (3)若为正整数，且也为正整数，则的值为 ； (4)若分式 的值为整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 40．（23-24八年级下·上海虹口·期末）阅读下列材料：求分式方程的解，不妨设，，可得，是该分式方程的解．例如：求分式方程的解，可发现，，容易检验，是该方程的解．根据以上材料回答下列问题： (1)求分式方程的解为 ； (2)若，是分式方程的两个解，求的值； (3)设n为自然数，若关于x的分式方程的两个解分别为，，求的值． 【经典计算题五 无理方程计算】 41．（23-24八年级下·上海杨浦·阶段练习）解方程： 42．（2024八年级下·上海·专题练习）解方程： 43．（24-25八年级下·上海宝山·期中）解方程：． 44．（24-25八年级下·上海·阶段练习）解方程组： 45．（2024·上海静安·模拟预测）解方程： (1)； (2)方程的解为 ． 46．（23-24八年级下·上海奉贤·期中）计算： （1）解方程：； （2）解方程：； （3）解方程组：． 47．（2024八年级下·上海徐汇·阶段练习）（1）已知实数、满足，试证明：．为正整数，且 （2）试解下列方程： ① ② 48．（23-24八年级下·上海青浦·阶段练习）阅读小明用下面的方法求出方程． 解：移项，得，方程两边同时平方，得，解得或 经检验，或都是原方程的解． 所以，原方程的解为或． 请仿照他的方法，求出方程的解． 49．（24-25八年级下·上海奉贤·阶段练习）阅读下面的材料： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点． 它的解法通常采用换元法降次：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，所以；当时，，所以；所以原方程有四个根：，，，． 仿照上述换元法解下列方程． (1) (2)． (3) 50．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）定义：我们将（＋）与（－）称为一对“对偶式”．因为（＋）（－）＝（）2 －（）2＝a－b，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将（＋）和（－）中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如＝＝3＋2．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)请直接写出＋的对偶式_________； (2)已知m＝，n＝，求的值； (3)利用“对偶式”相关知识解方程：－＝2，其中x≤4． 【经典计算题六 二元二次方程组计算】 51．（24-25八年级下·上海·期末）解方程组：． 52．（23-24八年级下·上海黄浦·期中）用换元法解方程组： 53．（23-24八年级下·上海杨浦·阶段练习）解方程组 54．（2024八年级·全国·竞赛）求关于的方程的整数解． 55．（2024八年级下·上海·专题练习）（1）解方程：． （2）解方程组：． 56．（23-24八年级下·上海崇明·期末）计算 (1)解方程组； (2)． 57．（23-24八年级下·上海虹口·阶段练习）计算： （1） （2）解方程组： （3）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来： 58．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）解方程及方程组 (1)解方程：； (2)解方程组：； (3)若，解方程组：； (4)因式分解：． 59．（23-24八年级下·上海青浦·期中）若规定＝ad﹣bc，如＝2×0﹣3×（﹣1）＝3 （1）计算：； （2）计算：； （3）解方程组：． 60．（23-24八年级下·上海宝山·期中）我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如的二元二次方程组，实质是将二元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解．其解法如下： 解：由②得：    ③ 将③代入①得： 整理得：，解得， 将，代入③得， ∴原方程组的解为或． (1)请你用代入消元法解二元二次方程组：； (2)若关于x，y的二元二次方程组有实数解，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$