专题06 二次根式易错必刷题型专训（63题21个考点）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题06 二次根式易错必刷题型专训（63题21个考点） 【易错必刷一 二次根式的基本概念】 1．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）在式子中，二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义判断即可，形如的代数式叫做二次根式． 【详解】解：是二次根式，符合题意， 是三次根式，不合题意， 是二次根式，符合题意， 不是二次根式，不合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次根式定义，正确理解二次根式的定义是解题的关键． 2．（24-25八年级下·贵州黔东南·期末）下列式子中一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，据此进行判断即可． 【详解】解：A. ，是二次根式； B. 中，根指数为3，故不是二次根式； C. 中，-2＜0，故不是二次根式； D. 中，x不一定是非负数，故不是二次根式； 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解决问题的关键是理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）小聪让你写一个含有字母的二次根式.具体要求是：不论取何实数，该二次根式都有意义，且二次根式的值为正.你所写的符合要求的一个二次根式是 . 【答案】 【分析】根据二次根式的定义即可求解. 【详解】依题意写出一个二次根式为. 【点睛】此题主要考查二次根式的定义，解题的关键是熟知二次根式的特点. 【易错必刷二 求二次根式的值】 4．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）当时，二次根式的值是 . 【答案】 【分析】把x=-2代入根式即可求解. 【详解】把x=-2代入得 【点睛】此题主要考查二次根式，解题的关键是熟知二次根式的性质. 5．（24-25七年级下·重庆·期中）已知当时，代数式的值是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意直接根据二次根式的性质以及去绝对值的方法，进行分析运算即可. 【详解】解：∵， ∴. 故选：C. 【点睛】本题考查二次根式和去绝对值，熟练掌握二次根式的性质以及去绝对值的方法是解题的关键. 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键． （1）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． （2）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：当 时， ； （2）解： 当 时， ． 【易错必刷三 求二次根式中的参数】 7．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）已知是正整数，则实数a的最大整数值为（   ） A．1 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】因为是整数，且，则2（9−a）是完全平方数，据此分析解答． 【详解】∵是正整数，且， ∴是完全平方数， ∴，即：， ∴实数a的最大整数值为7， 故选B． 【点睛】本题主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式． 8．（24-25九年级下·山东烟台·期中）若，则的值是（　　） A．3 B．±3 C． D．± 【答案】A 【分析】根据题意，利用完全平方式和二次根式的性质进行计算，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴（）2＝x+27+2＝9， ∵0， ∴3， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方式，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题． 9．（24-25八年级上·四川达州·期末）若为实数，且满足，则的值是 ． 【答案】-1 【分析】根据绝对值和二次根式的非负性求出x，y，代入求值即可； 【详解】∵， ∴， 解得：， ∴； 故答案是-1． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的求解和代数式求值，准确利用绝对值和二次根式的非负性求解是解题的关键． 【易错必刷四 二次根式有意义的条件】 10．（24-25九年级上·河南南阳·期中）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质和分式有意义的条件是解决本题的关键．根据使二次根式有意义的条件可得，使分式有意义的条件可得，求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得，且分母， 解得． 故选：A． 11．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，求一元一次不等式组的解集，根据二次根式有意义的条件得到且，进行求解得出答案即可． 【详解】解：代数式在实数范围内有意义， 且， 解得：且， 故答案为：且． 12．（24-25九年级上·海南海口·期末）若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【易错必刷五 利用二次根式的性质化简】 13．（24-25八年级下·四川凉山·阶段练习）若，则x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式性质化简，掌握二次根式的性质是关键．根据二次根式的性质得出不等式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故选：B． 14．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）若，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质得到，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故答案为：． 15．（23-24九年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质． （1）根据二次根式的性质求解即可； （2）根据二次根式的性质求解即可； （3）根据二次根式的性质求解即可； （4）根据二次根式的性质求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 【易错必刷六 根据二次根式的性质化简数轴问题】 16．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简代数式：．    【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的性质，绝对值的意义，根据数轴得出，进而得出，，，然后根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知：， ，，， ． 17．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如图所示，则= ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简二次根式，先根据数轴推出，据此化简二次根式和绝对值即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故答案为：． 18．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）实数在数轴上的位置如图，那么化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查实数与数轴，二次根式的性质与化简，数形结合是解题的关键．先根据，两点在数轴上的位置判断出，的符号，再化简绝对值和二次根式计算即可． 【详解】解：由数轴可知，， ， 故选：B． 【易错必刷七 复合二次根式的化简】 19．（24-25八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 20．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式成立的条件确定x的取值，从而利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：由题意可得：x＜0 ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的化简，理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键． 21．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ． 【答案】/ 【分析】先把10拆成与的平方和，则可写成完全平方式，然后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质：．也考查了完全平方公式的运用． 【易错必刷八 二次根式的乘法计算】 22．（24-25八年级上·四川广安·期末）计算 ． 【答案】4 【分析】此题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式运算法则是解题关键．根据二次根式的乘法法则求解即可． 【详解】． 故答案为：4． 23．（24-25八年级上·北京石景山·期末）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握二次根式的性质、平方差公式是解决问题的关键． 利用平方差公式计算即可． 【详解】解：原式 故答案为： 24．（24-25八年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此可求出，再根据二次根式乘法计算法则求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 【易错必刷九 二次根式的除法计算】 25．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）估计的值应在（   ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的运算及无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；根据二次根式的运算可先求出式子的值，然后问题可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选：C． 26．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的除法，利用二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解： 故答案为： 27．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）已知成立． (1)填空：的取值范围是______； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】 本题主要考查了二次根式的化简，二次根式有意义的条件： （1）根据二次根式有意义的条件，可得，即可求解； （2）先把原式变形为，再由，可得，，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； 故答案为： （2）解：， ∵， ∴，， ∴原式． 【易错必刷十 二次根式的乘除法混合运算】 28．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了立方根及二次根式的乘除运算．根据立方根的定义，二次根式的乘除法则先化简，再进行合并即可得到结果． 【详解】解： ． 29．（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，掌握运算法则与运算顺序是解本题的关键； （1）按照从左至右的顺序进行计算即可； （2）按照从左至右的顺序进行计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式      ． 30．（24-25八年级·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则化简计算即可； （2）根据二次根式的乘除运算法则化简计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：． 【点睛】本题主要考查二次根式的乘除运算，注意法则的准确运用以及符号的准确判定． 【易错必刷十一 最简二次根式相关概念】 31．（24-25九年级上·河南周口·期末）下列二次根式：，，，中，是最简二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的定义：被开方数不含有开得尽方的因数或因式，被开方数不含分母．根据最简二次根式的定义分别判断解答即可． 【详解】解：中是最简二次根式的有，，共 2 个． 故选：B． 32．（24-25八年级上·江苏南通·期末）在，，，中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式，最简二次根式的必须满足两个条件：（1）被开方数不含有开的尽方的因数或因式，（2）被开方数不含有分母．根据最简二次根式的定义判定即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意； B、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A． 33．（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）在二次根式中，最简二次根式是 ． 【答案】 【分析】 根据最简二次根式的意义逐项进行判断即可． 【详解】 解：，因此不是最简二次根式； 由于时，所以是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式， 故答案为：． 【点睛】 本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的意义是正确判断的关键． 【易错必刷十二 已知最简二次根式求参数】 34．（2024八年级上·全国·专题练习）若二次根式为最简二次根式，则最小的正整数为 ． 【答案】2 【解析】略 35．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）已知n为正整数，也是正整数，那么满足条件n的最小值是 ． 【答案】3 【分析】由为正整数，也是正整数，知是一个完全平方数，再将12分解质因数，从而得出结果． 【详解】解：为正整数，也是正整数， 则是一个完全平方数， 又∵， ∴是一个完全平方数， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握如果是正整数，那么是一个完全平方数． 36．（24-25八年级上·河北唐山·期末）若最简二次根式与能合并，则 ． 【答案】4 【分析】根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 移项合并：， 故答案为：4. 【点睛】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键． 【易错必刷十三 同类二次根式】 37．（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式．根据同类二次根式的定义得出，再求出答案即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴． 故答案为：7． 38．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知两个最简二次根式与是同类二次根式，求a的值． 【答案】a的值为 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．注意检验被开方数为非负数． 根据同类二次根式与最简二次根式的定义，列出方程解答即可． 【详解】解：根据题意，得， ∴， 解得：． 当时，，但不是最简二次根式，故不符合题意； 当时，，，符合题意． ∴a的值为． 39．（24-25八年级下·河北石家庄·阶段练习）已知最简二次根式和可以合并，你能求出使有意义的的取值范围吗？ 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解二元一次方程组，最简二次根式，理解最简二次根式和二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：根据已知可得， 解得， 有意义， 则，解得． 【易错必刷十四 二次根式的加减运算】 40．（24-25八年级上·山西太原·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序、准确地进行计算，是解题的关键． （1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）首先根据完全平方公式和二次根式的除法运算法则化简，然后计算加减即可． 【详解】（1）原式                ； （2）原式                 ． 41．（24-25九年级上·河南南阳·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的加减混合运算， （1）先把每个二次根式化简，再进行加减计算即可； （2）先把每个二次根式化简，最后再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 42．（24-25八年级上·全国·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查二次根式的加减混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可． （2）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可． （3）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可． （4）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可． 【详解】（1）解： ; （2）解： ; （3）解： ; （4）解： . 【易错必刷十五 二次根式的混合运算】 43．（24-25八年级上·河南郑州·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的混合运算； （1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的除法运算，乘法运算，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 44．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）运用二次根式的混合运算法则计算即可； （2）运用乘法公式，二次根式的混合法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 45．（24-25八年级上·重庆南岸·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，零指数幂等运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先化简绝对值，零指数幂，二次根式的除法，然后合并即可求解； （2）根据完全平方公式和平方差公式展开，然后合并即可求解． 【详解】（1） ； （2） ． 【易错必刷十六 分母有理化】 46．（24-25八年级上·上海·期末）化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 47．（23-24八年级上·广东河源·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据立方根定义，二次根式混合运算法则，分母有理化方法，进行解答即可． 【详解】解： ． 48．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）【材料阅读】：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化． 例如：化简：． 解：． 【问题解决】： （1）化简：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的加减运算等知识点，正确地计算并完成分母有理化是解题的关键． （1）根据题意分母有理化即可求解； （2）根据题意，将每一项都分母有理化，然后根据二次根式的加减进行计算即可求解； 【详解】解：（1） ； （2） ． 【易错必刷十七 已知字母的值化简求值】 49．（24-25八年级上·北京通州·期末）已知：，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的应用， 先将整理为，再将待求式配方，然后整体代入求值． 【详解】解：∵， ∴． ∴， ， ， ， ． 50．（23-24八年级下·全国·期末）已知，求 的值 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用乘法公式进行整体代入是解题关键． 首先化简得到，，然后求出，，然后代入求解即可． 【详解】解：， ， ∴，， ． 51．（23-24八年级下·福建南平·期中）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、利用因式分解求值等知识． （1）先将分解因式，再代入即可求解； （2）先将分解因式，再代入即可求解． 【详解】（1）解：； （2）． 【易错必刷十八 已知条件式化简求值】 52．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知，求的值． 【答案】16 【详解】解析：因为二次根式、平方数与绝对值均为非负数，根据几个非负数的和为零，得它们分别为零可求出x，y，z的值，代入代数式求值即可． 答案：解：∵，，，且， ∴解得 ∴． 易错：解：根据几个非负数的和为零，则它们分别为零可得，∴． 错因：虽然了解若几个非负数的和为零，则它们分别为零，但整体思想不到位． 满分备考：到目前为止，我们已学习三个非负数：绝对值、平方数与二次根式，它们有独特性质，即若几个非负数的和为零，则它们分别为零，常利用此性质解题． 53．（24-25八年级下·北京朝阳·期中）已知，，求代数式xy2﹣x2y的值． 【答案】xy（y﹣x）；2+3 【分析】先将题目中所求式子化简，然后再根据 ，，求出x、y的值，再代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】xy2﹣x2y， ＝xy（y﹣x）， ∵，， ∴， 解得：， 当x＝，时，原式＝． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 54．（24-25八年级下·山东烟台·期末）先化简，再求值：已知y=，求的值． 【答案】-，- 【分析】根据二次根式性质得到x=，y=，再根据完全平方差公式和二次根式的性质化简原式，最后将x，y的值代入求解即可． 【详解】解：根据已知，得1-3x≥0且3x-1≥0， ∴x=，y=， ∵ =2x-+y-（2x+y） =2x-+y-2x-y = - ∴当x=，y=，原式= -=-2． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质：是解题的关键． 【易错必刷十九 比较二次根式的大小】 55．（24-25八年级下·浙江台州·期中）已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，则a，b，c的关系是（    ） A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c 【答案】D 【分析】利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论． 【详解】解：a=2021×2023-2021×2022 =2021（2023-2022） =2021； ∵20242-4×2023 =（2023+1）2-4×2023 =20232+2×2023+1-4×2023 =20232-2×2023+1 =（2023-1）2 =20222， ∴b=2022； ∵， ∴c＞b＞a． 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键． 56．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）比较大小：① ；② ；③ （填“”，“”，“”号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，第一空直接根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可；第二空两数平方，平方大的数大；第三空利用作差法求解即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ，由于，则， ∴ 故答案为：；；． 57．（24-25八年级上·四川达州·期中）比较下列实数的大小（在横线上填上＞、＜或＝） ① ； ② ． 【答案】 【分析】通过比较分子的大小可判断①；利用二次根式的性质化简，进而可判断②． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵，，且， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质以及实数的大小比较，灵活运用二次根式的性质进行化简是解题的关键． 【易错必刷二十 二次根式的应用】 58．（2024八年级上·北京·专题练习）我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积为S，；如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．根据题目中的面积公式，可以将的三条边长代入公式中，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， 三边长为：，，，不妨令，，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 59．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为18和25． (1)大正方形的边长是______，小正方形的边长是_____． (2)求图中阴影部分的周长． 【答案】(1)5， (2) 【分析】（1）根据正方形的性质，利用求算术平方根的方法解答即可． （2）根据周长的定义，二次根式的乘法，加减混合计算解答即可． 【详解】（1）解：∵长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为18和25． ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为， 故答案为：5，． （2）解：根据题意，得阴影的周长为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，算术平方根的计算，二次根式的化简，二次根式的乘法，二次根式的加减，熟练掌握正方形的性质，算术平方根的解答，二次根式的运算是解题的关键． 60．（23-24八年级下·江西赣州·期中）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦—秦九韶公式”．完成以下问题：如图，在中，． (1)直接写出的值，______． (2)求的面积； (3)设边上的高为边上的高为，求的值． 【答案】(1)9 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握三角形的面积公式是解题的关键． （1）直接代入求解； （2）代入“海伦公式”求解； （3）根据三角形的面积列方程求出、，再求和． 【详解】（1）解：， 故答案为：9． （2）， 的面积为； （3）， ，， ． 【易错必刷二十一 二次根式的新定义计算】 1．（23-24八年级下·青海海东·阶段练习）对于任意的整数，，定义运算“☆”为：． 求：的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确理解新运算法则是解题的关键． 先根据新运算法则计算与，再计算乘法即可． 【详解】解：， ， 所以 ． 故答案为：2． 2．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）定义：若两个二次根式a、b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于10的共轭二次根式，则 ； (2)若与是关于12的共轭二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握共轭二次根式的定义，是解题的关键． （1）根据共轭二次根式的定义，进行计算即可； （2）根据共轭二次根式的定义，进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴； 故答案为：； （2）由题意，得：， ∴且， ∴． 3．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大整数，这个实数的小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：的整数部分为2，小数部分为；的整数部分为1，小数部分可用表示；再如，的整数部分为，小数部分为．由此我们得到一个真命题：如果，其中x是整数，且，那么． (1)如果，其中a是整数，且，那么______，______； (2)如果其中c是整数，且，那么______，______； (3)已知，其中m是整数，且，求的值； (4)在上述条件下，求的立方根． 【答案】(1)； (2)； (3) (4)3 【分析】此题考查了估算无理数的大小，代数式求值，解题关键是确定无理数的整数部分． （1）估算出，即可确定，的值； （2）估算出，可得，即可确定，的值； （3）根据题意确定出，的值，代入求值即可； （4）由（1）（2）（3）的结果，直接代入所求式子即可． 【详解】（1）解：，其中a是整数，且， 又， ，， 故答案为：，； （2）解：，其中是整数，且， 又， ，， 故答案为：，； （3）解：， ∴， ，其中是整数，且， ，， ； （4）解： ， 的立方根为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 二次根式易错必刷题型专训（63题21个考点） 【易错必刷一 二次根式的基本概念】 1．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）在式子中，二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级下·贵州黔东南·期末）下列式子中一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）小聪让你写一个含有字母的二次根式.具体要求是：不论取何实数，该二次根式都有意义，且二次根式的值为正.你所写的符合要求的一个二次根式是 . 【易错必刷二 求二次根式的值】 4．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）当时，二次根式的值是 . 5．（24-25七年级下·重庆·期中）已知当时，代数式的值是（      ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【易错必刷三 求二次根式中的参数】7．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）已知是正整数，则实数a的最大整数值为（   ） A．1 B．7 C．8 D．9 8．（24-25九年级下·山东烟台·期中）若，则的值是（　　） A．3 B．±3 C． D．± 9．（24-25八年级上·四川达州·期末）若为实数，且满足，则的值是 ． 【易错必刷四 二次根式有意义的条件】 10．（24-25九年级上·河南南阳·期中）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 12．（24-25九年级上·海南海口·期末）若，则的取值范围是 ． 【易错必刷五 利用二次根式的性质化简】 13．（24-25八年级下·四川凉山·阶段练习）若，则x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 14．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）若，则a的取值范围是 ． 15．（23-24九年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【易错必刷六 根据二次根式的性质化简数轴问题】 16．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简代数式：．    17．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如图所示，则= ． 18．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）实数在数轴上的位置如图，那么化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【易错必刷七 复合二次根式的化简】 19．（24-25八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 21．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ． 【易错必刷八 二次根式的乘法计算】 22．（24-25八年级上·四川广安·期末）计算 ． 23．（24-25八年级上·北京石景山·期末）计算的结果是 ． 24．（24-25八年级上·上海·期中）计算： 【易错必刷九 二次根式的除法计算】 25．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）估计的值应在（   ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 26．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）计算： ． 27．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）已知成立． (1)填空：的取值范围是______； (2)化简：． 【易错必刷十 二次根式的乘除法混合运算】 28．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）计算：． 29．（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）计算： (1)； (2)． 30．（24-25八年级·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 【易错必刷十一 最简二次根式相关概念】 31．（24-25九年级上·河南周口·期末）下列二次根式：，，，中，是最简二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．（24-25八年级上·江苏南通·期末）在，，，中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 33．（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）在二次根式中，最简二次根式是 ． 【易错必刷十二 已知最简二次根式求参数】 34．（2024八年级上·全国·专题练习）若二次根式为最简二次根式，则最小的正整数为 ． 35．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）已知n为正整数，也是正整数，那么满足条件n的最小值是 ． 36．（24-25八年级上·河北唐山·期末）若最简二次根式与能合并，则 ． 【易错必刷十三 同类二次根式】 37．（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 38．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知两个最简二次根式与是同类二次根式，求a的值． 39．（24-25八年级下·河北石家庄·阶段练习）已知最简二次根式和可以合并，你能求出使有意义的的取值范围吗？ 【易错必刷十四 二次根式的加减运算】 40．（24-25八年级上·山西太原·期末）计算： (1)； (2)． 41．（24-25九年级上·河南南阳·期末）计算： (1) (2) 42．（24-25八年级上·全国·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【易错必刷十五 二次根式的混合运算】 43．（24-25八年级上·河南郑州·期末）计算： (1)； (2) 44．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）计算： (1)； (2)． 45．（24-25八年级上·重庆南岸·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【易错必刷十六 分母有理化】 46．（24-25八年级上·上海·期末）化简的结果是 ． 47．（23-24八年级上·广东河源·期末）计算：． 48．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）【材料阅读】：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化． 例如：化简：． 解：． 【问题解决】： （1）化简：； （2）化简：． 【易错必刷十七 已知字母的值化简求值】 49．（24-25八年级上·北京通州·期末）已知：，求的值． 50．（23-24八年级下·全国·期末）已知，求 的值 51．（23-24八年级下·福建南平·期中）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【易错必刷十八 已知条件式化简求值】 52．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知，求的值． 53．（24-25八年级下·北京朝阳·期中）已知，，求代数式xy2﹣x2y的值． 54．（24-25八年级下·山东烟台·期末）先化简，再求值：已知y=，求的值． 【易错必刷十九 比较二次根式的大小】 55．（24-25八年级下·浙江台州·期中）已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，则a，b，c的关系是（    ） A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c 56．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）比较大小：① ；② ；③ （填“”，“”，“”号）． 57．（24-25八年级上·四川达州·期中）比较下列实数的大小（在横线上填上＞、＜或＝） ① ； ② ． 【易错必刷二十 二次根式的应用】 58．（2024八年级上·北京·专题练习）我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积为S，；如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为 ． 59．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为18和25． (1)大正方形的边长是______，小正方形的边长是_____． (2)求图中阴影部分的周长． 60．（23-24八年级下·江西赣州·期中）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦—秦九韶公式”．完成以下问题：如图，在中，． (1)直接写出的值，______． (2)求的面积； (3)设边上的高为边上的高为，求的值． 【易错必刷二十一 二次根式的新定义计算】 1．（23-24八年级下·青海海东·阶段练习）对于任意的整数，，定义运算“☆”为：． 求：的值． 2．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）定义：若两个二次根式a、b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于10的共轭二次根式，则 ； (2)若与是关于12的共轭二次根式，求m的值． 3．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大整数，这个实数的小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：的整数部分为2，小数部分为；的整数部分为1，小数部分可用表示；再如，的整数部分为，小数部分为．由此我们得到一个真命题：如果，其中x是整数，且，那么． (1)如果，其中a是整数，且，那么______，______； (2)如果其中c是整数，且，那么______，______； (3)已知，其中m是整数，且，求的值； (4)在上述条件下，求的立方根． 学科网（北京）股份有限公司 $$