第3课 二次根式的运算-2024-2025学年八年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第3课 二次根式的运算 ( 目标导航 ) 学习目标 1.会进于简单的二次根式的乘除、加减运算. 2.会进行简单的二次根式的四则混合运算. 3.通过整式运算的某些法则在二次根式四则运算中的应用，体验迁移、化归等数学思想. 4.会应用二次根式解决简单的实际问题，进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值. ( 知识精讲 ) 知识点01 二次根式的乘除 (1)二次根式的乘法：·＝(a≥0，b≥0)． (2)二次根式的除法：＝(a≥0，b＞0)． 知识点02 二次根式的加减 1.二次根式的加减法：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式； 2.同类二次根式：把二次根式化成最简二次根式，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式. ( 能力拓展 )考点01 二次根式的乘除 【典例1】计算：． 【思路点拨】根据二次根式的乘除法法则进行解题即可． 【解析】解：原式＝ ＝ ＝ ＝2． 【点睛】本题考查二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【即学即练1】计算： （1）； （2） 【思路点拨】（1）利用二次根式的乘法法则计算即可； （2）先计算二次根式的除法，再计算乘法即可． 【解析】解：（1） ＝ ＝ ＝12； （2） ＝ ＝ 【点睛】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 考点02 二次根式的加减 【典例2】计算：2﹣3+． 【思路点拨】先进行二次根式的化简，然后进行二次根式的加减运算． 【解析】解：原式＝﹣+2 ＝． 【点睛】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握二次根式的化简以及合并． 【即学即练2】计算： （1）﹣+； （2）+﹣． 【思路点拨】根据二次根式的加减法法则和二次根式的性质与化简进行解题即可． 【解析】解：（1）原式＝3﹣2+3＝； （2）原式＝+4﹣3＝． 【点睛】本题考查二次根式的加减法和二次根式的性质与化简，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 考点03 二次根式的混合运算 【典例3】计算： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减； （2）利用平方差公式，完全平方公式计算即可． 【解析】解：（1）原式＝2﹣3+3 ＝3﹣； （2）原式＝6﹣2+9﹣6+5 ＝18﹣6． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． 【即学即练3】计算： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）先化简再合并同类二次根式； （2）利用平方差公式计算即可． 【解析】解：（1）原式＝+6﹣ ＝； （2）原式＝（）2﹣（）2﹣4 ＝5﹣3﹣4 ＝﹣2． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． 考点04 二次根式的简单应用 【典例4】设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有三角形的面积公式（海伦公式），（秦九韶公式）．请选用以上公式，计算下列两个三角形的面积． （1）三角形三边长分别为9，10，11； （2）三角形三边长分别为，，． 【思路点拨】（1）根据海伦公式进行计算即可； （2）根据秦九韶公式进行计算即可． 【解析】解：（1）由条件可知， ∴． （2）∵，，， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． 【即学即练4】高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”，我们应坚决抵制这一行为．据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和下落高度h（m）近似满足公式（不考虑空气阻力的影响）． （1）小东家住某小区26层，每层楼的高度近似为3m，若从小东家坠落一个物品，则该物品落地的时间为 　　s（结果保留根号）； （2）某物体从高空落到地面的时间为4s，则该物体的起始高度h＝ 　80　m； （3）资料显示：伤害无防护人体只需要65J的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：J）可用公式E＝mgh计算，其中，m为物体质量（单位kg），g≈10N/kg，h为高度（单位：m）．根据以上信息判断，一个质量为150g的玻璃碎片从16层楼下落到地面上，该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人吗？请说明理由． 【思路点拨】（1）先计算高度得到h＝75，然后把h的值代入公式得到t的值； （2）把t＝4代入公式，然后求出h的值即可； （3）先计算高度得到h＝48，再利用公式E＝mgh计算出150g的玻璃碎片从16层楼下落到地面上产生的动能E为67.5J，然后利用67.5J＞65J可判断该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人． 【解析】解：（1）（26﹣1）×3＝75（m）， 当h＝75时，t＝＝， 即该物品落地的时间为； 故答案为：； （2）当t＝4时，4＝， 解得h＝80（m）； 故答案为：80； （3）能． 理由如下： （16﹣1）×3＝45， 当h＝45，m＝150g＝0.15kg，g≈10N/kg，E＝0.15×10×45＝67.5（J）， ∵67.5J＞65J， ∴该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，在解决实际问题的过程中运用有关二次根式的概念、性质和运算的方法． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．计算×的结果是（　　） A．9 B．3 C．3 D． 【思路点拨】根据二次根式的乘法法则对所给算式进行计算即可． 【解析】解：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除法及二次根式的性质与化简，熟知二次根式的乘法法则是解题的关键． 2．计算×的结果是（　　） A．2 B．7 C．14 D． 【思路点拨】根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【解析】解：×＝． 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法法则是解题的关键． 3．计算：＝（　　） A． B． C．﹣1 D．﹣2 【思路点拨】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【解析】解：原式＝﹣． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据二次根式的加减法则逐项计算判断即可． 【解析】解：A、，故此选项符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、3与不能合并，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．下列计算正确的是（　　） A．+＝ B．﹣＝ C．×＝6 D．÷＝4 【思路点拨】A、原式不能合并； B、原式第一项化简后，合并即可得到结果； C、原式利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果； D、原式利用二次根式的除法法则计算即可得到结果． 【解析】解：A、+不能合并，故选项错误； B、﹣＝2﹣＝，故选项正确； C、×＝＝，故选项错误； D、÷＝＝＝2，故选项错误． 故选：B． 【点睛】此题考查了二次根式的加减法，以及乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6．计算：＝ 　　． 【思路点拨】直接根据二次根式的除法法则计算即可． 【解析】解：÷＝＝． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘除法法则是关键． 7．计算：＝ 　　． 【思路点拨】根据二次根式的乘除法法则计算即可． 【解析】解：＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 8．计算：÷•＝　　． 【思路点拨】直接把被开方数相乘除计算即可． 【解析】解：原式＝＝， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除，关键是掌握＝（a≥0，b≥0），商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）． 9．计算：＝ 　　． 【思路点拨】先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减法法则计算即可． 【解析】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的加减法，二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 10．计算＝ 　　． 【思路点拨】先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可． 【解析】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的加减，属于基础题型，熟练掌握二次根式的加减法则是解题的关键． 11．计算：． 【思路点拨】根据二次根式的乘除法计算法则运算即可． 【解析】解：原式＝ ＝ ＝6． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，熟知二次根式的乘除法计算法则是解题的关键． 12．计算：﹣3+． 【思路点拨】利用二次根式的加减法则计算即可． 【解析】解：原式＝6﹣+＝． 【点睛】本题考查二次根式的加减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 13．计算：． 【思路点拨】先去括号，再把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【解析】解：原式＝﹣6﹣4+ ＝﹣﹣+ ＝． 【点睛】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式的加减法则是解题的关键． 14．计算： （1）﹣+（+1）×（﹣1）； （2）（+）×﹣2． 【思路点拨】（1）先利用平方差公式计算，然后化简后合并即可； （2）先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘法运算，再合并即可． 【解析】解：（1）原式＝3﹣2+3﹣1 ＝+2； （2）原式＝（2+）×﹣ ＝3×﹣ ＝9﹣ ＝8． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 15．一公园内有一个长方形花坛，它的长为，宽为，求这个花坛的面积和对角线的长． 【思路点拨】根据长方形面积公式求解即可． 【解析】解：面积为：， ∵ ＝ ＝306， ∴对角线为：， 答：面积为97m2，对角线为（m）． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式混合运算法则是关键． 题组B 能力提升练 16．计算： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）运用平方差公式及完全平方公式进行运算，再进行加减运算，即可求解； （2）先进行零次幂、负指数幂、去绝对值运算，同时将二次根式化为最简二次根式，再进行加减运算，即可求解． 【解析】解：（1） ＝ ＝ ＝； （2） ＝ ＝． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式混合运算的步骤是解题的关键． 17．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为18和25． （1）大正方形的边长是 　5　，小正方形的边长是 　3　． （2）求图中阴影部分的周长． 【思路点拨】（1）根据题意可得小正方形边长为3，大正方形边长为5，即可求解； （2）根据大小正方形的边长为3和5，列式即可求解． 【解析】解：（1）∵大正方形的面积为25，小正方形的面积为18， ∴大正方形边长为＝5，小正方形边长为＝， 故答案为：5，3； （2）∵大正方形边长为5，小正方形边长为3， ∴阴影部分的周长4（5﹣3）+4×＝20． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算的应用，明确题意，求出大小正方形的边长是解题的关键． 18．计算：已知，，，求x2+y2﹣xy的值． 【思路点拨】利用完全平方公式、平方差公式进行计算，即可解答． 【解析】解：x2+y2﹣xy ＝x2﹣2xy+y2+xy ＝（x﹣y）2+xy ＝ ＝12+1 ＝13． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式、平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 题组C 培优拔尖练 19．若成立，则x的值可以是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．3 【思路点拨】直接利用二次根式的性质得出x的取值范围进而得出答案． 【解析】解：∵若成立， ∴， 解得：﹣1≤x＜2， 故x的值可以是0． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除法，正确掌握二次根式的定义是解题关键． 20．若＝•成立，则x的取值范围是　2≤x≤3　． 【思路点拨】根据二次根式的定义得出x﹣2≥0，3﹣x≥0，求出即可． 【解析】解：要使原式成立，必须x﹣2≥0，3﹣x≥0， 解得：2≤x≤3， 故答案为：2≤x≤3． 【点睛】本题主要考查对二次根式的定义，二次根式的乘除法等知识点的理解和掌握，能根据法则得出x﹣2≥0和3﹣x≥0是解此题的关键． 21．已知； （1）求x2﹣xy+y2的值； （2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值． 【思路点拨】（1）先求出x、y的值，再代入代数式进行计算即可； （2）先求出a，b的值，进而可得出结论． 【解析】解：（1）∵x＝＝＝2﹣，y＝＝＝2+， ∴x2﹣xy+y2 ＝（x+y）2﹣3xy ＝（2﹣+2+）2﹣3×（2﹣）（2+） ＝42﹣3×1 ＝16﹣3 ＝13； （2）由（1）知，x＝2﹣，y＝2+， ∵1＜3＜4， ∴1＜＜2， ∴﹣2＜﹣＜﹣1，3＜2+＜4， ∴0＜2﹣＜1， ∵x的小数部分为a，y的小数部分为b， ∴a＝2﹣，b＝2+﹣3＝﹣1， ∴原式＝（2﹣+﹣1）2+ ＝1+ ＝1+2﹣3 ＝2﹣2． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，估算无理数的大小，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 22．在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求2a2﹣8a+1的值． 他们是这样解答的： ， ∴， ∴（a﹣2）2＝3即a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： （1）＝ 　﹣　； （2）化简：； （3）若，求2a4﹣8a3﹣8a+4的值． 【思路点拨】（1）把分子分母都乘以+，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，然后同类二次根式即可； （3）先分母有理化得到a＝+2，移项后平方得到a2﹣4a＝1，再把原式变形为2a2（a2﹣4a）﹣8a+4，接着利用整体代入的方法计算得到原式＝2a2﹣8a+4，然后再录音同样方法计算即可． 【解析】解：（1）＝＝﹣； 故答案为：﹣； （2）原式＝﹣1+﹣+﹣+...+﹣ ＝﹣1 ＝11﹣1 ＝10； （3）∵a＝＝+2， ∴a﹣2＝， ∴（a﹣2）2＝5， ∴a2﹣4a＝1， ∴2a4﹣8a3﹣8a+4 ＝2a2（a2﹣4a）﹣8a+4 ＝2a2﹣8a+4 ＝2（a2﹣4a）+4 ＝2×1+4 ＝6． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3课 二次根式的运算 ( 目标导航 ) 学习目标 1.会进于简单的二次根式的乘除、加减运算. 2.会进行简单的二次根式的四则混合运算. 3.通过整式运算的某些法则在二次根式四则运算中的应用，体验迁移、化归等数学思想. 4.会应用二次根式解决简单的实际问题，进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值. ( 知识精讲 ) 知识点01 二次根式的乘除 (1)二次根式的乘法：·＝(a≥0，b≥0)． (2)二次根式的除法：＝(a≥0，b＞0)． 知识点02 二次根式的加减 1.二次根式的加减法：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式； 2.同类二次根式：把二次根式化成最简二次根式，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式. ( 能力拓展 )考点01 二次根式的乘除 【典例1】计算：． 【即学即练1】计算： （1）； （2） 考点02 二次根式的加减 【典例2】计算：2﹣3+． 【即学即练2】计算： （1）﹣+； （2）+﹣． 考点03 二次根式的混合运算 【典例3】计算： （1）； （2）． 【即学即练3】计算： （1）； （2）． 考点04 二次根式的简单应用 【典例4】设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有三角形的面积公式（海伦公式），（秦九韶公式）．请选用以上公式，计算下列两个三角形的面积． （1）三角形三边长分别为9，10，11； （2）三角形三边长分别为，，． 【即学即练4】高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”，我们应坚决抵制这一行为．据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和下落高度h（m）近似满足公式（不考虑空气阻力的影响）． （1）小东家住某小区26层，每层楼的高度近似为3m，若从小东家坠落一个物品，则该物品落地的时间为 　　s（结果保留根号）； （2）某物体从高空落到地面的时间为4s，则该物体的起始高度h＝ 　　m； （3）资料显示：伤害无防护人体只需要65J的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：J）可用公式E＝mgh计算，其中，m为物体质量（单位kg），g≈10N/kg，h为高度（单位：m）．根据以上信息判断，一个质量为150g的玻璃碎片从16层楼下落到地面上，该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人吗？请说明理由． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．计算×的结果是（　　） A．9 B．3 C．3 D． 2．计算×的结果是（　　） A．2 B．7 C．14 D． 3．计算：＝（　　） A． B． C．﹣1 D．﹣2 4．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（　　） A．+＝ B．﹣＝ C．×＝6 D．÷＝4 6．计算：＝ 　　． 7．计算：＝ 　　． 8．计算：÷•＝　　． 9．计算：＝ 　　． 10．计算＝ 　　． 11．计算：． 12．计算：﹣3+． 13．计算：． 14．计算： （1）﹣+（+1）×（﹣1）； （2）（+）×﹣2． 15．一公园内有一个长方形花坛，它的长为，宽为，求这个花坛的面积和对角线的长． 题组B 能力提升练 16．计算： （1）； （2）． 17．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为18和25． （1）大正方形的边长是 　　，小正方形的边长是 　　． （2）求图中阴影部分的周长． 18．计算：已知，，，求x2+y2﹣xy的值． 题组C 培优拔尖练 19．若成立，则x的值可以是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．3 20．若＝•成立，则x的取值范围是　　． 21．已知； （1）求x2﹣xy+y2的值； （2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值． 22．在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求2a2﹣8a+1的值． 他们是这样解答的： ， ∴， ∴（a﹣2）2＝3即a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： （1）＝ 　　； （2）化简：； （3）若，求2a4﹣8a3﹣8a+4的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$