专题07 相交线与平行线易错必刷题型专训（60题20个考点）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版2024）

专题07 相交线与平行线易错必刷题型专训（60题20个考点） 【易错必刷一 相交线】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）根据语句“直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点．”画出的图形是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·重庆酉阳·期末）已知条直线中的任意两条直线都相交，若交点数最多为个，最少为个，则 ． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）平面内n条直线，每两条直线都相交，最少有 个交点，最多有 个交点． 【易错必刷二 对顶角】 4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线、相交于点，平分，，， ， ． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线相交于点平分，若，则 ． 6．（23-24七年级下·广西北海·期末）如图，已知直线和相交于点，是直角，平分，求的度数． 【易错必刷三 邻补角】7．（2025七年级下·全国·专题练习）若和是对顶角，和是邻补角，，则 ． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）已知同一平面内，． (1)求的度数； (2)若平分，平分，求的度数． 9．（23-24七年级下·陕西延安·期末）如图，直线，相交于点O，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【易错必刷四 垂线】 10．（24-25七年级上·广东珠海·期末）下列三种现象中，可以用“两点之间，线段最短”来解释的现象是 (填序号)． 11．（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）在直线上取一点P，过点P作射线，使，当，则的度数是 ． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线相交于点O，射线平分，射线在内部． (1)若平分，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 【易错必刷五 同位角、内错角、同旁内角】 13．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，射线与直线分别相交于点H，G． 按要求完成下列各小题．    (1)图中共有 对对顶角， 对内错角； (2)①的同旁内角是 ； ②和是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是具有什么位置关系的角？ (3)过点G画射线的垂线，交于点M，并指出哪条线段的长度表示点G到的距离． 14．（2023七年级下·浙江·专题练习）两条直线都与第三条直线相交，与是内错角，和是同旁内角． (1)根据上述条件，画出符合题意的图形； (2)若，求，，的度数． 15．（2023七年级下·浙江·专题练习）如图所示． (1)与，与，与各是什么角，是哪两条直线被哪一条直线所截得的？ (2)的内错角有哪些？ (3)写出直线，被所截得的同旁内角，直线，被所截得的同旁内角． 【易错必刷六 平面内两直线的位置关系】 16．（23-24七年级上·全国·课后作业）同一平面内，两条不重合的直线的交点有 个． 17．（24-25七年级下·山西·阶段练习）如图所示，直线，被直线所截，∠1＝∠2，则直线，的位置关系为 （用符号表示）． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）在同一平面内，任意三条直线有哪几种不同的位置关系？你能画图说明吗？ 下面是小明的解题过程： 解：有两种位置关系，如图： 你认为小明的解答正确吗？如果不正确，请你给出正确的解答． 故在同一平面内，任意三条直线有四种不同的位置关系． 【易错必刷七 平行公理】 19．（23-24七年级下·贵州黔南·期中）如图，，，则点B、P、A在同一条直线的理由： ． 20．（24-25七年级下·山东德州·期中）数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 B．两直线平行，同位角相等 C．同旁内角相等，两直线平行 D．同位角相等，两直线平行 21．（23-24七年级下·安徽六安·期末）如图，是一个可折叠衣架，AB是地平线，当时，就可以确定点N，P，M在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【易错必刷八 平行线的判定】 22．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，下列选项不能得到的是（   ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级上·山西太原·期末）将文具套尺中的量角器和三角板按照如图方式摆放，其中，三角板的直角顶点C与量角器的中心重合，为量角器的直径．下列条件中，不能判定的是（） A． B． C． D． 24．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图，下列四个选项中，不能判定的是（   ）    A． B． C． D． 【易错必刷九 垂直于同一直线的两直线平行】 25．（24-25七年级下·重庆巴南·期中）在同一平面内有9条直线，，…，，如果，，，，…那么与的位置关系是（    ） A．重合 B．平行或重合 C．垂直 D．相交但不垂直 26．（24-25七年级下·江西上饶·期末）下列说法错误的是（    ） A．在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则 B．在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则 C．在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则 D．在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则 27．（24-25七年级下·四川泸州·期末）下列命题是假命题的是（    ） A．在同一平面内，，，是直线，若，，则 B．在同一平面内，，，是直线，若，，则 C．在同一平面内，，，是直线，若，，则 D．在同一平面内，，，是直线，若，，则 【易错必刷十 平行线的性质】 28．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 29．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的a，b两面，且，现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，光线变成，F为射线延长线上一点，已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 30．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，如图1，某品牌共享单车放在水平地面上，图2是其示意图，其中都与地面平行，，，当为 时，与平行． 【易错必刷十一 根据平行线的性质探究角的关系】 31．（24-25七年级下·山西太原·期中）如题图，，．若，则图中与相等的角是 ． 32．（23-24七年级下·江西赣州·期末）课本再现 我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行”．类似的，你能由性质1(两直线平行，同位角相等)，推出两条平行线被第三条直线截得的内错角之间的关系吗？ …… 这样，我们就得到了平行线的另两个性质： 性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等． 性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 简单说成：两直线平行，同旁内角互补． (1)请将该定理的证明过程补充完整． 已知：如图，直线，直线c是截线． 求证：． 证明： 知识应用 已知三角形，交直线于点E，交直线于点D． (2)如图1，若点F在边上，则与的数量关系是______； (3)若点F在边的延长线上，（2）中的数量关系还成立吗？若成立，给予证明：若不成立，又有怎样的数量关系，请在备用图中画出图形并说明理由． 33．（23-24七年级下·江西上饶·期末）题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成下列问题． (1)如图1，，那么（    ） A．    B．    C．    D． (2)已知，，分别是，上的点，点在，之间，连接，． ①如图2，若，，则的度数为______；请直接用等式表示，，三个角的数量关系______． ②如图3，与的平分线交于点，用等式表示与的数量关系，并证明． (3)如图4，已知，点的位置移到上方，点在延长线上，且平分与的平分线相交于，请直接写出与之间的数量关系______． 【易错必刷十二 根据平行线的性质求角的度数】 34．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，． (1)猜想与是否平行，并说明理由； (2)若，求的度数． 35．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，点E、F分别在线段上，连接，过点F作分别交于点H、G，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 36．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，点、、分别是的边、、上的点，连接，，且，． (1)证明：； (2)若，平分，求的度数． 【易错必刷十三 平行线的性质在生活中的应用】 37．（2024七年级上·全国·专题练习）“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：_______； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ 38．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，政府规划由西向东修一条公路．从A修至B后为了绕开村庄，改为沿南偏东25°方向修建BC段，在C处又改变方向修建CD段，测得∠BCD＝70°，在D处继续改变方向，朝与出发时相同的方向修至E． （1）补全施工路线示意图，求∠CDE的度数； （2）原计划在AB的延长线上依次修建两个公交站M，N（均在CD右侧），连结DM和MN，求∠CDM与∠DMN的数量关系． 39．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）（1）若组成和的两条边互相平行，且是的2倍小，求的度数． （2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点H，D，B在同一直线上，求的度数． 【易错必刷十四 根据平行线判定与性质求角度】 40．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，直线分别与直线相交于点，平分，交直线于点，若，射线于点，则 ． 41．（23-24七年级上·全国·单元测试）小明到工厂进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，工人师傅告诉他：，，，小明马上运用已学的数学知识得出了的度数，聪明的你一定知道 ． 42．（2025七年级下·全国·专题练习）【探究】（1）如图1，，点E在直线与之间，连接，，试说明：．请完成下面的解题过程． 解：过点E作， （               ）． ，， （               ）， ， ， ； 【应用】（2）如图2，，点F在，之间，与交于点M，与交于点N．若，，求的度数； 【拓展】（3）如图3，直线在直线，之间，且，点G，H分别在，上，Q是直线上的一个动点，且不在直线上，连接，．若，直接写出的度数．    【易错必刷十五 根据平行线判定与性质证明】 43．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线和直线相交于点，连接，点，，分别在，，上，连接，，是上一点，连接，已知． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数（用含的式子表示）． 44．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，直线，点A，C在直线上，点B，D在直线上． (1)如图1，若，且，求证：；（请写出必要的推理依据） (2)如图2，若，，平分，平分，，求的度数． 45．（2024七年级上·全国·专题练习）综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动． (1)如图1，，点A，B分别为直线上的一点，点P为平行线间一点且，求度数； 问题迁移 (2)如图2，射线与射线交于点O，直线，直线m分别交于点A，D，直线n分别交于点B，C，点P在射线上运动． ①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设．则之间有何数量关系？请说明理由； ②若点P不在线段上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出间的数量关系． 【易错必刷十六 求平行线间的距离】 1．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，直线，点在上，点在上，若，则下列线段的长度是到的距离的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，，点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为 ． 3．（24-25七年级下·广西贵港·期末）如图，已知，，于点，于，． （1）求证：； （2）求点到的距离． 【易错必刷十七 命题、定理、证明】 1．（24-25七年级下·广东广州·期末）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B．， C．， D．， 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）有下列语句：①画线段；②两个负数的差一定是负数；③同角的余角相等；④如果直线a，b不相交，那么a与b平行吗？其中是命题的有 ，是真命题的有 ．（填序号） 3．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如图，在中，是的平分线，，，交于点． (1)求证：是的平分线． (2)若将“是的平分线”与“是的平分线”，“”或“”中的任一条件交换，所得命题是真命题吗？若是，请选择一个证明；若不是，请说明理由． 【易错必刷十八 图形的平移】 1．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）在的方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形，下面平移的方法中正确的是（   ） A．先向下平移2格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移2格 C．先向下平移2格，再向右平移3格 D．先向下平移3格，再向右平移2格 2．（24-25七年级下·全国·课堂例题）如图，将向右平移 格，再向上平移 格得到． 3．（24-25七年级下·浙江·期末）如图，已知在边长为1的方格纸中，点A，B，C，都在格点上． (1)将三角形经过平移后得到三角形，若点是点A的对应点，请在图中画出三角形． (2)将三角形先向上平移__________个单位，再向__________平移__________个单位得到三角形． 【易错必刷十九 利用平移的性质求解】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，把一个平行四边形纸板的一边紧靠着数轴平移到平行四边形的位置．点、表示的数分别为、，则点平移的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图，将沿边向右平移3个单位得到，其中点、、的对应点分别是点、、，如果的周长是14，那么四边形的周长为 ． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，沿方向平移到的位置． (1)若，求的度数； (2)若，求平移的距离． 【易错必刷二十 平移作图】 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在网格中的位置如图所示，网格中每个小方格的边长为1个单位长度，请根据下列提示作图 (1)将向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度得到， 画出． (2)点A到的距离为 个单位长度． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．已知，点D为边上一点，在方格纸内将经过两次平移后得到，图中标出了平移后点D的对应点． (1)画出平移后的并写出平移方式； (2)写出与的位置和数量关系． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将平移得到，连接，． (1)根据题意，补全图形； (2)图中和的数量关系是 ； (3)在上画出一点P，使得． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 相交线与平行线易错必刷题型专训（60题20个考点） 【易错必刷一 相交线】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）根据语句“直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点．”画出的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与直线相交，点M在直线上，直线不经过点M进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A．直线经过点M，故本选项不合题意； B．点M不在直线上，故本选项不合题意； C．点M不在直线上，故本选项不合题意； D．直线与直线相交，点M在直线上，直线不经过点M，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线． 2．（24-25七年级上·重庆酉阳·期末）已知条直线中的任意两条直线都相交，若交点数最多为个，最少为个，则 ． 【答案】 【分析】由题意可得6条直线相交于一点时交点最少，任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，由此可得出M，m的值，从而得出答案． 【详解】解：根据题意可得：6条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个，即m=1； 任意两直线相交都产生一个交点时交点最多， ∵任意三条直线不过同一点， ∴此时点为：6×（6-1）÷2=15，即M=15； ∴M-m=14． 故答案为：14． 【点睛】本题主要考查了平面图形，得到6条直线相交于一点时交点最少；任意两直线相交都产生一个交点时交点最多是解题的关键． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）平面内n条直线，每两条直线都相交，最少有 个交点，最多有 个交点． 【答案】 1 【分析】分别求出2条、3条、4条、5条、6条直线相交时最多的交点个数，找出规律即可解答． 【详解】解：2条直线相交最多有1个交点, 3条直线相交最多有1+2个交点, 4条直线相交最多有1+2+3个交点, 5条直线相交最多有1+2+3+4个交点, 6条直线相交最多有1+2+3+4+5个交点, … n条直线相交最多有1+2+3+4+5+…+（n-1）= 个交点, n条直线相交于一点，最少有1个交点， 故答案为1，. 【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n条直线相交最多有n（n-1）÷2个交点． 【易错必刷二 对顶角】 4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线、相交于点，平分，，， ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了对顶角相等，角的和差及角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键，根据对顶角相等求出，根据角平分线的定义求出，再根据余角的定义求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线相交于点平分，若，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查了角平分线的定义以及对顶角的性质，解题的关键是掌握角平分线的定义以及对顶角相等这一性质．先根据对顶角相等求出，然后根据角平分线的定义求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． 故答案为：． 6．（23-24七年级下·广西北海·期末）如图，已知直线和相交于点，是直角，平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角的和差计算，理解图示，掌握角平分线的性质，垂直的性质，角的和差计算方法是解题的关键． 根据垂直可得的度数，根据对顶角的性质可得，可求出的度数，根据角平分线的性质可得的度数，再由即可求解． 【详解】解：∵是直角， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴． 【易错必刷三 邻补角】 7．（2025七年级下·全国·专题练习）若和是对顶角，和是邻补角，，则 ． 【答案】/135度 【分析】本题主要考查了对顶角、邻补角等知识，理解邻补角和对顶角的定义和性质是解题关键．根据互为邻补角的两个角和为，用，又根据对顶角相等可知度数． 【详解】解：根据题意可知，． 故答案为：． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）已知同一平面内，． (1)求的度数； (2)若平分，平分，求的度数． 【答案】(1)或 (2)的度数为 【分析】（1）分在的内部和外部两种情况解答． （2）分在的内部和外部两种情况解答． 本题考查了角的平分线，角的和，分类思想，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解：如图①所示， 当在内部时， ； 当在外部时， 故的度数为或．． （2）①如图②，当在内部时， ∵平分，平分， ∴ ∴； ②如图③，当在外部时， ∵平分，平分， ∴， ∴． 综上所述，的度数为． 9．（23-24七年级下·陕西延安·期末）如图，直线，相交于点O，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义、邻补角和垂直定义、解一元一次方程，理解相关定义并正确进行角的运算是解答的关键． （1）先根据角平分线的定义求得，再根据邻补角定义求得，然后利用垂直定义求解即可； （2）设，则，利用角平分线的定义求得，再根平角定义得出x的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵平分， ， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴设，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ， 解得：， ∴． 【易错必刷四 垂线】 10．（24-25七年级上·广东珠海·期末）下列三种现象中，可以用“两点之间，线段最短”来解释的现象是 (填序号)． 【答案】② 【分析】本题主要考查了线段的性质，分别判断三种现象，确定用“两点之间，线段最短”来解释的现象即可． 【详解】解：①跳远测量反映的是“垂线段最短”； ②投铅球测量反映的是“两点之间，线段最短”； ③木条固定反映的是“两点确定一条直线”； 所以，可以用“两点之间，线段最短”来解释的现象是②， 故答案为：②． 11．（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）在直线上取一点P，过点P作射线，使，当，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂线的定义，分两种情况：①射线在直线的同侧，②射线在直线的异侧，根据垂直的定义和平角的定义解答即可． 【详解】解：如图所示，∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；    综上所述，的度数是或， 故答案为：或。 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线相交于点O，射线平分，射线在内部． (1)若平分，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角的和差计算及角平分线的有关计算，熟练掌握角的和差计算的方法是解决本题的关键． （1）根据角平分线的定义表示出和，然后根据计算即可得解； （2）由先求出，再求出，即可求出结论． 【详解】（1）解：．理由如下： 因为分别平分， 所以，， 所以， 所以． （2）解：因为平分， 所以． ． 因为平分， 所以， 所以． 【易错必刷五 同位角、内错角、同旁内角】 13．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，射线与直线分别相交于点H，G． 按要求完成下列各小题．    (1)图中共有 对对顶角， 对内错角； (2)①的同旁内角是 ； ②和是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是具有什么位置关系的角？ (3)过点G画射线的垂线，交于点M，并指出哪条线段的长度表示点G到的距离． 【答案】(1)4；4 (2)①，；②和是直线被直线所截形成；同位角 (3)图见解析， 【分析】（1）根据对顶角和内错角的定义进行判断即可； （2）①根据同旁内角的定义，进行判断即可；②根据三线八角的关系，进行判断即可； （3）根据题意画出垂线即可，根据点到直线的距离为垂线段的长，即可得出结论． 【详解】（1）解：由图可知：和，和，和，和是对顶角，共4对；和，和，和，和是内错角，共4对；    故答案为：4；4 （2）①由图可知：的同旁内角是，； 故答案为：，； ②和是直线被直线所截形成的同位角； （3）如图；    由图可知：线段的长即为点G到的距离． 【点睛】本题考查三线八角，对顶角，点到直线的距离．熟练掌握相关定义是解题的关键． 14．（2023七年级下·浙江·专题练习）两条直线都与第三条直线相交，与是内错角，和是同旁内角． (1)根据上述条件，画出符合题意的图形； (2)若，求，，的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【分析】（1）根据同旁内角两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线的中间位置的角，内错角两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线的中间位置的角，可得答案； （2）根据题意，设，，，再根据邻补角互补，得出方程，解出即可得出答案． 【详解】（1）解：如图即可所求； （2）解：由， ∴设，，， ∵与是邻补角，得： ， 解得：， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了内错角，同旁内角，邻补角互补，熟练掌握内错角、同旁内角的定义是解本题的关键． 15．（2023七年级下·浙江·专题练习）如图所示． (1)与，与，与各是什么角，是哪两条直线被哪一条直线所截得的？ (2)的内错角有哪些？ (3)写出直线，被所截得的同旁内角，直线，被所截得的同旁内角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据同位角概念解答即可； （2）根据内错的概念解答即可； （3）根据同旁内角的概念解答即可． 【详解】（1）解：与是直线、被直线所截形成的同位角， 与是直线、被直线所截形成的同位角， 与是直线、被直线所截形成的同位角； （2）解：当直线与被所截时，与是内错角， 当直线和被所截时，与是内错角； （3）解：直线，被所截得的同旁内角有与， 直线，被所截得的同旁内角与． 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解本题的关键要抓住各类角的特征，这也是学生易错的地方，并且还容易出现漏解的情况． 【易错必刷六 平面内两直线的位置关系】 16．（23-24七年级上·全国·课后作业）同一平面内，两条不重合的直线的交点有 个． 【答案】0或1/1或0 【分析】根据在同一平面内两条不重合的直线的位置关系得出即可． 【详解】解：在同一平面内两条不重合的直线的位置关系只有两种，是平行和相交， 即两条不重合的直线的交点有0或1个． 故答案为：0或1． 【点睛】本题主要考查对平行线和相交线的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键． 17．（24-25七年级下·山西·阶段练习）如图所示，直线，被直线所截，∠1＝∠2，则直线，的位置关系为 （用符号表示）． 【答案】 【分析】根据对顶角的性质可得到，再根据同位角相等，两直线平行判断即可； 【详解】如图所示， 可得， 又∵∠1＝∠2， ∴， ∴． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，准确分析是解题的关键． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）在同一平面内，任意三条直线有哪几种不同的位置关系？你能画图说明吗？ 下面是小明的解题过程： 解：有两种位置关系，如图： 你认为小明的解答正确吗？如果不正确，请你给出正确的解答． 【答案】不正确，在同一平面内，任意三条直线有四种不同的位置关系． 【分析】结合两条直线的位置关系，仔细读题分析，写出三条直线的位置关系. 【详解】不正确， 如图所示， 故在同一平面内，任意三条直线有四种不同的位置关系． 【点睛】此题重点考查学生对三条直线的位置关系的理解，熟练掌握两条直线的位置关系是解题的关键. 【易错必刷七 平行公理】 19．（23-24七年级下·贵州黔南·期中）如图，，，则点B、P、A在同一条直线的理由： ． 【答案】经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查了平行公理，根据平行公理判断即可． 【详解】解：理由为：经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 20．（24-25七年级下·山东德州·期中）数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 B．两直线平行，同位角相等 C．同旁内角相等，两直线平行 D．同位角相等，两直线平行 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线公理，根据平行线公理进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴这说明了如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行， 故选A． 21．（23-24七年级下·安徽六安·期末）如图，是一个可折叠衣架，AB是地平线，当时，就可以确定点N，P，M在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【分析】根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可．本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：依题意，当时，； 当时，，就可以确定点，，在同一直线上（过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行）． 故选：D． 【易错必刷八 平行线的判定】 22．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，下列选项不能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的判定，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、， （内错角相等，两直线平行），故此选项不符合题意； B、， （内错角相等，两直线平行），不能得到，故此选项符合题意； C、， （同位角相等，两直线平行），故此选项不符合题意； D、， （同旁内角互补，两直线平行），故此选项不符合题意． 故选：B． 23．（24-25八年级上·山西太原·期末）将文具套尺中的量角器和三角板按照如图方式摆放，其中，三角板的直角顶点C与量角器的中心重合，为量角器的直径．下列条件中，不能判定的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解： ， 故A不符合题意； ， ， ， 故B不符合题意； ， ， 故C不符合题意； 由不能得出， 故D符合题意； 故选：D． 24．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图，下列四个选项中，不能判定的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的判定，利用平行线的判定定理进行分析即可． 【详解】解：A、当时，由内错角相等，两直线平行得，故A不符合题意； B、当时，由同旁内角互补，两直线平行得，故B不符合题意； C、当时，由同旁内角互补，两直线平行得，而不能得到，故C符合题意； D、当时，由内错角相等，两直线平行得，故D不符合题意． 故选：C． 【易错必刷九 垂直于同一直线的两直线平行】 25．（24-25七年级下·重庆巴南·期中）在同一平面内有9条直线，，…，，如果，，，，…那么与的位置关系是（    ） A．重合 B．平行或重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】根据垂直的定义和平行线的性质可得与依次是垂直，垂直，平行，平行…，4个一循环，依此可得，的位置关系． 【详解】解：在同平面内有条直线，，若，，，……， 与 依次是垂直，垂直，平行，平行，…， ∵， ∴与的位置关系是平行；当与有公共点时，两直线重合． 故选：B． 【点睛】本题考查垂线、平行线的规律问题，解题的关键是找出规律． 26．（24-25七年级下·江西上饶·期末）下列说法错误的是（    ） A．在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则 B．在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则 C．在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则 D．在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则 【答案】C 【分析】根据平行线的判定和平行公理的推论依次判断即可． 【详解】解：A、在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则，故该说法正确，不符合题意；    B、在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则，故该说法正确，不符合题意；    C、在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则，故原说法错误，符合题意；    D、在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则，故该说法正确，不符合题意．    故选：C 【点睛】本题考查了平行线的判定和平行公理的推论，熟练掌握同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行，是解题的关键．采用数形结合的思想可以快速解题． 27．（24-25七年级下·四川泸州·期末）下列命题是假命题的是（    ） A．在同一平面内，，，是直线，若，，则 B．在同一平面内，，，是直线，若，，则 C．在同一平面内，，，是直线，若，，则 D．在同一平面内，，，是直线，若，，则 【答案】C 【分析】根据平行线的判定和平行公理的推论依次判断即可． 【详解】解：A、根据平行线具有传递性，判断该命题为真命题，故选项不符合题意； B、根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，判断该命题为真命题，故选项不符合题意； C、根据同一平面内两直线平行，同位角相等，判断该命题为假命题，故选项符合题意； D、根据同一平面内两直线平行，同位角相等，判断该命题为真命题，故选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟知平行线具有传递性、同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行是解答本题的关键． 【易错必刷十 平行线的性质】 28．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 由平行线的性质推出，得到，即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：D． 29．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的a，b两面，且，现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，光线变成，F为射线延长线上一点，已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，由平行线的性质可得，再由对顶角相等可得，从而可求． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 30．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，如图1，某品牌共享单车放在水平地面上，图2是其示意图，其中都与地面平行，，，当为 时，与平行． 【答案】63 【分析】本题考查平行线的性质．根据平行线的性质，得到，根据同旁内角互补，两直线平行，得到时，与平行，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， 当时，与平行， ∴， ∴； 故答案为：63． 【易错必刷十一 根据平行线的性质探究角的关系】 31．（24-25七年级下·山西太原·期中）如题图，，．若，则图中与相等的角是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平行线的性质和应用，首先根据，推得，然后根据，推得，再根据，推得，同理根据平行性质得出即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 32．（23-24七年级下·江西赣州·期末）课本再现 我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行”．类似的，你能由性质1(两直线平行，同位角相等)，推出两条平行线被第三条直线截得的内错角之间的关系吗？ …… 这样，我们就得到了平行线的另两个性质： 性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等． 性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 简单说成：两直线平行，同旁内角互补． (1)请将该定理的证明过程补充完整． 已知：如图，直线，直线c是截线． 求证：． 证明： 知识应用 已知三角形，交直线于点E，交直线于点D． (2)如图1，若点F在边上，则与的数量关系是______； (3)若点F在边的延长线上，（2）中的数量关系还成立吗？若成立，给予证明：若不成立，又有怎样的数量关系，请在备用图中画出图形并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)(相等) (3)不成立；(互补)；理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质及其相互的推导关系，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）先用性质1推导同位角相等，再结合对顶角相等推出内错角相等即可； （2）利用性质1、性质2和等量代换即可得解； （3）利用性质2、性质3和等量代换即可得解． 【详解】（1）解：已知：如图，直线，直线c是截线． 求证：． 证明：， ． 又． ． （2）解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：(相等) （3）不成立，． 证明：如图， ， ． 又， ． ． ∴（2）中的数量关系不成立，它们的数量关系是(互补) ． 33．（23-24七年级下·江西上饶·期末）题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成下列问题． (1)如图1，，那么（    ） A．    B．    C．    D． (2)已知，，分别是，上的点，点在，之间，连接，． ①如图2，若，，则的度数为______；请直接用等式表示，，三个角的数量关系______． ②如图3，与的平分线交于点，用等式表示与的数量关系，并证明． (3)如图4，已知，点的位置移到上方，点在延长线上，且平分与的平分线相交于，请直接写出与之间的数量关系______． 【答案】(1)C (2)①，；②，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质探究角的关系，角分线的定义以及外角的定义和性质． （1）利用平行线的性质可得出，，把两式相加即可得出结论． （2）①利用（1）的结论即可求出的度数，把代入即可得出，，三个角的数量关系． ②过点Q作，由平行线的性质可得出，，即可得出，同理可得，由角平分线的性质可得出，，进一步即可得出． （3）首先过点G作，设与交于点N，由题意，，由平行线的性质可得出，，从而得出由外角的性质得出，等量代换可得出． 【详解】（1）∵ ∴，， ∴， 即， 故选：C． （2）①∵，， ∴， 由（1）知， 则， 即 整理得：． 故答案为：，． ②证明：过点Q作， 则，， ∴， 即， 同理可得， 与的平分线交于点， ，， ， ． 则． （3）如图所示，过点G作，设与交于点N． 则 ∵平分，平分． ∴，， ∵， ∴，， ∴ ∵． ∴， ∴， ∵， 即 ∴． 【易错必刷十二 根据平行线的性质求角的度数】 34．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，． (1)猜想与是否平行，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)；理由见解析 (2) 【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的判定与性质．熟练掌握对顶角相等，平行线的判定与性质是解题的关键． （1）由题意知，，可证，则，，进而可证； （2）由（1）可知，，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：；理由如下： 由题意知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 35．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，点E、F分别在线段上，连接，过点F作分别交于点H、G，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）根据平行线的性质和已知条件证明，据此可证明； （2）先由平行线的性质得到，再由角平分线的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 36．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，点、、分别是的边、、上的点，连接，，且，． (1)证明：； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补是解题关键． （1）由两直线平行，同旁内角互补，得到，进而得出，即可证明结论； （2）由平行线的性质，得到，结合角平分线的定义，得出，即可得出的度数． 【详解】（1）证明：， ， ， ， （2）解：，， ， 平分， ， ， ． 【易错必刷十三 平行线的性质在生活中的应用】 37．（2024七年级上·全国·专题练习）“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：_______； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ 【答案】(1) (2)30或110秒 【分析】本题主要考查了平行线的性质与角的和差关系的运用、一元一次方程的几何应用， （1）根据两角之和为以及两角之比为即可求解； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分为两种情况得到关于t的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵且， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）设灯A转t秒时，两灯的光束互相平行， 或， 所以或． 答：灯A转动30或110秒，两灯的光束互相平行． 38．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，政府规划由西向东修一条公路．从A修至B后为了绕开村庄，改为沿南偏东25°方向修建BC段，在C处又改变方向修建CD段，测得∠BCD＝70°，在D处继续改变方向，朝与出发时相同的方向修至E． （1）补全施工路线示意图，求∠CDE的度数； （2）原计划在AB的延长线上依次修建两个公交站M，N（均在CD右侧），连结DM和MN，求∠CDM与∠DMN的数量关系． 【答案】（1）画图见解析，135°；（2）∠DMN-∠CDM=45° 【分析】（1）补全DE∥AB即可，过C作l⊥AB的延长线于G，过D作直线m⊥AB的延长线于H，则l∥m，由平行线性质可得到∠CDH=45°，又∠HDE=90°，从而可得∠CDE的度数； （2）设∠DMN=x，∠CDM=y，由于DE∥FN，所以∠EDM=180°-x．∠CDM=y=135°-（180°-x）=x-45°，则x-y=45°，从而得∠DMN-∠CDM=45°． 【详解】解：（1）补全施工路线如图1所示．过C作l⊥AB的延长线于G，过D作直线m⊥AB的延长线于H， 则l∥m， 根据平行线的性质可得：∠BCG=25°，∠CDH=∠GCD=70°-∠BCG=70°-25°=45°， 又∠HDE=90°， ∴∠CDE=∠CDH+∠HDE=45°+90°=135°． （2）如图所示， 设∠DMN=x，∠CDM=y， 由于DE∥FN， ∴∠EDM=180°-∠DMN=180°-x， 又∠CDM=y=∠CDE-∠EDM=135°-（180°-x）=x-45°， 则x-y=45°， 即∠DMN-∠CDM=45°． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，作出正确的辅助线以及得到∠CDF=135°是解题的关键． 39．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）（1）若组成和的两条边互相平行，且是的2倍小，求的度数． （2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点H，D，B在同一直线上，求的度数． 【答案】（1）15°或115°；（2）120° 【分析】（1）根据∠1，∠2的两边分别平行，所以∠1，∠2相等或互补列出方程求解则得到答案． （2）过D点作DI∥EF，根据两直线平行，同旁内角互补可求∠FDI=35°，根据平角的定义可求∠ADB=30°，根据直角三角形的性质可求∠ABH=60°，再根据两直线平行，同旁内角互补可求∠H． 【详解】解：（1）①当∠1=∠2时， ∵∠1=2∠2-15°， ∴∠1=2∠1-15°， 解得∠1=15°； ②当∠1+∠2=180°时， ∵∠1=2∠2-15°， ∴∠2+2∠2-15°=180°， 解得∠2=65°， ∴∠1=180°-∠2=115°； （2）过D点作DI∥EF， ∵∠F=145°， ∴∠FDI=35°， ∴∠ADB=180°-90°-35°-25°=30°， ∴∠ABH=90°-30°=60°． ∵GH∥AB， ∴∠H=180°-60°=120°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行线性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补； 两直线平行，内错角相等． 【易错必刷十四 根据平行线判定与性质求角度】 40．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，直线分别与直线相交于点，平分，交直线于点，若，射线于点，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，画出图形，分两种情况，利用平行线的判定和性质解答即可求解，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，①当射线于点时，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②当射线于点时，， 同理可得； ∴的度数为或， 故答案为：或． 41．（23-24七年级上·全国·单元测试）小明到工厂进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，工人师傅告诉他：，，，小明马上运用已学的数学知识得出了的度数，聪明的你一定知道 ． 【答案】/30度 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，如图，过点E作，则，再求出，证明，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点E作， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为： 42．（2025七年级下·全国·专题练习）【探究】（1）如图1，，点E在直线与之间，连接，，试说明：．请完成下面的解题过程． 解：过点E作， （               ）． ，， （               ）， ， ， ； 【应用】（2）如图2，，点F在，之间，与交于点M，与交于点N．若，，求的度数； 【拓展】（3）如图3，直线在直线，之间，且，点G，H分别在，上，Q是直线上的一个动点，且不在直线上，连接，．若，直接写出的度数．    【答案】（1），两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行，；（2）；（3）或 【分析】本题考查了平行线的判定及性质； （1）由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，则，即可得证； （2）利用（1）中的结论可知，，则可得的度数为，由对顶角相等可得，即可求解； （3）结合（1）中的结论可得，分类讨论：是钝角或是锐角时两种情况，分别根据平行线的性质求解即可． 掌握平行线的判定及性质，并能利用平行线的判定及性质进行熟练求解是解题的关键． 【详解】解：（1）过点E作， （两直线平行，内错角相等）． ，， （平行于同一条直线的两条直线平行）， ， ， ； （2）由（1）中探究可知，， ，且， ， ； 故答案为：，两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行，； （3）如图，当为钝角时，    由（1）中结论可知， ， ； 当为锐角时，如图，    由（1）中结论可知， ， 即， 综上，的度数为或． 【易错必刷十五 根据平行线判定与性质证明】 43．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线和直线相交于点，连接，点，，分别在，，上，连接，，是上一点，连接，已知． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的判定和性质． （1）先根据同角的补角的相等得到，则，即可证明； （2）得到，由得到，平分得到，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵，， ， ， ． （2）解：∵， ． 又∵， ． 又∵平分， ， ． 44．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，直线，点A，C在直线上，点B，D在直线上． (1)如图1，若，且，求证：；（请写出必要的推理依据） (2)如图2，若，，平分，平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，角平分线的定义． （1）由平行线的性质求得，再由同角的余角相等求得，据此即可证明； （2）利用角平分线的定义求得，利用平行线的性质求得，利用邻补角的性质结合角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 45．（2024七年级上·全国·专题练习）综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动． (1)如图1，，点A，B分别为直线上的一点，点P为平行线间一点且，求度数； 问题迁移 (2)如图2，射线与射线交于点O，直线，直线m分别交于点A，D，直线n分别交于点B，C，点P在射线上运动． ①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设．则之间有何数量关系？请说明理由； ②若点P不在线段上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出间的数量关系． 【答案】(1) (2)①理由见解析；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确的作出辅助线、灵活运用平行线的性质成为解题的关键． （1）如图：过P作，则，根据平行线的性质得出，再将已知条件代入即可解答； （2）①同（1）求解即可；②如图：当P在延长线时，过P作交于E，结合图形可得；同理：可求当P在之间时． 【详解】（1）解：如图：过P作， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴； （2）解∶①理由如下： 如图：过P作交于E， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图：当P在延长线时， 此时； 如图：当P在之间时， 此时． 【易错必刷十六 求平行线间的距离】 1．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，直线，点在上，点在上，若，则下列线段的长度是到的距离的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线之间的距离，根据平行线之间的距离的定义即可判断求解，理解平行线之间的距离的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，点在上，点在上， ∴的长度是到的距离， 故选：． 2．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，，点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两条平行线间的距离，三角形的面积的计算，解决本题的关键是熟记点到直线的距离的定义，正确的识别图形，明确三角形面积的不同计算方法．根据三角形的面积计算公式即可得到结论． 【详解】解：设与之间的距离为， 则， ，，， ， 设与之间的距离为， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·广西贵港·期末）如图，已知，，于点，于，． （1）求证：； （2）求点到的距离． 【答案】（1）见解析（2）6 【分析】（1）根据已知求证即可； （2）根据平行公理得出，从而得出即为点到的距离，再根据线段的和即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴； （2）， ∴， ∴即为点到的距离， ∵，， ∴， ， 故点到的距离为6． 【点睛】本题主要考查平行线的判定，点到直线的距离，平行线间的距离，熟知平行线的判定定理以及平行线间距离处处相等时解题的关键． 【易错必刷十七 命题、定理、证明】 1．（24-25七年级下·广东广州·期末）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”与“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子． 【详解】解：A、满足条件，不满足结论，故A符合题意； B、不满足条件，不满足结论，故B不符合题意； C、满足条件，也满足结论，故C不符合题意； D、不满足条件，不满足结论，故D不符合题意． 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）有下列语句：①画线段；②两个负数的差一定是负数；③同角的余角相等；④如果直线a，b不相交，那么a与b平行吗？其中是命题的有 ，是真命题的有 ．（填序号） 【答案】 ②③ ③ 【分析】本题考查了命题的定义、判断命题真假，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据命题的定义，对语句逐一分析判断即可． 【详解】解：①画线段不是命题； ②两个负数的差一定是负数是命题，是假命题； ③同角的余角相等是命题，是真命题； ④如果直线a，b不相交，那么a与b平行吗？不是命题； 其中是命题的有②③，是真命题的有③． 故答案为：②③；③． 3．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如图，在中，是的平分线，，，交于点． (1)求证：是的平分线． (2)若将“是的平分线”与“是的平分线”，“”或“”中的任一条件交换，所得命题是真命题吗？若是，请选择一个证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是，见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，命题的真假，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据平行线的性质，得到，，再结合角平分线的定义，得出，即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和平行线的判定和性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴是的平分线． （2）解：所得命题是真命题； ①选择命题：若是的平分线，，，则是的平分线． 证明：∵，， ∴，． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴是的平分线． ②选择命题：若是的平分线，是的平分线，，则． 证明：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ③选择命题：若是的平分线，是的平分线，，则． ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【易错必刷十八 图形的平移】 1．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）在的方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形，下面平移的方法中正确的是（   ） A．先向下平移2格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移2格 C．先向下平移2格，再向右平移3格 D．先向下平移3格，再向右平移2格 【答案】C 【分析】本题考查图形的平移，根据平移后图形的位置，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，图①中的三角形甲先向下平移2个单位，再向右平移3个单位到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形； 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·课堂例题）如图，将向右平移 格，再向上平移 格得到． 【答案】 【分析】本题考查图形的平移，根据点的平移方式即可得答案．解决本题的关键是观察发现各对应点之间的转换关系． 【详解】解：∵从点看，向右移动格，向上移动格即可得到， ∴将向右平移格，再向上平移格得到． 故答案为：， 3．（24-25七年级下·浙江·期末）如图，已知在边长为1的方格纸中，点A，B，C，都在格点上． (1)将三角形经过平移后得到三角形，若点是点A的对应点，请在图中画出三角形． (2)将三角形先向上平移__________个单位，再向__________平移__________个单位得到三角形． 【答案】(1)见解析 (2)3，右，4 【分析】本题考查了作图—平移，平移的性质； （1）根据平移不改变图形的大小、形状和方向确定出点，的位置，然后顺次连接即可； （2）根据（1）中所作图形判断平移方式即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）由图可得：将三角形先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形， 故答案为：3，右，4． 【易错必刷十九 利用平移的性质求解】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，把一个平行四边形纸板的一边紧靠着数轴平移到平行四边形的位置．点、表示的数分别为、，则点平移的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查数轴上两点之间的距离及平移的性质，理解掌握平移的性质是解题关键．根据数轴上平移前后对应点的位置即可得出结果． 【详解】解：由题图可知，点平移的距离为， 故选C． 2．（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图，将沿边向右平移3个单位得到，其中点、、的对应点分别是点、、，如果的周长是14，那么四边形的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了平移的性质．根据平移的性质，对应点的距离等于平移距离求出、，然后求出，再根据周长的定义解答即可． 【详解】解：∵平移距离是3个单位， ∴， ∵， ∵四边形的周长． 故答案为：20． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，沿方向平移到的位置． (1)若，求的度数； (2)若，求平移的距离． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查图形的平移、三角形内角和定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． （1）根据平移的性质，得到，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）由平移的性质得出，进而可证，即可求解． 【详解】（1）解：由平移可知， ∴， ∴． （2）由平移可知， ∴， ∴， ∴， ∴平移的距离为3． 【易错必刷二十 平移作图】 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在网格中的位置如图所示，网格中每个小方格的边长为1个单位长度，请根据下列提示作图 (1)将向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度得到， 画出． (2)点A到的距离为 个单位长度． 【答案】(1)图见详解 (2)2 【分析】本题主要考查了平移作图以及点到直线的距离． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据平移的性质结合网格即可得出答案． 【详解】（1）解：即为所求： （2）解：点A到的距离为2个单位长度， 故答案为：2． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．已知，点D为边上一点，在方格纸内将经过两次平移后得到，图中标出了平移后点D的对应点． (1)画出平移后的并写出平移方式； (2)写出与的位置和数量关系． 【答案】(1)图见解析，平移方式：将先向右平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度（或将先向下平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度）． (2) 【分析】本题主要考查了平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用平移的性质得出各对应点位置进而得出答案； （2）利用平移的性质得出对应点连线的关系． 【详解】（1）解：如图，即为所画， 平移方式：将先向右平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度（或将先向下平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度）． （2）解：由平移的性质得，． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将平移得到，连接，． (1)根据题意，补全图形； (2)图中和的数量关系是 ； (3)在上画出一点P，使得． 【答案】(1)见解析 (2)互补 (3)见解析 【分析】本题考查图形的平移，平行线的性质，平移作图．熟练掌握平移的性质，是解题的关键． （1）根据的位置，确定平移规则，画出，再连接，即可； （2）根据平移的性质，作答即可； （3）根据格点特点，过点作，交于点P，则点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，，，即为所求； （2）解：根据平移可知：， ∴， 即和互补． （3）解：如图，根据网格特点，过点作，交于点P，则点P即为所求． ∵， ∴， 根据平移可知：， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$