专题06 相交线与平行线40道压轴题型专训（8大题型）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版2024）

专题06 相交线与平行线40道压轴题型专训（8大题型） 【题型目录】 题型一 相交线压轴题 题型二 平行线的判定压轴题 题型三 平行线的性质压轴题 题型四 利用平行线的性质探究角的关系 题型五 平行线中动点问题 题型六 平行线中的翻折问题 题型七 平行模型 题型八 利用平移的性质解决问题 【经典例题一 相交线压轴题】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）已知直线，相交于点，平分，射线于点，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了相交线和角平分线有关计算．熟练掌握垂线定义，角平分线定义，佘角补角定义，分类讨论，是解本题的关键． 当点F和点C在同侧时，根据垂直定义得，结合，得，根据角平分线定义，得；当点F和点C在异侧时， 可得，得，得． 【详解】解：当点F和点C在同侧时， ∵于点O， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； 当点F和点C在异侧时， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图1，，射线在平面内． (1)如图，垂直，平分，则的度数为______； (2)若与互补，求的大小； (3)若射线绕点O从射线的反向延长线的位置出发，以每秒的速度顺时针旋转；同时射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转，各自旋转后停止转动，请直接写出使得射线，，中某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线的时间______． 【答案】(1) (2)或 (3)秒或秒或 秒或秒 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，垂线的定义，一元一次方程的应用． （1）根据垂直的定义和角平分线的定义可得出结论； （2）根据题意需要分两种情况：①当在的左侧时；②当在的下方时，分别画出图形求解即可得出结论； （3）根据题意需要分三种情况：当为的角平分线时（分停止前和停止后）；当为的角平分线时；当为的角平分线时分别求解即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1 ∵垂直， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：． （2）解：如图2-1当在的左侧时，设，则， 由题意可知，， 解得； 如图2-2，当在的右侧时，设，则， 由题意可知，， 解得； 综上，符合题意的的度数为或； （3）解：如图， 为的平分线时， 由题意可知， 解得， 如图（已停止），为的平分线时， 由题意可知， 解得； 如图，为的平分线时，则， 解得； 如图，为的平分线时，则， 解得； 综上，射线，，中某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线的时间为秒或秒或 秒或秒． 故答案为：秒或秒或 秒或秒． 3．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，直线与直线交点O，，平分． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，，在直线的下方，若平分，平分，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】该题主要考查了角的和差倍分运算以及角平分线的定义、垂直定义、对顶角相等，解题的关键是找到图中角度之间的关系，列出等式； （1）根据垂直的定义得出根据角平分线的定义得出等量代换即可证明； （2）根据角平分线的定义得出，再根据角的和差倍分计算即可得出，结合（1）即可求解； 【详解】（1）， 平分， ， ， ， ， 平分． （2）平分，平分， ， ， ， ， ， 由（1）知 ， ∴． 4．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图1，是直线上的一点，，平分．    (1)若，求的度数； (2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置． ①探究和的度数之间的关系，并说明理由； ②在的内部有一条射线，内部有一条射线，且，试确定与的度数之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；② 【分析】（1）由垂线的定义得，从而得到，由邻补角的定义计算可得，最后由角平分线的性质即可得到答案 （2）①先分别表示出和，再找出其中的关系即可；②根据题意得出，，代入得到，再将，代入进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 平分， ； （2）解：①， 理由如下： 根据题意可得：， ， ， 平分， ， ， ； ②画出图如图所示：   ， 则，， ， 整理得：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、垂线的定义、与余角和补角有关的计算、角的计算，熟练掌握角平分线的性质、垂线的定义，准确进行计算是解题的关键． 5．（2022七年级上·江苏·专题练习）直线相交于点于点，作射线，且在的内部． (1)当点在直线的同侧； ①如图1，若，求的度数； ②如图2，若平分，请判断是否平分，并说明理由； (2)若，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①；②平分，理由见解析 (2)或 【分析】（1）①由，得出，根据平角的定义得出，根据即可求解； ②由平分，得出，根据得出，即可得结论； （2）分当点在直线的同侧时，当点和点在直线的异侧时两种情况，结合图形分析即可求解． 【详解】（1）解：①∵于点， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴的度数为； ②平分，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即平分． （2）当点在直线的同侧时，如图， 记，则， ∵， ∴， ∴①， ∴②， 得，； 当点和点在直线的异侧时，如图， 记，则， ∵， ∴， ∴①， ∴②， 得，． 综上可知，或． 【点睛】本题考查了角平分线的有关计算，垂直的定义，与余角补角相关的计算，数形结合是解题的关键． 【经典例题二 平行线的判定压轴题】 6．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，，平分． (1)求证：； (2)若射线绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转得到，同时，射线绕点C以每秒的速度顺时针方向旋转得到，和交于点P，设旋转时间为t秒． ①当时，请写出与之间的数量关系，并说明理由； ②当时，若，请直接写出t的值． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②60或 【分析】（1）易得，根据角平分线的定义得出，即可求证； （2）①根据题意得出，，，根据三角形的内角和定理得出，即可得出结论； ②根据题意进行分类讨论：当时，由①可得：，，则，根据，列出方程求解即可；当时，，，推出，根据，列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵，射线绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∵射线绕点C以每秒的速度顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴； ②当时， 由①可得：，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 综上：t的值为60或． 【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，一元一次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握各个性质定理，正确画出图形，列出方程求解． 7．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）若将一副三角板按如图1所示的方式放置（其中，，），将三角形固定不动，三角形绕点逆时针旋转，旋转角为．    (1)如图2，若，则 ， ． (2)如图3，若于点，则与平行吗？请说明理由． (3)如图4，若，则图中有哪两条线平行？请说明理由． 【答案】(1)； (2)平行，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）先求出，再求出； （2）先证明，根据内错角相等即可证明； （3）先求出，进而可证，然后可证． 【详解】（1）∵，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：；． （2）∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）． 理由：，， ， ， ． ， ， ． 8．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，直线，交于点O，，分别平分和． (1)若，求的度数． (2)在（1）的条件下，若，吗？请说明理由． 【答案】(1)的度数为 (2)平行，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，对顶角相等，熟记平行线的判定方法是解题的关键． （1）先求出，进而求出，，然后求出，进而可求出的度数； （2）先证明，然后根据内错角相等两直线平行即可得证． 【详解】（1），， ． ， ，， ， 平分， ， ， 的度数为． （2）平行． 理由：由（1）可知． ， ， ． 9．（2023·山西忻州·模拟预测）小明想知道作业纸上两条相交直线，所夹锐角的大小（如图1）．但发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．小明设计了如下方案（如图2）：    ①作直线分别交，于点，，以点为顶点，为一边，在直线的右侧作； ②测量的度数即可得到直线，所夹锐角的大小． 问题1：你认为小明的方案可行吗？并说明理由． 问题2：你还有其他方法吗？请在图1中画图说明．（测量工具：直尺、量角器） 【答案】问题1：小明的方案可行．理由见解析；问题2：见解析 【分析】问题1：根据同位角相等，两直线平行进行判断；问题2：在上取点，在上取点，作直线，量出一组同旁内角，根据同旁内角互补两直线平行进行判断． 【详解】问题1：小明的方案可行． 理由：如图，设直线，相交于点．   ， ， ． 问题2：如图，在上取点，在上取点，作直线，量出和的大小，利用三角形内角和即可求出直线，所夹锐角的大小．    若和的和是，则说明两直线平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定，判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 10．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线和被直线所截．    (1)如图1，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足______时， ，并说明平行的理由； (2)如图2，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足______时，，并说明平行的理由； (3)如图3，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足______时，，并说明平行的理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，故与满足，即可得出，即可判断； （2）根据角平分线的定义可得，，故与满足，即可得，即可判断； （3）同（2）的分析即得结论． 【详解】（1）当与满足时， ，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）当与满足时，，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴；    （3）当与满足时，，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义和平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，常见的判定两直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 【经典例题三 平行线的性质压轴题】 11．（23-24七年级下·湖北随州·期末）如图，直线，直线与分别交于点．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线上，．    (1)若，则＿＿＿＿＿＿＿； (2)若，射线在内交直线于点，如图②．当N、M分别在点G、H的右侧，且时，求的度数； (3)小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点N、M分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点作直线，根据平行公理，则，再根据平行线的性质，即可； （2）延长交于点，根据，，则，再根据平行公理，得，根据平行线的性质，则，，再根据，求出，最后再根据平行线的性质，等量代换，即可； （3）根据平移三角形分类讨论：①当，分别在点，的右侧；②当点，分别在点，的左侧，根据平行线的性质，角平分线的性质，即可作答． 本题考查平行线、角平分线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，平行公理，角平分线的性质，学会分类讨论的解题方法． 【详解】（1）解：过点作直线，如图1，   ， ， ，， ． ∵ ∴； （2）解：延长交于点，如图2，   ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：①当，分别在点，的右侧，如图3，   ， ， ， ， ， ， 射线平分， ； ②当点，分别在点，的左侧，如图4，   ， ， ， ， ， ，， 射线平分， ， ， ， 综上所述，或． 12．（23-24七年级下·重庆巴南·阶段练习）如图所示，，的顶点E，F分别在直线、直线上，点在直线与直线之间，平分． (1)如图1，平分，，则的度数． (2)如图2，已知点为延长线上一点，且，请用含的式子表示的度数，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，当首次旋转到直线上时，立刻绕点逆时针以原速旋转，当旋转到直线上时，两个三角形同时停止旋转，请直接写出当时的旋转时间的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或或或或或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，平行线的性质，角平分线的定义，正确根据题意画出对应的图形并利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）如图所示，过点作，则，由平行线的性质得到，，，即可推出，利用平角的定义求出，再利用角平分线的定义推出即可得到答案； （2）如图所示，过点作，则，由平行线的性质得到，，由平角的定义得到，再利用角平分线的定义和角度之间的关系求出，即可． （3）由题意得，首次到的时间为，首次到的时间为；当时，如图所示，可以把线段，，，的端点放在同一个位置，当两线段平行的时候，即这两条线段共线，当时，建立方程求解即可；当时，如图所示，可以把线段，，，的端点放在同一个位置，当两线段平行的时候，即这两条线段共线，当时建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图1所示，过点作， ，， ， ，，， ， ， ， ， 平分， ， ， 平分， ， ． （2）解：，理由如下： 如图2所示，过点作， ，， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． （3）解：由题意得，首次到的时间为，首次到的时间为； 当时，如图所示，可以把线段，，，的端点放在同一个位置，当两线段平行的时候，即这两条线段共线， 当时，则， 解得； 当时，如图所示，可以把线段，，，的端点放在同一个位置，当两线段平行的时候，即这两条线段共线， 由（2）的结论可知， ； ④当时，则或， 解得或（舍去）； 综上所述，或． 13．（23-24七年级下·四川南充·期中）已知，点、分别是、上的两点，点在、之间，连接、 (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数； (3)如图，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】()过作，依据两直线平行，内错角相等，即可得到的度数； ()过作，过点作，设，利用平行线的性质以及角平分线的定义，求得，，即可求解； ()过作，过作，设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得，，再根据，可得，解方程求出即可求解； 本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角平分线的定义，一元一次方程的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：如图，过作，过点作，设， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）解：如图，过作，过作，设，， ∵交于，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）如图1、图2，直线，被射线所截，且，是射线上的定点，点在射线上，连接，过点作，与直线交于点，且． (1)如图1，当点与点重合时，求的度数； (2)若点在线段上（点不与点，重合）． ①依题意，在图2中补全图形； ②猜想与之间的数量关系，并证明； (3)当点在线段的延长线上，且时，求的度数． 【答案】(1) (2)①答案见解答过程；②，证明见解答过程 (3)或 【分析】此题主要考查了平行线的性质，垂直定义，角的计算，熟练掌握平行线的性质，垂直定义，角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，漏解是易错点． （1）根据得，再根据，得，然后根据可得出答案； （2）①依题意补全图形即可； ②过点作，想证明，则，，进而得，由此可得与之间的数量关系； （3）当点在线段的延长线上，且时，有以下两种情况：①当在点的右侧时，过点作，先求出，再证得，，然后根据可得出答案；②当点在点的左侧时，过点作，先求出，同理，，然后根据可得出答案，综上所述即可得出的度数． 【详解】（1）解：， ， 又， ， ， ， ； （2）解：①依题意补全图形如图2所示： ②与之间的数量关系是：． 证明如下：过点作，如图3所示： ， ， ，， ， ，， ， ， ； （3）当点在线段的延长线上，且时，有以下两种情况： ①当在点的右侧时，过点作，如图4所示： ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ； ②当点在点的左侧时，过点作，如图5所示： ， ， ， ， 同理：，， ， ． 综上所述：的度数为或． 15．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，，点在上（点在点的左侧），点在上（点在点的左侧），．点在线段上，点在上，交于点，，    图1                 图2 (1)求证： (2)如图1，点在线段的延长线上，求的度数（用含的代数式） (3)点在射线上，的角平分线和的角平分线交于点，直接写出之间的数量关系 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义； （1）根据平行线的性质可得，根据已知可得，则，即可得证； （2）设，过点作，根据平行线的性质可得，根据，可得，即可求解； （3）过作，设，根据角平分线的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵ ∴， ∴ （2）解：∵ 设 ∴ 如图所示，过点作 ∵ ∴，, ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （3）解：如图所示，过作 设 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵的角平分线和的角平分线交于点， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 【经典例题四 利用平行线的性质探究角的关系】 16．（24-25七年级下·陕西西安·期中）已知：直线分别交直线，于点G，H，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点M，N分别在射线，上，点P，Q分别在射线，上，连接，，且，分别延长，交于点K，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若平分，且平分，若，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）对顶角相等，得到，进而得到，即可得证； （2）过K作，则，推出，即，即可得证； （3）过M作，过K作，易得，设，，推出，求出x的值，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，由（1）知，，    过K作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 即． （3）解：如图，过M作，过K作，    ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴设，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵． ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理的应用，角平分线的定义，垂直的定义，解决本题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质进行导角． 17．（23-24七年级下·广东广州·期中）一个优秀的现代城市必定蕴含科技、人文、生态三大内涵． 结合广州的规划目标和照明现状历史文化底蕴和现代化大都会地位，自2011年创办的“广州国际灯光节”，现与法国、悉尼并列为世界三大灯光节． 广州采用"政府搭台、企业唱戏"的市场 化模式，通过整合现有市场资源、引导企业参与，走市场化道路来举办年度公共文化盛事． 2023 年的广州国际灯光节分三大版块：“炫美湾区”、“光耀羊城”和“智造未来”． 为保障市民游客安全有序、顺利参与，在广场两侧各安置了灯带，不间断地交叉照射巡视．如图 1，灯射线自逆时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至 便立即回转．若灯转动的速度是/秒，灯转动的速度是/秒． 假定广场两侧的灯带是平行的，即，且． (1)当时，灯射线经过多少秒，第一次照射到灯； (2)若，，且两灯同时转动．设两灯转动的时间为秒，若满足两灯的射线光束互相平行，求此时对应的； (3)两灯以（2）中的速度同时转动，如图2，在灯射线到达之前，若射出的光束交于点． ①______________（用含的代数式表示）； ②作，请求出与的数量关系． 【答案】(1)20 (2) (3)①或；②或 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定： （1）根据平行线的性质求出，据此可得答案； （2）分当时，当时，两种情况画出对应的图形讨论求解即可； （3）①分当时，当时，两种情况画出对应的图形讨论求解即可；②根据①所求，分当时，当时，两种情况分别求出与即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵灯转动的速度是/秒， ∴灯射线经过秒，第一次照射到灯； （2）解：如图所示，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，； （3）解：①如图所示，当时，过点C作，则， ∴， ∴； 如图所示，当时， 同理可得； 综上所述，或， 故答案为：或； ②如图所示，当时， 由（3）①得， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当时， 由（3）①得， ∴， ∵， ∴； 综上所述，或． 18．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）（）问题情境：图中，，，，求的度数.小明的思路是：过作，通过平行线性质来求.按小明的思路，易求得的度数为_________；（直接写出答案） （）问题探究：图中，，为之间一点，连接，试探究与，之间的数量关系； （）图中，，，，求的度数. 【答案】（）；（）；（）． 【分析】（）由平行公理的推论可得，进而得到，，即可求出，再根据角的和差关系即可求解； （）由平行公理的推论可得，进而得到，，再根据角的和差关系即可求解； （）由平行公理的推论可得，进而得到，，再根据角的和差关系即可求解； 本题考查了平行公理的推论，平行线的性质，正确作出辅助线及掌握平行公理的推论是解题的关键． 【详解】解：（）∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； （）)如图，过点向左作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （）如图，过点向右作 ∵， ∴， ∴，， ∴． 19．（23-24七年级下·北京大兴·期中）如图1，，若点为平面内一动点（点不在直线和直线上），连接，过点作，且点在点的右侧． (1)当点运动到如图2所示位置时，求证：； (2)直接用等式表示出，，之间存在的所有数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)；；； 【分析】本题考查了平行线的性质，进行分类讨论是解题的关键． （1）利用平行线的性质，得到和，利用角度的转换即可解答； （2）根据分类讨论，依次画出情况即可，解答即可． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ， 即． （2）解：当点在左侧，且在上方，根据（1）可得； 如图，当点在右侧时，且在下方， ， ． ， ， ； 如图，当点在左侧，且在下方， ， ． ， ， ； 如图，当点在右侧，且在下方， ， ． ， ， ， 综上所述，可得；；；． 20．（23-24七年级下·北京·期中）已知：为平面内点． (1)如图1，连接，已知 ； (2)如图2，求证：； (3)如图3，当点在直线之间时，于平分，连接，使，设，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)150 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）过点P作，根据，得出，根据平行线的性质求出结果即可； （2）过点作，则，根据平行线的性质可得，，又，即可得出； （3）分两种情况进行讨论：当点P在点A的左侧时，当点P在点A的右侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：过点P作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：150； （2）证明：过点作， ∵， ∴ ，， ， ， ， 即； （3）解：当点P在点A的左侧时，过点P作，，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 整理得：； 当点P在点A的右侧时，过点P作，，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， 即， ∴． 综上分析可知：或． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，垂线定义，平行公理的应用，以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． 【经典例题五 平行线中动点问题】 21．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）如图，直线与的两边交于，两点，，点是边上一个动点，连接． (1)过点B作，交射线于点D，依题意补全图形， ①直接写出的度数（用含α的式子表示）； ②若点E，F在，的延长线上，并且直线，当平分时，求的度数（用含α的式子表示）；小林在思考这道题时，想到过点D作交射线于点H，通过转化角可以求出的度数．你可以利用小林的思路解答此题也可以独立思考求出的度数． (2)参考小林思考问题的方法，解决问题：若点E，F在，的延长线上，并且直线，当点D在上运动时，直接用含α的等式表示，，的数量关系． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是本题的关键． （1）按要求补全图形即可． ①根据角之间的关系即可求解； ②根据平行线的性质即可求解． （2）过点作，交于点，连接、，根据平行线的性质，分别讨论点在（不含点、上、在（不含点上、在的延长线上三种情况下，，的数量关系即可． 【详解】（1）解：如图，过点作，交射线于点． ①， ． ②∵， ． 又平分， ， ． （2）解：当点在（不含点、上时：过点作，交于点，连接、． ∵， ， ， ， ， ∵， ， ； 当点在（不含点上时：过点作，交于点，连接、． ∵， ， ∵， ， ， ， ； 当点在的延长线上时：过点作，交于点，连接、． ∵， ， ， ∵，， ∴， ， ， ∵， ， ， ． 综上，，，的数量关系为或． 22．（23-24七年级下·江苏南京·期中）如图1，直线与直线，分别相交于点，三条直线把平面分成①，②，…，⑥六个区域．规定：三条直线上的点不属于任何一个区域．当任意一点落在某个区域时，连接，，可得到，，． (1)如图2，当动点落在区域④时，如果，那么与平行吗？请说明理由； (2)如图3，当动点落在区域③时，，，三角满足什么等量关系时，？（请说明理由） (3)如果直线，试探究动点落在______区域时，存在． 【答案】(1)，理由见解析 (2)当动点落在区域③时，，，三角满足时，有；理由见解析 (3)② 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用平行线的判定与性质成为解题的关键． （1）如图：过点P作，根据平行线性质可得，然后再证明，进而证明结论； （2）如图：过点P作，根据平行线的性质可得、，然后再利用角的和差即可解答； （3）如图：当点P在①区域时，过点P作，先证明，再根据平行线的性质可得，由三角形外角和定理可得，然后根据等量代换即可判定区域①；同理判定区域②③④⑤⑥即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：当动点落在区域③时，，，三角满足时，有；，理由如下： 如图：过点P作， ∴，即， ∵， ∴，即， ∵ ， ∴当动点落在区域③时，，，三角满足时，有． （3）解：如图：当点P在①区域时，过点P作，交于J， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即，即点P在①区域时不符合题意； 同理：可判定点P在③④⑤⑥区域时不符合题意； 当点P在②区域时，过点P作，交于J， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即，即点P在②区域时符合题意； 综上，点P在②区域时存在． 故答案为：②． 23．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，已知，平分交于E点，点F是上一动点（点F在的上方）．          (1)如图1，当时，若，求的度数； (2)如图2，当时，判断与数量上有何关系？并说明理由； (3)若，，分别作和的平分线和且交于点G，如图3，求出的度数（用含和的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行公理的应用，平行线的性质，熟记平行线的性质是解本题的关键； （1）先证明，，再结合平行线的性质建立方程可得答案； （2）过F点作，则，设，可得，证明，可得，，结合角平分线证明，从而可得结论； （3）过F点作，过G点作，证明，，，证明，再结合角平分线的性质可得，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵，CE平分， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图，过F点作，则， 即 设， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）如图，过F点作，过G点作， ∴ ， ∵，， ∴，，， ∵， ∴，，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ ∴ ∵平分， ∴ 又∵，，， ∴， ∴； 24．（2024七年级下·全国·专题练习）已知直线，点是直线上的一个动点（不与点重合），平分，交直线于点． (1)如图，当点在点左侧时，若，请直接写出的度数，不必说明理由； (2)若，平分，交直线于点． ①如图，若点在点左侧运动时，的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由； ②与之间存在怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由． 【答案】(1) (2)①的度数不发生变化，，理由见解答过程；②或，理由见解答过程 【分析】（1）延长到点，根据平行线性质及角平分线定义即可求解； （2）①延长到点，设，根据平行线性质及角平分线定义分别表示、、，由即可得到； ②分两种情况讨论：当点在点左侧运动时、当点在点右侧运动时，设，根据平行线性质及角平分线定义即可得解． 【详解】（1）解：延长到，如图所示： ，， ， ， 平分， ， ， ． （2）①点在点左侧运动时，的度数不发生变化，，理由如下： 延长到，如图所示： 设， 平分， ，， ，， ， ， ， 平分， ， ， ②与之间的数量关系是：或，理由如下： 当点在点的左侧时，延长到，如图所示： 设， 平分， ，， ，， ， ， ， ， 平分， ， ， ； 当点在点的右侧时，延长到，如图所示： 设， 平分， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 平分， ， ， ． 综上所述：与之间的数量关系是：或． 【点睛】本题考查的知识点是平分线的性质、角平分线的定义，解题关键是熟练掌握平行线的性质． 25．（23-24七年级下·北京·期中）已知点A，B，C，D，E均为定点，直线，点P为射线上一个动点（点P不与点A重合），连接， (1)如图1，当点P在线段上时，若，，直接写出 的度数； (2)点M为直线下方的动点，连接，平分， ①如图2，当点P在线段上时，连接，若平分，用等式表示与之间的数量关系，并证明； ②如图3，当点P在直线的下方运动时（点P在射线上），射线平分，点K在直线的下方，且满足射线，若，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①，证明见详解；②或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确添加辅助线是解决本题的关键． （1）过点P作，则，两次利用两直线平行，内错角相等即可求解； （2）①过点P作，过点M作，设，，可得，则，则，即可求证； ②当点P在线段上时，过点P作，而 ，则，通过平行线的性质得到，即，解得；当点P在线段延长线上时，过点P作，，设，，通过平行线的性质和角平分线的意义得到，代入得，解得． 【详解】（1）证明：过点P作，则，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）①解：， 设，， ∵平分， ∴， ∵平分，∴， 过点P作，过点M作， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点P在线段上时，过点P作，而 ，则， 设，设 ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 当点P在线段延长线上时， 过点P作，则，设，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得， 综上：的度数为或． 【经典例题六 平行线中的翻折问题】 26．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图1，在一张正方形纸片（正方形的两组对边分别平行）的两边上分别有A，B两点，连接，点P是正方形纸片上一点，过点P翻折纸片，使点B落在直线上的点处，折痕交于点Q．    (1)①判断折痕与的位置关系，并说明理由； ②通过不断地尝试，除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是_______； (2)在图1的基础上，展平纸片，得到图2，在图2中过点P折出并画出与平行的折痕（折痕左端点记为点D，右端点记为点E），请简要阐述折叠方法并说明理由； (3)将图2的纸片展平得到图3，点S是线段上一动点（不与点E重合），若，，，请直接写出的度数．（用、β的代数式表示） 【答案】(1)①，理由见解析；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (2)折叠方法：过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为，理由见解析 (3)或 【分析】（1）①根据折叠的性质得出，根据，求出，即可得出结论； ②根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进行解答即可； （2）过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为，根据平行线的判定进行证明即可； （3）分两种情况进行讨论：当点S在线段上时，当点S在线段上时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】（1）解：①；理由如下： 根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴； ②除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2）解：折叠方法：过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为；如图所示：    理由：根据解析（1）可得：， ∵， ∴， ∴； （3）解：当点S在线段上时，如图所示：      ∵正方形纸片中， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴ ； 当点S在线段上时，如图所示：    ∵正方形纸片中， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 综上分析可得：或． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质和判定，三角形内角和定理应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，注意分类讨论． 27．（2025七年级下·全国·专题练习）在综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．已知直线，直角三角板． (1)小明将三角板按如图1方式摆放，点在上，边与交于点．若，则________°． (2)小亮将三角板按如图2方式摆放，点分别在上，的平分线与的平分线交于点．若，求的度数． (3)小颖将图2中的三角板进行适当转动，点仍然分别在上．如图3，再将沿边翻折，边的对应边与交于点，小颖给出下列两个结论： ①的值不变； ②的值不变． 其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)②正确，理由见解析 【详解】解：（1）40提示：因为，，所以．因为，所以． （2）如图，过点作，而，所以，所以．因为，所以．因为，所以．因为，所以．因为平分平分，所以，所以，同理可得． （3）②是正确的．理由如下： 设，则，所以．同（2）可得，所以．所以．所以的值会随值的变化而变化，而的值不变． 28．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）已知：在图图中，，点，点，点与，在同一平面内． (1)探究与表达请直接写出： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，，，的数量关系； (2)推导与应用如图，将长方形纸片沿折叠，已知，求的度数． 【答案】(1)； ；；；；； (2)． 【分析】（）根据平行线的判定与性质即可求解； （）利用（）中的结论即可求解； 本题考查了平行线的性质和平行定理推论，熟练掌握知识点的应用及正确添加辅助线是解题的关键． 【详解】（1）如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，同理， 同理：； （2）由上可知：， ∵，， ∴． 29．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数学活动课上，琳琳同学将一张长方形纸条沿折叠，点落在点处． (1)如图，她通过测量发现：，请你证明她的结论； (2)如图，点在上，点在上，连接，，将四边形沿所在直线折叠得到，交于，点的对应点落在点处，点的对应点落在点处．她通过测量发现：，请你证明她的结论． (3)如图，在（）的条件下，将四边形沿向上折叠得到四边形，点的对应点恰好落到上的点处，点落到点处，猜想，与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（）作，根据平行线的性质和折叠的性质即可求解； （）根据平行线的性质，折叠的性质和角度和差； （）根据平行线的性质，折叠的性质和角度和差； 本题考查了平行线的性质额折叠的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3），理由： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 30．（23-24七年级下·福建三明·期中）综合与实践： 七年级下册第二章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学—长方形纸条的折叠与平行线 (1)知识初探 如图1，长方形纸条中，，，．将长方形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②试猜想和之间的数量关系，并进行说明． (2)类比再探 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点落在处，得到折痕，点、、、在同一条直线上，则折痕与有怎样的位置关系?请说明理由． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线的判定与性质、平角的定义等知识；熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键． （1）①由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； ②由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； （2）由题意得，，由平行线的性质得，推出，即可得出． 【详解】（1）解：①由题意得：， ， ， ， ； ②结论： 理由：由题意得：， ， ， ， ， （2），理由如下： 由题意得：，， ， ， ， ． 【经典例题七 平行模型】 31．（24-25七年级下·浙江·期中）如图1，点在上，，． (1)求证：； (2)如图2，，平分，与的平分线交于点，若比大，求的度数． (3)在（1）的结论下，保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分，平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)不变，见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）如图1，延长交于点，根据，，可得，所以，可得，又，进而可得结论； （2）如图2，作，，根据，可得，根据平行线的性质得角之间的关系，再根据比大，列出等式即可求的度数； （3）如图3，过点作，设直线和直线相交于点，根据平行线的性质和角平分线定义可求的度数． 【详解】（1）证明：如图1，延长交于点， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，作，， ， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 设， ， 比大， ， 解得 的度数为； （3）解：的度数不变，理由如下： 如图3，过点作，设直线和直线相交于点， 平分，平分， ， ， ，， ， ， ， ， 由（2）可知：， ， ， ， ， ， ． 32．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【阅读理解】如图①，与的边与互相平行，另一组边、交于点E，且点E在、之间，且在直线右侧，试说明：． 老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空（理由或数学式）． 解：如图②，过点E作． ∴（    ）． ∵（    ） ∴（    ）． ∴． ∴．（    ） ∴． ［理解应用]如图③，当图①中的点E在直线右侧时，其它条件不变，若．求与的和． ［拓展] 与的边与互相平行，且点B、D在直线同侧，另一组边、交于点E，且点E在、之间．若的角平分线与的角平分线交于点F，设，请借助图①和图③，用含的代数式直接写出的度数． 【答案】[阅读理解]两直线平行，内错角相等；已知；平行线的传递性；等式性质；；[理解应用]；[拓展] 或 【分析】本题主要考查了平行线的判断与性质， 解答此类问题的关键所在是作出辅助线． [阅读理解] 过点E作，利用平行线的传递性可得，利用平行线的性质可得， ，然后利用等式的性质即可得证 [理解应用] 过点E作，类似[阅读理解]可得出，然后代入的度数求解即可； [拓展]分点E在直线左侧和点E在直线右侧两种情况讨论即可． 【详解】解：[阅读理解]如图②，过点E作． ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知） ∴（平行线的传递性）． ∴． ∴．（等式性质） ∴． 故答案为：两直线平行，内错角相等；已知；平行线的传递性；等式性质； [理解应用] 如图，过点E E作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 又 ∴； [拓展] 如图，当点E在直线左侧时， 由[阅读理解]可知：， 同理可证， ∵、分别是、的角平分线， ∴，， ∴ ， 又， ∴； 点E在直线右侧 由[理解应用]可知， ∴， 又，，， ∴， ∴， 又， ∴， 综上，的度数为或． 33．（23-24八年级上·山东济南·期末）【阅读探究】 （1）如图1，，，分别是，上的点，点在，两平行线之间，，，求的度数． 解：过点作， 所以______． 因为， 所以， 所以______． 因为，， 所以． （2）从上面的推理过程中，我们发现平行线可将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中，和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之问的数量关系为______． 【方法应用】 （3）如图2，，，分别是，上的点，点在，两平行线之间，，，求的度数． 【应用拓展】 （4）如图3，，，分别是，上的点，点在，两平行线之间，作和的平分线，，交于点（交点在两平行线，之间），若，则的度数为______°（用含的式子表示）． 亲爱的同学，祝贺你已经完成了本次考试的所有题目，如果你还有时间，希望挑战一下自己，可以尝试完成下面两道题目，请注意，以下题目的分数不计入总分． 【答案】（1）；；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据题干的推理信息可得答案； （2）过点作，由平行线的性质得到，，继而证明； （3）过点作，则，由平行线的性质得到，结合等式的性质解答即可； （4）由角平分线的性质解得，，过点作，接着由平行线的性质得到，，再根据，整理解答即可． 【详解】解：（1）过点作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． （2）过点作， ∴， ∵ ， ∴，    ∴， ∴， ∴； （3）过点作，如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∵，， ∴． （4）∵、分别是和的平分线， ∴， 过点作，如图3所示： ∵， ∴， ∴，， ∴ 同理可得： ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行公理的应用，涉及平行线的判定与性质，是重要考点，正确作出辅助线是解题关键． 34．（23-24七年级上·四川眉山·期末）（1）【问题解决】如图1，已知，，，求的度数； （2）【问题迁移】如图2，若，点P在的上方，则，，之间有何数量关系？并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，求的度数（结果用含的式子表示）． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质可得，，进而可求解； （2）过点作，则，根据平行线的性质可得，即可得，结合可求解； （3）过点作．由平行线的性质可得，，结合角平分线的定义，利用角的和差可求解． 【详解】解：（1）如图1，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴． ，而， ∴， ， （2）， 理由：如图2，过点作， ∵，， ∴， ， ， ， ∵， ， ； （3）如图3，过点作． ∵，， ∴， ，， 又的平分线和的平分线交于点， ，， 由（2）得，， ∵， ， ． 【点睛】本题主要考查平行公理的推论，平行线的性质，角平分线的定义，角的和差运算灵活运用平行线的性质是解题的关键． 35．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图1，，点为直线间一点，点E，F分别是直线上的点，连接.      (1)【证明推断】求证：，请完善下面的证明过程，并在（    ）内填写依据. 证明：过点P作直线， （已作）， （______）， 又，（已知） ______，（______） ， ______. (2)如图2，若的平分线与的平分线交于点. ①【类比探究】试猜想与之间的关系，并说明理由； ②【结论运用】若，求的度数. (3)【拓展认知】如图3，直线，点P，H为直线间的点，请直接写出，，，的数量关系：______. 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；；平行于同一直线的两直线平行； (2)①，理由见解析；② (3) 【分析】（1）过点P作直线，根据平行线的性质即可得到答案； （2）①分别过点P，Q作，，由平行线的性质和角平分线的定义得，进而即可求解；②结合平角的定义和即可得到答案； （3）过点P、H作，可得，进而即可得到结论． 【详解】（1）证明：过点作直线， （已作）， （两直线平行，内错角相等） 又，（已知）， ，（平行于同一直线的两直线平行）， ， ； （2）解：①. 理由：如图1，分别过点P，Q作，. 的平分线与的平分线交于点， ，. . 同（1）可证得， ②，， . 又，    （3）过点P、H作， ∵， ∴， ∴， ∴，即 故答案为：    【点睛】本题考查平行的性质，角平分线的定义，添加合适的辅助线是解题关键． 【经典例题八 利用平移的性质解决问题】 36．（24-25七年级上·全国·假期作业）如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)分别求和的度数； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点在三角形的内部，三角形平移到三角形后，点的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，请直接写出的长度． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）由平移的性质可得，，，，由两直线平行同位角相等可得的度数，由两直线平行内错角相等可得，然后根据即可得出的度数； （2）由平移的性质可得，结合可得，再利用三角形的面积公式即可求出图中阴影部分的面积； （3）由平移的性质可得：，，依题意得，，即，进而可得，即，据此即可求出的长度． 【详解】（1）解：由平移的性质可得：，，，， ， ， ， ； （2）解：由平移的性质可得：， ∵， ， 又， ； （3）解：由平移的性质可得：，， 的周长为， ， 又四边形的周长为， ， 即：， ， ， ， ， 即：的长度为6． 37．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图1，长方形的边在数轴上，O为原点，长方形的面积为30，边长为5． (1)数轴上点A表示的数为__________； (2)将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S． ①当S恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为__________； ②设移动距离． ⅰ）当时，__________； ⅱ）D为线段的中点，点E在线段上，且，当点D表示的数是点E表示的数的2倍时，求x的值． 【答案】(1)6 (2)①：3或9；②ⅰ）20；ⅱ） 【分析】本题考查矩形的性质，数轴上点的特点；能够将数轴上的点与矩形的边长之间的关系联系起来是解题的关键． （1）由矩形的面积即可表示点； （2）①分两种情况讨论：长方形向左平移和向右平移，根据长方形面积公式求出，即可求解； ②ⅰ）分两种情况讨论：长方形向左平移和向右平移，根据长方形面积公式求解即可； ⅱ）分两种情况讨论：长方形向左平移和向右平移，分别表示出D、E表示的数，然后列方程求解即可． 【详解】（1）解：长方形的面积为30，边长为5． ， 点表示6； 故答案为：6； （2）解：当向左移动时，如图， ， ， 移动后的表示3； 当向右移动时，如图， ， 又 ， 移动后表示9， 故答案为：3或9； ②ⅰ）当向左移动时，如图， ， ， 当向右移动时，如图， ， ， 综上，， 故答案为：20； ⅱ）由题意知： 为线段的中点，点E在线段上，且， ，， 当向左移动时，如图， ， 表示的数为，E表示的数为， 根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）； 当向右移动时，如图， ， 表示的数为，E表示的数为， 根据题意，得， 解得； 综上，． 38．（2024七年级上·上海·专题练习）探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 【答案】探究证明， 结论应用 联系拓展，理由见解析 【分析】本题主要考查了平移的性质． 探究证明阴影部分的平行四边形的底是1，高是，即可得阴影面积，进而可答案； 结论应用可看成两个平行四边形，它们的底都是1，而两个平行四边形高的和为，故可得阴影面积，即得答案； 联系拓展考虑图形的拆分和拼凑，可利用平移把空白部分凑成长为，宽是的长方形，进而得到草地的面积． 【详解】解：探究证明平行四边形的面积底高， ，， 故答案为：，； 结论应用画图如下： ； 故答案为：； 联系拓展空白部分表示的草地面积是：，理由如下： 1、将“小路”沿着左右两个边界“剪去”； 2、将左侧的草地向右平移一个单位； 3、得到一个新的长方形． 在新得到的长方形中，其纵向宽仍然是．其水平方向的长变成了，所以草地的面积就是：． 39．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，在四边形中，于点．     (1)如图，延长交的延长线于点，延长至点，连接，使得，求的度数； (2)如图，连接，，延长至点，使得平分．将三角形沿射线方向平移，使点的对应点在的延长线上，点，点的对应点分别为点，点，作于点． 若，请在图中找出一条线段的长度与相等，并说明理由； 当，，时，判断和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析；，理由见解析． 【分析】（）根据，得，又故有，从而求解； （）由平移的性质可得，又，则有，最后由线段和差即可求解； 由平分，则，设，从而有，，根据，则， 通过平移的性质可得，由平行线的性质得，，故有， 得，即，则点与点重合，又，根据连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短即可判断． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： ∵三角形沿平移得三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； ，理由如下： ∵平分， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵三角形沿平移得三角形， ∴， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，                          ∴， ∴，     ∴点与点重合， ∵， 根据连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平移的性质，垂直的定义，平行线的性质，垂线段最短，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 40．（23-24七年级下·山西吕梁·期中）综合与实践 如图1，在三角形中，，点是上一点，将线段沿方向平移，点的对应点是，点的对应点正好落在上． (1)如图1，与的数量关系是：________． (2)如图2，当点在的延长线上时，将线段沿方向平移，点的对应点正好落在的延长线上． ①求证：平分； ②试探究与，的等量关系，并说明理由．（用平行线的知识解答） 【答案】(1) (2)①详见解析；②，理由见解析 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，三角形的外角性质等知识，解题的关键是掌握平移的性质． （1）根据平移可得：，，进而得到，，结合，即可求解； （2）①根据平移可得：，，进而得到，，结合，即可证明；②由，可得，再根据三角形的外角性质和对顶角即可求解． 【详解】（1）解：根据平移可得：，， ，， ， ， 故答案为：； （2）①根据平移可得：，， ，， ， ， 平分； ②， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 相交线与平行线40道压轴题型专训（8大题型） 【题型目录】题型一 相交线压轴题 题型二 平行线的判定压轴题 题型三 平行线的性质压轴题 题型四 利用平行线的性质探究角的关系 题型五 平行线中动点问题 题型六 平行线中的翻折问题 题型七 平行模型 题型八 利用平移的性质解决问题 【经典例题一 相交线压轴题】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）已知直线，相交于点，平分，射线于点，且，则 ． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图1，，射线在平面内． (1)如图，垂直，平分，则的度数为______； (2)若与互补，求的大小； (3)若射线绕点O从射线的反向延长线的位置出发，以每秒的速度顺时针旋转；同时射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转，各自旋转后停止转动，请直接写出使得射线，，中某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线的时间______． 3．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，直线与直线交点O，，平分． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，，在直线的下方，若平分，平分，，求的度数． 4．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图1，是直线上的一点，，平分．    (1)若，求的度数； (2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置． ①探究和的度数之间的关系，并说明理由； ②在的内部有一条射线，内部有一条射线，且，试确定与的度数之间的关系，并说明理由． 5．（2022七年级上·江苏·专题练习）直线相交于点于点，作射线，且在的内部． (1)当点在直线的同侧； ①如图1，若，求的度数； ②如图2，若平分，请判断是否平分，并说明理由； (2)若，请直接写出与之间的数量关系． 【经典例题二 平行线的判定压轴题】6．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，，平分． (1)求证：； (2)若射线绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转得到，同时，射线绕点C以每秒的速度顺时针方向旋转得到，和交于点P，设旋转时间为t秒． ①当时，请写出与之间的数量关系，并说明理由； ②当时，若，请直接写出t的值． 7．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）若将一副三角板按如图1所示的方式放置（其中，，），将三角形固定不动，三角形绕点逆时针旋转，旋转角为．    (1)如图2，若，则 ， ． (2)如图3，若于点，则与平行吗？请说明理由． (3)如图4，若，则图中有哪两条线平行？请说明理由． 8．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，直线，交于点O，，分别平分和． (1)若，求的度数． (2)在（1）的条件下，若，吗？请说明理由． 9．（2023·山西忻州·模拟预测）小明想知道作业纸上两条相交直线，所夹锐角的大小（如图1）．但发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．小明设计了如下方案（如图2）：    ①作直线分别交，于点，，以点为顶点，为一边，在直线的右侧作； ②测量的度数即可得到直线，所夹锐角的大小． 问题1：你认为小明的方案可行吗？并说明理由． 问题2：你还有其他方法吗？请在图1中画图说明．（测量工具：直尺、量角器） 10．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线和被直线所截．    (1)如图1，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足______时， ，并说明平行的理由； (2)如图2，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足______时，，并说明平行的理由； (3)如图3，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足______时，，并说明平行的理由． 【经典例题三 平行线的性质压轴题】 11．（23-24七年级下·湖北随州·期末）如图，直线，直线与分别交于点．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线上，．    (1)若，则＿＿＿＿＿＿＿； (2)若，射线在内交直线于点，如图②．当N、M分别在点G、H的右侧，且时，求的度数； (3)小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点N、M分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示） 12．（23-24七年级下·重庆巴南·阶段练习）如图所示，，的顶点E，F分别在直线、直线上，点在直线与直线之间，平分． (1)如图1，平分，，则的度数． (2)如图2，已知点为延长线上一点，且，请用含的式子表示的度数，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，当首次旋转到直线上时，立刻绕点逆时针以原速旋转，当旋转到直线上时，两个三角形同时停止旋转，请直接写出当时的旋转时间的值． 13．（23-24七年级下·四川南充·期中）已知，点、分别是、上的两点，点在、之间，连接、 (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数； (3)如图，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 14．（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）如图1、图2，直线，被射线所截，且，是射线上的定点，点在射线上，连接，过点作，与直线交于点，且． (1)如图1，当点与点重合时，求的度数； (2)若点在线段上（点不与点，重合）． ①依题意，在图2中补全图形； ②猜想与之间的数量关系，并证明； (3)当点在线段的延长线上，且时，求的度数． 15．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，，点在上（点在点的左侧），点在上（点在点的左侧），．点在线段上，点在上，交于点，，    图1                 图2 (1)求证： (2)如图1，点在线段的延长线上，求的度数（用含的代数式） (3)点在射线上，的角平分线和的角平分线交于点，直接写出之间的数量关系 【经典例题四 利用平行线的性质探究角的关系】 16．（24-25七年级下·陕西西安·期中）已知：直线分别交直线，于点G，H，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点M，N分别在射线，上，点P，Q分别在射线，上，连接，，且，分别延长，交于点K，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若平分，且平分，若，请直接写出的度数． 17．（23-24七年级下·广东广州·期中）一个优秀的现代城市必定蕴含科技、人文、生态三大内涵． 结合广州的规划目标和照明现状历史文化底蕴和现代化大都会地位，自2011年创办的“广州国际灯光节”，现与法国、悉尼并列为世界三大灯光节． 广州采用"政府搭台、企业唱戏"的市场 化模式，通过整合现有市场资源、引导企业参与，走市场化道路来举办年度公共文化盛事． 2023 年的广州国际灯光节分三大版块：“炫美湾区”、“光耀羊城”和“智造未来”． 为保障市民游客安全有序、顺利参与，在广场两侧各安置了灯带，不间断地交叉照射巡视．如图 1，灯射线自逆时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至 便立即回转．若灯转动的速度是/秒，灯转动的速度是/秒． 假定广场两侧的灯带是平行的，即，且． (1)当时，灯射线经过多少秒，第一次照射到灯； (2)若，，且两灯同时转动．设两灯转动的时间为秒，若满足两灯的射线光束互相平行，求此时对应的； (3)两灯以（2）中的速度同时转动，如图2，在灯射线到达之前，若射出的光束交于点． ①______________（用含的代数式表示）； ②作，请求出与的数量关系． 18．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）（）问题情境：图中，，，，求的度数.小明的思路是：过作，通过平行线性质来求.按小明的思路，易求得的度数为_________；（直接写出答案） （）问题探究：图中，，为之间一点，连接，试探究与，之间的数量关系； （）图中，，，，求的度数. 19．（23-24七年级下·北京大兴·期中）如图1，，若点为平面内一动点（点不在直线和直线上），连接，过点作，且点在点的右侧． (1)当点运动到如图2所示位置时，求证：； (2)直接用等式表示出，，之间存在的所有数量关系． 20．（23-24七年级下·北京·期中）已知：为平面内点． (1)如图1，连接，已知 ； (2)如图2，求证：； (3)如图3，当点在直线之间时，于平分，连接，使，设，直接写出与之间的数量关系． 【经典例题五 平行线中动点问题】21．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）如图，直线与的两边交于，两点，，点是边上一个动点，连接． (1)过点B作，交射线于点D，依题意补全图形， ①直接写出的度数（用含α的式子表示）； ②若点E，F在，的延长线上，并且直线，当平分时，求的度数（用含α的式子表示）；小林在思考这道题时，想到过点D作交射线于点H，通过转化角可以求出的度数．你可以利用小林的思路解答此题也可以独立思考求出的度数． (2)参考小林思考问题的方法，解决问题：若点E，F在，的延长线上，并且直线，当点D在上运动时，直接用含α的等式表示，，的数量关系． 22．（23-24七年级下·江苏南京·期中）如图1，直线与直线，分别相交于点，三条直线把平面分成①，②，…，⑥六个区域．规定：三条直线上的点不属于任何一个区域．当任意一点落在某个区域时，连接，，可得到，，． (1)如图2，当动点落在区域④时，如果，那么与平行吗？请说明理由； (2)如图3，当动点落在区域③时，，，三角满足什么等量关系时，？（请说明理由） (3)如果直线，试探究动点落在______区域时，存在． 23．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，已知，平分交于E点，点F是上一动点（点F在的上方）．          (1)如图1，当时，若，求的度数； (2)如图2，当时，判断与数量上有何关系？并说明理由； (3)若，，分别作和的平分线和且交于点G，如图3，求出的度数（用含和的式子表示）． 24．（2024七年级下·全国·专题练习）已知直线，点是直线上的一个动点（不与点重合），平分，交直线于点． (1)如图，当点在点左侧时，若，请直接写出的度数，不必说明理由； (2)若，平分，交直线于点． ①如图，若点在点左侧运动时，的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由； ②与之间存在怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由． 25．（23-24七年级下·北京·期中）已知点A，B，C，D，E均为定点，直线，点P为射线上一个动点（点P不与点A重合），连接， (1)如图1，当点P在线段上时，若，，直接写出 的度数； (2)点M为直线下方的动点，连接，平分， ①如图2，当点P在线段上时，连接，若平分，用等式表示与之间的数量关系，并证明； ②如图3，当点P在直线的下方运动时（点P在射线上），射线平分，点K在直线的下方，且满足射线，若，请直接写出的度数． 【经典例题六 平行线中的翻折问题】 26．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图1，在一张正方形纸片（正方形的两组对边分别平行）的两边上分别有A，B两点，连接，点P是正方形纸片上一点，过点P翻折纸片，使点B落在直线上的点处，折痕交于点Q．    (1)①判断折痕与的位置关系，并说明理由； ②通过不断地尝试，除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是_______； (2)在图1的基础上，展平纸片，得到图2，在图2中过点P折出并画出与平行的折痕（折痕左端点记为点D，右端点记为点E），请简要阐述折叠方法并说明理由； (3)将图2的纸片展平得到图3，点S是线段上一动点（不与点E重合），若，，，请直接写出的度数．（用、β的代数式表示） 27．（2025七年级下·全国·专题练习）在综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．已知直线，直角三角板． (1)小明将三角板按如图1方式摆放，点在上，边与交于点．若，则________°． (2)小亮将三角板按如图2方式摆放，点分别在上，的平分线与的平分线交于点．若，求的度数． (3)小颖将图2中的三角板进行适当转动，点仍然分别在上．如图3，再将沿边翻折，边的对应边与交于点，小颖给出下列两个结论： ①的值不变； ②的值不变． 其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？请说明理由． 28．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）已知：在图图中，，点，点，点与，在同一平面内． (1)探究与表达请直接写出： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，，，的数量关系； (2)推导与应用如图，将长方形纸片沿折叠，已知，求的度数． 29．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数学活动课上，琳琳同学将一张长方形纸条沿折叠，点落在点处． (1)如图，她通过测量发现：，请你证明她的结论； (2)如图，点在上，点在上，连接，，将四边形沿所在直线折叠得到，交于，点的对应点落在点处，点的对应点落在点处．她通过测量发现：，请你证明她的结论． (3)如图，在（）的条件下，将四边形沿向上折叠得到四边形，点的对应点恰好落到上的点处，点落到点处，猜想，与的数量关系，并证明你的结论． 30．（23-24七年级下·福建三明·期中）综合与实践： 七年级下册第二章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学—长方形纸条的折叠与平行线 (1)知识初探 如图1，长方形纸条中，，，．将长方形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②试猜想和之间的数量关系，并进行说明． (2)类比再探 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点落在处，得到折痕，点、、、在同一条直线上，则折痕与有怎样的位置关系?请说明理由． 【经典例题七 平行模型】 31．（24-25七年级下·浙江·期中）如图1，点在上，，． (1)求证：； (2)如图2，，平分，与的平分线交于点，若比大，求的度数． (3)在（1）的结论下，保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分，平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 32．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【阅读理解】如图①，与的边与互相平行，另一组边、交于点E，且点E在、之间，且在直线右侧，试说明：． 老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空（理由或数学式）． 解：如图②，过点E作． ∴（    ）． ∵（    ） ∴（    ）． ∴． ∴．（    ） ∴． ［理解应用]如图③，当图①中的点E在直线右侧时，其它条件不变，若．求与的和． ［拓展] 与的边与互相平行，且点B、D在直线同侧，另一组边、交于点E，且点E在、之间．若的角平分线与的角平分线交于点F，设，请借助图①和图③，用含的代数式直接写出的度数． 33．（23-24八年级上·山东济南·期末）【阅读探究】 （1）如图1，，，分别是，上的点，点在，两平行线之间，，，求的度数． 解：过点作， 所以______． 因为， 所以， 所以______． 因为，， 所以． （2）从上面的推理过程中，我们发现平行线可将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中，和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之问的数量关系为______． 【方法应用】 （3）如图2，，，分别是，上的点，点在，两平行线之间，，，求的度数． 【应用拓展】 （4）如图3，，，分别是，上的点，点在，两平行线之间，作和的平分线，，交于点（交点在两平行线，之间），若，则的度数为______°（用含的式子表示）． 亲爱的同学，祝贺你已经完成了本次考试的所有题目，如果你还有时间，希望挑战一下自己，可以尝试完成下面两道题目，请注意，以下题目的分数不计入总分． 34．（23-24七年级上·四川眉山·期末）（1）【问题解决】如图1，已知，，，求的度数； （2）【问题迁移】如图2，若，点P在的上方，则，，之间有何数量关系？并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，求的度数（结果用含的式子表示）． 35．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图1，，点为直线间一点，点E，F分别是直线上的点，连接.      (1)【证明推断】求证：，请完善下面的证明过程，并在（    ）内填写依据. 证明：过点P作直线， （已作）， （______）， 又，（已知） ______，（______） ， ______. (2)如图2，若的平分线与的平分线交于点. ①【类比探究】试猜想与之间的关系，并说明理由； ②【结论运用】若，求的度数. (3)【拓展认知】如图3，直线，点P，H为直线间的点，请直接写出，，，的数量关系：______. 【经典例题八 利用平移的性质解决问题】 36．（24-25七年级上·全国·假期作业）如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)分别求和的度数； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点在三角形的内部，三角形平移到三角形后，点的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，请直接写出的长度． 37．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图1，长方形的边在数轴上，O为原点，长方形的面积为30，边长为5． (1)数轴上点A表示的数为__________； (2)将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S． ①当S恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为__________； ②设移动距离． ⅰ）当时，__________； ⅱ）D为线段的中点，点E在线段上，且，当点D表示的数是点E表示的数的2倍时，求x的值． 38．（2024七年级上·上海·专题练习）探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 39．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，在四边形中，于点．     (1)如图，延长交的延长线于点，延长至点，连接，使得，求的度数； (2)如图，连接，，延长至点，使得平分．将三角形沿射线方向平移，使点的对应点在的延长线上，点，点的对应点分别为点，点，作于点． 若，请在图中找出一条线段的长度与相等，并说明理由； 当，，时，判断和的大小关系，并说明理由． 40．（23-24七年级下·山西吕梁·期中）综合与实践 如图1，在三角形中，，点是上一点，将线段沿方向平移，点的对应点是，点的对应点正好落在上． (1)如图1，与的数量关系是：________． (2)如图2，当点在的延长线上时，将线段沿方向平移，点的对应点正好落在的延长线上． ①求证：平分； ②试探究与，的等量关系，并说明理由．（用平行线的知识解答） 学科网（北京）股份有限公司 $$