专题05 平行线中五大基本模型重难点题型专训（5大题型+20道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版2024）

专题05 平行线中五大基本模型重难点题型专训（5大题型+20道提优训练） 题型一 平行线基本模型之M模型 题型二 平行线四大模型之铅笔模型 题型三 平行线四大模型之“鸡翅”模型 题型四 平行线四大模型之“骨折”模型 题型五 平行线基本模型的拓展 【经典例题一 平行基本模型之M模型】 【结论1】若AB∥CD，则∠B0C=∠B+∠C 【结论2】若∠BOC=∠B+∠C，则AB∥CD. 【结论3】如图所示，AB∥EF，则∠B＋∠D=∠C十∠E 朝向左边的角的和=朝向右边的角的和 锯齿模型的变换解题思路 拆分成猪蹄模型和内错角 拆分成2个猪蹄模型 【例1】如图所示，如果 AB ∥ CD ，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（   ） A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180° C．∠α+∠β－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°[ 1．（24-25七年级上·四川眉山·期末）已知直线，点在直线之间，连接．下面结论正确的个数为（   ） ①如图1，若，，则； ②如图2，点在之间，当，，则； ③如图2，点在之间，当，，则； ④如图3，的角平分线交于，且，点在直线之间，连接，，，，则和的关系为（用含的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，与的角平分线相交于点F． (1)如图①，若分别是和的角平分线，且，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)若，请直接写出与之间的数量关系． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）（1）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本中的一道习题： 如图①，如果，那么（  ）           【类比探究】 （2）在同学们解答完这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图②，不变，当点移动到点的位置时，请写出，，之间的等量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）善于思考的南南同学也对这道题进行了改编：如图③，将图①的部分与图②重合，不变，当，分别平分和时，请写出与之间的等量关系，并说明理由． 【经典例题二 平行线四大模型之铅笔模型】 【例2】【结论1】如图所示，AB∥CD，则∠B+∠BOC+∠C=360° 【结论2】如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB∥CD. 变异的铅笔头：拐点数n,∠A+...+∠C=180°×（n+1） 拐点数：1 拐点数：2 拐点数：n 【例2】如图，，则下列说法中一定正确的是　　    A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·山西吕梁·阶段练习）综合与实践： 【图形感知】： 如图，，点在直线上，点在直线上，点为，之间一点 （1）如图，，该基本图形称为“铅笔头型”（实线部分），它有一个常用数学结论：，它可以通过如下方法证明，请你帮忙完成该结论的推理过程． 证明：如图，过点作， ∵，（已知）， ∴__________（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴，（__________） ∴（等式性质）， ∴， （2）如图，，该基本图形称为“型”（实线部分），仿照上面的结论推理，，之间的关系； 【综论应用】： 直接利用上述结论进行证明； （3）如图，直线，点，在直线上，点，在直线上，直线，分别平分，，且交于点，与相交于点．猜想并证明与的数量关系． 5．（23-24七年级下·山西运城·期中）综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题．归纳模型：若，如图①“”型和如图②铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图①，，之间的数量关系是________． （2）如图②，，之间的数量关系是________． 【问题迁移】 （3）如图③，，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． （4）如图④，，、分别是、的角平分线，探索、之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图⑤，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点落在直线上，过点作直线，且满足． （5）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 6．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）【图形感知】 如图1，，点在直线上，点在直线上，点为、之间一点．      （1）如图2，该基本图形称为“铅笔头型”（实线部分），它有一个常用数学结论：，它可以通过如下方法证明，请你帮忙完成该结论的推理过程． 证明：如图①，过点作， ∵，（已知）， ∴_________（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴，， ∴（等式性质） ∴． （2）如图3，该基本图形称为“型”（实线部分），仿照上面结论的推理思路可得、、之间的关系是________； 【结论应用】直接利用上述结论进行证明； （3）如图4，直线，点，在直线上，点，在直线上，直线，分别平分，，且交于点．猜想并证明与的数量关系． 【拓展延伸】 （4）如图5，已知，与两个角的角平分线相交于点． 若，，设，________．（用含有，的代数式表示） 【经典例题三 平行线四大模型之“鸡翅”模型】 【例3】①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知，，，则 °． 8．（24-25七年级下·广东东莞·期中）（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．    9．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，    (1)求证：： (2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出　 　． 【经典例题四 平行线四大模型之“骨折”模型】 【例4】如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为__________． 10．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线，P为平面内一点，连接． (1)如图1，已知，求的度数； (2)如图2，判断之间的数量关系为 　　． (3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 11．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间． （1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA； （2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE； （3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数． 12．（24-25七年级下·重庆九龙坡·期末）已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上． （1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：　 ；（不需要证明） 如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：　 ；（不需要证明） （2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数； （3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数． 【经典例题五 平行线基本模型的拓展】 【例5】如图，． (1)如图1，请探索，，三个角之间的数量关系，并说明理由； (2)已知． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，若和的平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 13．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）已知直线，点P是上方一点，E是上一点，F是上一点连接、． (1)如图①，求证： (2)如图②，，的平外线所在直线交于点Q，若，求的度数． (3)如图③，、的平分线交于H点，且，直接写出___． 14．（23-24六年级下·山东济南·期末）如图，已知． (1)感知与探究： 如图1，已知请求出的度数； (2)问题迁移： 如图2，、分别是的角平分线，的反向延长线与相交于点F，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)联想拓展： 在（2）的条件下，若，则的度数是_____________． 15．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）【猜想】（1）如图1，，点E在直线之间，连，若，则的大小为 度．（直接写出结果） 【探究】（2）如图2，，交于点E，探究 （均为小于的角）之间的数量关系，并说明理由． 【拓展】（3）如图3，，的平分线与的角平分线的反向延长线交于点F，且，直接写出的大小为 ． 1．（24-25七年级上·吉林长春·期末）已知如图， ①由图（1）易得、、的关系_______（直接写结论）； ②由图（2）试猜想、、的关系并说明理由； [延伸拓展] 利用上面（1）（2）得出的结论完成下题 ③已知，，，．若，则______°． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，求的度数． 3．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．    (1)如图1，，点在、内部，，则　　　　； (2)如图2，，点在、外部（的下方），则之间的数量关系为　　　　； (3)如图3，直接写出之间的数量关系为　　　　，并证明． 4．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）（1）如图①，，则________； 如图②，，则________，请你说明理由； （2）如图③，，则________； （3）利用上述结论解决问题：如图④，，和的平分线相交于点F，，求的度数． 5．（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，，点E为两直线之间的一点． (1)如图1，若，，则_______； (2)如图2，试说明，； (3)如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由． 6．（23-24八年级上·山西运城·期末）已知，直线，点P为平面上一点，连接与． (1)如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数． (2)如图2，点P在直线，之间，与的角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点P落在外． ①直接写出、、的数量关系为______． ②与的角平分线相交于点K，请直接写出与的数量关系为______． 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线，点P为平面内一点（不在两条直线上）． (1)如图①，若点P在直线与之间，且，，求的度数； (2)如图②，若点P在直线上方，且，． ①求的度数； ②如图③，的平分线和的平分线交于点G，求的度数． 8．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明） 9．（24-25七年级下·北京·期中）如图，已知，E、F分别在、上，点G在、之间，连接、． (1)当，平分，平分时： ①如图1，若，则的度数为 ； ②如图2，在的下方有一点Q，平分，平分，求的度数； (2)如图3，在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 10．（24-25八年级上·重庆·开学考试）如图，，点，，，不在同一条直线上． (1)如图1，求证：； (2)如图2，直线，交于点，且，， ①试探究与的数量关系； ②如图3，延长交射线于点，若，，求的度数（用含的式子表示）． 11．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系： 　； (2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 12．（2024九年级·河南郑州·专题练习）[课题学习]： 平行线的“等角转化”功能． （1）[阅读理解]： 如图1，已知点是外一点，连接，，求的度数． 阅读并补充下面推理过程． 解：过点作，所以 ， 又因为 所以 （2）[方法运用]： 如图2，已知，求的度数． （3）[深化拓展]： 已知，点在的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间． ①如图3，若，则 ° ②如图4，点在点的右侧，若，则 °（用含的代数式表示） 13．（24-25七年级下·江苏南通·期中）线段与线段互相平行，点是平面内的一点，且点不在直线上． (1)连接，如图1，，求的度数．小紫的思路是： 如图2，过点作，通过平行线性质可求的度数．请你按小紫的思路，写出度数的求解过程； (2)若点在线段上，如图3，射线分别是和的平分线． ①依题意补全图3； ②判断与的位置关系，并证明； (3)连接，射线分别是和的平分线．是否存在点，使若存在，直接写出点的位置；若不存在，说明理由． 14．（23-24七年级下·重庆南岸·期末）已知：． (1)如图1，点在，之间，请说明； (2)如图2，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，请直接用等式表示，，，，之间的数量关系 15．（23-24七年级下·吉林长春·开学考试）问题背景：如图①，已知，点P的位置如图所示，连接，求证：． 类比探究：如图②，已知点D在直线上，线段与相交于点F，点B在点A右侧．若，则的度数为              °． 拓展延伸：如图③，已知，若与的角平分线相交于点F，直接写出与之间的数量关系． 16．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）已知直线，点E在直线，之间，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，过点E作，探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，F为直线，之间一点，连接，，，，求出与之间的数量关系； (3)当点E，F，G在直线，之间的位置如图3所示时，直接写出，，，，之间的数量关系：_________． 17．（24-25八年级上·北京·期末）如图，已知直线，M，N分别是直线，上的点． (1)在图1中，判断，和之间的数量关系，并证明你的结论； (2)在图2中，请你直接写出，和之间的数量关系（不需要证明）； (3)在图3中，平分，平分，且，求的度数． 18．（24-25七年级下·云南昭通·期中）据图解答下列各题． (1)如图1，已知，求证：； (2)如图2，已知，，若，求的值． 19．（24-25七年级下·山东临沂·期中）【问题发现】 如图①，直线，点在与之间，连接，可以发现． 请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作， ，， （______）． （______）． （辅助线作法）， ______（______）． ______（等量代换）． 即． 【拓展探究】 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：，，之间的关系是______． 【解决问题】 如图③，，，求出的度数． 20．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)提出问题：如图1，若，点P在内部，求证：； (2)探索发现：将图1中直线绕点B逆时针方向转一定角度得，交直线于点Q（如图2），结合（1）中的结论，直接写出之间的数量关系； (3)拓展应用：如图3，交于点M，交于点N．已知，结合（2）中的结论计算，＿＿＿． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平行线中五大基本模型重难点题型专训（5大题型+20道提优训练） 题型一 平行线基本模型之M模型 题型二 平行线四大模型之铅笔模型 题型三 平行线四大模型之“鸡翅”模型 题型四 平行线四大模型之“骨折”模型 题型五 平行线基本模型的拓展 【经典例题一 平行基本模型之M模型】 【结论1】若AB∥CD，则∠B0C=∠B+∠C 【结论2】若∠BOC=∠B+∠C，则AB∥CD. 【结论3】如图所示，AB∥EF，则∠B＋∠D=∠C十∠E 朝向左边的角的和=朝向右边的角的和 结论3的模型也称为锯齿模型； 锯齿模型的变换解题思路 拆分成猪蹄模型和内错角 拆分成2个猪蹄模型 【例1】如图所示，如果 AB ∥ CD ，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（   ） A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180° C．∠α+∠β－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°[ 【答案】C 【分析】过E作EF∥AB，由平行线的质可得EF∥CD，∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系． 【详解】解：过点E作EF∥AB， ∴∠α+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FED=∠EDC（两直线平行，内错角相等）， ∵∠β=∠AEF+∠FED， 又∵∠γ=∠EDC， ∴∠α+∠β-∠γ=180°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键． 1．（24-25七年级上·四川眉山·期末）已知直线，点在直线之间，连接．下面结论正确的个数为（   ） ①如图1，若，，则； ②如图2，点在之间，当，，则； ③如图2，点在之间，当，，则； ④如图3，的角平分线交于，且，点在直线之间，连接，，，，则和的关系为（用含的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质．①过点P作，则，根据平行线的性质即可求解；②过点P作，过点Q作，则，，结合，即可得到结论；③过点P作，过点Q作，则，，结合，即可得到结论；④过点P作，则，可得，过点N作，可得，即，结合，，可得，进而可得结论． 【详解】解：①过点P作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；①正确； ②点P作，过点Q作，则，， ∴， ∴，即， 同理：， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，②正确； ③过点P作，过点Q作，则，， ∴， ∴，即， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴，即，③正确； ④过点P作，则， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴ 过点N作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，④正确． 综上，正确的有4个， 故选：D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，与的角平分线相交于点F． (1)如图①，若分别是和的角平分线，且，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)若，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的计算，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质． （1）首先作，，，利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义得到，从而得到的度数，再根据角平分线的定义可求的度数； （2）先由已知得到，，由（1）得，，等量代换即可求解； （3）由（2）的方法可得到． 【详解】（1）解：作，，，如图所示． ， ， ， ， ． ， ． 和的角平分线相交于点F， ， ． 分别是和的角平分线， ，， ， ． （2），， ，． 与两个角的角平分线相交于点F， ，， ． ， ， ． （3）． 由（2）结论可得， ， 则． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）（1）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本中的一道习题： 如图①，如果，那么（  ）           【类比探究】 （2）在同学们解答完这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图②，不变，当点移动到点的位置时，请写出，，之间的等量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）善于思考的南南同学也对这道题进行了改编：如图③，将图①的部分与图②重合，不变，当，分别平分和时，请写出与之间的等量关系，并说明理由． 【答案】（1）C；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质及角平分线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质及等式的的性质求解即可； （2）过点作，再根据平行线的性质与判定求解； （3）利用（1）（2）的结论及角平分线的定义求解． 【详解】解：（1）， ，， ， 故选：C； （2）． 理由：过点作，点在点的左侧， ． ， ， ， ； （3）． 理由：，分别平分和， ，． 由（1）可得， ， 即． 由（2）可得， ． 【经典例题二 平行线四大模型之铅笔模型】 【例2】【结论1】如图所示，AB∥CD，则∠B+∠BOC+∠C=360° 【结论2】如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB∥CD. 变异的铅笔头：拐点数n,∠A+...+∠C=180°×（n+1） 拐点数：1 拐点数：2 拐点数：n 【例2】如图，，则下列说法中一定正确的是　　    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题要作辅助线，过点作，则根据平行线的传递性，得．先利用，可得，即，再利用，可得，而，整理可得：． 【详解】解：过点作，    ， ， ，， 又， ， ． 故选：B． 【点睛】注意此类题要作的辅助线：构造平行线．根据平行线的性质即可找到三个角之间的关系． 4．（23-24七年级下·山西吕梁·阶段练习）综合与实践： 【图形感知】： 如图，，点在直线上，点在直线上，点为，之间一点 （1）如图，，该基本图形称为“铅笔头型”（实线部分），它有一个常用数学结论：，它可以通过如下方法证明，请你帮忙完成该结论的推理过程． 证明：如图，过点作， ∵，（已知）， ∴__________（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴，（__________） ∴（等式性质）， ∴， （2）如图，，该基本图形称为“型”（实线部分），仿照上面的结论推理，，之间的关系； 【综论应用】： 直接利用上述结论进行证明； （3）如图，直线，点，在直线上，点，在直线上，直线，分别平分，，且交于点，与相交于点．猜想并证明与的数量关系． 【答案】（）；两直线平行，同旁内角互补；（），理由见解析；（），理由见解析． 【分析】（）根据平行公理求出，根据“两直线平行，同旁内角互补”求出 ，，再根据角的和差求解即可； （）根据平行公理求出，根据“两直线平行， 内错角相等”求出，，再根据角的和差求解即可； （）结合（）结论及角平分线定义求解即可； 本题考查了平行线的判定与性质，平行公理和角平分线的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（）如图，过点作， ∵，（已知）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴，（两直线平行，同旁内角互补） ∴（等式性质）， ∴， 故答案为：；两直线平行，同旁内角互补； （）如图， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （），理由如下： 由（）得，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 5．（23-24七年级下·山西运城·期中）综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题．归纳模型：若，如图①“”型和如图②铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图①，，之间的数量关系是________． （2）如图②，，之间的数量关系是________． 【问题迁移】 （3）如图③，，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． （4）如图④，，、分别是、的角平分线，探索、之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图⑤，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点落在直线上，过点作直线，且满足． （5）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5），理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、等角的余角相等，作平行线求解是解答的关键． （1）过E作，则，根据平行线的性质证明，即可作出判断； （2）过E作，则，根据平行线的性质证明，，进而可作出结论； （3）先根据角平分线定义得到，，再根据（1）和（2）中结论可作出判断； （4）根据角平分线的定义得到，，再根据（1）中结论可作出判断； （5）过C作，根据平行线的性质和等角的余角相等得到，则有，进而可得结论． 【详解】解：（1）如图①，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）如图2，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图③， ∵，分别是，的角平分线， ∴，， 由（1）得， 由（2）得， ∴， 则， 故答案为：； （4）如图④，∵、分别是、的角平分线， ∴，， ∴， 由（1）得，， ∴， 故答案为：； （5），理由： 如图⑤，过C作，则， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∴ 6．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）【图形感知】 如图1，，点在直线上，点在直线上，点为、之间一点．      （1）如图2，该基本图形称为“铅笔头型”（实线部分），它有一个常用数学结论：，它可以通过如下方法证明，请你帮忙完成该结论的推理过程． 证明：如图①，过点作， ∵，（已知）， ∴_________（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴，， ∴（等式性质） ∴． （2）如图3，该基本图形称为“型”（实线部分），仿照上面结论的推理思路可得、、之间的关系是________； 【结论应用】直接利用上述结论进行证明； （3）如图4，直线，点，在直线上，点，在直线上，直线，分别平分，，且交于点．猜想并证明与的数量关系． 【拓展延伸】 （4）如图5，已知，与两个角的角平分线相交于点． 若，，设，________．（用含有，的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）利用平行线的性质即可得证； （2）由（1）得到，再结合邻补角的定义即可得到结论； （3）结论：．利用上面结论以及角平分线的定义证明即可． （4）设，，得，，继而得到，，由（1）知： ，，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图①，过点作， ∵，（已知）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴，， ∴（等式性质） ∴． 故答案为：； （2）解：． 理由：由（1）知：， ∵，， ∴ ∴， 故答案为：； （3）与的数量关系：． 证明：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 即； （4）解：设，， ∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义，对顶角相等，角的和差等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用（1）中的结论解决问题． 【经典例题三 平行线四大模型之“鸡翅”模型】 【例3】①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①过点E作直线EFAB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论； ②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断； ③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A； ④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可． 【详解】解： ①如图1，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠B+∠AEC＝360°， 故①错误； ②如图2，∵∠1是△CEP的外角， ∴∠1＝∠C+∠P， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠1， 即∠P＝∠A﹣∠C， 故②正确； ③如图3，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2， ∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°， 即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A， 故③错误； ④如图4，∵AB∥EF， ∴∠α＝∠BOF， ∵CD∥EF， ∴∠γ+∠COF＝180°， ∵∠BOF＝∠COF+∠β， ∴∠COF＝∠α﹣∠β， ∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°， 故④正确； 综上结论正确的个数为2， 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 7．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知，，，则 °． 【答案】【感知探究】证明见解析；【类比迁移】；【结论应用】20 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质可求解； （2）如图②，过作，根据平行线的性质即可得到结论； （3）如图③，过作，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图①，过点作， 则， 又∵， ∴， ， ， 即； （2）解：． 证明：如图②，过作， ， ∵， ∴， ， ， 即：． 故答案为：； （3）如图③，过作， ， ∵， ∴， ， ， 故答案为：20． 8．（24-25七年级下·广东东莞·期中）（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．    【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）图（3），图（4） 【分析】（1）过点P作，得到，由，，得到，得到，由此得到； （2）过点P作，由，得到，从而得到结论； （3）由，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得与的关系． 【详解】（1）解：猜想． 理由：过点P作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）． 理由：如图，过点P作，    ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图（3）：． 理由：∵，    ∴， ∵， ∴， 即； 如图（4）：． 理由：∵，    ∴， ∵， ∴， 即． 【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解题的关键． 9．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，    (1)求证：： (2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出　 　． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点C作，则，根据平行线的性质可得出、，据此可得； （2）过点Q作，则，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出，结合（1）的结论可得出； （3）由（2）的结论可得出①，由可得出②，联立①②可求出的度数，再结合（ 1）的结论可得出的度数，将其代入中可求出结论． 【详解】（1）在图①中，过点C作，则．    ∵， ∴， ∴． （2）在图2中，过点Q作，则．    ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、添加辅助线构建平行线． 【经典例题四 平行线四大模型之“骨折”模型】 【例4】如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为__________． 【答案】57° 【分析】根据三角形内角和180°以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位角相等；2、如果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线平行，那么它们的内错角相等，据此计算即可． 【详解】解：设AE、CD交于点F， ∵∠E＝37°，∠C＝ 20°， ∴∠CFE=180°-37°-20°=123°， ∴∠AFD=123°， ∵AB∥CD， ∴∠AFD+∠EAB=180°， ∴∠EAB=180°-123°=57°， 故答案为：57°． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键． 10．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线，P为平面内一点，连接． (1)如图1，已知，求的度数； (2)如图2，判断之间的数量关系为 　　． (3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先过点P作，则可得，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解； （2）作，可得，根据平行线的性质，即可证得； （3）先证明，利用（2）的结论即可求解． 【详解】（1）解：∵， 过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴； ∴； （3）解：设交于O，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 11．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间． （1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA； （2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE； （3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°． 【分析】（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解； （2）由两直线平行，同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由邻补角定义得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代换即可得解； （3）由平行线的性质得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分线的定义及平行线的性质得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根据三角形的内角和是180°即可求解． 【详解】解：（1）证明：如图1，过点A作AD∥MN， ∵MN∥PQ，AD∥MN， ∴AD∥MN∥PQ， ∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB， ∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA， 即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA； （2）如图2，∵CD∥AB， ∴∠CAB+∠ACD＝180°， ∵∠ECM+∠ECN＝180°， ∵∠ECN＝∠CAB ∴∠ECM＝∠ACD， 即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE， ∴∠MCA＝∠DCE； （3）∵AF∥CG， ∴∠GCA+∠FAC＝180°， ∵∠CAB＝60° 即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°， ∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA， 由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP， ∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN， ∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF， 又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN， ∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°， ∴∠GCA﹣∠ABF＝60°， ∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°， ∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA ＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF ＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF ＝120°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本题的关键． 12．（24-25七年级下·重庆九龙坡·期末）已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上． （1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：　 ；（不需要证明） 如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：　 ；（不需要证明） （2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数； （3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数． 【答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30° 【分析】（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解； （2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，进而可求解； （3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=∠BME，进而可求解． 【详解】解：（1）过E作EH∥AB，如图1， ∴∠BME＝∠MEH， ∵AB∥CD， ∴HE∥CD， ∴∠END＝∠HEN， ∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END， 即∠BME＝∠MEN﹣∠END． 如图2，过F作FH∥AB， ∴∠BMF＝∠MFK， ∵AB∥CD， ∴FH∥CD， ∴∠FND＝∠KFN， ∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND， 即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND． 故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND． （2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND． ∵NE平分∠FND，MB平分∠FME， ∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END， ∵2∠MEN＋∠MFN＝180°， ∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°， ∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°， 即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°， 解得∠BMF＝60°， ∴∠FME＝2∠BMF＝120°； （3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°． 由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END， ∵EF平分∠MEN，NP平分∠END， ∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END），∠ENP＝∠END， ∵EQ∥NP， ∴∠NEQ＝∠ENP， ∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME＋∠END）﹣∠END＝∠BME， ∵∠BME＝60°， ∴∠FEQ＝×60°＝30°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键． 【经典例题五 平行线基本模型的拓展】 【例5】如图，． (1)如图1，请探索，，三个角之间的数量关系，并说明理由； (2)已知． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，若和的平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)．理由见解析 (2)①；② 【分析】（1）过点作，结合，利用平行线的性质，结合角的和的意义计算即可． （2）①过点作，结合，得到，利用平行线的性质，结合（1）的结论变形计算即可． ②过作，而，则，利用平行线的性质解答即可． 本题考查了利用平行线探究角的之间关系，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，，三个角之间的数量关系是：． 理由如下： 过点作， ， ， ，， ， 即：． （2）解：①过点作， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， 即：， ，， ． ②解：与的数量关系是：． 理由如下： 为的平分线，为的平分线， ，， 过作，而， ， 则 设， 则， 故， 故． 13．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）已知直线，点P是上方一点，E是上一点，F是上一点连接、． (1)如图①，求证： (2)如图②，，的平外线所在直线交于点Q，若，求的度数． (3)如图③，、的平分线交于H点，且，直接写出___． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义，解题关键是熟练掌握平行线性质，应用（1）所得结论解决（2）和（3）中问题，计算繁琐，难度较大，易出错． （1）过点作，得，得，两式相减便可得出结论； （2）由（1）中结论可得，设，因为平分平分，所以，即得，即可得解； （3）过H作，得出，，结合分别平分，得出，过P作，同理可得，根据，即可求出． 【详解】（1）证明：过点作，如图， ， ， ， ， 即； （2）解：如图： 设， ∵平分平分， ∴， 由（1）中结论可得， ． ， ， 即， ∴； （3）解：过H作， ， ， ， ， 分别平分， ， ， 过P作， ， ， ， ， ， ∴． 14．（23-24六年级下·山东济南·期末）如图，已知． (1)感知与探究： 如图1，已知请求出的度数； (2)问题迁移： 如图2，、分别是的角平分线，的反向延长线与相交于点F，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)联想拓展： 在（2）的条件下，若，则的度数是_____________． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质，熟记有关平行线的各种模型是解题关键 （1）过点C作，根据平行线的性质易得，以此即可求解． （2）过点F作，过点C作，由平行线的性质得，由角平分线的性质得，，于是，再由角平分线的性质得，以此可得，结合①②即可得． （3）利用（2）中的结论求解即可． 【详解】（1）如图，过点C作， 则， ∴， ∴， ∴． （2）．理由如下： 如图，过点F作，过点C作， 则， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由①②可得，即． （3）由（2）知，， ∵， ∴． 故答案为：． 15．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）【猜想】（1）如图1，，点E在直线之间，连，若，则的大小为 度．（直接写出结果） 【探究】（2）如图2，，交于点E，探究 （均为小于的角）之间的数量关系，并说明理由． 【拓展】（3）如图3，，的平分线与的角平分线的反向延长线交于点F，且，直接写出的大小为 ． 【答案】（1）65（2），理由见解析（3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，解题的关键是过拐点，构造平行线： （1）过点作，进而根据平行公理推论即可得到，再根据平行线的性质得到，，进而结合题意进行角的运算即可求解； （2）过点作，先根据平行公理推论得到，进而根据平行线的性质得到，，再结合题意进行角的运算即可求解； （3）过点作，过点作，则：，根据平行线的性质，角平分线的定义推出，再结合，进行求解即可． 【详解】解：（1）过点作， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：65； （2），理由如下： 过点作，如图所示：   ，， ， ，， ， ， 即． （3）过点作，过点作，则：， 同（2）可得：， ∵， ∴， ∵的平分线与的角平分线的反向延长线交于点F， ∴，， ∴， 即：， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 1．（24-25七年级上·吉林长春·期末）已知如图， ①由图（1）易得、、的关系_______（直接写结论）； ②由图（2）试猜想、、的关系并说明理由； [延伸拓展] 利用上面（1）（2）得出的结论完成下题 ③已知，，，．若，则______°． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）85 【分析】本题考查了平行线的性质，通过平行线的性质推出各角之间的关系，解题关键在于作出相应的辅助线． ①如图（1），过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出答案； ②如图（2），过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出答案； ③根据题意得：，，由②结合得：，再由②的结论即可求解． 【详解】解：①如图（1）所示：过点作， ∵，， ∴， ，， ， ； ②如图（2）所示：过点作， ∵，， ∴， ，， ； ∴； ③∵，， ，， ∵，由②得， ∵， ∴， ∴， ∵，由①得， ∴． 故答案为：85． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的判定与性质．分别过，点G，F，E作，结合垂直定义，根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，分别过点G，F，E作． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．    (1)如图1，，点在、内部，，则　　　　； (2)如图2，，点在、外部（的下方），则之间的数量关系为　　　　； (3)如图3，直接写出之间的数量关系为　　　　，并证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查平行线的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，掌握相关知识并结合题意正确做出辅助线是解题的关键． （1）延长交于点，根据平行线的性质、三角形外角的性质即可求解； （2）根据，得，再由三角形外角的性质即可求证； （3）连接，由，，即可求解． 【详解】（1）解：延长交于点，   ，， ， ， ， 故答案为；； （2）解： ， ， ， ； （3）证明：，证明： 连接并延长，   ，， ， ． 4．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）（1）如图①，，则________； 如图②，，则________，请你说明理由； （2）如图③，，则________； （3）利用上述结论解决问题：如图④，，和的平分线相交于点F，，求的度数． 【答案】（1），，见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，平行公理的应用，角平分线的定义； （1）直接由两直线平行，同旁内角互补可得图①答案；如图，过点作，证明，再利用平行线的性质可得图②的答案； （2）如图，过点作，证明，再结合（1）的结论可得答案； （3）过作．证明，可得．求解，再结合角平分线的定义可得答案． 【详解】解：（1）  ，理由如下： 理由：∵， ∴． 如图，过点作． ， ， ， ． （2）如图，过点作． ， ， ∴， 结合（1）的结论可得：， ∴； （3）如图，过作． ， ， ． ， ． 平分，平分， ， 5．（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，，点E为两直线之间的一点． (1)如图1，若，，则_______； (2)如图2，试说明，； (3)如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，理由见解析． 【分析】本题考查平行线的判定及性质，解题的关键是掌握平行线的性质，利用平行线的性质探索角之间的关系． （1）过点E作直线，利用平行线的性质证明，，即可得到； （2）过点E作，利用平行线的性质证明，，即可证明，即； （3）由（1）可得，再证明，由（2）可知，，即可证明． 【详解】（1）解：过点E作直线， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）解：如图所示，过点E作， ， ， ，， ， 即． （3）解：①，理由如下： 由（1）可得， 平分，平分， ，， ， 由（2）可知，， ． 6．（23-24八年级上·山西运城·期末）已知，直线，点P为平面上一点，连接与． (1)如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数． (2)如图2，点P在直线，之间，与的角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点P落在外． ①直接写出、、的数量关系为______． ②与的角平分线相交于点K，请直接写出与的数量关系为______． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用： （1）先过P作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可； （2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到； （3）①过P作，根据，可得，，进而得到； ②过K作，根据，可得，，进而得到，由①，再根据角平分线的定义，得出，进而得到． 【详解】（1）解：如图1，过P作， ， ， ，， ； （2）解：，理由如下： 如图2，过作， ， ， ，， ， 过P作， 同理可得，， 与的角平分线相交于点K， ， ； （3）解：①如图3，过P作， ， ， ，， ， 故答案为：； ②如图3，过K作， ， ， ，， ， 由①知，， 与的角平分线相交于点K， ， ． 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线，点P为平面内一点（不在两条直线上）． (1)如图①，若点P在直线与之间，且，，求的度数； (2)如图②，若点P在直线上方，且，． ①求的度数； ②如图③，的平分线和的平分线交于点G，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点P作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即得答案； （2）①过点P作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即可求得答案； ②过点G作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即可求得答案． 【详解】（1）解：过点P作， ， ， ， ， ， ， ； （2）解:①过点P作， ， ， ， ， ； ②过点G作， 是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， ， ， ． 8．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明） 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)等于 【分析】本题考查了平行线的性质，利用“猪蹄模型”是解题关键． （1）如图，过作．得，故，，因此． （2）过作．由（1）①．再得出②，由①②得，即，再求解即可． （3）由角平分线得，，由“猪蹄模型”得，再利用平行线和三角形内角和计算即可． 【详解】（1）证明：如图，过作． ， ， ，， ． （2）解：、、三者之间的数量关系：． 理由如下： 如图：过作． 由（1）①． ， ， ②， ①②得， 即， ， ， ． 答：、、三者之间的数量关系：． （3）证明：、分别平分和， ，， 由（1）结论得：， ， ． ， ， ， 由三角形内角和得： ． 答：等于． 9．（24-25七年级下·北京·期中）如图，已知，E、F分别在、上，点G在、之间，连接、． (1)当，平分，平分时： ①如图1，若，则的度数为 ； ②如图2，在的下方有一点Q，平分，平分，求的度数； (2)如图3，在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①如图，分别过点G、P作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可；②如图，过点Q作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可； （2）如图，过点O作，则，设，可得，进而说明，根据平行线的性质求得，进而根据，得到． 【详解】（1）解：①如图，分别过点G、P作， ， ， ∴ ， ， 同理可得: ， ∵， ∴， ∵平分平分； ， ∴． 故答案为：． ②如图，过点Q作， ∵平分平分， ，， 设， ∵，， ， ∵， ， ， ， ， 由（1）可知， ∴． （2）解：如图，在的上方有一点O，若平分，线段的延长线平分， 设H为线段的延长线上一点，则，， 设，,， 如图，过点O作，则， ，， ， ， 由（1）可知：， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴． 10．（24-25八年级上·重庆·开学考试）如图，，点，，，不在同一条直线上． (1)如图1，求证：； (2)如图2，直线，交于点，且，， ①试探究与的数量关系； ②如图3，延长交射线于点，若，，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，角的计算， （1）如图1，过作，根据平行线的性质即可得到结论； （2）①设，，，，由（1）知：，如图2，过作，根据平行线的性质即可得到结论； ②如图3，过作，根据平行线的性质即可得到结论； 熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图1，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∴， 即； （2）解：①∵，， ∴设，，，， 由（1）可知：， ∴， 如图2，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴与的数量关系为； ②如图3， ∵，， ∴， ∵， ∴， 由①知：， 过作， ∴，， ∴， ∴的度数为． 11．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系： 　； (2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 【答案】(1)①°；② (2)不发生变化；，理由见详解 (3)当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时， 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）过点作，则有，然后得到，，然后计算解题； 过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用（1）的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ，， 又， ， ； 过点作， ， ， ，， 又， ， ， 故答案为：； （2）解：不发生变化；，理由为： 由可得，， 、的角平分线交于点， ，， ， 过作， ， ； （3）由（2）得，，， ， ， 过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ； 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 综上所述，当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时，． 12．（2024九年级·河南郑州·专题练习）[课题学习]： 平行线的“等角转化”功能． （1）[阅读理解]： 如图1，已知点是外一点，连接，，求的度数． 阅读并补充下面推理过程． 解：过点作，所以 ， 又因为 所以 （2）[方法运用]： 如图2，已知，求的度数． （3）[深化拓展]： 已知，点在的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间． ①如图3，若，则 ° ②如图4，点在点的右侧，若，则 °（用含的代数式表示） 【答案】（1）；；（2）的度数为；（3）①65；② 【分析】本题考查了平行线的性质，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等，即可解答； （2）过点作，从而利用平行线的性质可得，再根据平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，再根据周角定义可得，最后利用等量代换可得，即可解答； （3）①过点作，先根据猪脚模型可得，然后根据角平分线的定义可得，，从而进行计算即可解答； ②过点作，先根据角平分线的定义可得，，再利用平行线的性质可得然后根据平行于同一条直线的两条直线平行可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）解：过点作，如图所示： ，， 又， ， 故答案为：；； （2）过点作，如图所示： ， ， ， ， ， ， 的度数为； （3）①过点作，如图所示： ， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 故答案为：65； ②过点作，如图所示： 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·江苏南通·期中）线段与线段互相平行，点是平面内的一点，且点不在直线上． (1)连接，如图1，，求的度数．小紫的思路是： 如图2，过点作，通过平行线性质可求的度数．请你按小紫的思路，写出度数的求解过程； (2)若点在线段上，如图3，射线分别是和的平分线． ①依题意补全图3； ②判断与的位置关系，并证明； (3)连接，射线分别是和的平分线．是否存在点，使若存在，直接写出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，证明见解析 (3)当P点在直线上，位于与两平行线之外时，，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义： （1）过点作，则，根据两直线平行，同旁内角互补分别求出的度数即可得到答案； （2）①根据题意作图即可；②由平行线的性质得，由角平分线定义得，，进而得，最后根据平行线的判定定理得出结论便可； （3）当点在直线上，位于与两平行线之外时，．根据平行线的性质得出，结合角平分线的定义得出，即得． 【详解】（1）解：如图2，过点作， ∵，， ∴， ∴,， ∴； （2）解：①如图所示，即为所求； ②，证明如下： ∵， ∴， ∵射线分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当P点在直线上，位于与两平行线之外时，，理由如下： ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ． 14．（23-24七年级下·重庆南岸·期末）已知：． (1)如图1，点在，之间，请说明； (2)如图2，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，请直接用等式表示，，，，之间的数量关系 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 (3) 【分析】题目主要考查平行线的判定及性质，通过判定及性质推出各角之间的关系，解题关键在于作出相应的辅助线． （1）过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出答案； （2）过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出角的关系； （3）依据（1）的证明方法，可推出角之间的关系． 【详解】（1）解：如图所示：过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 如图所示：过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）解：，理由见解析， 如图：过点作，过点作，过点作， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴； 15．（23-24七年级下·吉林长春·开学考试）问题背景：如图①，已知，点P的位置如图所示，连接，求证：． 类比探究：如图②，已知点D在直线上，线段与相交于点F，点B在点A右侧．若，则的度数为              °． 拓展延伸：如图③，已知，若与的角平分线相交于点F，直接写出与之间的数量关系． 【答案】问题背景：见解析；类比探究：125；拓展延伸： 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，作辅助线构造平行线段，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 问题背景：过点P作，根据平行于同一直线的两直线平行，得到，再根据两直线平行，内错角相等，得到，，进而得到，据此进行填空即可得到答案； 类比探究：过点F作，根据平行线的性质得到，，进而得到，，结合图形即可得到答案； 拓展延伸：由（2）同理得：，根据角平分线的定义，得到，过点F作，根据平行线的性质，得到，，进而得到，即可得到答案． 【详解】问题背景：解：过点P作， ， ， ，， ． ∴； 类比探究：解：如图，过点F作， ，， ，， ，， ， 故答案为：； 拓展延伸：解：由（2）同理得：， ，分别是，的平分线， ，， ， 如图，过点F作， 则， ， ， ， ， ． 16．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）已知直线，点E在直线，之间，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，过点E作，探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，F为直线，之间一点，连接，，，，求出与之间的数量关系； (3)当点E，F，G在直线，之间的位置如图3所示时，直接写出，，，，之间的数量关系：_________． 【答案】(1)，理由见详解 (2) (3) 【分析】本题主要考查平行线的性质和平角的性质， （1）根据题意得，则，．结合，得． （2）由（1）得和 ．结合题意得，．利用平角可得，，则即可； （3）过点E，F，G分别作的平行线，，，则，有，，，．则有，即． 【详解】（1）解： ． 理由：∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴． （2）解：由（1）得， 同理可得． ∵，， ∴，． ∵，， ∴，， ∴ ， 则． （3）解：． 如图，过点E，F，G分别作的平行线，，， 则， ∴，，，． ∵，，， ∴， ∴，即． 17．（24-25八年级上·北京·期末）如图，已知直线，M，N分别是直线，上的点． (1)在图1中，判断，和之间的数量关系，并证明你的结论； (2)在图2中，请你直接写出，和之间的数量关系（不需要证明）； (3)在图3中，平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) (3) 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． （1）过点E作直线，利用平行线的性质即可解决问题． （2）过点E作直线利用平行线的性质即可解决问题． （3）利用（1）（2）结论构建方程解决问题即可． 【详解】（1）解：结论：． 理由：如图1中，过点E作直线． ， ， 又， ． ． （2）解：结论：． 理由：如图2中，过点E作直线． ， ， 又， , , ． （3）解：平分， ， 平分， 设， 由（1），得， 由（2），得， 又， ， ， 即． ． 18．（24-25七年级下·云南昭通·期中）据图解答下列各题． (1)如图1，已知，求证：； (2)如图2，已知，，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，然后根据两直线平行内错角相等的性质解此类题． （1）过E作，利用两直线平行，同旁内角互补和平行线的判定解答即可； （2）过G作，利用两直线平行，内错角相等解答即可． 【详解】（1）证明：过E作， ， ， ， ， ； （2） 解：过G作， ， ， ， ， ， ， ， 即， 19．（24-25七年级下·山东临沂·期中）【问题发现】 如图①，直线，点在与之间，连接，可以发现． 请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作， ，， （______）． （______）． （辅助线作法）， ______（______）． ______（等量代换）． 即． 【拓展探究】 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：，，之间的关系是______． 【解决问题】 如图③，，，求出的度数． 【答案】【问题发现】：见解析；【拓展探究】：；【解决问题】： 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，掌握平行线的性质是解本题的关键； 问题发现：过点作，再根据题干提示逐一完成推理依据与推理过程即可； 拓展探究：过作，而，可得，再利用平行线的性质可得结论； 解决问题：过作，可得，再进一步利用平行线的性质可得答案． 【详解】问题发现： 证明：过点作． ，， （平行公理推论）． （两直线平行，内错角相等）． （辅助线作法）， （两直线平行，内错角相等）． （等量代换）． 即． 拓展探究： 解：如图，过作，而， ∴， ∴，， ∴， ∴． 解决问题： 解：过作． ， ． ，． ． ， ． 20．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)提出问题：如图1，若，点P在内部，求证：； (2)探索发现：将图1中直线绕点B逆时针方向转一定角度得，交直线于点Q（如图2），结合（1）中的结论，直接写出之间的数量关系； (3)拓展应用：如图3，交于点M，交于点N．已知，结合（2）中的结论计算，＿＿＿． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质： （1）过点P作，则，进而得，则，由此即可得出结论； （2）根据得，则，再根据由（1）的结论得，由此可得之间的数量关系； （3）由（2）的结论得，由得①，由得，再由（2）的结论得，则②，然后由即可得出的值． 【详解】（1）证明：过点P作，如图1所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：，理由如下： 如图2所示： ∵， ∴， ∴， 由（1）的结论得：， ∴； （3）解：如图3所示： 由（2）的结论得：， ∵， ∴①， ∵， ∴， 由（2）的结论得：， ∴②， 得：． 学科网（北京）股份有限公司 $$