专题02 平行线的判定重难点题型专训（10大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版2024）

专题02 平行线的判定重难点题型专训（10大题型+15道提优训练） 题型一 平面内两直线的位置关系 题型二 平行公理的应用 题型三 平行公理推论的应用 题型四 同位角相等两直线平行 题型五 内错角相等两直线平行 题型六 同旁内角互补两直线平行 题型七 垂直于同一直线的两直线平行 题型八 平行线判定定理的结合 题型九 平行线的判定（填空型证明题） 题型十 平行线的判定（解答题） 知识点1：同位角、内错角和同旁内角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 知识点2：平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【经典例题一 平面内两直线的位置关系】 【例1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）有8条不同的直线（、、、、、、、），其中，、、交于同一点，则这8条直线的交点个数最多有（　　） A．21个 B．22个 C．23个 D．24个 1．（24-25七年级上·四川德阳·阶段练习）如果同一平面内有三条直线，那么它们交点个数是（    ）个． A．3个 B．1或3个 C．1或2或3个 D．0或1或2或3个 2．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）在间一平面内，有2019条互不重合的直线，l1，l2，l3，…，l2019，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5，以此类推，则l1和l2019的位置关系是 ． 3．（24-25七年级下·浙江·课后作业）我们知道两条相交直线的交点个数是1，两条平行直线的交点个数是0.平面内的三条平行线的交点个数是0，经过同一点的三条直线的交点个数是1…… (1)请你画图说明：在同一个平面内的五条直线最多有几个交点？ (2)在同一个平面内的五条直线可以有4个交点吗？如果有，请你画出符合条件的所有图形．如果没有，请说明理由． (3)在同一个平面内画出10条直线，使交点个数恰好是32. 【经典例题二 平行公理的应用】 【例2】（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）.以下说法中：（1）同角或等角的余角相等；（2）平面内，过一点有两条直线与已知直线垂直；（3）对顶角相等；（4）不相交的两条直线叫平行线；（5）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；（6）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．（24-25七年级下·上海·期中）下列说法正确的是（　　） A．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离 D．三角形任意两边之和小于第三边，任意两边之差大于第三边 5．（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 6．（24-25七年级上·江苏南京·期末）下列说法：①对顶角相等；②两点间线段是两点间距离；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤若，则点C是线段的中点；⑥同角的余角相等正确的有 ．（填序号） 【经典例题三 平行公理推论的应用】 【例3】（24-25七年级下·四川德阳·阶段练习）下列命题中，是真命题的是(    ) A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．若a//b，b//c，则a//c D．同旁内角相等，两直线平行 7．（24-25七年级下·湖南永州·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．同位角相等 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．对顶角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有四条直线a、b、c、d，已知：，，，则a和c的位置关系是 . 9．（24-25七年级下·广东潮州·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．不相交的两条直线是平行线 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．从直线外一点作这条直线的垂线段叫做点到这条直线的距离 D．在同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条垂直，则与另一条也垂直． 【经典例题四 同位角相等两直线平行】 【例4】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，下列条件中，可以用“同位角相等，两直线平行”判定的是（    ）    A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，下列条件中，可以用“同位角相等，两直线平行”判定的是（    ）    A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）在探究平行线的判定——基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行时，老师布置了这样的任务： 请同学们分组在学案上（如图），用直尺和三角尺画出过点P与直线AB平行的直线PQ；并思考直尺和三角尺在画图过程中所起的作用． 小菲和小明所在的小组是这样做的：他们选取直尺和含有45°角的三角尺，用平移三角尺的画图方法画出AB的平行线PQ，并将实际画图过程抽象出平面几何图形（如图）． 以下是小菲和小明所在小组关于直尺和三角尺作用的讨论： ①在画平行线的过程中，三角尺由初始位置靠着直尺平移到终止位置，实际上就是先画∠BMD=45°，再过点P画∠BMD=45° ②由初始位置的三角尺和终止位置的三角尺各边所在直线构成一个“三线八角图”，其中QP为截线 ③初始位置的三角尺和终止位置的三角尺在“三线八角图”中构成一组同位角 ④在画图过程中，直尺可以由直线CD代替 ⑤在“三线八角图”中，因为AB和CD是截线，所以，可以下结论“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行” 其中，正确的是（   ） A．①②⑤ B．①③④ C．②④⑤ D．③④⑤ 12．（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）能判定的同位角有 组． 【经典例题五 内错角相等两直线平行】 【例5】（23-24七年级下·河北保定·期中）在一副直角三角板中，，，，现将直角顶点按如图所示的方式叠放，点E在直线的上方，目，要使三角形有一条边与平行，则的度数不可能为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）上周末，小金研究的一道几何题如下： 如图，点G在上，已知，平分，平分，请说明的理由． (1)小金的思路是：先根据“同角的补角相等”得到，再根据“角平分线的定义”，得到，然后根据“内错角相等，两直线平行”，得到．你认为小金的思路是 的（“正确”或“错误”）． (2)请你用整合教材学到的“框图”方式分析本题（不写说明过程）． 已知条件 要说明的 平分 平分 14．（24-25七年级下·河南许昌·期中）（1）在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，并说出自己做法的依据．小琛、小萱、小冉三位同学的做法如下： 小琛说：“我的做法的依据是内错角相等，两直线平行” ①小琛说的是否正确？________（回答正确或错误） ②小萱做法的依据是________________________； ③小冉做法的依据是________________________． （2）如图，如果，，，那么与平行吗？与呢？ 15．（2024七年级上·全国·专题练习）中考新趋势·结论开放性试题  如图，已知，请你添加一个条件，使得能利用“内错角相等，两直线平行”来判断，你添加的条件是 ． 【经典例题六 同旁内角互补两直线平行】 【例6】（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相反，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向左拐，第二次向右拐 C．第一次向右拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 16．（2024七年级上·全国·专题练习）已知是的同旁内角，，则（） A． B． C．或 D．的大小不确定 17．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）如图，点，，在一条直线上，要根据“同旁内角互补，两直线平行”判定，需添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 18．（2023七年级下·江苏·专题练习）如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数比为：，差为，那么这两条直线的位置关系是 ，这是因为 ． 【经典例题七 垂直于同一直线的两直线平行】 【例7】1（23-24七年级下·山东临沂·阶段练习）在同一平面内有直线，，，，，…，按此规律，那么与的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交 D．无法判断 19．（23-24七年级下·甘肃陇南·阶段练习）在同一平面内有条直线，，…，，如果，，，，…，依此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 20．（24-25七年级下·河南漯河·阶段练习）下列4个命题， ①在同一平面内，、、是直线，，，则； ②在同一平面内，、、是直线，，，则； ③在同一平面内，、、是直线，，，则； ④在同一平面内，、、是直线，，，则． 正确的有 （填写序号）． 21．（24-25八年级·全国·单元测试）对于同一平面内三条直线、、有以下论断： ①；②；③；④；⑤. 请以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个真命题. 【经典例题八 平行线判定定理的结合】 【例8】（24-25七年级下·云南昭通·期中）如图，点C、E、F、G在同一条直线上，下列选项不能判定的是（    ）    A． B．平分，且 C．平分，平分，且 D． 22．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）阅读下列材料，完成相应任务． 折纸中的数学 综合实践课上，老师出示如下问题：如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有A，B两点，连接，点是正方形纸片上一点，请同学们用折纸的方法过点作的平行线． 兴趣小组作法如下：如图2，过点沿折叠纸片，使于点；在图2的基础上，展平纸片，过点沿折叠纸片，使折痕于点，得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4，则． 任务一：下列选项中，能作为判定上述材料中的依据的有 （多选） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两条直线互相平行 E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 任务二：如图5，在长方形纸片中，．将长方形纸片沿折叠．使落在处，再将纸片沿折叠，使得落在，且，，，在同一直线上． 求证：折痕． 图5 23．（23-24七年级下·河北保定·期中）数学活动课上，嘉嘉和淇淇两名同学借助一副三角板画平行线． (1)嘉嘉是这样做的：如图1，先画一条直线，之后摆放三角板，得到．依据是______． (2)淇淇按如图2所示的方式摆放三角板，也得到．依据是______． (3)李老师将一副直角三角板（，）按如图3所示的方式放置，若，则可得到．请说明理由． 24．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）若将一副三角板按如图1所示的方式放置（其中，，），将三角形固定不动，三角形绕点逆时针旋转，旋转角为．    (1)如图2，若，则 ， ． (2)如图3，若于点，则与平行吗？请说明理由． (3)如图4，若，则图中有哪两条线平行？请说明理由． 【经典例题九 平行线的判定（填空型证明题）】 【例9】（24-25七年级下·四川泸州·期末）如图，，垂足为D，点E、F分别在线段上，． (1)求证：；（补充） 证明：∵，                     ∴，（ ）    ∵， ∴，（ ） ∴； （ ） (2)若，求的度数． 25．（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）如图，已知，，把证明过程补充完整． 证明：∵　　， ∴，（ 　　）， ∴，， 又∵， ∴　　（ 　　）， ∴（ 　　）．    26．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，已知，试判断与的位置关系，并说明你的理由．请补全下列说理过程．      解：． 理由是：（      ）， __________ ____________ （垂直的定义）， （已知）， =__________（等式的基本性质）， 即__________， （__________）． 27．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，，，分别是，的平分线，，试探究与的位置关系并说明理由．    请完善下列解题过程． 解：与的位置关系是， ，分别是，的平分线（已知） （    ） （已知） 又（已知） （    ） （    ） 【经典例题十 平行线的判定（解答题）】 【例10】（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）如图，已知，点在边上． (1)作，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)直线与直线平行吗？ 1．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，点在上，过作于，点是上一点，过点作于． (1)求证：； (2)点在上，若，则试判断与的位置关系，并说明理由． 2．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）如图，直线交于点O，分别平分和，已知．    (1)若，求的度数． (2)试判断与的位置关系，并说明理由； 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，，平分． (1)求证：； (2)若射线绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转得到，同时，射线绕点C以每秒的速度顺时针方向旋转得到，和交于点P，设旋转时间为t秒． ①当时，请写出与之间的数量关系，并说明理由； ②当时，若，请直接写出t的值． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点E在的延长线上，对于给出的四个条件： ①；②； ③；④． 其中能判断的是（　　） A．①② B．①④ C．①③ D．②④ 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点在的延长线上，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）如图，能够判断的条件是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，，平分，，以下结论：①；②；③；④；其中正确结论是（    ） A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①② 5．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，下列证明的推理中正确应用了“同位角相等，两直线平行”这一原理的是（   ）．    A．， B．， C．， D．， 6．（24-25七年级上·海南海口·期末）如图，要得到，则需要条件 （填一个你认为正确的条件即可），理由是 ． 7．（23-24七年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，现给出下列条件：①，②，③，④，⑤，其中能够得到的条件是 ．（填序号）    8．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）如图所示，直线上有两点A，C，分别引两条射线，，，射线别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间 秒．    9．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判断直线mn的有 ．（填序号） 10．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，现将木棒a、b同时顺时针旋转一周，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则 秒后木棒a，b平行． 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，和互余，和互余．试说明：． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，如图，直线，被直线所截，为与的交点，于点，，．试说明：． 13．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）如图与相交于点C，，且平分．求证：． 请完成下列推理过程： 证明：∵平分， ∴____________（____________）． ∵（____________） ∴（____________） ∵， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 14．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知点在上，平分，平分． (1)试说明：； (2)若，，则与平行吗？为什么？ 15．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，点在上，点在上，连接，过点作交于点，过点作平分交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平行线的判定重难点题型专训（10大题型+15道提优训练） 题型一 平面内两直线的位置关系 题型二 平行公理的应用 题型三 平行公理推论的应用 题型四 同位角相等两直线平行 题型五 内错角相等两直线平行 题型六 同旁内角互补两直线平行 题型七 垂直于同一直线的两直线平行 题型八 平行线判定定理的结合 题型九 平行线的判定（填空型证明题） 题型十 平行线的判定（解答题） 知识点1：同位角、内错角和同旁内角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 知识点2：平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【经典例题一 平面内两直线的位置关系】 【例1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）有8条不同的直线（、、、、、、、），其中，、、交于同一点，则这8条直线的交点个数最多有（　　） A．21个 B．22个 C．23个 D．24个 【答案】C 【分析】首先可得、、、、、这6条直线最多有个交点，最多与前6条直线有6个交点，最多与前7条直线有7个交点，然后可得答案． 【详解】解：如图，∵，、、交于同一点，    ∴这6条直线最多有个交点， ∵最多与前6条直线有6个交点，最多与前7条直线有7个交点， ∴这8条直线的交点个数最多为（个）， 故选：C． 【点睛】本题考查直线之间的交点个数，直线之间的交点个数最多的情况为后出现的直线与前面的直线均有不同交点．有位置前提的情况下，需要了解直线本身具有什么位置关系特点，先理清楚条件再按照交点个数最多的策略画图．理解直线之间的交点个数最多的情况是解题的关键． 1．（24-25七年级上·四川德阳·阶段练习）如果同一平面内有三条直线，那么它们交点个数是（    ）个． A．3个 B．1或3个 C．1或2或3个 D．0或1或2或3个 【答案】D 【分析】根据三条直线是否有平行线分类讨论即可． 【详解】解：当三条直线平行时，交点个数为0； 当三条直线相交于1点时，交点个数为1； 当三条直线中，有两条平行，另一条分别与他们相交时，交点个数为2； 当三条直线互相不平行时，且交点不重合时，交点个数为3； 所以，它们的交点个数有4种情形． 故选：D． 【点睛】本题考查多条直线交点问题，解题关键是根据三条直线中是否有平行线和是否交于一点进行分类讨论． 2．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）在间一平面内，有2019条互不重合的直线，l1，l2，l3，…，l2019，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5，以此类推，则l1和l2019的位置关系是 ． 【答案】l1⊥l2019． 【分析】首先根据题意判断l1与l2，l3，l4，l5，l6，l7的关系，即可得到规律：⊥，⊥，∥，∥，四个一循环，再求2019与4的商，即可求得l1与l2019的位置关系． 【详解】l1与l2019的位置关系为：l1∥l2008． 理由：∵l1⊥l2，l2∥l3， ∴l1⊥l3， ∵l3⊥l4， ∴l1∥l4， ∵l4∥l5， ∴l1∥l5， ∵l5⊥l6， ∴l1⊥l6， ∵l6∥l7， ∴l1⊥l7， ∴可得规律为：l1⊥l2，l1⊥l3，l1∥l4，l1∥l5， l1⊥l6，l1⊥l7，l1∥l8，l1∥l9， …， 则 l1∥l4，l1∥l5，l1∥l8，l1∥l9，l1∥l12，l1∥l13，l1∥l16，l1∥l17… l1⊥l2，l1⊥l3，l1⊥l6，l1⊥l7，l1⊥l10，l1⊥l11，l1⊥l14，l1⊥l15，… ∵2019÷4＝504…3 ∴l1⊥l2019． 故答案为l1⊥l2019． 【点睛】此题考查了平行线与垂线的关系．注意找到规律：⊥，⊥，∥，∥，四个一循环，是解此题的关键． 3．（24-25七年级下·浙江·课后作业）我们知道两条相交直线的交点个数是1，两条平行直线的交点个数是0.平面内的三条平行线的交点个数是0，经过同一点的三条直线的交点个数是1…… (1)请你画图说明：在同一个平面内的五条直线最多有几个交点？ (2)在同一个平面内的五条直线可以有4个交点吗？如果有，请你画出符合条件的所有图形．如果没有，请说明理由． (3)在同一个平面内画出10条直线，使交点个数恰好是32. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析. 【分析】（1）图一平面内的五条直线最多有10个交点．画图即可； （2）图二平面内的五条直线可以有4个交点，有3种不同的情形； （3）图三可使4条直线平行，另4条直线平行且都与这4条相交，再有2条直线平行且都与这4条相交，且4条和2条也有相交． 【详解】解：(1)如解图①所示，最多有10个交点　 (2)可以有4个交点，有3种不同的情形，如图②　 (3)如图③所示 【点睛】此题考查平面内不重合直线的位置关系，解答时要分各种情况解答，要考虑到可能出现的所有情形，不要遗漏，否则讨论的结果就不全面． 【经典例题二 平行公理的应用】 【例2】（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）.以下说法中：（1）同角或等角的余角相等；（2）平面内，过一点有两条直线与已知直线垂直；（3）对顶角相等；（4）不相交的两条直线叫平行线；（5）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；（6）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题主要考查了余角的性质，垂线的性质，对顶角的性质，平行线的定义，垂线段的性质，平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键，是一道基础题．根据相关知识判断即可． 【详解】解：（1）同角或等角的余角相等；选项正确； （2）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；选项错误； （3）对顶角相等；正确； （4）在同一个平面内，不相交的两条直线叫平行线；选项错误； （5）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；选项正确； （6）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．选项错误； 故选：C． 4．（24-25七年级下·上海·期中）下列说法正确的是（　　） A．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离 D．三角形任意两边之和小于第三边，任意两边之差大于第三边 【答案】C 【分析】本题主要考查垂直的定义，点到直线的距离，平行线的性质以及三角形的三边关系．熟练掌握性质定理是解题的关键． 【详解】解：A、在同一平面上，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故说法错误； B、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法错误； C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，故说法正确；； D、三角形两边之和大于第三边，故说法错误；； 故选：C． 5．（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点有，进而利用垂线段最短得到即可解题． 【详解】解：过点有， ， 即得到的力臂大于的力臂， 其体现的数学依据是垂线段最短， 故选：A． 6．（24-25七年级上·江苏南京·期末）下列说法：①对顶角相等；②两点间线段是两点间距离；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤若，则点C是线段的中点；⑥同角的余角相等正确的有 ．（填序号） 【答案】①⑥ 【分析】利用对顶角的性质判断①，利用两点距离定义判定②，利用平行公理判定③，利用垂线公里判定④，利用线段中点定义判定⑤，利用余角的性质判定⑥． 【详解】①对顶角相等正确； ②由两点间线段的长度是两点间距离，所以两点间线段是两点间距离不正确； ③由过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以过一点有且只有一条直线与已知直线平行不正确； ④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误； ⑤由线段中点的性质，若，点C在AB上，则点C是线段的中点，所以若，则点C是线段的中点不正确； ⑥同角的余角相等正确； 正确的有①⑥． 故答案为：①⑥． 【点睛】本题考查对顶角性质，两点间的距离，平行公理，垂线公里，线段的中点，余角的性质等问题，掌握对顶角性质，两点间的距离，平行公理，垂线公里，线段的中点，余角的性质是解题关键． 【经典例题三 平行公理推论的应用】 【例3】（24-25七年级下·四川德阳·阶段练习）下列命题中，是真命题的是(    ) A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．若a//b，b//c，则a//c D．同旁内角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】根据平行线的性质对A进行判断；根据平行线的判定对B、C、D进行判断． 【详解】A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，所以A选项错误； B、在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，所以B选项错误； C、a∥b，b∥c，则a∥c，所以C选项正确； D、同旁内角互补，两直线平行，所以D选项错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行公理及推论和平行线的判定及性质． 7．（24-25七年级下·湖南永州·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．同位角相等 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．对顶角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】根据平行线的判定，平行公理，对顶角，垂线的相关定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等；故A不正确，不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故B不正确，不符合题意； C、对顶角相等，故C正确，符合题意； D、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故D不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了根据平行线的判定，平行公理，对顶角，垂线的定义，解题的关键是熟练掌握相关定义． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有四条直线a、b、c、d，已知：，，，则a和c的位置关系是 . 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行公理的推论：平行于同一直线的两条直线平行，即可求解． 【详解】解：，， ， 又， ， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·广东潮州·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．不相交的两条直线是平行线 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．从直线外一点作这条直线的垂线段叫做点到这条直线的距离 D．在同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条垂直，则与另一条也垂直． 【答案】D 【分析】运用平行线，垂线的定义，点到直线的距离及平行公理及推论判定即可． 【详解】A、不相交的两条直线是平行线，要在同一平面内的前提条件下，故A选项错误； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故B选项错误； C、从直线外一点作这条直线的垂线段叫做点到这条直线的距离，应为垂线段的长度，故C选项错误； D、在同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条垂直，则与另一条也垂直，故D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线，垂线的定义，点到直线的距离及平行公理及推论，解题的关键是熟记定义与性质． 【经典例题四 同位角相等两直线平行】 【例4】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，下列条件中，可以用“同位角相等，两直线平行”判定的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，内错角相等、同位角相等，同旁内角互补，两直线平行， 根据平行线的判定即可得出答案． 【详解】解：A、， （内错角相等，两直线平行），故不符合题意； B、， （同位角相等，两直线平行），故符合题意； C、， （内错角相等，两直线平行），故不符合题意； D、， （同旁内角互补，两直线平行），故不符合题意； 故选：B． 10．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，下列条件中，可以用“同位角相等，两直线平行”判定的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，内错角相等、同位角相等，同旁内角互补，两直线平行， 根据平行线的判定即可得出答案． 【详解】解：A、， （内错角相等，两直线平行），故不符合题意； B、， （同位角相等，两直线平行），故符合题意； C、， （内错角相等，两直线平行），故不符合题意； D、， （同旁内角互补，两直线平行），故不符合题意； 故选：B． 11．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）在探究平行线的判定——基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行时，老师布置了这样的任务： 请同学们分组在学案上（如图），用直尺和三角尺画出过点P与直线AB平行的直线PQ；并思考直尺和三角尺在画图过程中所起的作用． 小菲和小明所在的小组是这样做的：他们选取直尺和含有45°角的三角尺，用平移三角尺的画图方法画出AB的平行线PQ，并将实际画图过程抽象出平面几何图形（如图）． 以下是小菲和小明所在小组关于直尺和三角尺作用的讨论： ①在画平行线的过程中，三角尺由初始位置靠着直尺平移到终止位置，实际上就是先画∠BMD=45°，再过点P画∠BMD=45° ②由初始位置的三角尺和终止位置的三角尺各边所在直线构成一个“三线八角图”，其中QP为截线 ③初始位置的三角尺和终止位置的三角尺在“三线八角图”中构成一组同位角 ④在画图过程中，直尺可以由直线CD代替 ⑤在“三线八角图”中，因为AB和CD是截线，所以，可以下结论“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行” 其中，正确的是（   ） A．①②⑤ B．①③④ C．②④⑤ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】这种画法就是画同位角∠DMB和∠DEP相等，从而判断PQ∥AB，从而根据平行线的判定定理对各小题进行判断． 【详解】在画平行线的过程中，三角尺由初始位置靠着直尺平移到终止位置，实际上就是先画∠BMD=45°，再过点P画∠BMD=45°，所以①正确； 由初始位置的三角尺和终止位置的三角尺各边所在直线构成一个“三线八角图”，其中CD为截线，所以②错误； 初始位置的三角尺和终止位置的三角尺在“三线八角图”中构成一组同位角，所以③正确； 在画图过程中，直尺可以由直线CD代替，所以④正确； ⑤在“三线八角图”中，因为AB和PQ是一组平行线，CD为截线，所以，可以下结论“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”，所以⑤错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定． 12．（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）能判定的同位角有 组． 【答案】 【分析】根据“同位角相等，两直线平行”找出所有与有关的同位角即可解答． 【详解】解：如，则； 如，则； 如，则； 如，则． ∴能判定的同位角有4组 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平行线判定定理，理解同位角的概念是解答本题的关键． 【经典例题五 内错角相等两直线平行】 【例5】（23-24七年级下·河北保定·期中）在一副直角三角板中，，，，现将直角顶点按如图所示的方式叠放，点E在直线的上方，目，要使三角形有一条边与平行，则的度数不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定，三角形外角定理，依次根据四个选项中的度数进行判断即可． 【详解】解：当时，如下图所示， ∵， ∴， ∴， 当时，如下图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当时，如下图所示， 三角形没有边与平行； 当时，延长交于点F，如下图所示， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C 13．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）上周末，小金研究的一道几何题如下： 如图，点G在上，已知，平分，平分，请说明的理由． (1)小金的思路是：先根据“同角的补角相等”得到，再根据“角平分线的定义”，得到，然后根据“内错角相等，两直线平行”，得到．你认为小金的思路是 的（“正确”或“错误”）． (2)请你用整合教材学到的“框图”方式分析本题（不写说明过程）． 已知条件 要说明的 平分 平分 【答案】(1)错误 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，能正确判断内错角是解决本题的关键． （1）根据与不是内错角，故不能证明，即可得到答案； （2）先根据同角的补角相等得到，由角平分线定义得到．，则，即可证明结论． 【详解】（1）解：小金的思路不对，与不是内错角，故不能证明； 故答案为：错误； （2）∵， ∴， ∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25七年级下·河南许昌·期中）（1）在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，并说出自己做法的依据．小琛、小萱、小冉三位同学的做法如下： 小琛说：“我的做法的依据是内错角相等，两直线平行” ①小琛说的是否正确？________（回答正确或错误） ②小萱做法的依据是________________________； ③小冉做法的依据是________________________． （2）如图，如果，，，那么与平行吗？与呢？ 【答案】（1）①正确；②同位角相等两直线平行；③同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行； （2）AB∥CD，BC∥DE； 【分析】（1）根据平行线的判定方法判断即可； （2）根据对顶角的性质，同旁内角互补两直线平行；补角的定义，内错角相等两直线平行；即可证明； 【详解】解：（1）①∵∠BAD=∠CDA，∴AB∥CD，即内错角相等两直线平行；故①正确；                                      ②如图， ∵∠ABD=∠CDE，∴AB∥CD，即同位角相等，两直线平行；                         ③∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴AB∥CD，即同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行； （2）解∵∠1＝60°，∠ABC＝∠1， ∴∠ABC＝60°，    又∵∠2＝120°， ∴∠ABC+∠2＝180°， ∴AB∥CD，    又∵∠2+∠BCD＝180°， ∴∠BCD＝60°，   ∵∠D＝60°， ∴∠BCD＝∠D， ∴BC∥DE； 【点睛】本题考查了相交线与平行线，掌握平行线的判定方法是解题关键． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）中考新趋势·结论开放性试题  如图，已知，请你添加一个条件，使得能利用“内错角相等，两直线平行”来判断，你添加的条件是 ． 【答案】平分（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 根据内错角相等，两直线平行，当时， ，由于，易得要平分． 【详解】解∶当时，， ， 所以需平分， 即添加的条件是平分， 故答案为：平分（答案不唯一）． 【经典例题六 同旁内角互补两直线平行】 【例6】（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相反，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向左拐，第二次向右拐 C．第一次向右拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据题意，画出图形即可判断，掌握平行线的判定是解题的关键． 【详解】解：根据题意，画图如下：    由图可得，选项两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相反，理由是：根据同旁内角互补，两直线平行， 故选：． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）已知是的同旁内角，，则（） A． B． C．或 D．的大小不确定 【答案】D 【分析】本题考查了同旁内角互补的前提条件是两直线平行．两直线平行时同旁内角互补，不平行时无法确定同旁内角的大小关系． 【详解】解：同旁内角只是一种位置关系，并没有一定的大小关系，只有两直线平行时，同旁内角才互补． 故选：D． 17．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）如图，点，，在一条直线上，要根据“同旁内角互补，两直线平行”判定，需添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．，根据内错角相等，两直线平行可得，故不符合题意； B．，根据同旁内角互补，两直线平行可得，故符合题意； C．，根据两同位角相等，两直线平行可得，故不符合题意； D．，根据同旁内角互补，两直线平行可得，故不符合题意； 故选B． 18．（2023七年级下·江苏·专题练习）如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数比为：，差为，那么这两条直线的位置关系是 ，这是因为 ． 【答案】 平行 同旁内角互补，两直线平行 【分析】根据已知可求得两角的度数，从而根据同旁内角互补两直线平行判定两直线的关系． 【详解】解：一组同旁内角的度数比为：，差为 设较小的角为：，则较大的为 ：： ， 即同旁内角互补． 这两条直线的位置关系是平行 答案为：平行，同旁内角互补，两直线平行． 【点睛】此题主要考查学生对平行线的判定的理解及运用能力，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【经典例题七 垂直于同一直线的两直线平行】 【例7】1（23-24七年级下·山东临沂·阶段练习）在同一平面内有直线，，，，，…，按此规律，那么与的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交 D．无法判断 【答案】A 【分析】此题考查规律的探索，能找出其中的规律的解题的关键．根据，，，，．．．寻找规律解答． 【详解】解：，， 按此规律， 又 以此类推： ∴ ∵ ∴ ∵ 故选A． 19．（23-24七年级下·甘肃陇南·阶段练习）在同一平面内有条直线，，…，，如果，，，，…，依此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判断，图形类的规律探索，根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ……， 以此类推可知，从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为， ∵ ， ∴， 故选：B． 20．（24-25七年级下·河南漯河·阶段练习）下列4个命题， ①在同一平面内，、、是直线，，，则； ②在同一平面内，、、是直线，，，则； ③在同一平面内，、、是直线，，，则； ④在同一平面内，、、是直线，，，则． 正确的有 （填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】根据平行线的判定定理和推论，分析判断即可． 【详解】①在同一平面内，，，是直线，且，则，平行于同一直线的两直线平行，故原命题正确，符合题意． ②在同一平面内，，，是直线，且，，则，故原命题错误，不符合题意． ③在同一平面内，，，是直线，且，则，故原命题正确，符合题意． ④在同一平面内，，，是直线，且，，则，故原命题正确，符合题意． 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理，准确分析判断是解题的关键． 21．（24-25八年级·全国·单元测试）对于同一平面内三条直线、、有以下论断： ①；②；③；④；⑤. 请以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个真命题. 【答案】，（或，或，等） 【分析】同一平面内，根据平行于同一条直线的两条直线平行即可由①②得到⑤. 【详解】解：、、为同一平面内三条直线, 根据平行于同一条直线的两条直线平行即可由①②得到⑤. (或者是根据垂直于同一直线的两直线平行也能得出正确答案.) 故答案为: ，（或，或，等）. 【点睛】本题考查了真命题的判定，需要利用平行线的性质和判定进行求解. 【经典例题八 平行线判定定理的结合】 【例8】（24-25七年级下·云南昭通·期中）如图，点C、E、F、G在同一条直线上，下列选项不能判定的是（    ）    A． B．平分，且 C．平分，平分，且 D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定方法进行判断即可． 【详解】解：A∵，∴，故选项A能判定，不符合题意； B.∵平分，∴又，∴，∴，故选项B能判定，不符合题意； C.∵平分，平分，∴∵，∴∴∴，∴，故选项C能判定，不符合题意； D.由无法判断出，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解答本题的关键． 22．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）阅读下列材料，完成相应任务． 折纸中的数学 综合实践课上，老师出示如下问题：如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有A，B两点，连接，点是正方形纸片上一点，请同学们用折纸的方法过点作的平行线． 兴趣小组作法如下：如图2，过点沿折叠纸片，使于点；在图2的基础上，展平纸片，过点沿折叠纸片，使折痕于点，得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4，则． 任务一：下列选项中，能作为判定上述材料中的依据的有 （多选） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两条直线互相平行 E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 任务二：如图5，在长方形纸片中，．将长方形纸片沿折叠．使落在处，再将纸片沿折叠，使得落在，且，，，在同一直线上． 求证：折痕． 图5 【答案】任务一：A，B，C；任务二：见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，根据平行线的判定定理进行判定即可 【详解】解：任务一：如图， ∵ ∴ 又 ∴ ∵, ∴， 故选项A正确； ∵ ∴， 故选项B正确； ∵ ∴， 故选项C正确； D.平行于同一条直线的两条直线互相平行，说法错误； E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行说法错误； 所以，能作为判定上述材料中的依据的有A，B，C； 故答案为：A，B，C； 任务二：∵ ∴ 由折叠得， ∴ 又 ∴ 由折叠得， ∴， ∴， ∴． 23．（23-24七年级下·河北保定·期中）数学活动课上，嘉嘉和淇淇两名同学借助一副三角板画平行线． (1)嘉嘉是这样做的：如图1，先画一条直线，之后摆放三角板，得到．依据是______． (2)淇淇按如图2所示的方式摆放三角板，也得到．依据是______． (3)李老师将一副直角三角板（，）按如图3所示的方式放置，若，则可得到．请说明理由． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行（或同旁内角互补，两直线平行） (2)内错角相等，两直线平行 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法解题即可． （1）根据或者即可得出答案． （2）根据即可得出答案． （3）证明，即可得出． 【详解】（1）解∶∵， ∴， 或∵， ∴， 故答案为：同位角相等，两直线平行（或同旁内角互补，两直线平行）． （2）∵ ∴， 故答案为：内错角相等，两直线平行． （3）理由：，， ． 又， ， ． 24．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）若将一副三角板按如图1所示的方式放置（其中，，），将三角形固定不动，三角形绕点逆时针旋转，旋转角为．    (1)如图2，若，则 ， ． (2)如图3，若于点，则与平行吗？请说明理由． (3)如图4，若，则图中有哪两条线平行？请说明理由． 【答案】(1)； (2)平行，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）先求出，再求出； （2）先证明，根据内错角相等即可证明； （3）先求出，进而可证，然后可证． 【详解】（1）∵，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：；． （2）∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）． 理由：，， ， ， ． ， ， ． 【经典例题九 平行线的判定（填空型证明题）】 【例9】（24-25七年级下·四川泸州·期末）如图，，垂足为D，点E、F分别在线段上，． (1)求证：；（补充） 证明：∵，                     ∴，（ ）    ∵， ∴，（ ） ∴； （ ） (2)若，求的度数． 【答案】(1)直角三角形两锐角互余；等量代换；内错角相等，两直线平行 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的判定和性质解答． （1）根据平行线的判定证明即可； （2）根据平行线的判定和性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵，                     ∴，（直角三角形两锐角互余）    ∵， ∴，（等量代换） ∴； （内错角相等，两直线平行） 故答案为：直角三角形两锐角互余；等量代换；内错角相等，两直线平行； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 25．（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）如图，已知，，把证明过程补充完整． 证明：∵　　， ∴，（ 　　）， ∴，， 又∵， ∴　　（ 　　）， ∴（ 　　）．    【答案】，；垂直的定义；；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．先根据余角的性质得出，根据平行线的判定得出结果即可． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴，（等角的余角相等） ∴．（内错角相等，两直线平行） 故答案为：，；垂直的定义；；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行． 26．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，已知，试判断与的位置关系，并说明你的理由．请补全下列说理过程．      解：． 理由是：（      ）， __________ ____________ （垂直的定义）， （已知）， =__________（等式的基本性质）， 即__________， （__________）． 【答案】已知；；；；；内错角相等，两直线平行． 【分析】本题考查的是垂直的定义，平行线的判定，先根据垂直的定义得出，再根据，可得出，进而可得出结论． 【详解】证明：． 理由是：（ 已知 ）， ∴（垂直的定义）， （已知）， （等式的基本性质）， 即， （内错角相等，两直线平行）． 27．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，，，分别是，的平分线，，试探究与的位置关系并说明理由．    请完善下列解题过程． 解：与的位置关系是， ，分别是，的平分线（已知） （    ） （已知） 又（已知） （    ） （    ） 【答案】；；；角平分线的定义；；等量代换；；内错角相等，两直线平行 【分析】根据角平分线的定义以及已知条件得出，即可得出． 【详解】解：与的位置关系是， ，分别是，的平分线（已知） ，（角平分线的定义） （已知） 又（已知） （等量代换） （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；；角平分线的定义；；等量代换；；内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【经典例题十 平行线的判定（解答题）】 【例10】（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）如图，已知，点在边上． (1)作，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)直线与直线平行吗？ 【答案】(1)见解析 (2)直线与直线平行，理由见解析 【分析】本题考查了复杂作图，平行线的判定，解题的关键是掌握角的作图方法． （1）以为圆心，任意长为半径画弧，再以相同长度，以为圆心画弧，再以长度为半径，以与弧的交点为圆心画弧，连接点与两弧的交点即为所求； （2）根据平行线的判定定理即可求解． 【详解】（1）如图，即为所求， （2）直线与直线平行，理由如下： 由（1）知， 又与是同位角， ． 1．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，点在上，过作于，点是上一点，过点作于． (1)求证：； (2)点在上，若，则试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质及三角形内角和定理，熟练使用平行线的性质是解题的关键． （1）根据垂直的定义求出，根据“同位角相等，两直线平行”得到； （2）由垂直定义及直角三角形的性质求出，根据“等角的余角相等”求出，再根据“同位角相等，两直线平行”即可得解． 【详解】（1）证明：，， ． （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ． 2．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）如图，直线交于点O，分别平分和，已知．    (1)若，求的度数． (2)试判断与的位置关系，并说明理由； 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，平行线的判定，找准角度之间的等量关系，是解题的关键． （1）根据角平分线平分角，得到，结合平角的定义和，进行求解即可； （2）角平分线平分角，结合平角的定义推出，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： ∵分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，，平分． (1)求证：； (2)若射线绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转得到，同时，射线绕点C以每秒的速度顺时针方向旋转得到，和交于点P，设旋转时间为t秒． ①当时，请写出与之间的数量关系，并说明理由； ②当时，若，请直接写出t的值． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②60或 【分析】（1）易得，根据角平分线的定义得出，即可求证； （2）①根据题意得出，，，根据三角形的内角和定理得出，即可得出结论； ②根据题意进行分类讨论：当时，由①可得：，，则，根据，列出方程求解即可；当时，，，推出，根据，列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵，射线绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∵射线绕点C以每秒的速度顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴； ②当时， 由①可得：，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 综上：t的值为60或． 【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，一元一次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握各个性质定理，正确画出图形，列出方程求解． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点E在的延长线上，对于给出的四个条件： ①；②； ③；④． 其中能判断的是（　　） A．①② B．①④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可． 【详解】解：①∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴； ③∵， ∴； ④∵， ∴. 故选：B 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点在的延长线上，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键．根据平行线的判定方法，逐一进行判定即可． 【详解】解：A、， （内错角相等，两直线平行），不能判断，符合题意； B、， （内错角相等，两直线平行），能判断，不符合题意； C、， （同旁内角互补，两直线平行），能判断，不符合题意； D、， （内错角相等，两直线平行），能判断，不符合题意； 故选：A． 3．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）如图，能够判断的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定，解题的关键是掌握：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此分析即可作出判断． 【详解】解：A．∵， ∴，故此选项不符合题意； B．∵， ∴，故此选项符合题意； C．∵， ∴，故此选项不符合题意； D．∵， ∴，故此选项不符合题意． 故选：B． 4．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，，平分，，以下结论：①；②；③；④；其中正确结论是（    ） A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①② 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴，故②正确； ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故③错误； ∵， ∴ ， ∴，即，故④正确； 综上所述，正确的选项①②④， 故选：B． 5．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，下列证明的推理中正确应用了“同位角相等，两直线平行”这一原理的是（   ）．    A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，灵活运用平行线的判定定理成为解题的关键． 根据平行线的判定定理逐项判断即可解答． 【详解】解：A. 是对角，不能判定，不符合题意； B. ，的依据是“同位角相等，两直线平行”，符合题意； C. ，的依据是“内错角相等，两直线平行”，不符合题意； D. ，的依据是“同旁内角互补，两直线平行”，不符合题意． 故选B． 6．（24-25七年级上·海南海口·期末）如图，要得到，则需要条件 （填一个你认为正确的条件即可），理由是 ． 【答案】 （答案不唯一） 同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，涉及同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行等，根据图形，结合平行线的判定定理验证即可得到答案，熟记平行线的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：要得到，利用平行线的判定： ①同位角相等两直线平行，可填； ②内错角相等两直线平行，可填； ③同旁内角互补两直线平行，可填；； 故答案为：（答案不唯一）；同位角相等，两直线平行； 7．（23-24七年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，现给出下列条件：①，②，③，④，⑤，其中能够得到的条件是 ．（填序号）    【答案】①④/④① 【分析】本题考查平行线的判定．由平行线的判定逐个判断即可． 【详解】①∵，∴； ②∵，∴； ③∵，∴； ④∵，∴； ⑤∵，∴． ∴能够得到的条件是①④ 故答案为：①④． 8．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）如图所示，直线上有两点A，C，分别引两条射线，，，射线别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间 秒．    【答案】5或/或5 【分析】分①与在的两侧时，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解． 【详解】∵， ∴， 分三种情况： 如图①，与在的两侧时，，，    要使，则， 即， 解得； 如图②，旋转到与都在的右侧时，   ，， 要使，则， 即， 解得； 如图③，旋转到与都在的左侧时，   ，， 要使，则， 即， 解得， 此时， ∴此情况不存在． 综上所述，当时间t的值为5秒或秒时，与平行． 故答案为：5或． 【点睛】本题考查了平行线的判定、一元一次方程的应用，读懂题意并熟练掌握根据平行线的判定方法列方程是解题的关键，要注意分情况讨论． 9．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判断直线mn的有 ．（填序号） 【答案】①④⑤ 【分析】根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，逐一判断是否可以得到m∥n，从而可以解答本题． 【详解】解：∵∠1=25.5°，∠2=55°，∠ABC=30°， ∴∠ABC+∠1=55.5°=55°=∠2， ∴mn，故①符合题意； ∵∠1+∠2=90°，∠ABC=30°， ∴∠1+∠ABC不一定等于∠2， ∴m和n不一定平行，故②不符合题意； ∵∠2=2∠1，∠ABC=30°， ∴∠1+∠ABC不一定等于∠2， ∴m和n不一定平行，故③不符合题意； 过点C作CEm， ∴∠3=∠4， ∵∠ACB=∠1+∠3，∠ACB=∠4+∠5， ∴∠1=∠5， ∴ECn， ∴mn，故④符合题意； ∵∠ABC=∠2-∠1， ∴∠2=∠ABC+∠1， ∴mn，故⑤符合题意； 故答案为：①④⑤． 【点睛】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 10．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，现将木棒a、b同时顺时针旋转一周，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则 秒后木棒a，b平行． 【答案】2或14或50或110 【分析】设t秒后木棒a，b平行，分四种情况讨论：当秒时，当时，当时，当时，即可求解． 【详解】解：设t秒后木棒a，b平行，根据题意得： 当秒时，， 解得：t=2； 当时，， 解得：t=14； 当时，木棒a停止运动， 当时，， 解得：t=-10；（不合题意，舍去） 当时，或， 解得：t=50或t=110； 综上所述，2或14或50或110秒后木棒a，b平行． 故答案为：2或14或50或110 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，明确题意，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，和互余，和互余．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了同角的余角相等，平行线的判定，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据和互余，和互余得到，又因为，所以，即可得证． 【详解】解：和互余， ， 和互余， ， ， ， ， ． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，如图，直线，被直线所截，为与的交点，于点，，．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线．熟练掌握余角定义，对顶角性质，平行线的判定定理，是解题的关键． 根据垂线的定义，结合，得，进而得到，即可证明结论． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 13．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）如图与相交于点C，，且平分．求证：． 请完成下列推理过程： 证明：∵平分， ∴____________（____________）． ∵（____________） ∴（____________） ∵， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】；角平分线定义；对顶角相等；等量代换；；等量代换；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义，对顶角性质．首先根据角平分线定义，对顶角相等证明，再证明，然后根据同位角相等，两直线平行推出． 【详解】∵平分， ∴（角平分线定义）， ∵（对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∵， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：；角平分线定义；对顶角相等；等量代换；；等量代换；同位角相等，两直线平行． 14．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知点在上，平分，平分． (1)试说明：； (2)若，，则与平行吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定，平行公理推论，角平分线的定义，掌握平行线的性质和角平分线定义是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义得到，，根据平角的定义得到，根据垂直的定义求解即可； （2）根据平行线的判定及平行公理推论即可求解； 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）得，∠3＝∠4． ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 15．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，点在上，点在上，连接，过点作交于点，过点作平分交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）根据垂直的定义得到，推出，根据平行线的判定定理即可得到结论； （）根据三角形的内角和列方程得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论； 本题考查了同角的余角相等，垂直的定义，平行线的判定和性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$