专题01 直线的相交重难点题型专训（13大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版2024）

专题01 直线的相交重难点题型专训（13大题型+15道提优训练） 题型一 相交线 题型二 对顶角的定义 题型三 对顶角相等 题型四 邻补角的定义理解 题型五 找邻补角 题型六 利用邻补角互补求角度 题型七 垂线的定义理解 题型八 画垂线 题型九 垂线段最短 题型十 点到直线的距离 题型十一 同位角、内错角、同旁内角 题型十二 相交线的多结论问题 题型十三 相交线的综合 知识点1：相交线 1. 相交线的定义 在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 2. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 注意：两个角互为对顶角的特征是： （1）角的顶点公共； （2）角的两边互为反向延长线； （3）两条相交线形成2对对顶角。 3. 对顶角的性质：对顶角相等。 4. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 知识点2：垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 注意：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 注意： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。注意： （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 知识点3：同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 【经典例题一 相交线】 【例1】（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（   ）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 1．（24-25七年级上·四川眉山·期末）平面内有n条直线，这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2021七年级下·全国·专题练习）我们知道两直线交于一点，对顶角有2对，三条直线交于一点，对顶角有6对，四条直线交于一点，对顶角有12对，… （1）10条直线交于一点，对顶角有 对． （2）n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有 对． 3．（24-25七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）问题：我们知道平面内两条直线的位置关系有两种：相交、平行，那在同一平面内多条直线的位置关系又如何？现准备研究在同一平面内，有且仅有两条直线平行的条直线产生的交点个数情况．（是不小于3的正整数） (1)【初探】当时，交点个数有________个；当时，交点个数有________个； (2)【再探】当时，交点个数最多有________个； (3)【归纳】请你求出在同一平面内，有且仅有两条直线平行的条直线最多能产生多少个交点； (4)【运用】在同一平面内，有且仅有两条直线平行的12条直线最多能产生多少个交点，此时，图中共有多少对对顶角？ 【经典例题二 对顶角的定义】 【例2】（24-25七年级下·江西上饶·期末）下面四个图形中∠1与∠2为互为对顶角的说法正确的是（   ）    A．都互为对顶角 B．图1、图2、图3中的∠1、∠2互为对顶角 C．都不互为对顶角 D．只有图3中的∠1、∠2互为对顶角 4．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，下列结论正确的是（    ）    A．与是对顶角 B．与是对顶角 C． D． 5．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，在同一平面内，两条直线相交有2对对顶角，三条直线相交有6对对顶角……照此规律，条直线相交一共有 对对顶角. 6．（23-24七年级上·全国·课后作业）（1）观察图1，两条直线交于一点，共有2对对顶角；三条直线相交于一点，共有6对对顶角；四条直线相交于一点，共有_______________对对顶角．试猜想，10条直线相交于一点，共有_______________对对顶角； （2）观察图2，两条直线交于一点，共有2对对顶角；三条直线两两相交于不同的点，共有6对对顶角；四条直线两两相交于不同的点，共有_______________对对顶角．试猜想，10条直线两两相交于不同的点，共有_______________对对顶角； （3）针对上述两种情形，试归纳出一个一般性的结论．    【经典例题三 对顶角相等】 【例3】（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，直线，相交于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·辽宁朝阳·期中）若 与 相等且互补，与是对顶角，则的一半是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点O，平分，平分．若的度数为．则 ．（用含α的代数式表示） 9．（24-25七年级上·四川巴中·期末）如图，直线，交于点O，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【经典例题四 邻补角的定义理解】 【例4】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与相交于点，，与的关系是（    ）． A．互余 B．互补 C．相等 D．和是钝角 10．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）如图，直线，相交于点，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·上海虹口·期末）若的对顶角是，的邻补角是，的余角是，若，则 ． 12．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）、邻补角． (1)如图1，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (2)如图2，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (3)如图3，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (4)根据（1）-（3）中直线的条数与对顶角、邻补角的对数之间的关系，探究：若有条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 【经典例题五 找邻补角】 【例5】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）把一张长方形纸片沿翻折后，点，分别落在、的位置上，交于点， 则图中与互补的角有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（24-25七年级下·江西吉安·期中）如图，两条直线与相交于点O，是射线，则图中共有邻补角和对顶角的数量分别为（    ） A．6对，2对 B．4对，2对 C．8对，4对 D．4对，4对 14．（24-25七年级下·全国·单元测试）三条直线AB、CD、EF相交于点O，如图所示，∠AOD的对顶角是 ，∠FOB的对顶角是 ，∠EOB的邻补角是 15．（23-24七年级下·吉林松原·阶段练习）如图，直线相交于点O，平分． (1)图中的邻补角为______； (2)若，求的度数． 【经典例题六 利用邻补角互补求角度】 【例6】（24-25七年级上·重庆·期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC =75°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE：∠EOD=1：2，则∠AOE等于（　　　） A．130° B．150° C．155° D．160° 17．（23-24七年级上·河南南阳·期末）如图，直线相交于点O，射线平分，过点O作射线，使，如果，则的度数是 ．    18．（24-25七年级上·福建漳州·期末）如图，点O是直线上一点，，且、位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数． (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【经典例题七 垂线的定义理解】 【例7】（24-25九年级上·云南楚雄·期末）如图，，于点E，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，点在直线上，，若，则的补角的大小为（    ）    A． B． C． D． 20．（23-24七年级下·天津和平·期末）如图，直线相交于点O，平分，，若，则 度． 21．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)根据（1）（2）的结果猜想与的关系，并根据图①说明理由． 【经典例题八 画垂线】 【例8】（23-24·浙江金华·二模）甲，乙两位同学用尺规作“过直线l外一点C作直线l的垂线”时，第一步两位同学都以C为圆心，适当长度为半径画弧，交直线l于D，E两点（如图）；第二步甲同学作∠DCE的平分线所在的直线，乙同学作DE的中垂线．则下列说法正确的是（　　） A．只有甲的画法正确 B．只有乙的画法正确 C．甲，乙的画法都正确 D．甲，乙的画法都不正确 22．（24-25七年级上·北京通州·期末）已知，平面内三个点，，不在同一条直线上． (1)按要求画图，保留画图痕迹； ①画线段，画射线，画直线； ②延长线段到点，使得； ③过点画直线，垂足为；④连接． (2)观察你画出的图形，写出一个图形中正确的结论． 23．（24-25七年级上·北京石景山·期末）如图，平面上有三个点． (1)选择恰当的工具按要求画图． ①画直线； ②画射线； ③画线段； ④延长线段到使得； ⑤过点作的垂线分别交于点． (2)通过观察或测量写出线段与线段的数量关系． 24．（23-24七年级下·北京东城·期末）如图，直线与直线相交于点，是平面内一点，请根据下列语句画图并解答问题： (1)过点画交于点； (2)过点画的垂线，垂足为点； (3)比较线段与的长短_________（用“”连接），并说明依据________． 【经典例题九 垂线段最短】 【例9】（23-24七年级下·山西大同·阶段练习）有下列说法：其中正确的说法的个数是（    ） （1）对顶角相等；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； （4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1 B．2 C．3 D．4 25．（24-25七年级下·全国·期末）如图，相交于点平分． (1)线段_______的长度表示点到的距离； (2)_______（填“＞”“>”或“＝”），理由：_______； (3)若，求的度数． 26．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，村庄A和村庄B位于一条笔直的公路l的两侧． (1)现要在公路l上设立一个公交站台C，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．请在图中画出公交站C的位置，并说明理由． (2)一位A庄的居民有急事出门，打算打车前往目的地．请在图中画出公路l上最近上车点H的位置，并说明理由． 27．（24-25七年级上·上海·假期作业）如图，，．填空： （1） 度； （2）直线与的位置关系是 ； （3）点B到直线的距离是线段 的长度，点D到直线的距离是线段 的长度； （4）在线段，，中，最短的是线段 ；在线段，，中，最短的是线段 ，理由是 ． 【经典例题十 点到直线的距离】 【例10】（24-25七年级下·全国·单元测试）点P为直线外一点：点A、B、C为直线上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线的距离是  (    ) A．2 cm B．4 cm C．5 cm D．不超过2 cm 一、系统分组_加入顺序 28．（24-25七年级下·河北承德·期中）点A、B、C为直线l上三点，点P为直线l外一点，且PA=3cm，PB=4cm，PC=5cm，则点P到直线l的距离为(     ) A．2cm B．3cm C．小于3cm D．不大于3cm 29．（24-25七年级下·广东珠海·期中）如图所示，已知，若，，，则点到的距离是 ，点到的距离是 ． 30．（24-25七年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在直角三角形中，，，．请解答下列问题：    (1)点B到的距离是 ，点A到的距离是 ； (2)请在图中作出点C到的垂线段； (3) （填“”、“”、“”），理由是 ． 【经典例题十一 同位角、内错角、同旁内角】 【例11】（24-25七年级上·云南文山·期中）下列各图中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 31．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截得的，并说出它们是什么角？和；和；和；和；和；和. 32．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，(1)∠BED与∠CBE是直线________，________被直线________所截形成的________角； (2)∠A与∠CED是直线________，________被直线________所截形成的________角； (3)∠CBE与∠BEC是直线________，________被直线________所截形成的________角； (4)∠AEB与∠CBE是直线________，________被直线________所截形成的________角． 33．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB、CD被DE所截，则∠1和 是同位角，∠1和 是内错角，∠1和 是同旁内角，如果∠1=∠5.那么∠1 ∠3. 【经典例题十二 相交线的多结论问题】 【例12】（24-25七年级上·上海·期末）下列说法中正确的有（　　） ① 相等的角是对顶角； ②有公共顶点和一条公共边，且和为的两个角互为邻补角； ③同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； ⑤如图，和是同旁内角； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 1．（24-25七年级下·广西钦州·期末）如图，直线，相交于点，平分，于点．若，下列说法：①；②；③．其中正确的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）下列说法正确的说法有（    ）个 ①同位角相等②由两条射线组成的图形叫做角③同一平面内，过一点由且只有一条直线与已知直线垂直④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这一点到直线的距离⑤相等的角是对顶角⑥两条相交直线所得的四个角相等，则这两条直线一定互相垂直 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25七年级上·河南省直辖县级单位·期末）下列说法错误的是（    ） A．如图（1），建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释是：两点确定一条直线． B．如图（2），将甲，乙两把尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校定是直的，那么乙尺不是直的，判断依据是：经过两点有且只有一条直线． C．如图（3），要测量两堵围墙形成的的度数，但人不能进入围墙，可先延长得到，然后测量的度数，再计算出的度数，其中依据的原理是：等角的余角相等． D．如图（4），从小明家到学校原有三条路线：路线①；路线②；路线③，后又开通了一条直道，路线④，这四条路线中路线④路程最短，其中依据的原理是：两点之间线段最短． 【经典例题十三 相交线的综合】 【例13】（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，已知直线和相交于点 ，射线 于点 ，射线 于点 ，且，求 与 的度数．    1．（23-24七年级下·河南南阳·开学考试）已知为直线上一点，，．    (1)如图1，下面是判断与的数量关系的部分说理过程，请完成填空： 因为__________°，__________°；（第一步） 所以__________；（第二步） 在上面（第一步）到（第二步）的推理过程中，理由依据是：__________． (2)若将绕点旋转至图②的位置． ①直接写出图中所有相等的角（直角除外）__________． ②作的平分线，若，则__________（用含的代数式表示）． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线，相交于点O，平分，． (1)图中的余角是__________（把符合条件的角都填上）； (2)如果，求和的度数． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，点是直线上的一点． (1)如图，，，求的度数： (2)在中，绕着点顺时针转动（与重合即停止）如图，、分别平分、，则在转动过程中，的大小是否变化？若不变，求出的大小；若改变，请说明理由； (3)在中，线段、绕着点顺时针转动，速度分别为每秒和每秒当与重合时停止转动，、分别平分、，设转动的时间为秒，则当等于多少时？ 1．（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）如图，直线相交于点，垂足为O，如果，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河南新乡·期末）如图，，，三条直线相交于点O，且，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·河北沧州·期中）图1是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即（如图2）反射光线与入射光线、法线在同一平面上，法线垂直于平面镜，反射光线和入射光线位于法线的两侧，反射角等于入射角．如图3，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜，利用光的反射原理找到了乒乓球的位置，已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·四川泸州·期末）如图，直线交于点O，由点O引射线，使，，则是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·浙江·期末）如图，直线，相交于点，平分，设，，下列结论： ①，则；②若，则；③若，则；④若平分．则其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 6．（24-25七年级上·江西南昌·期末）在同一平面内，，射线与的一边所成夹角为直角，射线平分，则的度数为 ． 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在直线上任取一点O，过点O作射线、，使，当时，的度数是 ． 8．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知的两边与的两边分别垂直，且比的倍少，则 ． 9．（24-25七年级上·重庆九龙坡·期末）如图，直线和交于O点，平分于点，则 ． 10．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点O，，平分，若，则 °． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知直线与相交于点，分别是的平分线． (1)的补角是 ； (2)若，求和的度数． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线和相交于点，把分成两部分，且，平分． (1)若，求． (2)若，求． 13．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，直线、相交于点O，与互为余角． (1)若，求的大小； (2)若、分别平分、，求的大小． 14．（24-25七年级上·四川资阳·期末）如图，于点，射线，的方向如各图所示，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，射线平分．若，求，的度数； (3)如图3，射线平分，若，用含的代数式表示，的度数． 15．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，点是直线上的一点． (1)如图，，，求的度数： (2)在中，绕着点顺时针转动（与重合即停止）如图，、分别平分、，则在转动过程中，的大小是否变化？若不变，求出的大小；若改变，请说明理由； (3)在中，线段、绕着点顺时针转动，速度分别为每秒和每秒当与重合时停止转动，、分别平分、，设转动的时间为秒，则当等于多少时？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 直线的相交重难点题型专训（13大题型+15道提优训练） 题型一 相交线 题型二 对顶角的定义 题型三 对顶角相等 题型四 邻补角的定义理解 题型五 找邻补角 题型六 利用邻补角互补求角度 题型七 垂线的定义理解 题型八 画垂线 题型九 垂线段最短 题型十 点到直线的距离 题型十一 同位角、内错角、同旁内角 题型十二 相交线的多结论问题 题型十三 相交线的综合 知识点1：相交线 1. 相交线的定义 在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 2. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 注意：两个角互为对顶角的特征是： （1）角的顶点公共； （2）角的两边互为反向延长线； （3）两条相交线形成2对对顶角。 3. 对顶角的性质：对顶角相等。 4. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 知识点2：垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 注意：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 注意： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 注意： （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 知识点3：同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 【经典例题一 相交线】 【例1】（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（   ）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 【答案】C 【分析】本题考查了直线定义，相交线，掌握直线的位置关系是解题的关键． 根据题意，画出图形，分两种情况：①，不平行；②，平行时，进行解答即可． 【详解】解：分两种情况： ①若，不平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成7个部分． ②若，平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成6个部分， 综上所述，这三条直线把平面分成6或7个部分． 故选：C． 1．（24-25七年级上·四川眉山·期末）平面内有n条直线，这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是直线的交点问题，解答此题的关键是找出规律，需注意的是条直线相交时最少有一个交点． 分别求出2条直线、3条直线、4条直线、5条直线的交点个数，找出规律即可解答． 【详解】解：2条直线相交最多可以有1个交点，最少有1个交点； 3条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 4条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 5条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 6条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 所以，而， ． 故选：D． 2．（2021七年级下·全国·专题练习）我们知道两直线交于一点，对顶角有2对，三条直线交于一点，对顶角有6对，四条直线交于一点，对顶角有12对，… （1）10条直线交于一点，对顶角有 对． （2）n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有 对． 【答案】 90 n（n﹣1） 【分析】（1）仔细观察计算对顶角的式子，发现式子不变的部分及变的部分的规律，求出本题结论； （2）利用（1）中规律，用字母表示数得出答案即可． 【详解】解：（1）如图① 两条直线交于一点，图中共有=2对对顶角；如图②三条直线交于一点，图中共有=6对对顶角；如图③四条直线交于一点，图中共有=12对对顶角；…； 按这样的规律，10条直线交于一点，那么对顶角共有：=90， 故答案为：90； （2）由（1）得：n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有：=n（n﹣1）． 故答案为：n（n﹣1）． 【点睛】此题主要考查了对顶角以及图形变化规律，本题是一个探索规律型的题目，解决时注意观察每对数之间的关系．这是中考中经常出现的问题． 3．（24-25七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）问题：我们知道平面内两条直线的位置关系有两种：相交、平行，那在同一平面内多条直线的位置关系又如何？现准备研究在同一平面内，有且仅有两条直线平行的条直线产生的交点个数情况．（是不小于3的正整数） (1)【初探】当时，交点个数有________个；当时，交点个数有________个； (2)【再探】当时，交点个数最多有________个； (3)【归纳】请你求出在同一平面内，有且仅有两条直线平行的条直线最多能产生多少个交点； (4)【运用】在同一平面内，有且仅有两条直线平行的12条直线最多能产生多少个交点，此时，图中共有多少对对顶角？ 【答案】(1)2；3或5 (2)9 (3) (4)65；130对 【分析】（1）按要求画出图形，数一数即可； （2）按要求画出图形，数一数即可； （3）由（1）（2）的图及结果，按照不重不漏的原则，分别找出取、、、等最多交点数与之间的关系，即可求解； （4）代入（3）的代数式求解即可，根据对顶角的定义，可知每两条直线相交的一个交点处有两对对顶角，从而可求． 【详解】（1）解：当时，如图： 故答案：． 当时，如图 故答案：3或5． （2）解：当时，如图 故答案：． （3）解：由（1）（2）得： 当时，交点个数最多：； 当时，交点个数最多：； 当时，交点个数最多：； ．．．．．． 条直线时，交点个数最多：    故答案：． （4）解：当时，， ． 答：有且仅有两条直线平行的12条直线最多能产生65个交点，此时共有130对对顶角． 【点睛】本题考查了以直线交点数为背景的探究规律问题，准确找出规律是解题的关键． 【经典例题二 对顶角的定义】 【例2】（24-25七年级下·江西上饶·期末）下面四个图形中∠1与∠2为互为对顶角的说法正确的是（   ）    A．都互为对顶角 B．图1、图2、图3中的∠1、∠2互为对顶角 C．都不互为对顶角 D．只有图3中的∠1、∠2互为对顶角 【答案】D 【分析】根据对顶角的定义来判断，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． 【详解】解：根据对顶角的定义可知：C中∠1、∠2属于对顶角， 故选：D． 【点睛】本题考查对顶角的定义，是需要熟记的内容． 4．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，下列结论正确的是（    ）    A．与是对顶角 B．与是对顶角 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的定义、余角的定义等知识点，掌握对顶角和余角的定义成为解题的关键．根据对顶角的性质可判定A、B选项，再根据余角的定义可判定C、D选项． 【详解】解：由对顶角的定义可知∠1和∠2不是对顶角，∠3和∠4也不是对顶角，即A、B选项不符合题意； ∵，， ∴，即C选项符合题意； ∵， ∴，即D选项不符合题意． 故选C． 5．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，在同一平面内，两条直线相交有2对对顶角，三条直线相交有6对对顶角……照此规律，条直线相交一共有 对对顶角. 【答案】 【分析】分析不难发现，对顶角的对数等于直线的条数与比它小1的数的乘积． 【详解】2条直线相交有2对对顶角，2=1×2， 3条直线两两相交有6对对顶角，6=2×3， 4条直线两两相交有12对对顶角，12=3×4， …， n条直线两两相交有n(n-1)对对顶角， 故答案为n(n-1)． 【点睛】本题考查了对顶角的定义，相交直线，仔细观察数据，分别写成两个数的乘积的形式是解题的关键． 6．（23-24七年级上·全国·课后作业）（1）观察图1，两条直线交于一点，共有2对对顶角；三条直线相交于一点，共有6对对顶角；四条直线相交于一点，共有_______________对对顶角．试猜想，10条直线相交于一点，共有_______________对对顶角； （2）观察图2，两条直线交于一点，共有2对对顶角；三条直线两两相交于不同的点，共有6对对顶角；四条直线两两相交于不同的点，共有_______________对对顶角．试猜想，10条直线两两相交于不同的点，共有_______________对对顶角； （3）针对上述两种情形，试归纳出一个一般性的结论．    【答案】（1）    ；（2）    ；（3）在同一平面内，条直线两两相交，共有对对顶角 【分析】根据每两条直线相交可以构成两对对顶角，只需要找到一组直线中相交直线的对数，即可求得对顶角的对数． 【详解】（1）两条直线相交于一点，共有对相交直线，有对对顶角；三条直线相交于一点，共有对相交直线，有对对顶角；四条直线相交于一点，共有对相交直线，有对对顶角；条直线相交于一点，共有对相交直线，有对对顶角． 故答案为：     （2）两条直线相交于一点，共有对相交直线，有对对顶角；三条直线两两相交于不同的点，共有对相交直线，有对对顶角；四条直线两两相交于不同的点，共有对相交直线，有对对顶角；条直线两两相交于不同的点，共有对相交直线，有对对顶角． 故答案为：     （3）在同一平面内，条直线两两相交，相交直线的对数，对顶角的对数． 故答案为：在同一平面内，条直线两两相交，共有对对顶角． 【点睛】本题主要考查对顶角，牢记对顶角的定义是解题的关键． 【经典例题三 对顶角相等】 【例3】（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，直线，相交于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质和邻补角的性质，根据对顶角相等求出的度数，根据，求出，再由邻补角的性质求出的度数即可，掌握对顶角相等，邻补角之和等于是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：． 7．（24-25七年级下·辽宁朝阳·期中）若 与 相等且互补，与是对顶角，则的一半是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据互补的两个角的和等于 ，以及 与 互补且相等可求 ， 再根据对顶角相等求出 ，进一步即可得解 【详解】∵ 与 互补且相等， 与是对顶角， 的一半是， 故选B 【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，补角的定义，是基础题，熟记性质与概念是解题的关键 8．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点O，平分，平分．若的度数为．则 ．（用含α的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查几何图形中的角度计算问题，角平分线的定义，对顶角的性质等，根据对顶角相等可得，根据角平分线的定义可得，，最后根据平角的定义求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·四川巴中·期末）如图，直线，交于点O，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，角的计算，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）利用平角定义可得，根据垂直定义可得，然后利用角的和差即可解答； （2）由求出，根据对顶角相等得，然后利用角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：平分，且 （2）解：由（1）知： ∵平分， 【经典例题四 邻补角的定义理解】 【例4】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与相交于点，，与的关系是（    ）． A．互余 B．互补 C．相等 D．和是钝角 【答案】B 【分析】由已知条件可得，再根据可得出，，可推出． 【详解】解：∵直线与相交于点， ∴（对顶角相等）， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴与的关系是互补． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是对顶角以及邻补角，掌握对顶角以及邻补角的定义是解此题的关键． 10．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）如图，直线，相交于点，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图可知∠BOC与∠BOD是邻补角，于是有∠BOC+∠BOD=180°，从而只需求出∠BOD的度数；根据OM⊥AB可知∠BOM=90°，而∠BOM=∠BOD+∠MOD，结合已知即可推出∠BOD的度数. 【详解】∵直线AB，CD相交于点O，∠BOC与∠BOD是邻补角， ∴∠BOC+∠BOD=180°. ∵OM⊥AB， ∴∠BOM=∠BOD+∠MOD=90°， ∴∠BOD=90°-∠MOD=90°-30°=60°， ∴∠BOC=180°-∠BOD=180°-60°=120°. 故选：C 【点睛】此题考查对顶角、邻补角，解题关键在于明确各角之间的数量关系. 11．（24-25七年级下·上海虹口·期末）若的对顶角是，的邻补角是，的余角是，若，则 ． 【答案】145 【分析】根据余角、邻补角、对顶角的性质进行求解，即可得到答案． 【详解】解：的余角是，， ， 的邻补角是， ， 的对顶角是， ， 故答案为：145． 【点睛】本意考查了余角、邻补角、对顶角，熟练掌握相关性质是解题关键． 12．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）、邻补角． (1)如图1，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (2)如图2，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (3)如图3，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (4)根据（1）-（3）中直线的条数与对顶角、邻补角的对数之间的关系，探究：若有条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 【答案】(1)2，4 (2)6，12 (3)12，24 (4)若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角，对邻补角 【分析】（1）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案； （2）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案； （3）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案； （4）由（1）-（3）中直线与对顶角、邻补角的对数找到规律，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，2条直线相交于一点，共有2对对顶角，4对邻补角； 故答案为：2，4； （2）解：如图2，3条直线相交于一点，共有6对对顶角，12对邻补角； 故答案为：6，12； （3）解：如图3，4条直线相交于一点，共有12对对顶角，24对邻补角； 故答案为：12，24； （4）解：2条直线相交于一点，共有对对顶角，对邻补角； 3条直线相交于一点，共有对对顶角，对邻补角； 4条直线相交于一点，共有对对顶角，对邻补角； 若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角，对邻补角． 【点睛】本题考查了对顶角、邻补角的定义，图形类规律的探索，熟练掌握知识点，找到规律是解题的关键． 【经典例题五 找邻补角】 【例5】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）把一张长方形纸片沿翻折后，点，分别落在、的位置上，交于点， 则图中与互补的角有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据对折的性质可知，∠FEG=∠FEC，找出与∠FEC互补的角即可． 【详解】∵将长方形纸片沿翻折得到如上图形 ∴∠FEG=∠FEC，∠EFD=∠EF 由图形知，∠FEC与∠FCB互补 ∵AD∥BC，∴∠FEC与∠EFD互补 ∴∠EF与∠EFD也互补 故选：C 【点睛】本题考查对折的性质和互补的性质，解题关键是将∠FEG转化为∠FEC． 13．（24-25七年级下·江西吉安·期中）如图，两条直线与相交于点O，是射线，则图中共有邻补角和对顶角的数量分别为（    ） A．6对，2对 B．4对，2对 C．8对，4对 D．4对，4对 【答案】A 【分析】根据邻补角与对顶角的定义找出邻补角和对顶角即可求解． 【详解】解：∵两条直线与相交于点O，是射线， ∴对顶角有：与，与，共2对， 邻补角有：与，与，与，与，与，与，共6对 故选:A 【点睛】本题考查了邻补角与对顶角的定义，掌握定义是解题的关键． 14．（24-25七年级下·全国·单元测试）三条直线AB、CD、EF相交于点O，如图所示，∠AOD的对顶角是 ，∠FOB的对顶角是 ，∠EOB的邻补角是 【答案】 ∠BOC ∠AOE ∠AOE和∠BOF 【分析】根据对顶角和邻补角的定义解答，注意两直线相交，一个角的对顶角只有一个，但邻补角有两个． 【详解】对顶角和邻补角在两条直线相交的上形中产生，根据对顶角、邻补角的定义得： ∠AOD的对顶角是∠BOC， ∠FOB的对顶角是∠AOE， ∠EOB的邻补角是∠AOE和∠BOF． 故答案为(1)∠BOC (2)∠AOE (3)∠AOE和∠BOF 【点睛】本题考查对顶角和邻补角的定义，是一个需要熟记的内容． 15．（23-24七年级下·吉林松原·阶段练习）如图，直线相交于点O，平分． (1)图中的邻补角为______； (2)若，求的度数． 【答案】(1)和 (2) 【分析】本题主要考查邻补角以及与角有关的计算： （1）直接根据邻补角定义解答即可； （2）设，由角平分线定义得，得，，根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵, ∴的邻补角为和， 故答案为：和； （2）解：设， ∵平分， ∴ ∴， ∴， ∵ ∵ 解得，， ∴ 【经典例题六 利用邻补角互补求角度】 【例6】（24-25七年级上·重庆·期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有关角平分线的计算，邻补角的性质，明确题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键．根据，可得，从而得到，再由平分，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：A． 16．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC =75°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE：∠EOD=1：2，则∠AOE等于（　　　） A．130° B．150° C．155° D．160° 【答案】C 【分析】根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据∠BOE：∠EOD＝1：2求出∠BOE的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠AOE的度数． 【详解】解：∵∠AOC＝75°， ∴∠BOD＝∠AOC＝75°， ∵∠BOE：∠EOD＝1：2， ∴∠BOE＝×75°＝25°， ∴∠AOE＝． 故选：C． 【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，邻补角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键． 17．（23-24七年级上·河南南阳·期末）如图，直线相交于点O，射线平分，过点O作射线，使，如果，则的度数是 ．    【答案】射线如图所示，或． 【分析】本题考查了求角的度数，角平分线的定义，垂线的定义，作的角平分线，或的角平分线，根据题意即可求解，知道邻补角的角平分线互相垂直是解题的关键． 【详解】解：如图，作的角平分线，或的角平分线，    ∵平分，, ∴，， ∴或即为所求， ∵， ∴ ∵平分， ∴， 由题意可知，， ∵平分， ∴， ∴， ∴的度数是或． 18．（24-25七年级上·福建漳州·期末）如图，点O是直线上一点，，且、位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数． (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，邻补角互补的知识，掌握以上的知识是解题的关键； （1）根据，，得到，再根据角平分线得到，最后通过邻补角互补即可求解； （2）本题先得出，进而通过角平分线得到，最后通过邻补角互补即可求解； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：， 理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ， 即 【经典例题七 垂线的定义理解】 【例7】（24-25九年级上·云南楚雄·期末）如图，，于点E，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得到，根据三角形内角和得到，根据平行线的性质，即可求解， 此题考查了平行线的性质，三角形内角和，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，三角形内角和． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 19．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，点在直线上，，若，则的补角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂线以及余角和补角，根据垂直定义可得，从而利用角的和差关系可得，然后利用邻补角的定义，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的补角的大小为． 故选：B． 20．（23-24七年级下·天津和平·期末）如图，直线相交于点O，平分，，若，则 度． 【答案】 【分析】此题考查了角平分线的定义、垂直的定义等知识，先求出，由垂直定义得到，则，由平分线定义得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴ ∴， 故答案为： 21．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)根据（1）（2）的结果猜想与的关系，并根据图①说明理由． 【答案】(1) (2) (3)．理由见解析 【分析】本题考查了垂线，角的和差，解题的关键是利掌握以上知识点． （1）根据垂线的定义，可得与的度数，根据余角的定义，可得的度数，根据角的和差，可得答案； （2）根据角的和差，可得答案； （3）根据题意得出，，再根据角的和差，可得答案 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∴． （3）解：．理由如下： 由题图①，得，． ∵， ∴． 【经典例题八 画垂线】 【例8】（23-24·浙江金华·二模）甲，乙两位同学用尺规作“过直线l外一点C作直线l的垂线”时，第一步两位同学都以C为圆心，适当长度为半径画弧，交直线l于D，E两点（如图）；第二步甲同学作∠DCE的平分线所在的直线，乙同学作DE的中垂线．则下列说法正确的是（　　） A．只有甲的画法正确 B．只有乙的画法正确 C．甲，乙的画法都正确 D．甲，乙的画法都不正确 【答案】C 【分析】利用等腰三角形的三线合一可判断甲乙的画法都正确． 【详解】∵CD＝CE， ∴∠DCE的平分线垂直DE，DE的垂直平分线过点C， ∴甲，乙的画法都正确． 故选C． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 22．（24-25七年级上·北京通州·期末）已知，平面内三个点，，不在同一条直线上． (1)按要求画图，保留画图痕迹； ①画线段，画射线，画直线； ②延长线段到点，使得； ③过点画直线，垂足为；④连接． (2)观察你画出的图形，写出一个图形中正确的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析（答案不唯一） 【分析】（1）根据射线、直线、线段的画法，垂线的画法，画出图形即可求解； （2）根据两点之间线段最短即可得出 【详解】（1）解：如图所示，线段，射线，直线，线段、，，即为所求 （2）解：观察图形发现：． 23．（24-25七年级上·北京石景山·期末）如图，平面上有三个点． (1)选择恰当的工具按要求画图． ①画直线； ②画射线； ③画线段； ④延长线段到使得； ⑤过点作的垂线分别交于点． (2)通过观察或测量写出线段与线段的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握线段、射线的概念及垂线段的性质． （1）利用直尺和三角板根据题目要求作图即可； （2）通过测量，比较即可判断． 【详解】（1）解：如图，①直线即为所求； ②射线即为所求； ③线段即为所求； ④线段即为所求， ⑤垂线、即为所求， ； （2）解：测量得，， 故． 24．（23-24七年级下·北京东城·期末）如图，直线与直线相交于点，是平面内一点，请根据下列语句画图并解答问题： (1)过点画交于点； (2)过点画的垂线，垂足为点； (3)比较线段与的长短_________（用“”连接），并说明依据________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，两点之间垂线段最短 【分析】本题考查了作图复杂作图、垂线、垂线段最短、平行线的性质． （1）根据平行线的画法作图即可； （2）利用直角三角板一条直角边与重合，沿平移，直到另一直角边过点，画出垂线即可； （3）根据垂线段最短即可判断． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3），依据：两点之间垂线段最短， 故答案为：，两点之间垂线段最短． 【经典例题九 垂线段最短】 【例9】（23-24七年级下·山西大同·阶段练习）有下列说法：其中正确的说法的个数是（    ） （1）对顶角相等；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； （4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、垂线的性质、平行线公理，点到直线的距离，解题关键是准确掌握相关性质和概念，正确进行判断．根据平行线公理，点到直线的距离、垂线的性质、平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：（1）对顶角相等，正确； （2）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误； （3）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原说法错误； （4）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； 故选：A． 25．（24-25七年级下·全国·期末）如图，相交于点平分． (1)线段_______的长度表示点到的距离； (2)_______（填“＞”“>”或“＝”），理由：_______； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2)＞；垂线段最短 (3) 【分析】本题考查的是点到直线的距离，掌握点到直线的距离是解题的关键 （1）根据点到直线的距离解答即可； （2）根据垂线段最短解答即可； （3）根据垂直的定义和角之间的关系解答即可． 【详解】（1）解：线段的长度表示点M到的距离； 故答案为：； （2）解：比较与的大小为：，理由是：垂线段最短； 故答案为：>；垂线段最短； （3）解：平分， ， ． 26．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，村庄A和村庄B位于一条笔直的公路l的两侧． (1)现要在公路l上设立一个公交站台C，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．请在图中画出公交站C的位置，并说明理由． (2)一位A庄的居民有急事出门，打算打车前往目的地．请在图中画出公路l上最近上车点H的位置，并说明理由． 【答案】(1)作图见解析，理由：两点之间，线段最短； (2)作图见解析，理由：垂线段最短； 【分析】本题考查作图应用与设计作图，两点之间线段最短，垂线段最短，树立了掌握它们的性质是解题的关键； （1）连接与直线l的交于点C即为所求； （2）过点A作交于点H，即为所求． 【详解】（1）解：（1）如图所示：连接与直线l的交点即为所求的点C， ， 理由：两点之间，线段最短， （2） 如图所示：点H即为所求；， 理由：垂线段最短． 27．（24-25七年级上·上海·假期作业）如图，，．填空： （1） 度； （2）直线与的位置关系是 ； （3）点B到直线的距离是线段 的长度，点D到直线的距离是线段 的长度； （4）在线段，，中，最短的是线段 ；在线段，，中，最短的是线段 ，理由是 ． 【答案】 90 互相垂直 垂线段最短 【分析】（1）根据垂线的定义以及性质即可解决问题； （2）根据垂线的定义以及性质即可解决问题； （3）根据点到直线的距离定义解决问题； （4）根据垂线段最短即可解决问题； 本题考查了垂线的定义和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：90． （2）解：∵， ∴， ∴直线与的位置关系是互相垂直． 故答案为：互相垂直． （3）解：∵， ∴线段的长是点B到直线的距离的线段； 同理，点D到直线的距离是线段的长度； 故答案为：，． （4）在线段，，中，最短的线段是；在线段，，中，最短的是线段．理由是垂线段最短． 故答案为：，，垂线段最短． 【经典例题十 点到直线的距离】 【例10】（24-25七年级下·全国·单元测试）点P为直线外一点：点A、B、C为直线上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线的距离是  (    ) A．2 cm B．4 cm C．5 cm D．不超过2 cm 【答案】D 【分析】根据直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短，因为PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，可得三条线段的最短的线段，点P到直线l的距离应该不超过这条线段的长，据此判断即可． 【详解】解：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短； 因为PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm， 所以三条线段的最短的是2 cm， 所以点P到直线l的距离不超过2 cm． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了点到直线的距离的含义以及特征，考查了分析推理能力的应用，解答此题的关键是要明确：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短． 一、系统分组_加入顺序 28．（24-25七年级下·河北承德·期中）点A、B、C为直线l上三点，点P为直线l外一点，且PA=3cm，PB=4cm，PC=5cm，则点P到直线l的距离为(     ) A．2cm B．3cm C．小于3cm D．不大于3cm 【答案】D 【分析】根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，可得连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短；然后根据PA=3cm，PB=4cm，PC=5cm，可得三条线段的最短的是3cm，所以点P到直线l的距离不大于3cm，据此判断即可． 【详解】连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短； 因为PA=3cm，PB=4cm，PC=5cm， 所以三条线段的最短的是3cm， 所以点P到直线l的距离不大于3cm． 故选：D． 【点睛】此题考查点到直线的距离，解题的关键是要明确：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短． 29．（24-25七年级下·广东珠海·期中）如图所示，已知，若，，，则点到的距离是 ，点到的距离是 ． 【答案】 4cm 2.4cm 【分析】根据点到直线的距离概念可得点到的距离为垂线段AC的长，设点到的距离为，依据三角形面积，即可得到点到的距离． 【详解】解：∵， ∴， ∴点到的距离为垂线段AC的长， 又∵， ∴点到的距离为4cm； 设点到的距离为， ， ， ， ∵，，， ， ， 故答案为：4cm；2.4cm． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，利用三角形的面积得出是解题关键． 30．（24-25七年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在直角三角形中，，，．请解答下列问题：    (1)点B到的距离是 ，点A到的距离是 ； (2)请在图中作出点C到的垂线段； (3) （填“”、“”、“”），理由是 ． 【答案】(1)8，6 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据点到直线的距离的定义求解； （2）过点作的垂线，垂足为； （3）根据垂线段最短进行判断． 【详解】（1）解：点B到的距离是，点A到的距离是； 故答案为：8，6； （2）如图，为所作；    （3），理由是垂线段最短． 故答案为：；垂线段最短． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握点到直线距离的概念是解答本题的关键．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离． 【经典例题十一 同位角、内错角、同旁内角】 【例11】（24-25七年级上·云南文山·期中）下列各图中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了内错角的判断，熟记内错角的定义是解题的关键．两条直线被第三条直线所截形成的八个角中，两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角． 根据内错角的定义可知，内错角是成“”字形的两个角，据此逐项分析可得答案． 【详解】解：A.、与是内错角，符合题意； B、与不是内错角，不符合题意； C、与不是内错角，不符合题意； D、与不是内错角，不符合题意； 故选：A． 31．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截得的，并说出它们是什么角？和；和；和；和；和；和. 【答案】答案见解析. 【分析】根据同位角、内错角和同旁内角的定义进行解答即可. 【详解】和是直线ED和直线BD被直线AB所截而产生的同位角； 和是直线AB和直线AC被直线BD所截而产生的内错角； 和是直线AB和直线BD被直线AC所截而产生的同位角； 和是直线ED和直线CD被直线EC所截而产生的同旁内角； 和是直线ED和直线BC被直线EC所截而产生的内错角； 和是直线BE和直线BC被直线EC所截而产生的同旁内角. 【点睛】本题考查的是同位角、内错角和同旁内角的定义，熟知三线八角的定义是解题的关键. 32．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，(1)∠BED与∠CBE是直线________，________被直线________所截形成的________角； (2)∠A与∠CED是直线________，________被直线________所截形成的________角； (3)∠CBE与∠BEC是直线________，________被直线________所截形成的________角； (4)∠AEB与∠CBE是直线________，________被直线________所截形成的________角． 【答案】见解析 【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． 内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． 同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角分别进行分析即可． 【详解】(1)∠BED与∠CBE是直线DE，CB被直线EB所截成的内错角； (2)∠A与∠CED是直线AD，DE被直线AC所截成的同位角； (3)∠CBE与∠BEC是直线CB，CE被直线BE所截成的同旁内角； (4)∠AEB与∠CBE是直线AE，BC被直线EB所截成的内错角． 【点睛】本题考查的知识点是同位角，内错角，同旁内角的概念，解题关键是熟记同位角、内错角、同旁内角的位置关系． 33．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB、CD被DE所截，则∠1和 是同位角，∠1和 是内错角，∠1和 是同旁内角，如果∠1=∠5.那么∠1 ∠3. 【答案】 ∠3 ∠5 ∠2 = 【分析】利用同位角，内错角，同旁内角的定义判断即可． 【详解】如图所示，直线AB，CD被DE所截，则∠1和∠3是同位角，∠1和∠5是内错角，∠1和∠2是同旁内角，如果∠1=∠5.那么∠1=∠3. 故答案为3，5，2，= 【点睛】此题考查了同位角，内错角，同旁内角，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 【经典例题十二 相交线的多结论问题】 【例12】（24-25七年级上·上海·期末）下列说法中正确的有（　　） ① 相等的角是对顶角； ②有公共顶点和一条公共边，且和为的两个角互为邻补角； ③同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； ⑤如图，和是同旁内角； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】此题考查了对顶角的性质、邻补角的定义、垂线的性质、点到直线的距离、同旁内角的定义等知识．根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：① 对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故原说法错误； ②有公共顶点和一条公共边，且和为的两个角不一定互为邻补角，故原说法错误； ③同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确； ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故原说法错误； ⑤如图，和不是同旁内角，故原说法错误； 综上可知，正确的说法是③，共1个， 故选：B 1．（24-25七年级下·广西钦州·期末）如图，直线，相交于点，平分，于点．若，下列说法：①；②；③．其中正确的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，对顶角相等，根据角平分线的性质，垂直的定义，对顶角相等，结合角的和差关系，逐一进行计算判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴；故①正确； ∴；故②正确； ；故③正确； 故选D． 2．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）下列说法正确的说法有（    ）个 ①同位角相等②由两条射线组成的图形叫做角③同一平面内，过一点由且只有一条直线与已知直线垂直④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这一点到直线的距离⑤相等的角是对顶角⑥两条相交直线所得的四个角相等，则这两条直线一定互相垂直 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质；角的定义；垂线的基本事实；点到直线的距离；对顶角的性质，根据平行线的性质；角的定义；垂线的基本事实；点到直线的距离；对顶角的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：①两直线平行，同位角相等，不是所有的同位角都相等，故①说法错误； ②由共端点的两条射线组成的图形叫做角，故②说法错误； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③说法正确； ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这一点到直线的距离，故④说法错误； ⑤对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故⑤说法错误； ⑥两条相交直线所得的四个角相等，则四个角都等于，故这两条直线一定互相垂直，故⑥说法正确； 综上正确的是③⑥，共有2个． 故选：B 3．（24-25七年级上·河南省直辖县级单位·期末）下列说法错误的是（    ） A．如图（1），建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释是：两点确定一条直线． B．如图（2），将甲，乙两把尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校定是直的，那么乙尺不是直的，判断依据是：经过两点有且只有一条直线． C．如图（3），要测量两堵围墙形成的的度数，但人不能进入围墙，可先延长得到，然后测量的度数，再计算出的度数，其中依据的原理是：等角的余角相等． D．如图（4），从小明家到学校原有三条路线：路线①；路线②；路线③，后又开通了一条直道，路线④，这四条路线中路线④路程最短，其中依据的原理是：两点之间线段最短． 【答案】C 【分析】根据对两点确定一条直线、经过两点有且只有一条直线、互余、邻补角、两点之间线段最短即可判断． 【详解】解：A、应用了知识“两点确定一条直线”，故正确，不符合题意； B、应用了知识“经过两点有且只有一条直线”，故正确，不符合题意； C、应用了知识邻补角，而不是等角的余角相等，故错误，符合题意； D、应用了知识“两点之间线段最短”，故正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了两点确定一条直线、经过两点有且只有一条直线、互余、邻补角、两点之间线段最短等知识，解题的关键是读懂实际情境，结合数学知识进行理解． 【经典例题十三 相交线的综合】 【例13】（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，已知直线和相交于点 ，射线 于点 ，射线 于点 ，且，求 与 的度数．    【答案】， 【分析】本题考查垂线, 邻补角，熟练掌握垂线和邻补角的性质是解题的关键．根据垂线以及邻补角的定义进行计算，求出各个角之间的度数即可． 【详解】解：， ， ， ． ， ， ，， 1．（23-24七年级下·河南南阳·开学考试）已知为直线上一点，，．    (1)如图1，下面是判断与的数量关系的部分说理过程，请完成填空： 因为__________°，__________°；（第一步） 所以__________；（第二步） 在上面（第一步）到（第二步）的推理过程中，理由依据是：__________． (2)若将绕点旋转至图②的位置． ①直接写出图中所有相等的角（直角除外）__________． ②作的平分线，若，则__________（用含的代数式表示）． 【答案】(1)，，，同角的余角相等 (2)①，；② 【分析】本题考查垂直的定义，角平分线的定义，角的计算，准确识图，理解垂直的定义，熟练掌握角的计算是解决本题的关键； （1）根据同角的余角相等即可求解； （2）①根据，，进而得，根据，得到，，进而求解； ②根据角平分线的性质可得，即，由①可知：，进而求解； 【详解】（1）解：，； （同角的余角相等）； 故答案为：，，，同角的余角相等 （2）①，，理由如下： ，， ，， ； ，， ，， ， 故答案为：，； ②平分， ， 即， 由①可知：， ， ， 由①可知：， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线，相交于点O，平分，． (1)图中的余角是__________（把符合条件的角都填上）； (2)如果，求和的度数． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了角平分线的定义、对顶角相等的性质、互为余角关系；熟练掌握对顶角相等的性质和角平分线的定义是解决问题的关键． （1）由垂线的定义和角的互余关系即可得出结果； （2）由角平分线的定义求出，由对顶角相等得出的度数，再由角的互余关系即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的余角是，； 故答案为：，； （2）∵平分， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，点是直线上的一点． (1)如图，，，求的度数： (2)在中，绕着点顺时针转动（与重合即停止）如图，、分别平分、，则在转动过程中，的大小是否变化？若不变，求出的大小；若改变，请说明理由； (3)在中，线段、绕着点顺时针转动，速度分别为每秒和每秒当与重合时停止转动，、分别平分、，设转动的时间为秒，则当等于多少时？ 【答案】(1) (2)不变； (3)秒 【分析】本题考查直角的定义，互余角的关系，角平分线的定义，解题关键是结合图形找出各个角之间的倍数关系； （1）根据直角的定义求出，再根据可得的度数，又因为与互余，即可解答； （2）根据（1）求出的度数，从而求得的值， 再利用角平分线定义求出，最后根据即可解答； (3) 设秒时，；用含的式子表示出、，从而列出方程求解； 【详解】（1）解：是直角， ， ， ， ； （2）不会变化，理由如下： 、分别平分、， ，， ， ， ； （3）如图， 设运动时间为秒， 则，， ，， ， 解得， 所以秒时． 1．（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）如图，直线相交于点，垂足为O，如果，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂直的定义，对顶角的性质，角的计算，准确识图，熟练掌握垂直的定义，对顶角的性质，角的计算是解决问题的关键．根据，得，再根据对顶角的性质可得的度数． 【详解】解：， ， ， ， 直线，相交于点， ， 故选：B． 2．（23-24七年级下·河南新乡·期末）如图，，，三条直线相交于点O，且，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂直的定义，角平分线的定义，对顶角性质，结合图形，根据垂直的定义得到、利用角平分线的定义得到，最后利用对顶角的性质，即可解题． 【详解】解：， ， 平分． ， ， ， 故选：B． 3．（23-24七年级下·河北沧州·期中）图1是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即（如图2）反射光线与入射光线、法线在同一平面上，法线垂直于平面镜，反射光线和入射光线位于法线的两侧，反射角等于入射角．如图3，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜，利用光的反射原理找到了乒乓球的位置，已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂直的定义，等角的余角相等以及对顶角相等．由垂直的定义得，根据平面镜反射规律及等角的余角相等得到，由对顶角相等得到，即可得解．解题的关键是理解并掌握平面镜反射规律． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 4．（23-24七年级上·四川泸州·期末）如图，直线交于点O，由点O引射线，使，，则是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何图形中角度计算问题，对顶角相等，求出再根据对顶角相等解答即可，熟记性质并准确识图求出是解题的关键． 【详解】解：                    故选：． 5．（23-24七年级上·浙江·期末）如图，直线，相交于点，平分，设，，下列结论： ①，则；②若，则；③若，则；④若平分．则其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查垂线，角平分线，对顶角、邻补角，掌握垂直定义，角平分线的定义以及图形中角的和差关系是正确判断的关键． 根据垂直定义，角平分线的定义以及图形中角的和差关系逐项进行判断即可． 【详解】①平分， ， ， ， 而， ， 即 ， 因此①正确； ②， ， ， ， ，因此②正确； ③平分， ， 只有当 时, ， 而与是否垂直不确定，因此③不正确； ④∵平分平分， ，， ， 即 ，因此④正确； 综上所述，正确的结论有①②④， 故选: B． 6．（24-25七年级上·江西南昌·期末）在同一平面内，，射线与的一边所成夹角为直角，射线平分，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，角的度数的计算，正确作出图形，分类讨论是解题的关键； 根据题意画出符合条件的图形，可以与垂直（如图1），也可以与垂直（如图2），根据图形分别进行讨论进行讨论即可求解． 【详解】解：如图1，当与垂直时 ①∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ②∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 当与垂直时， ③∵，， ∵平分， ∴， ∴， ④∵，， ∵平分， ∴， ∴， 综上所述：的度数为或或． 故答案为：或或． 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在直线上任取一点O，过点O作射线、，使，当时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂直的定义，分两种情况讨论是解题的关键； 根据题意，分、在同侧和异侧两种情况讨论，并画出图，然后根据，，计算的度数即可． 【详解】解：当、在直线同侧时，如图： ，， ； 当、在直线异侧时，如图： ，， ， 故答案为：或 8．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知的两边与的两边分别垂直，且比的倍少，则 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了垂线，因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因比的3倍少，所以可设是度，利用方程即可解决问题． 【详解】设是度， 如图：    ∴， ∵， ∴， ∵比的3倍少 ∴， 解得：， 故； 如图：    根据四边形的内角和可得：， ∴ ∵比的3倍少 ∴， ∴， ∴ 综上所述：的度数为：或． 故答案为：或． 9．（24-25七年级上·重庆九龙坡·期末）如图，直线和交于O点，平分于点，则 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查相交线对顶角性质，角平分线定义，垂直定义，掌握对顶角性质，角平分线定义，垂直定义是解题关键． 根据对顶角性质可得．根据平分，可得，根据，得出，利用两角和得出即可． 【详解】解：∵、相交于点， ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点O，，平分，若，则 °． 【答案】132 【分析】此题考查了角平分线的定义，平角的定义，垂直的定义，准确识图，理解角平分线的定义，平角的定义，垂直的定义是解决问题的关键．设，，根据，得，再根据角平分线的定义得，由平角的定义得，即，将代入可得，进而可求出，然后再根据对顶角相等可得的度数． 【详解】解：设，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即， ∴， ∴． 故答案为：132． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知直线与相交于点，分别是的平分线． (1)的补角是 ； (2)若，求和的度数． 【答案】(1)或 (2)， 【分析】本题主要考查了邻补角、角平分线、几何图形中角度计算等知识，弄清图形中各角的关系是解题关键． （1）根据角平分线的定义可得，再根据补角的定义结合图形找出答案即可； （2）根据角平分线的定义计算即可求出，然后根据补角的和等于列式计算即可求出的值，先求出的值，再根据角平分线的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线， 由角平分线的性质可得， 又∵，， ∴， ∴的补角是或． 故答案为：或； （2）由题意可得， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线和相交于点，把分成两部分，且，平分． (1)若，求． (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了对顶角、角平分线等知识，理解题意，弄清各角的关系是解题关键． （1）根据对顶角相等，可得的度数，根据，可得的值，根据邻补角，可得答案； （2）根据角平分线的定义，可得，根据邻补角的关系，可得关于的方程，求出的度数，可得答案． 【详解】（1）解：由对顶角相等，得， 由把分成两部分且， 可得， 由邻补角，得； （2）由平分，得， 由邻补角，得，即， 解得， ∴， ∴． 13．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，直线、相交于点O，与互为余角． (1)若，求的大小； (2)若、分别平分、，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，余角的定义，正确理解题意是解题的关键： （1）根据余角可得，根据对顶角相等得出，进而可得出答案； （2）根据角平分线的定义得出，，进而得出，代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵与互为余角， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∵与互为余角， ∴， ∴． 14．（24-25七年级上·四川资阳·期末）如图，于点，射线，的方向如各图所示，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，射线平分．若，求，的度数； (3)如图3，射线平分，若，用含的代数式表示，的度数． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查了垂直、角平分线，熟练掌握与角平分线有关的运算是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据可得，最后根据求解即可得； （2）先根据垂直的定义可得，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，最后根据和求解即可得； （3）先根据垂直的定义可得，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，最后根据和求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵射线平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵射线平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 15．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，点是直线上的一点． (1)如图，，，求的度数： (2)在中，绕着点顺时针转动（与重合即停止）如图，、分别平分、，则在转动过程中，的大小是否变化？若不变，求出的大小；若改变，请说明理由； (3)在中，线段、绕着点顺时针转动，速度分别为每秒和每秒当与重合时停止转动，、分别平分、，设转动的时间为秒，则当等于多少时？ 【答案】(1) (2)不变； (3)秒 【分析】本题考查直角的定义，互余角的关系，角平分线的定义，解题关键是结合图形找出各个角之间的倍数关系； （1）根据直角的定义求出，再根据可得的度数，又因为与互余，即可解答； （2）根据（1）求出的度数，从而求得的值， 再利用角平分线定义求出，最后根据即可解答； (3) 设秒时，；用含的式子表示出、，从而列出方程求解； 【详解】（1）解：是直角， ， ， ， ； （2）不会变化，理由如下： 、分别平分、， ，， ， ， ； （3）如图， 设运动时间为秒， 则，， ，， ， 解得， 所以秒时． 学科网（北京）股份有限公司 $$