第一章 相交线与平行线 重难点检测卷-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版2024）

第一章 相交线与平行线 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：本章全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25七年级下·全国·期末）下列各图案中，是由一个基本图形通过平移得到的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查图形的平移，根据平移后的图形，大小形状不变，方向不变，只是位置发生变化，进行判断即可． 【详解】解：A、不是由一个基本图形通过平移得到的，不符合题意； B、不是由一个基本图形通过平移得到的，不符合题意； C、不是由一个基本图形通过平移得到的，不符合题意； D、由一个基本图形通过平移得到的，符合题意； 故选D． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）能说明命题“若，则”是假命题的反例可以是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用举反例说明一个命题错误，要证明一个例题不成立，可以通过举反例：即符合命题条件，但不符合命题结论． 【详解】解：A．当，时，，而，条件不成立，故A不符合题意； B．当，，，且，能说明，且成立，不是反例，故B不符合题意； C．当，，，而，能够说明，但不成立，故C符合题意； D．，，，而，条件不成立，故D不符合题意． 故选：C． 3．（24-25九年级上·海南海口·期中）如图，将一块含有的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行线的性质．直接利用已知角的度数结合平行线的性质得出答案． 【详解】解：∵将一块含有的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，， ∴， 故选：C． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）甲、乙、丙、丁四位同学在操场上踢足球，不小心打碎了玻璃窗．老师问他们是谁打碎了玻璃窗． 甲说：“是丙，也可能是丁打碎的．” 乙说：“一定是丁打碎的．” 丙说：“我没有打碎玻璃窗．” 丁说：“我没有干这件事．” 若四位同学中只有一位说了谎话，由此我们可以推断，打碎玻璃的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查推理与论证，利用假设法解决逻辑问题，得出结论是解答的关键．根据题意，利用假设法逐一判断即可． 【详解】解：假设是甲打碎玻璃窗，则甲、乙2人说了谎，与已知不相符，故选项A错误； 假设是乙打碎玻璃窗，则甲、乙2人说了谎，与已知不相符，故选项B错误； 假设是丙打碎玻璃窗，则乙、丙2人说了谎，与已知不相符，故选项C错误； 假设是丁打碎玻璃窗，则丙1人说了谎，与已知相符，故选项D正确； 故选：D． 5．（24-25七年级上·福建福州·开学考试）如图所示，平行四边形中，厘米，厘米，边上的高是厘米．是和的平行线，图中阴影部分的面积是（     ）平方厘米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线间的距离，平行四边形的性质，根据图形可知推出图中阴影部分的面积平行四边形的面积的一半即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，四边形、四边形都是平行四边形， 设平行四边形边，平行四边形的边边上的高分别为，， 则图中阴影部分的面积， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴图中阴影部分的面积， ∵厘米， ∴图中阴影部分的面积（平方厘米）， 故选：． 6．（23-24七年级下·浙江金华·开学考试）如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质得到．由反射定律得到：，由平角定义求出，由平行线的性质推出，即可求出． 【详解】解：由反射定律得到：， ， ， ， ． 故选：D 7．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，若，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是掌握折叠的性质．由可得，根据折叠得：，最后根据平角的定义即可求解． 【详解】解：， ， 由折叠得：， ， 故选：C． 8．（23-24七年级下·浙江温州·期中）火线经过不同介质时，会发生折射，平行的光线经折射后仍是平行的火线．如图，有两束平行光线在油和水中先后发生折射，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，由平行线的性质得，，，，代入即可求解；掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 9．（23-24七年级下·北京丰台·期末）为打造生态湿地滨水景观，园林绿化局在永定河两岸笔直且互相平行的景观道，上分别放置，两盏激光灯．如图，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，灯每秒转动，灯每秒转动，灯先转动2秒，灯才开始转动，当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是（     ）    A．3或21秒 B．3或19.5秒 C．1或19秒 D．1或17.5秒 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，设A灯旋转时间为t妙，B灯光束第一次到达要则，分两种情况，分别画出图形利用平行线的性质列出关于t的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设A灯旋转时间为t妙，B灯光束第一次到达要， ∴， 由题意满足以下条件时，两灯的光束互相平行，如图1： ，即， 解得：， 如图2 此时， 即， 解得：， 综上：当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是1或17.5秒， 故选：D． 10．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC．则下列结论：①；②GK平分∠AGC；③；④∠MGK＝16°．其中正确结论的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理得到，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK=∠CKG，等量代换得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；根据平行线同旁内角互补得，再根据题目已知∠CKG＝∠CGK，得，又根据，得，但根据现有条件无法证明GD=GC，故③错误；设∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根据角平分线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D， ∴∠EAD=∠B， ∴，故①正确； ∴∠AGK=∠CKG， ∵∠CKG=∠CGK， ∴∠AGK=∠CGK， ∴GK平分∠AGC；故②正确； ∵， ∴， ∵∠CKG＝∠CGK， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 要使，就要使且， ∴就要GD=GC， 但题目没给出这个条件且利用现有条件也无法证明GD=GC， ∴故③错误； 设∠AGM=α，∠MGK=β， ∴∠AGK=α+β， ∵GK平分∠AGC， ∴∠CGK=∠AGK=α+β， ∵GM平分∠FGC， ∴∠FGM=∠CGM， ∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK， ∴37°+α=β+α+β， ∴β=18.5°， ∴∠MGK=18.5°，故④错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，对顶角性质，正确的识别图形是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题4分，共24分） 11．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）若要举反例来说明命题“如果，那么”是假命题，则可取 （写出一种即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了命题的定义，深刻理解命题的定义是解题的关键．必须牢记：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”的形式．判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 找出一个满足，但不满足即可． 【详解】解：要说明“如果，那么”是假命题，可以举一个反例为， 因为时，， 故答案为：（答案不唯一）． 12．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为 【答案】/50度 【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，由反射定律得到，因此． 【详解】解：∵入射光线是平行光线， ∴， 由反射定律得：， ∴． 故答案为：． 13．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）把边长分别为4和2的两个正方形、如图放置，把正方形沿着水平方向向左平移，正方形固定不动，当两个正方形重叠部分的面积为正方形面积的时，此时平移的距离是 ． 【答案】或 【分析】此题考查了平移的性质，要明确平移前后图形的形状和面积不变．根据题意分类讨论，画出图形即可直观解答． 【详解】解：由题意可知：重叠部分的面积是，重叠部分的边长是2，另一边长是， 如图：当正方形在正方形右侧时，正方形移动的距离是， 当正方形在正方形左侧时，正方形移动的距离是， 故答案为：或． 14．如图，已知，直线l与相交于C，D 两点，把一块含角的三角尺按如图位置摆放．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，由，得到，由，得到，即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图： 由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）如图①，已知长方形纸带，，，，点分别在边上，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点分别落在的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由折叠得，根据，得到，由折叠的性质得到，即，再根据求出，代入数值即可求出答案． 【详解】解：根据折叠的性质可得， ∵， ∴， 又∵根据折叠的性质可得， ∴， ∵根据折叠的性质可得， ∴， ∵，，， ∴， 将代入上式，即， 解得， 故答案为． 16．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，，平分平分，若设，则 度（用的代数式表示），若平分平分，可得平分平分，可得，依次平分下去，则 度． 【答案】 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可证得；         （2）过点作直线，然后利用平行线的性质、角平分线的定义，结合归纳推理思想解决本题． 【详解】（1） 过点作,则 而          ∴满足的数量关系是 故答案为： （2） 过点作直线， 所以． 又因为， 所以， 所以， 所以； 因为平分平分， 所以 ． 只同理可证． 以此类推：． 故答案为： 【点睛】此题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，添加辅助线是解题的关键，利用归纳推理的思想解决． 三、解答题（8小题，共66分） 17．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，点、分别在、上，且，． (1)试猜想与的关系，并说明理由； (2)若平分，判断与位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质及平行线的判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键． （1）由平行线的性质和，可推出与的关系； （2）由（1）的结论和平分，可得与的关系，利用平行线的判定得结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， 由（1）知， ∴， ∴． 18．（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知在网格中，每个小格均为边长是1的正方形，和线段的位置如图所示，小睿想利用这两个图形画出一个跷跷板，于是他按照以下两个步骤来画： ①将平移，使得顶点平移至，画出平移后的． ②过做线段和线段平行且相等，使得恰好为线段的中点． 请按照小睿的画法画出图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图——作已知线段的平行线和平移作图，掌握平移的性质是解答本题的关键． ①根据平移的定义作图即可； ②根据平行线的定义作图即可． 【详解】解：如图，和线段即为所求． 19．（23-24七年级下·河南商丘·期末）如图，直线，相交于点O， 平分 (1)直接写出图中的对顶角为 ，的邻补角为 ； (2)若 求 的度数． 【答案】(1)；，． (2) 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算，对顶角和邻补角： （1）根据对顶角和邻补角的定义，作答即可； （2）设，进而得到，根据，求出的值，进而求出的度数，再根据角平分线的定义，求出的度数． 【详解】（1）解：的对顶角为， 的邻补角为，． 故答案为：；，． （2）∵， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 20．（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在四边形中，，． (1)求的度数； (2)若，．请判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据两直线平行，同旁内角互补求出； （2）先求出，根据平行线的性质求出，得到，根据平行线的判定定理证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：； 理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 21．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图，，过点B的直线交于点G，在之间作射线，与互余．    (1)求证：； (2)作的平分线交于点H，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是平行线的性质及角平分线的有关计算， （1）由平行得，结合已知求出即可证出结论； （2）先求出，根据角平分线得，即可求出结论； 【详解】（1）证明：， 与互余， ； （2）， ，平分， ． 22．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）【感知】已知：如图①，点E在上，且平分，．说明：．将下列说理过程补充完整： 解：∵平分（已知）， ∴ （角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴ （等量代换）， ∴（ ）． 【探究】已知：如图②，点E在上，且平分，．问：与相等吗？请判断并说明理由． 【应用】如图③，平分，点A是上一点，过点A作交于点E，，直接写出的度数．    【答案】感知：；；内错角相等，两直线平行；探究：相等，见解析；应用： 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的性质，掌握平行线的性质与判定是关键． （1）感知：读懂每一步证明过程及证明的依据，即可完成解答； （2）探究：利用角平分线的性质得，由平行线性质可得，等量代换即可解决； （3）应用：利用角平分线的性质得，由平行线性质可得，等量代换得，由即可求得的度数，从而可求得的度数． 【详解】解：（1）感知∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为；；内错角相等，两直线平行 （2）探究：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）应用∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 23．（23-24七年级下·浙江衢州·期中）在数学活动课上，老师组织七（8）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动．如图，已知射线，连接，点P是射线上一动点（与点A不重合），、分别平分和，分别交射线于点C，D． 【小试牛刀】 （1）①若时，求的度数； ②若，则的度数为____________．(用含 x的代数式表示） 【变式探索】 （2）当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． 【能力提升】 （3）当点P运动到使时，_________（直接写出结果）． 【答案】（1）①；②；（2）不变，；（3） 【分析】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①根据平行线的性质推出，结合题意，根据角平分线的性质，即可得到答案； ②根据平行线的性质推出，结合题意，根据角平分线的性质，即可得到答案； （2）根据平行线的性质，得，；结合角平分线性质，得，即可完成求解； （3）由得，当时有，得，根据角平分线的定义可得，由平行线的性质可得，即可得出答案． 【详解】（1）①∵分别平分和， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； ②∵分别平分和， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）与之间的数量关系保持不变；理由如下， ∵， ∴，， 又∵平分， ∴， ∴； ∴与之间的数量关系保持不变，关系为； （3）∵， ∴， 当时，则有， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 24．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系：________； (2)如图2，、的角平分线交于点，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 【答案】(1)①；② (2)不发生变化，的度数为 (3)或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①过点作，则有，然后得到，，然后计算解题； ②过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由②可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同②的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：①过点作， ， ， ，， 又， ， ； ②过点C作， ， ， ，， 又， ， ， 故答案为：； （2）不发生变化，，理由为： 由②可得，， 、的角平分线交于点， ， 过点作，则， ，， ； （3）由（2）得，，， ， ， 过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ， 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 的度数为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 相交线与平行线 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：本章全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25七年级下·全国·期末）下列各图案中，是由一个基本图形通过平移得到的是（      ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）能说明命题“若，则”是假命题的反例可以是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25九年级上·海南海口·期中）如图，将一块含有的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）甲、乙、丙、丁四位同学在操场上踢足球，不小心打碎了玻璃窗．老师问他们是谁打碎了玻璃窗． 甲说：“是丙，也可能是丁打碎的．” 乙说：“一定是丁打碎的．” 丙说：“我没有打碎玻璃窗．” 丁说：“我没有干这件事．” 若四位同学中只有一位说了谎话，由此我们可以推断，打碎玻璃的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（24-25七年级上·福建福州·开学考试）如图所示，平行四边形中，厘米，厘米，边上的高是厘米．是和的平行线，图中阴影部分的面积是（     ）平方厘米． A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·浙江金华·开学考试）如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数是（　　） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，若，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·浙江温州·期中）火线经过不同介质时，会发生折射，平行的光线经折射后仍是平行的火线．如图，有两束平行光线在油和水中先后发生折射，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级下·北京丰台·期末）为打造生态湿地滨水景观，园林绿化局在永定河两岸笔直且互相平行的景观道，上分别放置，两盏激光灯．如图，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，灯每秒转动，灯每秒转动，灯先转动2秒，灯才开始转动，当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是（     ）    A．3或21秒 B．3或19.5秒 C．1或19秒 D．1或17.5秒 10．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC．则下列结论：①；②GK平分∠AGC；③；④∠MGK＝16°．其中正确结论的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题4分，共24分） 11．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）若要举反例来说明命题“如果，那么”是假命题，则可取 （写出一种即可）． 12．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为 13．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）把边长分别为4和2的两个正方形、如图放置，把正方形沿着水平方向向左平移，正方形固定不动，当两个正方形重叠部分的面积为正方形面积的时，此时平移的距离是 ． 14．如图，已知，直线l与相交于C，D 两点，把一块含角的三角尺按如图位置摆放．若，则 ． 15．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）如图①，已知长方形纸带，，，，点分别在边上，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点分别落在的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，若，则 ． 16．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，，平分平分，若设，则 度（用的代数式表示），若平分平分，可得平分平分，可得，依次平分下去，则 度． 三、解答题（8小题，共66分） 17．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，点、分别在、上，且，． (1)试猜想与的关系，并说明理由； (2)若平分，判断与位置关系，并说明理由． 18．（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知在网格中，每个小格均为边长是1的正方形，和线段的位置如图所示，小睿想利用这两个图形画出一个跷跷板，于是他按照以下两个步骤来画： ①将平移，使得顶点平移至，画出平移后的． ②过做线段和线段平行且相等，使得恰好为线段的中点． 请按照小睿的画法画出图形． 19．（23-24七年级下·河南商丘·期末）如图，直线，相交于点O， 平分 (1)直接写出图中的对顶角为 ，的邻补角为 ； (2)若 求 的度数． 20．（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在四边形中，，． (1)求的度数； (2)若，．请判断和的位置关系，并说明理由． 21．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图，，过点B的直线交于点G，在之间作射线，与互余．    (1)求证：； (2)作的平分线交于点H，若，求的度数． 22．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）【感知】已知：如图①，点E在上，且平分，．说明：．将下列说理过程补充完整： 解：∵平分（已知）， ∴ （角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴ （等量代换）， ∴（ ）． 【探究】已知：如图②，点E在上，且平分，．问：与相等吗？请判断并说明理由． 【应用】如图③，平分，点A是上一点，过点A作交于点E，，直接写出的度数．    23．（23-24七年级下·浙江衢州·期中）在数学活动课上，老师组织七（8）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动．如图，已知射线，连接，点P是射线上一动点（与点A不重合），、分别平分和，分别交射线于点C，D． 【小试牛刀】 （1）①若时，求的度数； ②若，则的度数为____________．(用含 x的代数式表示） 【变式探索】 （2）当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． 【能力提升】 （3）当点P运动到使时，_________（直接写出结果）． 24．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系：________； (2)如图2，、的角平分线交于点，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$