（总集篇）第三单元圆柱与圆锥·总集篇·八种综合性问题【八大考点】-2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

第 1 页 共 23 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 23 页 2024-2025 学年六年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第三单元圆柱与圆锥·总集篇·八种综合性问题【八大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第三单元圆柱与圆锥·总集篇·八种综合性问题 专题内容 本专题主要以八种圆柱圆锥中常考的综合性问题为主，其中 包括圆柱与圆锥的切拼问题、圆柱与圆锥的旋转构成问题、 圆柱与圆锥的关系问题、圆柱与圆锥的两种关系变化问题、 圆柱与圆锥的等积变形问题、排水法求不规则物体的体积问 题、含圆柱圆锥的不规则或组合立体图形的表面积和体积问 题、圆柱圆锥中的注水运动问题等。 总体评价 讲解建议 总集篇是对一段时间内的热点、重点及难点内容的总结，综 合性强，考点难度大，适用于阶段性复习，建议根据学生实 际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 八个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】问题一：圆柱与圆锥中的切拼问题 ................................................................ 4 【考点二】问题二：圆柱与圆锥中的旋转构成问题 .........................................................8 【考点三】问题三：圆柱与圆锥的关系问题 .................................................................. 12 【考点四】问题四：圆柱与圆锥中的两种变化关系问题 ............................................... 14 【考点五】问题五：圆柱与圆锥中的等积变形问题 .......................................................16 第 3 页 共 23 页 【考点六】问题六：排水法求不规则物体的体积 ...........................................................18 【考点七】问题七：含圆柱圆锥的不规则或组合立体图形的表面积和体积问题 ......... 19 【考点八】问题八：圆柱圆锥中的注水运动问题 ...........................................................21 第 4 页 共 23 页 【第三篇】典型例题篇 【考点一】问题一：圆柱与圆锥中的切拼问题。 【方法点拨】 立体图形的切拼问题属于小学数学中的典型问题和难点问题，由圆柱与圆锥 的切拼所产生的表面积增减变化，在分析与思考过程中常常具有一定的抽象性， 并涉及到基本的空间想象能力，因此，部分同学掌握起来较为困难，建议在理解 方面，尝试绘制示意图，在解题方面，注意寻找切拼后的变化规律。 1. 圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变 化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变 化的表面积÷变化的高度。 2. 圆柱中横切引起的表面积变化。 横切，即沿着底面或平行于底面将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积， 这两个面是底面，每多切一刀，便多增加两个面，即面数=刀数×2，相反，如果 两段圆柱拼接在一起，则会减少两个底面。 3. 圆柱中竖切引起的表面积变化。 竖切，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆 的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 4. 圆锥中竖切引起的切面积变化。 圆锥中的竖切是指将圆锥沿着高并垂直于底面切成完全相同的两块，每一块的切 面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高， 相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。 5. 圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 将一个底面半径为 r，高为 h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似 的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多 第 5 页 共 23 页 2个面积大小为 hr的长方形。 【典型例题 1】圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 一根高 8分米的圆柱木料，如果把它的高截短 3分米，表面积就减少 18.84平方 分米，这根圆木体积是多少立方分米？ 【对应练习】 一个圆柱体（如图），如果把它的高截短 3厘米，它的表面积减少 94.2平方厘 米。这个圆柱体积原来是多少立方厘米？ 【典型例题 2】圆柱中横切引起的表面积变化。 把一根长 10米的木料锯成一样长的两段，结果表面积增加了 6.28平方米，这根 木料原来的体积是多少立方米？ 第 6 页 共 23 页 【对应练习】 一根长 12分米，横截面直径是 4厘米的圆柱形木棍，将它平均截成三段，然后 全部涂上颜色，涂色部分的面积是多少？ 【典型例题 3】圆柱中竖切引起的表面积变化。 如图，一根圆柱形木料高 8分米，沿底面直径垂直切开，平均分成两部分。这时 表面积比原来增加了 0.96平方米（π取 3.14）。这根圆柱形木料的体积是多少立 方分米？ 【对应练习】 如图，一根圆柱形木料高 1米，沿底面直径垂直切开，平均分成两部分。这时表 面积比原来增加了 1.8平方米（π取 3.14）。 （1）这根木料原来的表面积是多少平方米？ （2）这根圆柱形木料的体积是多少立方米？ 第 7 页 共 23 页 【典型例题 4】圆锥中竖切引起的切面积变化。 将一个圆锥形糕点沿着高切成两块，表面积比原来增加了 42平方厘米，测得圆 锥形糕点的高是 7厘米，原来这个圆锥形糕点的体积是多少立方厘米？ 【对应练习】 一个圆锥的底面半径是 3分米。从圆锥的顶点沿着高将它切成相等的两半后，表 面积比原来的圆锥表面积增加了 24平方分米。这个圆锥的体积是多少立方分 米？ 【典型例题 5】圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 把一个高为 6厘米的圆柱体切割成若干等分，拼成一个近似的长方体。长方体的 表面积比圆柱的表面积增加了 48平方厘米，如下图，请求出原来圆柱体的表面 积和体积。 第 8 页 共 23 页 【对应练习】 将一个高是 12厘米的圆柱体如图那样切拼，切拼后的立体图形的表面积比圆柱 体大 120平方厘米。求圆柱体的体积。（π取 3.14） 【考点二】问题二：圆柱与圆锥中的旋转构成问题。 【方法点拨】 圆柱与圆锥中的旋转构成问题属于平面图形和立体图形的空间转化，具有一 定的抽象性，需要具备基本的空间想象能力。 1. 圆柱的四种旋转构成方法。 旋转方法①：如图所示，以宽为轴进行旋转。 以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。 旋转方法②：如图所示，以长为轴进行旋转。 以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。 旋转方法③：如图所示，以两条长中点的连线为轴进行旋转。 第 9 页 共 23 页 以两条长中点的连线为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半 径。 旋转方法④：如图所示，以两条宽中点的连线为轴进行旋转。 以两条宽中点的连线为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半 径。 总结：以谁为轴进行旋转谁就是圆柱的高，而另一条边则是底面的半径。 2. 圆锥的旋转构成方法。 沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，即可得到一个圆锥，旋转的轴是圆锥的 高，另一条直角边是圆锥的底面半径。 【典型例题 1】圆柱的旋转构成方法。 画出如图图形绕 BD边旋转后的图形，并求出的它的表面积和体积（单位：厘米）。 【对应练习】 如图中的长方形绕它的长或宽旋转一周，可分别得到立标图形 A和 B。 （1）算一算立体图形 A、B的体积。 （2）立体图形 A和 B的体积之比与原长方形有何关系？（请用数学式子或文字 加以说明） 第 10 页 共 23 页 【典型例题 2】圆锥的旋转构成方法。 请你在下图中，选取直角三角形的一条边所在直线为轴旋转一周，所形成的立体 图形的体积是多少？ 【对应练习】 如图三角形 ABC是一个直角三角形，分别以三条边所在的直线为轴旋转得到三 个不同的立体形体，这三个立体图形的体积分别是多少立方厘米？ 【典型例题 3】圆柱与圆锥的旋转构成“综合型”。 小明、小花两人分别以直角梯形的上底、下底和高所在的直线为轴，将直角梯形 旋转一周，得到了甲、乙、丙三个立体图形。小明说：我们旋转的平面图形是完 全一样的，所以旋转后甲、乙、丙三个立体图形的体积也相等。小花说：我不同 意你的看法，我认为三个立体图形的体积不相等。 你同意谁的说法？甲、乙、丙三个立体图形的体积是多少立方厘米？（π取 3.14） 第 11 页 共 23 页 【对应练习】 请根据下图信息回答问题。 （1）直角梯形 ABCD，如果以 AB为轴进行旋转，所形成的立体图形是图 （ ）；如果以 DC为轴进行旋转，所形成的立体图形是图（ ）。 （2）选择其中一个立体图形计算它的体积。 第 12 页 共 23 页 【考点三】问题三：圆柱与圆锥的关系问题。 【方法点拨】 圆柱与圆锥的关系问题经常是在填空、选择题中出现，掌握二者的关系，需 要注意寻找前提条件。 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的 3倍，反之，圆 锥的体积是圆柱体积的 3 1 。 2. 体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。 3. 体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。 【典型例题 1】其一。 一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积分别相等。已知圆柱的高是 4分米，圆锥的 高是多少？ 【对应练习】 一个圆锥形麦堆的底面半径是 2米，高是 15米，这个麦堆的体积是多少立方米？ 与它等底等高的圆柱体积是多少立方米？ 【典型例题 2】其二。 一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱和一个圆锥组成，圆柱的底面直径和高都 是 14厘米，其中有一些水，正放时水面离容器顶部 11厘米，倒放时水面离容器 顶部 5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？（ 3  ） 第 13 页 共 23 页 【对应练习】 用底面半径和高分别是 6厘米、12厘米的空心圆锥和空心圆柱各一个，组成竖 放的容器如图。在这个容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还填了部分圆柱，圆 柱部分的细砂高 2厘米。若将这个容器上面封住并倒立，细沙的高度是多少厘 米？ 【对应练习】 圆柱形容器与一个圆锥形容器等底等高，圆柱形容器内原有 8升水，将圆锥形容 器盛满水再全部倒入圆柱形容器，容器内的水面上升到 1 2 处，则圆柱形容器的容 积是多少？ 【典型例题 4】其四。 如下图，瓶底的面积和锥形杯口的面积相等，将瓶子中的液体倒入锥形杯子中， 能倒满几杯？ 第 14 页 共 23 页 （1）三位同学的方法，你认为正确的在□打√。 （2）你最喜欢（ ）的解答方法，请用你喜欢的解答方法解决下面的问题。 乐乐说：“如果一个圆锥和圆柱的体积和底面积都相等，那么圆锥的高是圆柱的 高的 3倍”乐乐的说法对吗？为什么？ 【对应练习】 把瓶中的果汁倒入这个圆锥形玻璃杯，最多可以倒满多少杯？（容器壁厚忽略不 计） 【考点四】问题四：圆柱与圆锥中的两种变化关系问题。 【方法点拨】 圆柱与圆锥中主要有两种变化关系问题，其一是比例变化关系，其二是倍数 变化关系。 一、比例变化关系。 1. 圆柱与比。 （1）当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比： 高之比就是体积之比。 （2）当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比： 底面积之比就是体积之比。 （3）已知底面积之比和高之比，求体积之比： 第 15 页 共 23 页 分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。 2. 圆锥与比。 （1）当圆锥的底面积相等时，高的比就是体积的比。 （2）当圆锥的高相等时，底面积的比就是体积的比。 （3）当圆锥和圆柱如果底面积和高均相等，那么圆锥和圆柱的体积之比是 1∶3。 二、倍数变化关系。 圆柱圆锥的体积随着底面积和高的扩大与缩小而变化，其规律与积的变化规律相 似，即： 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几 倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几 倍（或缩小为原来的几分之一）。 【典型例题 1】其一。 已知两个圆柱的底面积相等，高的比是 1∶2，体积比是( )。 【对应练习】 两个圆柱的高相等，半径比是 1∶2，则体积比是多少? 【典型例题 2】其二。 （1）两个圆锥的底面积相等，高比是 1∶2，体积比( )。 （2）两个圆锥的高相等，底面积比是 2∶3，体积比是( )。 （3）两个圆锥高的比是 3∶4，半径比是 1∶3，则体积比是多少? 【对应练习】 已知两个圆锥的底面半径比是 2∶3，高的比是 2∶3，则两个圆锥的体积比是多 少？ 第 16 页 共 23 页 【典型例题 3】其三。 一个圆柱和一个圆锥，它们底面积的比是 2∶3，高的比是 2∶5，那么它们的体 积比是( )。 【对应练习】 圆锥的高是圆柱的 4 5 ，圆锥的底面直径是圆柱的 2倍，这个圆锥与圆柱的体积比 是( )。 【典型例题 4】其四。 1. 一个圆锥的高扩大 3倍，底面积不变，则体积( )。 2. 一个圆柱的高扩大 3倍，底面半径不变，体积扩大( )倍；如果圆柱的 高不变，半径扩大 3倍，体积扩大( )倍。 【对应练习 1】 1. 一个圆锥的底面半径扩大 2倍，高也扩大 2倍，圆锥的体积扩大到原来的 ( )倍。 2. 一个圆柱的高扩大 2倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大( )倍；如 果圆柱的高不变，底面半径扩大 4倍，则圆柱的体积扩大( )倍。 【考点五】问题五：圆柱与圆锥中的等积变形问题。 【方法点拨】 圆柱、圆锥与长方体、正方体的等积变形问题是较常考察的题型之一，总体来说， 难度不大，关键是掌握体积不变这一思路，再根据体积不变去解决问题。 【典型例题 1】其一。 把一块长方体钢坯熔铸成一根底面直径为 4分米的圆柱形钢材，求钢材的长度。 第 17 页 共 23 页 【对应练习】 刘华测量一个瓶子的容积，测得瓶子的底面直径 12厘米，然后给瓶子内盛入一 些水，正放时水高 20厘米，倒放时水高 25厘米，瓶子深 30厘米。你能根据这 些信息求出瓶子的容积吗？ 【典型例题 2】其二。 如图所示，有甲、乙两个容器（单位：厘米），先将甲容器注满水，然后将水倒 入乙容器，求乙容器的水深。 【对应练习】 一个圆锥形沙堆，底面积是 28.26平方米，高是 2.5米。用这堆沙在 10米宽的公 路上铺 2厘米厚的路面，能铺多少米？ 第 18 页 共 23 页 【考点六】问题六：排水法求不规则物体的体积。 【方法点拨】 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V 物体=V 现在－V 原来； ②V 物体=S×(h 现在- h 原来)； ③V 物体=S×h 升高。 【典型例题 1】其一。 如图所示，一个底面直径为 20厘米的装有一些水的圆柱的玻璃杯，水中放着一 个底面直径为 6厘米、高 20厘米的圆锥形状的铅锤，当取出铅锤后，杯里的水 下降几厘米？ 【对应练习】 有一个倒圆锥形的容器，它的底面半径是 5厘米，高是 10厘米，容器内放着一 些石子，石子的体积为 196 3 π立方厘米，在容器内到满水后，再把石子全部拿出 来，求此时容器内水面的高度． 第 19 页 共 23 页 【典型例题 2】其二。 在一个装了水的圆柱形容器中（如下图），放入一个体积为 580cm³的圆锥形铁 块，将会溢出多少毫升水？ 【对应练习】 有一个底面半径为 8cm的圆柱形玻璃容器，水深 6cm。把一块底面半径是 6cm、 高是 10cm的圆锥形铁块放入水中，水会溢出 45mL，那么这个玻璃容器有多高？ （得数保留整数） 【考点七】问题七：含圆柱圆锥的不规则或组合立体图形的表面 积和体积问题。 【方法点拨】 不规则或组合立体图形的体积是图形计算和实际应用中的常考题型，其中组合立 体图形的体积等于各部分规则立体图形的体积之和。 【典型例题】 图形计算。 第 20 页 共 23 页 （1）计算下面图形的表面积和体积。 （2）计算下面图形的体积。 【对应练习 1】 计算下面图形的表面积和体积。 半圆柱的底面直径是 10 cm 【对应练习 2】 求下图的表面积和体积。 第 21 页 共 23 页 【对应练习 3】 计算下图（按 45°斜切）的体积（单位：厘米）。 【考点八】问题八：圆柱圆锥中的注水运动问题。 【方法点拨】 注水运动问题常使用实验的方式考察圆柱体积在实际生活中的综合应用，审 题过程中，关键在于读懂图形给到的信息，需要很巧妙地把给到的注水“实验” 过程图形（高度与时间的关系）与实际注水过程节点关联起来，比较考验学生的 数学“实验”逻辑思考能力，其在独立招生考试或是在小升初入学分层考试中较为 常见。 【典型例题】 下图是一个圆柱与一个圆锥合在一起做成的水箱，开始时是空的。然后往里以 180升/时的速度注水。（ 取 3） （1）如果水箱的厚度忽略不计，这个水箱的容积是多少？ （2）多长时间可以把水箱注满？ （3）下面哪幅图能表示随着时间变化，水面高度的变化过程？ 第 22 页 共 23 页 【对应练习 1】 一个圆柱体的容器内放有一个圆锥形铁块。现打开水龙头向容器内注水。2分钟 时，水恰好没过铁块的顶点；再过了 3分钟，水恰好注满容器。已知圆柱形容器 的底面积为 72平方厘米，它的高是 21厘米；圆锥形铁块的高为 9厘米，则铁块 的底面积是多少？ 【对应练习 2】 A和 B都是高度为 12厘米的圆柱形容器，底面半径分别是 1厘米和 2厘米，一 个水龙头单独向 A注水，一分钟可注满。现将两容器在它们的高度的一半出用 一根细管连通（连通管的容积忽略不计），仍用该水龙头向 A注水，求 （1）2分钟容器 A中的水有多高？ （2）3分钟时容器 A中的水有多高？ 第 23 页 共 23 页 【对应练习 3】 如图 30－1，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌 满了有颜色水。其中圆锥的高为 6厘米，底面半径为 3厘米。已知水的流速是 1.57立方厘米/分钟。 （1）圆锥内漏完水需要多少时间？ （2）请你在图 30－2中用阴影表示出此时圆柱内的水。 第 1 页 共 45 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 45 页 2024-2025 学年六年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第三单元圆柱与圆锥·总集篇·八种综合性问题【八大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第三单元圆柱与圆锥·总集篇·八种综合性问题 专题内容 本专题主要以八种圆柱圆锥中常考的综合性问题为主，其中 包括圆柱与圆锥的切拼问题、圆柱与圆锥的旋转构成问题、 圆柱与圆锥的关系问题、圆柱与圆锥的两种关系变化问题、 圆柱与圆锥的等积变形问题、排水法求不规则物体的体积问 题、含圆柱圆锥的不规则或组合立体图形的表面积和体积问 题、圆柱圆锥中的注水运动问题等。 总体评价 讲解建议 总集篇是对一段时间内的热点、重点及难点内容的总结，综 合性强，考点难度大，适用于阶段性复习，建议根据学生实 际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 八个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】问题一：圆柱与圆锥中的切拼问题 ................................................................ 4 【考点二】问题二：圆柱与圆锥中的旋转构成问题 .......................................................12 【考点三】问题三：圆柱与圆锥的关系问题 .................................................................. 21 【考点四】问题四：圆柱与圆锥中的两种变化关系问题 ............................................... 28 【考点五】问题五：圆柱与圆锥中的等积变形问题 .......................................................31 第 3 页 共 45 页 【考点六】问题六：排水法求不规则物体的体积 ...........................................................34 【考点七】问题七：含圆柱圆锥的不规则或组合立体图形的表面积和体积问题 ......... 37 【考点八】问题八：圆柱圆锥中的注水运动问题 ...........................................................40 第 4 页 共 45 页 【第三篇】典型例题篇 【考点一】问题一：圆柱与圆锥中的切拼问题。 【方法点拨】 立体图形的切拼问题属于小学数学中的典型问题和难点问题，由圆柱与圆锥 的切拼所产生的表面积增减变化，在分析与思考过程中常常具有一定的抽象性， 并涉及到基本的空间想象能力，因此，部分同学掌握起来较为困难，建议在理解 方面，尝试绘制示意图，在解题方面，注意寻找切拼后的变化规律。 1. 圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变 化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变 化的表面积÷变化的高度。 2. 圆柱中横切引起的表面积变化。 横切，即沿着底面或平行于底面将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积， 这两个面是底面，每多切一刀，便多增加两个面，即面数=刀数×2，相反，如果 两段圆柱拼接在一起，则会减少两个底面。 3. 圆柱中竖切引起的表面积变化。 竖切，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆 的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 4. 圆锥中竖切引起的切面积变化。 圆锥中的竖切是指将圆锥沿着高并垂直于底面切成完全相同的两块，每一块的切 面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高， 相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。 5. 圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 将一个底面半径为 r，高为 h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似 的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多 第 5 页 共 45 页 2个面积大小为 hr的长方形。 【典型例题 1】圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 一根高 8分米的圆柱木料，如果把它的高截短 3分米，表面积就减少 18.84平方 分米，这根圆木体积是多少立方分米？ 【答案】25.12立方分米 【分析】根据题意可知：如果把圆柱的高截短 3分米，表面积就减少 18.84平方 分米，表面积减少的是高为 3分米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：S ＝ch，用侧面积除以 3求出底面周长，进而求得底面半径，再根据圆柱的体积公 式： 2V r h ，把数据代入公式解答。 【详解】18.84÷3＝6.28（分米） 6.28÷3.14÷2 ＝2÷2 ＝1（分米） 3.14×1×1×8 ＝3.14×8 ＝25.12（立方分米） 答：这根圆木体积是 25.12立方分米。 【点睛】此题主要考查圆柱的侧面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公 式。 【对应练习】 一个圆柱体（如图），如果把它的高截短 3厘米，它的表面积减少 94.2平方厘 米。这个圆柱体积原来是多少立方厘米？ 第 6 页 共 45 页 【答案】1177.5立方厘米 【分析】表面积减少的侧面积，减少的侧面积÷截短的高＝圆柱底面周长，底面 周长÷π÷2＝底面半径，再根据圆柱体积＝底面积×高，求出原来体积即可。 【详解】94.2÷3＝31.4（厘米） 31.4÷3.14÷2＝5（厘米） 3.14×52×（12＋3） ＝3.14×25×15 ＝1177.5（立方厘米） 答：这个圆柱体积原来是 1177.5立方厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆柱侧面积和体积公式。 【典型例题 2】圆柱中横切引起的表面积变化。 把一根长 10米的木料锯成一样长的两段，结果表面积增加了 6.28平方米，这根 木料原来的体积是多少立方米？ 【答案】31.4立方米 【分析】根据题意，这个木料长是 10米；锯成两段，增加的面积等于两个底面 积的和；用增加的面积÷2，求出圆柱的底面积；再根据圆柱的体积公式：体积＝ 底面积×高，代入数据，即可解答。 【详解】（6.28÷2）×10 ＝3.14×10 ＝31.4（立方米） 答：这根木料原来的体积是 31.4立方米。 【点睛】解答本题的关键明确增加的面积和原来圆柱底面的关系；再结合圆柱的 体积公式，进行解答。 【对应练习】 一根长 12分米，横截面直径是 4厘米的圆柱形木棍，将它平均截成三段，然后 全部涂上颜色，涂色部分的面积是多少？ 第 7 页 共 45 页 【答案】1582.56平方厘米 【分析】 如图所示，把这根圆柱形 木棍平均截成三段后，表面积比原来增加 4个截面的面积， 2S dh 2 r圆柱  = + ，涂 色部分的面积＝原来圆柱的表面积＋增加部分的面积，据此解答。 【详解】12分米＝120厘米 （3－1）×2 ＝2×2 ＝4（个） 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 3.14×4×120＋12.56×2＋12.56×4 ＝12.56×120＋12.56×2＋12.56×4 ＝12.56×（120＋2＋4） ＝12.56×126 ＝1582.56（平方厘米） 答：涂色部分的面积是 1582.56平方厘米。 【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，表示出增加部分的面积并掌握圆柱的表 面积计算公式是解答题目的关键。 【典型例题 3】圆柱中竖切引起的表面积变化。 如图，一根圆柱形木料高 8分米，沿底面直径垂直切开，平均分成两部分。这时 表面积比原来增加了 0.96平方米（π取 3.14）。这根圆柱形木料的体积是多少立 方分米？ 【答案】226.08立方分米 第 8 页 共 45 页 【分析】观察题意可知，圆柱形木料沿底面直径垂直切开，平均分成两部分，表 面积增加了 2个长方形，长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径；先把 0.96平方米化为 96平方分米，然后用 96÷2即可求出一个长方形的面积，然后再 除以 8即可求出底面直径，进而求出底面半径，最后根据圆柱的体积公式：V＝ πr2h，代入数据解答即可。 【详解】0.96平方米＝96平方分米 底面直径：96÷2÷8＝6（分米） 半径：6÷2＝3（分米） 3.14×32×8 ＝3.14×9×8 ＝226.08（立方分米） 答：这根圆柱形木料的体积是 226.08立方分米。 【点睛】本题主要考查了立体图形的切割以及圆柱的体积公式的灵活应用。 【对应练习】 如图，一根圆柱形木料高 1米，沿底面直径垂直切开，平均分成两部分。这时表 面积比原来增加了 1.8平方米（π取 3.14）。 （1）这根木料原来的表面积是多少平方米？ （2）这根圆柱形木料的体积是多少立方米？ 【答案】（1）4.0977平方米；（2）0.63585立方米 【分析】（1）沿底面直径垂直切开，平均分成两部分，表面积比圆柱多了 2个 长方形的面积，已知表面积比原来增加了 1.8平方米，用 1.8÷2即可求出一个长 方形的面积，又已知长方形的长相当于圆柱的高，宽相当于底面直径，用 1.8÷2÷1 即可求出底面直径；根据圆柱的表面积：S＝2πr2＋πdh求解这根木料原来的表面 积即可。 （2）根据圆柱的体积：V＝πr2h求解这根圆柱形木料的体积。 第 9 页 共 45 页 【详解】（1）这根木料的底面直径为：1.8÷2÷1＝0.9（米） 底面半径：0.9÷2＝0.45（米） 这根木料原来的表面积为： 2×3.14×0.452＋3.14×0.9×1 ＝2×3.14×0.2025＋3.14×0.9×1 ＝1.2717＋2.826 ＝4.0977（平方米） 答：这根木料原来的表面积是 4.0977平方米。 （2）3.14×0.452×1 ＝3.14×0.2025×1 ＝0.63585（立方米） 答：这根圆柱形木料的体积是 0.63585立方米。 【点睛】本题考查了圆柱的表面积公式和体积公式的灵活应用，关键是明确多了 哪两个面的面积。 【典型例题 4】圆锥中竖切引起的切面积变化。 将一个圆锥形糕点沿着高切成两块，表面积比原来增加了 42平方厘米，测得圆 锥形糕点的高是 7厘米，原来这个圆锥形糕点的体积是多少立方厘米？ 【答案】65.94立方厘米 【分析】把圆锥沿着高切成两块截面是两个等腰三角形，切开之后的表面积比原 来增加了两个三角形的面积，先求出一个三角形的面积，再利用“底＝三角形的 面积×2÷高”求出三角形的底边，即圆锥的底面直径，最后利用“ 213 V r h ”求出圆 锥的体积，据此解答。 【详解】底面直径：42÷2×2÷7 ＝21×2÷7 ＝42÷7 ＝6（厘米） 第 10 页 共 45 页 底面半径：6÷2＝3（厘米） 体积： 1 3 ×3.14×3 2×7 ＝（3.14×7）×（ 13 ×3 2） ＝21.98×3 ＝65.94（立方厘米） 答：原来这个圆锥形糕点的体积是 65.94立方厘米。 【点睛】根据增加部分的面积求出圆锥的底面半径，并掌握圆锥的体积计算公式 是解答题目的关键。 【对应练习】 一个圆锥的底面半径是 3分米。从圆锥的顶点沿着高将它切成相等的两半后，表 面积比原来的圆锥表面积增加了 24平方分米。这个圆锥的体积是多少立方分 米？ 【答案】37.68立方分米 【分析】通过观察图形可知，把这个圆锥纵向切开，表面积增加的是两个切面的 面积，每个切面的底等于圆锥的底面直径，每个切面的高等于圆锥的高，根据三 角形的面积公式：S＝ah÷2，那么 h＝2S÷a，据此求出圆锥的高，再根据圆锥的 体积公式：V＝ 21 h3 r ，把数据代入公式解答。 【详解】24÷2＝12（平方分米） 12×2÷（3×2） ＝24÷6 ＝4（分米） 1 3 ×3.14×3 2×4 ＝ 1 3 ×3.14×9×4 第 11 页 共 45 页 ＝37.68（立方分米） 答：这个圆锥的体积是 37.68立方分米。 【点睛】此题主要考查三角形的面积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，关键是 熟记公式，重点是求出圆锥的高。 【典型例题 5】圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 把一个高为 6厘米的圆柱体切割成若干等分，拼成一个近似的长方体。长方体的 表面积比圆柱的表面积增加了 48平方厘米，如下图，请求出原来圆柱体的表面 积和体积。 【答案】251.2平方厘米；301.44立方厘米 【分析】根据题意，把一个圆柱切拼成一个近似长方体，那么长方体的长等于圆 柱底面周长的一半，长方体的宽等于圆柱的底面半径，长方体的高等于圆柱的高； 拼成的长方体的体积等于圆柱的体积，拼成的长方体的表面积比圆柱的表面积多 了两个长方形的面积（长方体的左右面），长方形的宽等于圆柱的底面半径，长 方形的长等于圆柱的高； 先用增加的表面积除以 2，求出一个长方形的面积，再除以高，即可求出长方体 的底面半径； 然后根据圆柱的表面积公式 S 表＝S 侧＋2S 底，其中 S 侧＝2πrh，S 底＝πr2；圆柱的 体积公式 V＝πr2h，代入数据计算求解。 【详解】圆柱的底面半径： 48÷2÷6 ＝24÷6 ＝4（厘米） 圆柱的表面积： 2×3.14×4×6＋3.14×42×2 ＝3.14×48＋3.14×16×2 ＝150.72＋100.48 ＝251.2（平方厘米） 第 12 页 共 45 页 圆柱的体积： 3.14×42×6 ＝3.14×16×6 ＝301.44（立方厘米） 答：原来圆柱体的表面积是 251.2平方厘米，体积是 301.44立方厘米。 【点睛】掌握圆柱切割拼接成长方体后，各部分元素间对应的关系，以及增加的 表面积是哪些面的面积，并以此为突破口，利用公式列式计算。 【对应练习】 将一个高是 12厘米的圆柱体如图那样切拼，切拼后的立体图形的表面积比圆柱 体大 120平方厘米。求圆柱体的体积。（π取 3.14） 【答案】942立方厘米 【分析】观察图形可知，切拼后的立体图形的表面积比圆柱体大 120平方厘米， 即表面积比原来多了两个长为 12厘米，宽为圆柱的底面半径的长方形的面积， 据此求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此代入数值进 行计算即可。 【详解】120÷2÷12 ＝60÷12 ＝5（厘米） 3.14×52×12 ＝3.14×25×12 ＝78.5×12 ＝942（立方厘米） 答：圆柱体的体积的是 942立方厘米。 【点睛】本题考查圆柱的体积，求出圆柱的底面半径是解题的关键。 【考点二】问题二：圆柱与圆锥中的旋转构成问题。 【方法点拨】 第 13 页 共 45 页 圆柱与圆锥中的旋转构成问题属于平面图形和立体图形的空间转化，具有一 定的抽象性，需要具备基本的空间想象能力。 1. 圆柱的四种旋转构成方法。 旋转方法①：如图所示，以宽为轴进行旋转。 以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。 旋转方法②：如图所示，以长为轴进行旋转。 以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。 旋转方法③：如图所示，以两条长中点的连线为轴进行旋转。 以两条长中点的连线为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半 径。 旋转方法④：如图所示，以两条宽中点的连线为轴进行旋转。 以两条宽中点的连线为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半 径。 总结：以谁为轴进行旋转谁就是圆柱的高，而另一条边则是底面的半径。 2. 圆锥的旋转构成方法。 沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，即可得到一个圆锥，旋转的轴是圆锥的 第 14 页 共 45 页 高，另一条直角边是圆锥的底面半径。 【典型例题 1】圆柱的旋转构成方法。 画出如图图形绕 BD边旋转后的图形，并求出的它的表面积和体积（单位：厘米）。 【答案】 ；150.72平方厘米；141.3立方厘米 【分析】圆柱的定义：以矩形的一边所在直线为轴，其余各边绕轴旋转而成的曲 面所围成的几何体，叫做圆柱体；圆柱表面积＝两个底面积＋侧面积，圆柱体积 ＝底面积×高，S＝π 2r ，据此求解。 【详解】如图： 表面积：3.14×32×2＋3×2×3.14×5 ＝3.14×9×2＋18.84×5 ＝56.52＋94.2 ＝150.72（平方厘米） 体积：3.14×32×5 ＝3.14×9×5 ＝28.26×5 第 15 页 共 45 页 ＝141.3（立方厘米） 答：这个圆柱的表面积是 150.72平方厘米，体积是 141.3立方厘米。 【点睛】此题主要考查圆柱的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公 式。 【对应练习】 如图中的长方形绕它的长或宽旋转一周，可分别得到立标图形 A和 B。 （1）算一算立体图形 A、B的体积。 （2）立体图形 A和 B的体积之比与原长方形有何关系？（请用数学式子或文字 加以说明） 【答案】（1）立体图形 A的体积是 37.68立方厘米，B的体积是 56.52立方厘 米。 （2）立体图形 A和 B的体积之比等于原长方形宽与长的长度之比。 【分析】（1）将长方形绕长旋转一周，得到一个圆柱体 A，圆柱体的高是 3厘 米，底面半径是 2厘米；绕宽旋转一周得到一个圆柱体 B，圆柱体的高是 2厘米， 底面半径是 3厘米，根据圆柱的体积＝πr2h计算即可解答； （2）求出两个圆柱的体积比，与原长方形比较即可得出结论。 【详解】（1）A的体积为：3.14×3×22＝37.68（立方厘米） B的体积为：3.14×32×2＝56.52（立方厘米） 答：立体图形 A的体积是 37.68立方厘米，B的体积是 56.52立方厘米。 （2）立体图形 A和 B的体积之比是：（3.14×3×22）∶（3.14×32×2）＝2∶3 原长方形的宽与长的比是 2∶3； 所以立体图形 A和 B的体积之比等于原长方形宽与长的长度之比。 答：立体图形 A和 B的体积之比等于原长方形宽与长的长度之比。 【点睛】解决本题的关键是得出旋转后图形的底面半径和高。 【典型例题 2】圆锥的旋转构成方法。 请你在下图中，选取直角三角形的一条边所在直线为轴旋转一周，所形成的立体 图形的体积是多少？ 第 16 页 共 45 页 【答案】37.68立方厘米；50.24立方厘米；30.144立方厘米。 【分析】由题可知，题目只说选取直角三角形的一条边所在直线为轴旋转一周， 并未说明选取哪一条边，所以要分类讨论。（1）当 AB为轴，旋转一周时，所 形成的是一个高为 4厘米，底面半径为 3厘米的圆锥，由圆锥的体积＝底面积× 高× 13，底面积＝πr²代入实际数据可得；（2）当 BC为轴，旋转一周，所形成的 是一个高为 3厘米，底面半径为 4厘米的圆锥。同理，代入圆锥体积公式即可得； （3）当 AC为轴，旋转一周，所形成是两个圆锥的结合体，斜边上的高就是底 面半径，可以设小的圆锥的高为 xcm，则大的圆锥的高为（5－x）cm，然后通 过圆锥的体积公式分别算出大小圆锥的体积，再相加即可解答。 【详解】（1）当 AB为轴时： 3×3×3.14×4× 13 ＝3×4×3.14 ＝12×3.14 ＝37.68（立方厘米） （2）当 BC为轴时： 4×4×3.14×3× 13 ＝4×4×3.14 ＝16×3.14 ＝50.24（立方厘米） （3）当 AC为轴时： 底面半径：3×4÷2×2÷5 ＝12÷2×2÷5 第 17 页 共 45 页 ＝12÷5 ＝2.4（厘米） 解：设小的圆锥的高为 xcm，则大的圆锥的高为（5－x）cm。 1 3 ×3.14×2.4×2.4×x＋ 1 3 ×3.14×2.4×2.4×（5－x） ＝ 1 3 ×3.14×2.4×2.4×（x＋5－x） ＝3.14×0.8×2.4×5 ＝3.14×0.8×12 ＝3.14×9.6 ＝30.144（立方厘米） 答：当 AB为轴时，所形成的立体图形的体积是 37.68立方厘米，当 BC为轴时， 所形成的立体图形的体积是 50.24立方厘米，当 AC为轴时，所形成的立体图形 的体积是 30.144立方厘米。 【点睛】此题考查的是圆锥体积公式，能熟练掌握圆锥的体积公式并分类讨论是 解题的关键。 【对应练习】 如图三角形 ABC是一个直角三角形，分别以三条边所在的直线为轴旋转得到三 个不同的立体形体，这三个立体图形的体积分别是多少立方厘米？ 【答案】37680立方厘米；50240立方厘米；30144立方厘米 【分析】将直角三角形以 AB为轴为轴旋转，得到一个高为 40厘米，底面半径 为 30厘米的圆锥，再利用圆锥的体积公式代入数据解答； 以 BC为轴旋转，得到一个高为 30厘米，底面半径为 40厘米的圆锥，再利用圆 锥的体积公式代入数据解答； 以 AC为轴旋转，得到两个圆锥，借助三角形的面积公式，列式 30×40÷2，求出 三角形的面积是 600平方厘米，再用 600×2÷50求出斜边上的高为 24厘米，即 第 18 页 共 45 页 底面半径为 24厘米，两个圆锥的高之和是 50厘米，先求出底面积，进而求出两 个圆锥的体积即可。 【详解】以 AB为轴旋转的圆锥： 1 3 ×3.14×30 2×40 ＝ 1 3 ×3.14×900×40 ＝942×40 ＝37680（立方厘米） 以 BC为轴旋转的圆锥： 1 3 ×3.14×40 2×30 ＝ 1 3 ×30×3.14×1600 ＝31.4×1600 ＝50240（立方厘米） 以 AC为轴旋转的立体图形，两个圆锥半径： 30×40÷2＝600（平方厘米） 600×2÷50＝24（厘米） 体积： 1 3 ×3.14×24 2×50 ＝ 1 3 ×3.14×576×50 ＝602.88×50 ＝30144（立方厘米） 答：以AB为轴旋转的圆锥体积37680立方厘米；以BC为轴旋转的圆锥体积50240 立方厘米；以 AC为轴旋转的立体图形体积是 30144立方厘米。 【点睛】掌握圆锥的特征和圆锥的体积计算公式是解答题目的关键。 【典型例题 3】圆柱与圆锥的旋转构成“综合型”。 小明、小花两人分别以直角梯形的上底、下底和高所在的直线为轴，将直角梯形 旋转一周，得到了甲、乙、丙三个立体图形。小明说：我们旋转的平面图形是完 全一样的，所以旋转后甲、乙、丙三个立体图形的体积也相等。小花说：我不同 意你的看法，我认为三个立体图形的体积不相等。 第 19 页 共 45 页 你同意谁的说法？甲、乙、丙三个立体图形的体积是多少立方厘米？（π取 3.14） 【答案】小花；甲 141.3立方厘米；乙 113.04立方厘米；丙 197.82立方厘米 【分析】观察各立体图形可知，图形甲的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积，图形 乙的体积＝圆锥的体积＋圆柱的体积，图形丙的体积＝大圆锥的体积－小圆锥的 体积； 根据圆柱的体积公式 V＝πr2h，圆锥的体积公式 V＝ 13 πr 2h，代入数据计算求解， 然后比较三个立体图形的体积，得出结论。 【详解】甲的体积： 3.14×32×6－ 13 ×3.14×3 2×（6－3） ＝3.14×9×6－ 13 ×3.14×9×3 ＝3.14×54－3.14×9 ＝169.56－28.26 ＝141.3（立方厘米） 乙的体积： 1 3 ×3.14×3 2×（6－3）＋3.14×32×3 ＝ 1 3 ×3.14×9×3＋3.14×9×3 ＝3.14×9＋3.14×27 ＝28.26＋84.78 ＝113.04（立方厘米） 第 20 页 共 45 页 丙的体积： 延长圆台的两边相交于一点，形成一个大圆锥，由小圆锥的底面半径 3厘米，圆 台的高 3厘米，推出这是一个等腰直角三角形，由此得出小圆锥的高是 3厘米。 1 3 ×3.14×6 2×（3＋3）－ 13 ×3.14×3 2×3 ＝ 1 3 ×3.14×36×6－ 1 3 ×3.14×9×3 ＝3.14×72－3.14×9 ＝226.08－28.26 ＝197.82（立方厘米） 197.82＞141.3＞113.04，所以三个立体图形的体积不相等。 答：我同意小花的说法。甲的体积是 141.3立方厘米，乙的体积是 113.04立方厘 米，丙的体积是 197.82立方厘米。 【点睛】本题考查圆柱、圆锥体积公式的运用，明确以同一个平面图形的不同线 段为轴旋转，形成立体图形的体积不相等。 【对应练习】 请根据下图信息回答问题。 （1）直角梯形 ABCD，如果以 AB为轴进行旋转，所形成的立体图形是图 （ ）；如果以 DC为轴进行旋转，所形成的立体图形是图（ ）。 （2）选择其中一个立体图形计算它的体积。 第 21 页 共 45 页 【答案】（1）① ； ② （2）①的体积：150.72cm3；②的体积：188.4cm3 【分析】（1）判断旋转得到的立体图形时，要知道：以直角三角形的直角边为 轴旋转时，所形成的立体图形是圆锥，以其斜边为轴旋转时，所形成的图形是沙 漏模型。 （2）两个不同的立体图形的体积分别是圆柱的体积与圆锥的体积的和与差；只 不过图形②的圆柱的高=下部圆柱的高+上部分圆锥的高。 【详解】（2）求①的体积：  2 2 13 4 3 8 4 3       36 12   48  3150.72 cm 求②的体积  2 2 13 8 3 8 4 3       72 12   60  3188.4 cm 【点睛】判断旋转得到的立体图形要有一定的空间观念，计算量也很大，还要注 意细节部分“图形②的圆柱的高=下部圆柱的高+上部分圆锥的高”不要弄错了。 【考点三】问题三：圆柱与圆锥的关系问题。 【方法点拨】 圆柱与圆锥的关系问题经常是在填空、选择题中出现，掌握二者的关系，需 要注意寻找前提条件。 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的 3倍，反之，圆 锥的体积是圆柱体积的 3 1 。 2. 体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。 第 22 页 共 45 页 3. 体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。 【典型例题 1】其一。 一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积分别相等。已知圆柱的高是 4分米，圆锥的 高是多少？ 【答案】12分米 【分析】假设圆柱的底面积是 1平方分米，根据圆柱的体积公式，用 1×4即可求 出圆柱的体积，已知一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积分别相等，则圆锥的体 积是 4立方分米，底面积是 1平方分米，根据圆锥的高＝3×体积÷底面积，用 3×4÷1 即可求出圆锥的高。 【详解】假设圆柱的底面积是 1平方分米， 1×4＝4（立方分米） 3×4÷1 ＝12÷1 ＝12（分米） 答：圆锥的高是 12分米。 【点睛】本题考查了圆柱和圆锥的体积公式的灵活应用，明确等底等体积的圆锥 的高是圆柱的 3倍。 【对应练习】 一个圆锥形麦堆的底面半径是 2米，高是 15米，这个麦堆的体积是多少立方米？ 与它等底等高的圆柱体积是多少立方米？ 【答案】62.8立方米；188.4立方米 【分析】根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出麦堆的体积；等底等高的圆柱和圆 锥，圆柱体积是圆锥体积的 3倍，圆锥体积×3＝圆柱体积，据此列式解答。 【详解】3.14×22×15÷3 ＝3.14×4×15÷3 ＝12.56×15÷3 ＝62.8（立方米） 62.8×3＝188.4（立方米） 答：这个麦堆的体积是 62.8立方米，与它等底等高的圆柱体积是 188.4立方米。 第 23 页 共 45 页 【典型例题 2】其二。 一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱和一个圆锥组成，圆柱的底面直径和高都 是 14厘米，其中有一些水，正放时水面离容器顶部 11厘米，倒放时水面离容器 顶部 5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？（ 3  ） 【答案】2499立方厘米 【分析】已知圆柱的底面直径和高，只需要求出圆锥高即可。根据正放时水面离 容器顶部 11厘米，假设圆锥部分的高为 h厘米，如下图，则正放时空气部分的 体积相当于高为 h的圆锥的体积加上高为（11－ h）的圆柱部分的体积。而圆柱 和圆锥是等底的，根据等底的圆柱和圆锥的体积关系，高为 h的圆锥体积也可以 看成是高为 1 3 h的圆柱的体积，这样正放时空气部分的体积相当于高为 1 11 3 h h      的圆柱体积。因为无论正放、倒放，空气体积是不变的，所以这一部 分空气体积，也等于倒放时高为 5厘米的圆柱的体积。因为圆柱的底面始终一样， 所以两部分圆柱的高一定是相等的，即 1 11 5 3 h h   ，解方程即可求得 h的值。再 根据圆柱、圆锥的体积公式即可求得这个容器的容积。 【详解】解：设圆锥的高为 h厘米， 1 11 5 3 h h   211 5 3 h  第 24 页 共 45 页 2 2 211 5 3 3 3 h h h    25 11 3 h  25 5 11 5 3 h    2 6 3 h  2 2 26 3 3 3 h    36 2 h   9h  体积：    2 213 14 2 14 3 14 2 9 3         2 23 7 14 1 7 9      3 49 14 49 9     2058 441  2499 （立方厘米） 答：这个容器的容积是 2499立方厘米。 【对应练习】 用底面半径和高分别是 6厘米、12厘米的空心圆锥和空心圆柱各一个，组成竖 放的容器如图。在这个容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还填了部分圆柱，圆 柱部分的细砂高 2厘米。若将这个容器上面封住并倒立，细沙的高度是多少厘 米？ 【答案】6厘米 【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的 3倍，所以当圆锥与圆柱的体 积相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的 1 3，据此可以求出圆锥容器中的 细沙倒入圆柱容器中沙的高是（12× 13）厘米，再加上原来圆柱容器中的细沙高 第 25 页 共 45 页 即可。 【详解】2＋（12× 13） ＝2＋4 ＝6（厘米） 答：细沙的高度是 6厘米。 【典型例题 3】其三。 实验课上，有一个圆锥体容器和一个等底等高的圆柱体容器，李老师拿来一瓶溶 液先把它倒入圆锥体容器中，倒满后剩下的又全部倒入圆柱体容器中，刚好倒了 这个圆柱体容器的 2 5 。此时，圆锥体容器中溶液比圆柱体中少 140毫升。李老师 拿来的这瓶溶液一共有多少毫升？ 【答案】1540毫升 【分析】设圆柱体容器的容积为 x毫升，根据圆锥体容器与圆柱体容器等底等高 可得圆锥体容器的容积为 1 3 x毫升，根据圆锥体容器中溶液比圆柱体中少 140毫 升，列方程即可求出圆柱的容积，进而求出这瓶溶液的体积。 【详解】解：设圆柱体容器的容积为 x毫升。 2 5 x－ 1 3 x＝140 1 15 x＝140 1 15 x÷ 1 15 ＝140÷ 1 15 x＝140×15 x＝2100 2100× 13＋2100× 2 5 ＝700＋840 ＝1540（毫升） 答：李老师拿来的这瓶溶液一共有 1540毫升。 【对应练习】 圆柱形容器与一个圆锥形容器等底等高，圆柱形容器内原有 8升水，将圆锥形容 器盛满水再全部倒入圆柱形容器，容器内的水面上升到 1 2 处，则圆柱形容器的容 第 26 页 共 45 页 积是多少？ 【答案】48升 【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的 3倍，现将圆锥形容器盛满水 再全部倒入圆柱形容器，相当于等底等高的圆柱体积的 1 3，由此可以求出圆柱容 器内原来水的体积占圆柱容器容积的几分之几，然后根据已知一个数的几分之几 是多少，求这个数，用除法解答。 【详解】 1 18 2 3       1=8 6  ＝8×6 ＝48（升） 答：圆柱形容器的容积是 48升。 【点睛】关键是理解圆柱和圆锥体积之间的关系，理解分数除法的意义。 【典型例题 4】其四。 如下图，瓶底的面积和锥形杯口的面积相等，将瓶子中的液体倒入锥形杯子中， 能倒满几杯？ （1）三位同学的方法，你认为正确的在□打√。 （2）你最喜欢（ ）的解答方法，请用你喜欢的解答方法解决下面的问题。 乐乐说：“如果一个圆锥和圆柱的体积和底面积都相等，那么圆锥的高是圆柱的 第 27 页 共 45 页 高的 3倍”乐乐的说法对吗？为什么？ 【答案】（1）都对 （2）小明；过程见详解 【分析】（1）圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高× 13，分别求出液体 体积和杯子容积，液体体积÷杯子容积＝能倒的杯数；也可以根据圆柱和圆锥体 积之间的关系，直接用 3×2即可，据此分析； （2）从圆柱和圆锥的体积公式入手，圆柱的高＝体积÷底面积，圆锥的高＝体积 ×3÷底面积，用圆柱的高÷圆锥的高即可解答。 【详解】（1） （2）我最喜欢小明的解答方法。 Vh V S S   圆柱 33 Vh V S S   圆锥 3 3V Vh h S S    圆柱 圆锥 所以如果一个圆锥和圆柱的体积和底面积都相等，那么圆锥的高是圆柱的高的 3 倍，说法正确。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆柱和圆锥的体积公式。 【对应练习】 第 28 页 共 45 页 把瓶中的果汁倒入这个圆锥形玻璃杯，最多可以倒满多少杯？（容器壁厚忽略不 计） 【答案】6杯 【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的 3倍，所以当圆柱与圆锥的底 面积相等，圆柱的高是圆锥高的 2倍时，圆柱的体积是圆锥体积的（3×2）倍。 据此解答即可。 【详解】3×2＝6（杯） 答：最多能倒满 6杯。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应 用。 【考点四】问题四：圆柱与圆锥中的两种变化关系问题。 【方法点拨】 圆柱与圆锥中主要有两种变化关系问题，其一是比例变化关系，其二是倍数 变化关系。 一、比例变化关系。 1. 圆柱与比。 （1）当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比： 高之比就是体积之比。 （2）当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比： 底面积之比就是体积之比。 （3）已知底面积之比和高之比，求体积之比： 分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。 2. 圆锥与比。 第 29 页 共 45 页 （1）当圆锥的底面积相等时，高的比就是体积的比。 （2）当圆锥的高相等时，底面积的比就是体积的比。 （3）当圆锥和圆柱如果底面积和高均相等，那么圆锥和圆柱的体积之比是 1∶3。 二、倍数变化关系。 圆柱圆锥的体积随着底面积和高的扩大与缩小而变化，其规律与积的变化规律相 似，即： 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几 倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几 倍（或缩小为原来的几分之一）。 【典型例题 1】其一。 已知两个圆柱的底面积相等，高的比是 1∶2，体积比是( )。 解析：1∶2 【对应练习】 两个圆柱的高相等，半径比是 1∶2，则体积比是多少? 解析：1∶4。 【典型例题 2】其二。 （1）两个圆锥的底面积相等，高比是 1∶2，体积比( )。 （2）两个圆锥的高相等，底面积比是 2∶3，体积比是( )。 （3）两个圆锥高的比是 3∶4，半径比是 1∶3，则体积比是多少? 解析：（1）1:2；（2）2:3；（3）1:12 【对应练习】 已知两个圆锥的底面半径比是 2∶3，高的比是 2∶3，则两个圆锥的体积比是多 少？ 解析：8:27 【典型例题 3】其三。 一个圆柱和一个圆锥，它们底面积的比是 2∶3，高的比是 2∶5，那么它们的体 积比是( )。 【答案】4∶5 第 30 页 共 45 页 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，将底面积的比和 高的比当成圆柱和圆锥的底面积和高，计算出它们的体积，写出比即可。 【详解】2×2＝4 3×5÷3＝5 所以他们的体积比是 4∶5。 【点睛】本题考查了比的意义、圆柱和圆锥的体积，等底等高的圆柱和圆锥，圆 柱体积是圆锥的 3倍。 【对应练习】 圆锥的高是圆柱的 4 5 ，圆锥的底面直径是圆柱的 2倍，这个圆锥与圆柱的体积比 是( )。 【答案】16︰15 【详解】略 【典型例题 4】其四。 1. 一个圆锥的高扩大 3倍，底面积不变，则体积( )。 【答案】扩大三倍 【详解】略 2. 一个圆柱的高扩大 3倍，底面半径不变，体积扩大( )倍；如果圆柱的 高不变，半径扩大 3倍，体积扩大( )倍。 【答案】 3 9 【分析】根据圆柱体积= 2 hr  ，其中 r表示底面圆半径，h为高；根据公式代入 数据可计算出答案。 【详解】圆柱的高扩大 3倍，底面半径不变，体积扩大 3倍；如果圆柱的高不变， 半径扩大 3倍，体积扩大 23 9 倍。 【对应练习 1】 1. 一个圆锥的底面半径扩大 2倍，高也扩大 2倍，圆锥的体积扩大到原来的 ( )倍。 【答案】8 【分析】根据圆锥的体积公式，结合底面半径和高的变化情况，分析并求出体积 的变化情况即可。 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」 第三单元圆柱与圆锥·总集篇·八种综合性问题【八大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第三单元圆柱与圆锥·总集篇·八种综合性问题 专题内容 本专题主要以八种圆柱圆锥中常考的综合性问题为主，其中包括圆柱与圆锥的切拼问题、圆柱与圆锥的旋转构成问题、圆柱与圆锥的关系问题、圆柱与圆锥的两种关系变化问题、圆柱与圆锥的等积变形问题、排水法求不规则物体的体积问题、含圆柱圆锥的不规则或组合立体图形的表面积和体积问题、圆柱圆锥中的注水运动问题等。 总体评价 讲解建议 总集篇是对一段时间内的热点、重点及难点内容的总结，综合性强，考点难度大，适用于阶段性复习，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 八个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】问题一：圆柱与圆锥中的切拼问题 4 【考点二】问题二：圆柱与圆锥中的旋转构成问题 8 【考点三】问题三：圆柱与圆锥的关系问题 12 【考点四】问题四：圆柱与圆锥中的两种变化关系问题 14 【考点五】问题五：圆柱与圆锥中的等积变形问题 16 【考点六】问题六：排水法求不规则物体的体积 18 【考点七】问题七：含圆柱圆锥的不规则或组合立体图形的表面积和体积问题 19 【考点八】问题八：圆柱圆锥中的注水运动问题 21 【第三篇】典型例题篇 【考点一】问题一：圆柱与圆锥中的切拼问题。 【方法点拨】 立体图形的切拼问题属于小学数学中的典型问题和难点问题，由圆柱与圆锥的切拼所产生的表面积增减变化，在分析与思考过程中常常具有一定的抽象性，并涉及到基本的空间想象能力，因此，部分同学掌握起来较为困难，建议在理解方面，尝试绘制示意图，在解题方面，注意寻找切拼后的变化规律。 1. 圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。 2. 圆柱中横切引起的表面积变化。 横切，即沿着底面或平行于底面将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，每多切一刀，便多增加两个面，即面数=刀数×2，相反，如果两段圆柱拼接在一起，则会减少两个底面。 3. 圆柱中竖切引起的表面积变化。 竖切，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 4. 圆锥中竖切引起的切面积变化。 圆锥中的竖切是指将圆锥沿着高并垂直于底面切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。 5. 圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。 【典型例题1】圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 一根高8分米的圆柱木料，如果把它的高截短3分米，表面积就减少18.84平方分米，这根圆木体积是多少立方分米？ 【对应练习】 一个圆柱体（如图），如果把它的高截短3厘米，它的表面积减少94.2平方厘米。这个圆柱体积原来是多少立方厘米？ 【典型例题2】圆柱中横切引起的表面积变化。 把一根长10米的木料锯成一样长的两段，结果表面积增加了6.28平方米，这根木料原来的体积是多少立方米？ 【对应练习】 一根长12分米，横截面直径是4厘米的圆柱形木棍，将它平均截成三段，然后全部涂上颜色，涂色部分的面积是多少？ 【典型例题3】圆柱中竖切引起的表面积变化。 如图，一根圆柱形木料高8分米，沿底面直径垂直切开，平均分成两部分。这时表面积比原来增加了0.96平方米（π取3.14）。这根圆柱形木料的体积是多少立方分米？ 【对应练习】 如图，一根圆柱形木料高1米，沿底面直径垂直切开，平均分成两部分。这时表面积比原来增加了1.8平方米（π取3.14）。 （1）这根木料原来的表面积是多少平方米？ （2）这根圆柱形木料的体积是多少立方米？ 【典型例题4】圆锥中竖切引起的切面积变化。 将一个圆锥形糕点沿着高切成两块，表面积比原来增加了42平方厘米，测得圆锥形糕点的高是7厘米，原来这个圆锥形糕点的体积是多少立方厘米？ 【对应练习】 一个圆锥的底面半径是3分米。从圆锥的顶点沿着高将它切成相等的两半后，表面积比原来的圆锥表面积增加了24平方分米。这个圆锥的体积是多少立方分米？ 【典型例题5】圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 把一个高为6厘米的圆柱体切割成若干等分，拼成一个近似的长方体。长方体的表面积比圆柱的表面积增加了48平方厘米，如下图，请求出原来圆柱体的表面积和体积。 【对应练习】 将一个高是12厘米的圆柱体如图那样切拼，切拼后的立体图形的表面积比圆柱体大120平方厘米。求圆柱体的体积。（π取3.14） 【考点二】问题二：圆柱与圆锥中的旋转构成问题。 【方法点拨】 圆柱与圆锥中的旋转构成问题属于平面图形和立体图形的空间转化，具有一定的抽象性，需要具备基本的空间想象能力。 1. 圆柱的四种旋转构成方法。 旋转方法①：如图所示，以宽为轴进行旋转。 以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。 旋转方法②：如图所示，以长为轴进行旋转。 以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。 旋转方法③：如图所示，以两条长中点的连线为轴进行旋转。 以两条长中点的连线为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半径。 旋转方法④：如图所示，以两条宽中点的连线为轴进行旋转。 以两条宽中点的连线为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半径。 总结：以谁为轴进行旋转谁就是圆柱的高，而另一条边则是底面的半径。 2. 圆锥的旋转构成方法。 沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，即可得到一个圆锥，旋转的轴是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径。 【典型例题1】圆柱的旋转构成方法。 画出如图图形绕BD边旋转后的图形，并求出的它的表面积和体积（单位：厘米）。 【对应练习】 如图中的长方形绕它的长或宽旋转一周，可分别得到立标图形A和B。 （1）算一算立体图形A、B的体积。 （2）立体图形A和B的体积之比与原长方形有何关系？（请用数学式子或文字加以说明） 【典型例题2】圆锥的旋转构成方法。 请你在下图中，选取直角三角形的一条边所在直线为轴旋转一周，所形成的立体图形的体积是多少？ 【对应练习】 如图三角形ABC是一个直角三角形，分别以三条边所在的直线为轴旋转得到三个不同的立体形体，这三个立体图形的体积分别是多少立方厘米？ 【典型例题3】圆柱与圆锥的旋转构成“综合型”。 小明、小花两人分别以直角梯形的上底、下底和高所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周，得到了甲、乙、丙三个立体图形。小明说：我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后甲、乙、丙三个立体图形的体积也相等。小花说：我不同意你的看法，我认为三个立体图形的体积不相等。 你同意谁的说法？甲、乙、丙三个立体图形的体积是多少立方厘米？（π取3.14） 【对应练习】 请根据下图信息回答问题。 （1）直角梯形ABCD，如果以AB为轴进行旋转，所形成的立体图形是图（     ）；如果以DC为轴进行旋转，所形成的立体图形是图（     ）。 （2）选择其中一个立体图形计算它的体积。 【考点三】问题三：圆柱与圆锥的关系问题。 【方法点拨】 圆柱与圆锥的关系问题经常是在填空、选择题中出现，掌握二者的关系，需要注意寻找前提条件。 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。 2. 体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。 3. 体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。 【典型例题1】其一。 一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积分别相等。已知圆柱的高是4分米，圆锥的高是多少？ 【对应练习】 一个圆锥形麦堆的底面半径是2米，高是15米，这个麦堆的体积是多少立方米？与它等底等高的圆柱体积是多少立方米？ 【典型例题2】其二。 一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱和一个圆锥组成，圆柱的底面直径和高都是14厘米，其中有一些水，正放时水面离容器顶部11厘米，倒放时水面离容器顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？（） 【对应练习】 用底面半径和高分别是6厘米、12厘米的空心圆锥和空心圆柱各一个，组成竖放的容器如图。在这个容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还填了部分圆柱，圆柱部分的细砂高2厘米。若将这个容器上面封住并倒立，细沙的高度是多少厘米？ 【对应练习】 圆柱形容器与一个圆锥形容器等底等高，圆柱形容器内原有8升水，将圆锥形容器盛满水再全部倒入圆柱形容器，容器内的水面上升到处，则圆柱形容器的容积是多少？ 【典型例题4】其四。 如下图，瓶底的面积和锥形杯口的面积相等，将瓶子中的液体倒入锥形杯子中，能倒满几杯？ （1）三位同学的方法，你认为正确的在□打√。 （2）你最喜欢（     ）的解答方法，请用你喜欢的解答方法解决下面的问题。 乐乐说：“如果一个圆锥和圆柱的体积和底面积都相等，那么圆锥的高是圆柱的高的3倍”乐乐的说法对吗？为什么？ 【对应练习】 把瓶中的果汁倒入这个圆锥形玻璃杯，最多可以倒满多少杯？（容器壁厚忽略不计） 【考点四】问题四：圆柱与圆锥中的两种变化关系问题。 【方法点拨】 圆柱与圆锥中主要有两种变化关系问题，其一是比例变化关系，其二是倍数变化关系。 一、比例变化关系。 1. 圆柱与比。 （1）当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比： 高之比就是体积之比。 （2）当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比： 底面积之比就是体积之比。 （3）已知底面积之比和高之比，求体积之比： 分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。 2. 圆锥与比。 （1）当圆锥的底面积相等时，高的比就是体积的比。 （2）当圆锥的高相等时，底面积的比就是体积的比。 （3）当圆锥和圆柱如果底面积和高均相等，那么圆锥和圆柱的体积之比是1∶3。 二、倍数变化关系。 圆柱圆锥的体积随着底面积和高的扩大与缩小而变化，其规律与积的变化规律相似，即： 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。 【典型例题1】其一。 已知两个圆柱的底面积相等，高的比是1∶2，体积比是( )。 【对应练习】 两个圆柱的高相等，半径比是1∶2，则体积比是多少? 【典型例题2】其二。 （1）两个圆锥的底面积相等，高比是1∶2，体积比( )。 （2）两个圆锥的高相等，底面积比是2∶3，体积比是( )。 （3）两个圆锥高的比是3∶4，半径比是1∶3，则体积比是多少? 【对应练习】 已知两个圆锥的底面半径比是2∶3，高的比是2∶3，则两个圆锥的体积比是多少？ 【典型例题3】其三。 一个圆柱和一个圆锥，它们底面积的比是2∶3，高的比是2∶5，那么它们的体积比是( )。 【对应练习】 圆锥的高是圆柱的，圆锥的底面直径是圆柱的2倍，这个圆锥与圆柱的体积比是( )。 【典型例题4】其四。 1. 一个圆锥的高扩大3倍，底面积不变，则体积( )。 2. 一个圆柱的高扩大3倍，底面半径不变，体积扩大( )倍；如果圆柱的高不变，半径扩大3倍，体积扩大( )倍。 【对应练习1】 1. 一个圆锥的底面半径扩大2倍，高也扩大2倍，圆锥的体积扩大到原来的( )倍。 2. 一个圆柱的高扩大2倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大( )倍；如果圆柱的高不变，底面半径扩大4倍，则圆柱的体积扩大( )倍。 【考点五】问题五：圆柱与圆锥中的等积变形问题。 【方法点拨】 圆柱、圆锥与长方体、正方体的等积变形问题是较常考察的题型之一，总体来说，难度不大，关键是掌握体积不变这一思路，再根据体积不变去解决问题。 【典型例题1】其一。 把一块长方体钢坯熔铸成一根底面直径为4分米的圆柱形钢材，求钢材的长度。 【对应练习】 刘华测量一个瓶子的容积，测得瓶子的底面直径12厘米，然后给瓶子内盛入一些水，正放时水高20厘米，倒放时水高25厘米，瓶子深30厘米。你能根据这些信息求出瓶子的容积吗？ 【典型例题2】其二。 如图所示，有甲、乙两个容器（单位：厘米），先将甲容器注满水，然后将水倒入乙容器，求乙容器的水深。 【对应练习】 一个圆锥形沙堆，底面积是28.26平方米，高是2.5米。用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？ 【考点六】问题六：排水法求不规则物体的体积。 【方法点拨】 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 【典型例题1】其一。 如图所示，一个底面直径为20厘米的装有一些水的圆柱的玻璃杯，水中放着一个底面直径为6厘米、高20厘米的圆锥形状的铅锤，当取出铅锤后，杯里的水下降几厘米？ 【对应练习】 有一个倒圆锥形的容器，它的底面半径是5厘米，高是10厘米，容器内放着一些石子，石子的体积为π立方厘米，在容器内到满水后，再把石子全部拿出来，求此时容器内水面的高度． 【典型例题2】其二。 在一个装了水的圆柱形容器中（如下图），放入一个体积为580cm³的圆锥形铁块，将会溢出多少毫升水？   【对应练习】 有一个底面半径为8cm的圆柱形玻璃容器，水深6cm。把一块底面半径是6cm、高是10cm的圆锥形铁块放入水中，水会溢出45mL，那么这个玻璃容器有多高？（得数保留整数） 【考点七】问题七：含圆柱圆锥的不规则或组合立体图形的表面积和体积问题。 【方法点拨】 不规则或组合立体图形的体积是图形计算和实际应用中的常考题型，其中组合立体图形的体积等于各部分规则立体图形的体积之和。 【典型例题】 图形计算。 （1）计算下面图形的表面积和体积。　　　 （2）计算下面图形的体积。 【对应练习1】 计算下面图形的表面积和体积。 半圆柱的底面直径是10 cm 【对应练习2】 求下图的表面积和体积。 【对应练习3】 计算下图（按45°斜切）的体积（单位：厘米）。 【考点八】问题八：圆柱圆锥中的注水运动问题。 【方法点拨】 注水运动问题常使用实验的方式考察圆柱体积在实际生活中的综合应用，审题过程中，关键在于读懂图形给到的信息，需要很巧妙地把给到的注水“实验”过程图形（高度与时间的关系）与实际注水过程节点关联起来，比较考验学生的数学“实验”逻辑思考能力，其在独立招生考试或是在小升初入学分层考试中较为常见。 【典型例题】 下图是一个圆柱与一个圆锥合在一起做成的水箱，开始时是空的。然后往里以180升/时的速度注水。（取3） （1）如果水箱的厚度忽略不计，这个水箱的容积是多少？ （2）多长时间可以把水箱注满？ （3）下面哪幅图能表示随着时间变化，水面高度的变化过程？ 【对应练习1】 一个圆柱体的容器内放有一个圆锥形铁块。现打开水龙头向容器内注水。2分钟时，水恰好没过铁块的顶点；再过了3分钟，水恰好注满容器。已知圆柱形容器的底面积为72平方厘米，它的高是21厘米；圆锥形铁块的高为9厘米，则铁块的底面积是多少？ 【对应练习2】 A和B都是高度为12厘米的圆柱形容器，底面半径分别是1厘米和2厘米，一个水龙头单独向A注水，一分钟可注满。现将两容器在它们的高度的一半出用一根细管连通（连通管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，求 （1）2分钟容器A中的水有多高？ （2）3分钟时容器A中的水有多高？ 【对应练习3】 如图30－1，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了有颜色水。其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.57立方厘米/分钟。 （1）圆锥内漏完水需要多少时间？ （2）请你在图30－2中用阴影表示出此时圆柱内的水。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」 第三单元圆柱与圆锥·总集篇·八种综合性问题【八大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第三单元圆柱与圆锥·总集篇·八种综合性问题 专题内容 本专题主要以八种圆柱圆锥中常考的综合性问题为主，其中包括圆柱与圆锥的切拼问题、圆柱与圆锥的旋转构成问题、圆柱与圆锥的关系问题、圆柱与圆锥的两种关系变化问题、圆柱与圆锥的等积变形问题、排水法求不规则物体的体积问题、含圆柱圆锥的不规则或组合立体图形的表面积和体积问题、圆柱圆锥中的注水运动问题等。 总体评价 讲解建议 总集篇是对一段时间内的热点、重点及难点内容的总结，综合性强，考点难度大，适用于阶段性复习，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 八个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】问题一：圆柱与圆锥中的切拼问题 4 【考点二】问题二：圆柱与圆锥中的旋转构成问题 12 【考点三】问题三：圆柱与圆锥的关系问题 21 【考点四】问题四：圆柱与圆锥中的两种变化关系问题 28 【考点五】问题五：圆柱与圆锥中的等积变形问题 31 【考点六】问题六：排水法求不规则物体的体积 34 【考点七】问题七：含圆柱圆锥的不规则或组合立体图形的表面积和体积问题 37 【考点八】问题八：圆柱圆锥中的注水运动问题 40 【第三篇】典型例题篇 【考点一】问题一：圆柱与圆锥中的切拼问题。 【方法点拨】 立体图形的切拼问题属于小学数学中的典型问题和难点问题，由圆柱与圆锥的切拼所产生的表面积增减变化，在分析与思考过程中常常具有一定的抽象性，并涉及到基本的空间想象能力，因此，部分同学掌握起来较为困难，建议在理解方面，尝试绘制示意图，在解题方面，注意寻找切拼后的变化规律。 1. 圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。 2. 圆柱中横切引起的表面积变化。 横切，即沿着底面或平行于底面将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，每多切一刀，便多增加两个面，即面数=刀数×2，相反，如果两段圆柱拼接在一起，则会减少两个底面。 3. 圆柱中竖切引起的表面积变化。 竖切，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 4. 圆锥中竖切引起的切面积变化。 圆锥中的竖切是指将圆锥沿着高并垂直于底面切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。 5. 圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。 【典型例题1】圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 一根高8分米的圆柱木料，如果把它的高截短3分米，表面积就减少18.84平方分米，这根圆木体积是多少立方分米？ 【答案】25.12立方分米 【分析】根据题意可知：如果把圆柱的高截短3分米，表面积就减少18.84平方分米，表面积减少的是高为3分米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：S＝ch，用侧面积除以3求出底面周长，进而求得底面半径，再根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。 【详解】18.84÷3＝6.28（分米） 6.28÷3.14÷2 ＝2÷2 ＝1（分米） 3.14×1×1×8 ＝3.14×8 ＝25.12（立方分米） 答：这根圆木体积是25.12立方分米。 【点睛】此题主要考查圆柱的侧面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【对应练习】 一个圆柱体（如图），如果把它的高截短3厘米，它的表面积减少94.2平方厘米。这个圆柱体积原来是多少立方厘米？ 【答案】1177.5立方厘米 【分析】表面积减少的侧面积，减少的侧面积÷截短的高＝圆柱底面周长，底面周长÷π÷2＝底面半径，再根据圆柱体积＝底面积×高，求出原来体积即可。 【详解】94.2÷3＝31.4（厘米） 31.4÷3.14÷2＝5（厘米） 3.14×52×（12＋3） ＝3.14×25×15 ＝1177.5（立方厘米） 答：这个圆柱体积原来是1177.5立方厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆柱侧面积和体积公式。 【典型例题2】圆柱中横切引起的表面积变化。 把一根长10米的木料锯成一样长的两段，结果表面积增加了6.28平方米，这根木料原来的体积是多少立方米？ 【答案】31.4立方米 【分析】根据题意，这个木料长是10米；锯成两段，增加的面积等于两个底面积的和；用增加的面积÷2，求出圆柱的底面积；再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【详解】（6.28÷2）×10 ＝3.14×10 ＝31.4（立方米） 答：这根木料原来的体积是31.4立方米。 【点睛】解答本题的关键明确增加的面积和原来圆柱底面的关系；再结合圆柱的体积公式，进行解答。 【对应练习】 一根长12分米，横截面直径是4厘米的圆柱形木棍，将它平均截成三段，然后全部涂上颜色，涂色部分的面积是多少？ 【答案】1582.56平方厘米 【分析】如图所示，把这根圆柱形木棍平均截成三段后，表面积比原来增加4个截面的面积，，涂色部分的面积＝原来圆柱的表面积＋增加部分的面积，据此解答。 【详解】12分米＝120厘米 （3－1）×2 ＝2×2 ＝4（个） 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 3.14×4×120＋12.56×2＋12.56×4 ＝12.56×120＋12.56×2＋12.56×4 ＝12.56×（120＋2＋4） ＝12.56×126 ＝1582.56（平方厘米） 答：涂色部分的面积是1582.56平方厘米。 【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，表示出增加部分的面积并掌握圆柱的表面积计算公式是解答题目的关键。 【典型例题3】圆柱中竖切引起的表面积变化。 如图，一根圆柱形木料高8分米，沿底面直径垂直切开，平均分成两部分。这时表面积比原来增加了0.96平方米（π取3.14）。这根圆柱形木料的体积是多少立方分米？ 【答案】226.08立方分米 【分析】观察题意可知，圆柱形木料沿底面直径垂直切开，平均分成两部分，表面积增加了2个长方形，长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径；先把0.96平方米化为96平方分米，然后用96÷2即可求出一个长方形的面积，然后再除以8即可求出底面直径，进而求出底面半径，最后根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据解答即可。 【详解】0.96平方米＝96平方分米 底面直径：96÷2÷8＝6（分米） 半径：6÷2＝3（分米） 3.14×32×8 ＝3.14×9×8 ＝226.08（立方分米） 答：这根圆柱形木料的体积是226.08立方分米。 【点睛】本题主要考查了立体图形的切割以及圆柱的体积公式的灵活应用。 【对应练习】 如图，一根圆柱形木料高1米，沿底面直径垂直切开，平均分成两部分。这时表面积比原来增加了1.8平方米（π取3.14）。 （1）这根木料原来的表面积是多少平方米？ （2）这根圆柱形木料的体积是多少立方米？ 【答案】（1）4.0977平方米；（2）0.63585立方米 【分析】（1）沿底面直径垂直切开，平均分成两部分，表面积比圆柱多了2个长方形的面积，已知表面积比原来增加了1.8平方米，用1.8÷2即可求出一个长方形的面积，又已知长方形的长相当于圆柱的高，宽相当于底面直径，用1.8÷2÷1即可求出底面直径；根据圆柱的表面积：S＝2πr2＋πdh求解这根木料原来的表面积即可。 （2）根据圆柱的体积：V＝πr2h求解这根圆柱形木料的体积。 【详解】（1）这根木料的底面直径为：1.8÷2÷1＝0.9（米） 底面半径：0.9÷2＝0.45（米） 这根木料原来的表面积为： 2×3.14×0.452＋3.14×0.9×1 ＝2×3.14×0.2025＋3.14×0.9×1 ＝1.2717＋2.826 ＝4.0977（平方米） 答：这根木料原来的表面积是4.0977平方米。 （2）3.14×0.452×1 ＝3.14×0.2025×1 ＝0.63585（立方米） 答：这根圆柱形木料的体积是0.63585立方米。 【点睛】本题考查了圆柱的表面积公式和体积公式的灵活应用，关键是明确多了哪两个面的面积。 【典型例题4】圆锥中竖切引起的切面积变化。 将一个圆锥形糕点沿着高切成两块，表面积比原来增加了42平方厘米，测得圆锥形糕点的高是7厘米，原来这个圆锥形糕点的体积是多少立方厘米？ 【答案】65.94立方厘米 【分析】把圆锥沿着高切成两块截面是两个等腰三角形，切开之后的表面积比原来增加了两个三角形的面积，先求出一个三角形的面积，再利用“底＝三角形的面积×2÷高”求出三角形的底边，即圆锥的底面直径，最后利用“”求出圆锥的体积，据此解答。 【详解】底面直径：42÷2×2÷7 ＝21×2÷7 ＝42÷7 ＝6（厘米） 底面半径：6÷2＝3（厘米） 体积：×3.14×32×7 ＝（3.14×7）×（×32） ＝21.98×3 ＝65.94（立方厘米） 答：原来这个圆锥形糕点的体积是65.94立方厘米。 【点睛】根据增加部分的面积求出圆锥的底面半径，并掌握圆锥的体积计算公式是解答题目的关键。 【对应练习】 一个圆锥的底面半径是3分米。从圆锥的顶点沿着高将它切成相等的两半后，表面积比原来的圆锥表面积增加了24平方分米。这个圆锥的体积是多少立方分米？ 【答案】37.68立方分米 【分析】通过观察图形可知，把这个圆锥纵向切开，表面积增加的是两个切面的面积，每个切面的底等于圆锥的底面直径，每个切面的高等于圆锥的高，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，那么h＝2S÷a，据此求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式：V＝，把数据代入公式解答。 【详解】24÷2＝12（平方分米） 12×2÷（3×2） ＝24÷6 ＝4（分米） ×3.14×32×4 ＝×3.14×9×4 ＝37.68（立方分米） 答：这个圆锥的体积是37.68立方分米。 【点睛】此题主要考查三角形的面积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点是求出圆锥的高。 【典型例题5】圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 把一个高为6厘米的圆柱体切割成若干等分，拼成一个近似的长方体。长方体的表面积比圆柱的表面积增加了48平方厘米，如下图，请求出原来圆柱体的表面积和体积。 【答案】251.2平方厘米；301.44立方厘米 【分析】根据题意，把一个圆柱切拼成一个近似长方体，那么长方体的长等于圆柱底面周长的一半，长方体的宽等于圆柱的底面半径，长方体的高等于圆柱的高；拼成的长方体的体积等于圆柱的体积，拼成的长方体的表面积比圆柱的表面积多了两个长方形的面积（长方体的左右面），长方形的宽等于圆柱的底面半径，长方形的长等于圆柱的高； 先用增加的表面积除以2，求出一个长方形的面积，再除以高，即可求出长方体的底面半径； 然后根据圆柱的表面积公式S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝2πrh，S底＝πr2；圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解。 【详解】圆柱的底面半径： 48÷2÷6 ＝24÷6 ＝4（厘米） 圆柱的表面积： 2×3.14×4×6＋3.14×42×2 ＝3.14×48＋3.14×16×2 ＝150.72＋100.48 ＝251.2（平方厘米） 圆柱的体积： 3.14×42×6 ＝3.14×16×6 ＝301.44（立方厘米） 答：原来圆柱体的表面积是251.2平方厘米，体积是301.44立方厘米。 【点睛】掌握圆柱切割拼接成长方体后，各部分元素间对应的关系，以及增加的表面积是哪些面的面积，并以此为突破口，利用公式列式计算。 【对应练习】 将一个高是12厘米的圆柱体如图那样切拼，切拼后的立体图形的表面积比圆柱体大120平方厘米。求圆柱体的体积。（π取3.14） 【答案】942立方厘米 【分析】观察图形可知，切拼后的立体图形的表面积比圆柱体大120平方厘米，即表面积比原来多了两个长为12厘米，宽为圆柱的底面半径的长方形的面积，据此求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此代入数值进行计算即可。 【详解】120÷2÷12 ＝60÷12 ＝5（厘米） 3.14×52×12 ＝3.14×25×12 ＝78.5×12 ＝942（立方厘米） 答：圆柱体的体积的是942立方厘米。 【点睛】本题考查圆柱的体积，求出圆柱的底面半径是解题的关键。 【考点二】问题二：圆柱与圆锥中的旋转构成问题。 【方法点拨】 圆柱与圆锥中的旋转构成问题属于平面图形和立体图形的空间转化，具有一定的抽象性，需要具备基本的空间想象能力。 1. 圆柱的四种旋转构成方法。 旋转方法①：如图所示，以宽为轴进行旋转。 以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。 旋转方法②：如图所示，以长为轴进行旋转。 以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。 旋转方法③：如图所示，以两条长中点的连线为轴进行旋转。 以两条长中点的连线为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半径。 旋转方法④：如图所示，以两条宽中点的连线为轴进行旋转。 以两条宽中点的连线为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半径。 总结：以谁为轴进行旋转谁就是圆柱的高，而另一条边则是底面的半径。 2. 圆锥的旋转构成方法。 沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，即可得到一个圆锥，旋转的轴是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径。 【典型例题1】圆柱的旋转构成方法。 画出如图图形绕BD边旋转后的图形，并求出的它的表面积和体积（单位：厘米）。 【答案】；150.72平方厘米；141.3立方厘米 【分析】圆柱的定义：以矩形的一边所在直线为轴，其余各边绕轴旋转而成的曲面所围成的几何体，叫做圆柱体；圆柱表面积＝两个底面积＋侧面积，圆柱体积＝底面积×高，S＝π，据此求解。 【详解】如图： 表面积：3.14×32×2＋3×2×3.14×5 ＝3.14×9×2＋18.84×5 ＝56.52＋94.2 ＝150.72（平方厘米） 体积：3.14×32×5 ＝3.14×9×5 ＝28.26×5 ＝141.3（立方厘米） 答：这个圆柱的表面积是150.72平方厘米，体积是141.3立方厘米。 【点睛】此题主要考查圆柱的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【对应练习】 如图中的长方形绕它的长或宽旋转一周，可分别得到立标图形A和B。 （1）算一算立体图形A、B的体积。 （2）立体图形A和B的体积之比与原长方形有何关系？（请用数学式子或文字加以说明） 【答案】（1）立体图形A的体积是37.68立方厘米，B的体积是56.52立方厘米。 （2）立体图形A和B的体积之比等于原长方形宽与长的长度之比。 【分析】（1）将长方形绕长旋转一周，得到一个圆柱体A，圆柱体的高是3厘米，底面半径是2厘米；绕宽旋转一周得到一个圆柱体B，圆柱体的高是2厘米，底面半径是3厘米，根据圆柱的体积＝πr2h计算即可解答； （2）求出两个圆柱的体积比，与原长方形比较即可得出结论。 【详解】（1）A的体积为：3.14×3×22＝37.68（立方厘米） B的体积为：3.14×32×2＝56.52（立方厘米） 答：立体图形A的体积是37.68立方厘米，B的体积是56.52立方厘米。 （2）立体图形A和B的体积之比是：（3.14×3×22）∶（3.14×32×2）＝2∶3 原长方形的宽与长的比是2∶3； 所以立体图形A和B的体积之比等于原长方形宽与长的长度之比。 答：立体图形A和B的体积之比等于原长方形宽与长的长度之比。 【点睛】解决本题的关键是得出旋转后图形的底面半径和高。 【典型例题2】圆锥的旋转构成方法。 请你在下图中，选取直角三角形的一条边所在直线为轴旋转一周，所形成的立体图形的体积是多少？ 【答案】37.68立方厘米；50.24立方厘米；30.144立方厘米。 【分析】由题可知，题目只说选取直角三角形的一条边所在直线为轴旋转一周，并未说明选取哪一条边，所以要分类讨论。（1）当AB为轴，旋转一周时，所形成的是一个高为4厘米，底面半径为3厘米的圆锥，由圆锥的体积＝底面积×高×，底面积＝πr²代入实际数据可得；（2）当BC为轴，旋转一周，所形成的是一个高为3厘米，底面半径为4厘米的圆锥。同理，代入圆锥体积公式即可得；（3）当AC为轴，旋转一周，所形成是两个圆锥的结合体，斜边上的高就是底面半径，可以设小的圆锥的高为xcm，则大的圆锥的高为（5－x）cm，然后通过圆锥的体积公式分别算出大小圆锥的体积，再相加即可解答。 【详解】（1）当AB为轴时： 3×3×3.14×4× ＝3×4×3.14 ＝12×3.14 ＝37.68（立方厘米） （2）当BC为轴时： 4×4×3.14×3× ＝4×4×3.14 ＝16×3.14 ＝50.24（立方厘米） （3）当AC为轴时： 底面半径：3×4÷2×2÷5 ＝12÷2×2÷5 ＝12÷5 ＝2.4（厘米） 解：设小的圆锥的高为xcm，则大的圆锥的高为（5－x）cm。 ×3.14×2.4×2.4×x＋×3.14×2.4×2.4×（5－x） ＝×3.14×2.4×2.4×（x＋5－x） ＝3.14×0.8×2.4×5 ＝3.14×0.8×12 ＝3.14×9.6 ＝30.144（立方厘米） 答：当AB为轴时，所形成的立体图形的体积是37.68立方厘米，当BC为轴时，所形成的立体图形的体积是50.24立方厘米，当AC为轴时，所形成的立体图形的体积是30.144立方厘米。 【点睛】此题考查的是圆锥体积公式，能熟练掌握圆锥的体积公式并分类讨论是解题的关键。 【对应练习】 如图三角形ABC是一个直角三角形，分别以三条边所在的直线为轴旋转得到三个不同的立体形体，这三个立体图形的体积分别是多少立方厘米？ 【答案】37680立方厘米；50240立方厘米；30144立方厘米 【分析】将直角三角形以AB为轴为轴旋转，得到一个高为40厘米，底面半径为30厘米的圆锥，再利用圆锥的体积公式代入数据解答； 以BC为轴旋转，得到一个高为30厘米，底面半径为40厘米的圆锥，再利用圆锥的体积公式代入数据解答； 以AC为轴旋转，得到两个圆锥，借助三角形的面积公式，列式30×40÷2，求出三角形的面积是600平方厘米，再用600×2÷50求出斜边上的高为24厘米，即底面半径为24厘米，两个圆锥的高之和是50厘米，先求出底面积，进而求出两个圆锥的体积即可。 【详解】以AB为轴旋转的圆锥： ×3.14×302×40 ＝×3.14×900×40 ＝942×40 ＝37680（立方厘米） 以BC为轴旋转的圆锥： ×3.14×402×30 ＝×30×3.14×1600 ＝31.4×1600 ＝50240（立方厘米） 以AC为轴旋转的立体图形，两个圆锥半径： 30×40÷2＝600（平方厘米） 600×2÷50＝24（厘米） 体积：×3.14×242×50 ＝×3.14×576×50 ＝602.88×50 ＝30144（立方厘米） 答：以AB为轴旋转的圆锥体积37680立方厘米；以BC为轴旋转的圆锥体积50240立方厘米；以AC为轴旋转的立体图形体积是30144立方厘米。 【点睛】掌握圆锥的特征和圆锥的体积计算公式是解答题目的关键。 【典型例题3】圆柱与圆锥的旋转构成“综合型”。 小明、小花两人分别以直角梯形的上底、下底和高所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周，得到了甲、乙、丙三个立体图形。小明说：我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后甲、乙、丙三个立体图形的体积也相等。小花说：我不同意你的看法，我认为三个立体图形的体积不相等。 你同意谁的说法？甲、乙、丙三个立体图形的体积是多少立方厘米？（π取3.14） 【答案】小花；甲141.3立方厘米；乙113.04立方厘米；丙197.82立方厘米 【分析】观察各立体图形可知，图形甲的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积，图形乙的体积＝圆锥的体积＋圆柱的体积，图形丙的体积＝大圆锥的体积－小圆锥的体积； 根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解，然后比较三个立体图形的体积，得出结论。 【详解】甲的体积： 3.14×32×6－×3.14×32×（6－3） ＝3.14×9×6－×3.14×9×3 ＝3.14×54－3.14×9 ＝169.56－28.26 ＝141.3（立方厘米） 乙的体积： ×3.14×32×（6－3）＋3.14×32×3 ＝×3.14×9×3＋3.14×9×3 ＝3.14×9＋3.14×27 ＝28.26＋84.78 ＝113.04（立方厘米） 丙的体积： 延长圆台的两边相交于一点，形成一个大圆锥，由小圆锥的底面半径3厘米，圆台的高3厘米，推出这是一个等腰直角三角形，由此得出小圆锥的高是3厘米。 ×3.14×62×（3＋3）－×3.14×32×3 ＝×3.14×36×6－×3.14×9×3 ＝3.14×72－3.14×9 ＝226.08－28.26 ＝197.82（立方厘米） 197.82＞141.3＞113.04，所以三个立体图形的体积不相等。 答：我同意小花的说法。甲的体积是141.3立方厘米，乙的体积是113.04立方厘米，丙的体积是197.82立方厘米。 【点睛】本题考查圆柱、圆锥体积公式的运用，明确以同一个平面图形的不同线段为轴旋转，形成立体图形的体积不相等。 【对应练习】 请根据下图信息回答问题。 （1）直角梯形ABCD，如果以AB为轴进行旋转，所形成的立体图形是图（     ）；如果以DC为轴进行旋转，所形成的立体图形是图（     ）。 （2）选择其中一个立体图形计算它的体积。 【答案】（1）① ； ② （2）①的体积：150.72cm3；②的体积：188.4cm3 【分析】（1）判断旋转得到的立体图形时，要知道：以直角三角形的直角边为轴旋转时，所形成的立体图形是圆锥，以其斜边为轴旋转时，所形成的图形是沙漏模型。 （2）两个不同的立体图形的体积分别是圆柱的体积与圆锥的体积的和与差；只不过图形②的圆柱的高=下部圆柱的高+上部分圆锥的高。 【详解】（2）求①的体积： 求②的体积 【点睛】判断旋转得到的立体图形要有一定的空间观念，计算量也很大，还要注意细节部分“图形②的圆柱的高=下部圆柱的高+上部分圆锥的高”不要弄错了。 【考点三】问题三：圆柱与圆锥的关系问题。 【方法点拨】 圆柱与圆锥的关系问题经常是在填空、选择题中出现，掌握二者的关系，需要注意寻找前提条件。 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。 2. 体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。 3. 体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。 【典型例题1】其一。 一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积分别相等。已知圆柱的高是4分米，圆锥的高是多少？ 【答案】12分米 【分析】假设圆柱的底面积是1平方分米，根据圆柱的体积公式，用1×4即可求出圆柱的体积，已知一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积分别相等，则圆锥的体积是4立方分米，底面积是1平方分米，根据圆锥的高＝3×体积÷底面积，用3×4÷1即可求出圆锥的高。 【详解】假设圆柱的底面积是1平方分米， 1×4＝4（立方分米） 3×4÷1 ＝12÷1 ＝12（分米） 答：圆锥的高是12分米。 【点睛】本题考查了圆柱和圆锥的体积公式的灵活应用，明确等底等体积的圆锥的高是圆柱的3倍。 【对应练习】 一个圆锥形麦堆的底面半径是2米，高是15米，这个麦堆的体积是多少立方米？与它等底等高的圆柱体积是多少立方米？ 【答案】62.8立方米；188.4立方米 【分析】根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出麦堆的体积；等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍，圆锥体积×3＝圆柱体积，据此列式解答。 【详解】3.14×22×15÷3 ＝3.14×4×15÷3 ＝12.56×15÷3 ＝62.8（立方米） 62.8×3＝188.4（立方米） 答：这个麦堆的体积是62.8立方米，与它等底等高的圆柱体积是188.4立方米。 【典型例题2】其二。 一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱和一个圆锥组成，圆柱的底面直径和高都是14厘米，其中有一些水，正放时水面离容器顶部11厘米，倒放时水面离容器顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？（） 【答案】2499立方厘米 【分析】已知圆柱的底面直径和高，只需要求出圆锥高即可。根据正放时水面离容器顶部11厘米，假设圆锥部分的高为厘米，如下图，则正放时空气部分的体积相当于高为的圆锥的体积加上高为（11－）的圆柱部分的体积。而圆柱和圆锥是等底的，根据等底的圆柱和圆锥的体积关系，高为的圆锥体积也可以看成是高为的圆柱的体积，这样正放时空气部分的体积相当于高为的圆柱体积。因为无论正放、倒放，空气体积是不变的，所以这一部分空气体积，也等于倒放时高为5厘米的圆柱的体积。因为圆柱的底面始终一样，所以两部分圆柱的高一定是相等的，即，解方程即可求得的值。再根据圆柱、圆锥的体积公式即可求得这个容器的容积。 【详解】解：设圆锥的高为厘米， 体积： （立方厘米） 答：这个容器的容积是2499立方厘米。 【对应练习】 用底面半径和高分别是6厘米、12厘米的空心圆锥和空心圆柱各一个，组成竖放的容器如图。在这个容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还填了部分圆柱，圆柱部分的细砂高2厘米。若将这个容器上面封住并倒立，细沙的高度是多少厘米？ 【答案】6厘米 【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆锥与圆柱的体积相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的，据此可以求出圆锥容器中的细沙倒入圆柱容器中沙的高是（12×）厘米，再加上原来圆柱容器中的细沙高即可。 【详解】2＋（12×） ＝2＋4 ＝6（厘米） 答：细沙的高度是6厘米。 【典型例题3】其三。 实验课上，有一个圆锥体容器和一个等底等高的圆柱体容器，李老师拿来一瓶溶液先把它倒入圆锥体容器中，倒满后剩下的又全部倒入圆柱体容器中，刚好倒了这个圆柱体容器的。此时，圆锥体容器中溶液比圆柱体中少140毫升。李老师拿来的这瓶溶液一共有多少毫升？ 【答案】1540毫升 【分析】设圆柱体容器的容积为x毫升，根据圆锥体容器与圆柱体容器等底等高可得圆锥体容器的容积为x毫升，根据圆锥体容器中溶液比圆柱体中少140毫升，列方程即可求出圆柱的容积，进而求出这瓶溶液的体积。 【详解】解：设圆柱体容器的容积为x毫升。 x－x＝140 x＝140 x÷＝140÷ x＝140×15 x＝2100 2100×＋2100× ＝700＋840 ＝1540（毫升） 答：李老师拿来的这瓶溶液一共有1540毫升。 【对应练习】 圆柱形容器与一个圆锥形容器等底等高，圆柱形容器内原有8升水，将圆锥形容器盛满水再全部倒入圆柱形容器，容器内的水面上升到处，则圆柱形容器的容积是多少？ 【答案】48升 【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，现将圆锥形容器盛满水再全部倒入圆柱形容器，相当于等底等高的圆柱体积的，由此可以求出圆柱容器内原来水的体积占圆柱容器容积的几分之几，然后根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答。 【详解】 ＝8×6 ＝48（升） 答：圆柱形容器的容积是48升。 【点睛】关键是理解圆柱和圆锥体积之间的关系，理解分数除法的意义。 【典型例题4】其四。 如下图，瓶底的面积和锥形杯口的面积相等，将瓶子中的液体倒入锥形杯子中，能倒满几杯？ （1）三位同学的方法，你认为正确的在□打√。 （2）你最喜欢（     ）的解答方法，请用你喜欢的解答方法解决下面的问题。 乐乐说：“如果一个圆锥和圆柱的体积和底面积都相等，那么圆锥的高是圆柱的高的3倍”乐乐的说法对吗？为什么？ 【答案】（1）都对 （2）小明；过程见详解 【分析】（1）圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高×，分别求出液体体积和杯子容积，液体体积÷杯子容积＝能倒的杯数；也可以根据圆柱和圆锥体积之间的关系，直接用3×2即可，据此分析； （2）从圆柱和圆锥的体积公式入手，圆柱的高＝体积÷底面积，圆锥的高＝体积×3÷底面积，用圆柱的高÷圆锥的高即可解答。 【详解】（1） （2）我最喜欢小明的解答方法。 所以如果一个圆锥和圆柱的体积和底面积都相等，那么圆锥的高是圆柱的高的3倍，说法正确。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆柱和圆锥的体积公式。 【对应练习】 把瓶中的果汁倒入这个圆锥形玻璃杯，最多可以倒满多少杯？（容器壁厚忽略不计） 【答案】6杯 【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的底面积相等，圆柱的高是圆锥高的2倍时，圆柱的体积是圆锥体积的（3×2）倍。据此解答即可。 【详解】3×2＝6（杯） 答：最多能倒满6杯。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。 【考点四】问题四：圆柱与圆锥中的两种变化关系问题。 【方法点拨】 圆柱与圆锥中主要有两种变化关系问题，其一是比例变化关系，其二是倍数变化关系。 一、比例变化关系。 1. 圆柱与比。 （1）当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比： 高之比就是体积之比。 （2）当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比： 底面积之比就是体积之比。 （3）已知底面积之比和高之比，求体积之比： 分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。 2. 圆锥与比。 （1）当圆锥的底面积相等时，高的比就是体积的比。 （2）当圆锥的高相等时，底面积的比就是体积的比。 （3）当圆锥和圆柱如果底面积和高均相等，那么圆锥和圆柱的体积之比是1∶3。 二、倍数变化关系。 圆柱圆锥的体积随着底面积和高的扩大与缩小而变化，其规律与积的变化规律相似，即： 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。 【典型例题1】其一。 已知两个圆柱的底面积相等，高的比是1∶2，体积比是( )。 解析：1∶2 【对应练习】 两个圆柱的高相等，半径比是1∶2，则体积比是多少? 解析：1∶4。 【典型例题2】其二。 （1）两个圆锥的底面积相等，高比是1∶2，体积比( )。 （2）两个圆锥的高相等，底面积比是2∶3，体积比是( )。 （3）两个圆锥高的比是3∶4，半径比是1∶3，则体积比是多少? 解析：（1）1:2；（2）2:3；（3）1:12 【对应练习】 已知两个圆锥的底面半径比是2∶3，高的比是2∶3，则两个圆锥的体积比是多少？ 解析：8:27 【典型例题3】其三。 一个圆柱和一个圆锥，它们底面积的比是2∶3，高的比是2∶5，那么它们的体积比是( )。 【答案】4∶5 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，将底面积的比和高的比当成圆柱和圆锥的底面积和高，计算出它们的体积，写出比即可。 【详解】2×2＝4 3×5÷3＝5 所以他们的体积比是4∶5。 【点睛】本题考查了比的意义、圆柱和圆锥的体积，等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥的3倍。 【对应练习】 圆锥的高是圆柱的，圆锥的底面直径是圆柱的2倍，这个圆锥与圆柱的体积比是( )。 【答案】16︰15 【详解】略 【典型例题4】其四。 1. 一个圆锥的高扩大3倍，底面积不变，则体积( )。 【答案】扩大三倍 【详解】略 2. 一个圆柱的高扩大3倍，底面半径不变，体积扩大( )倍；如果圆柱的高不变，半径扩大3倍，体积扩大( )倍。 【答案】 3 9 【分析】根据圆柱体积=，其中r表示底面圆半径，h为高；根据公式代入数据可计算出答案。 【详解】圆柱的高扩大3倍，底面半径不变，体积扩大3倍；如果圆柱的高不变，半径扩大3倍，体积扩大倍。 【对应练习1】 1. 一个圆锥的底面半径扩大2倍，高也扩大2倍，圆锥的体积扩大到原来的( )倍。 【答案】8 【分析】根据圆锥的体积公式，结合底面半径和高的变化情况，分析并求出体积的变化情况即可。 【详解】因为圆锥体积＝3.14×半径2×高÷3，所以当底面半径扩大2倍，高也扩大2倍，22×2＝8，那么圆锥的体积扩大到原来的8倍。 【点睛】本题考查了圆锥的体积，熟记圆锥体积公式是解题的关键。 2. 一个圆柱的高扩大2倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大( )倍；如果圆柱的高不变，底面半径扩大4倍，则圆柱的体积扩大( )倍。 【答案】 2 16 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，当底面半径不变，底面积就不变，圆柱的体积与圆柱的高有关系，高怎么变化，体积就怎么样变化； 当圆柱的高不变，体积大小与圆柱的底面积有关系，因为底面积与半径的平方有关，所以体积的变化就等于半径的平方。 【详解】高扩大2倍，底面半径不变，圆柱的体积就扩大2倍；圆柱的高不变，底面半径扩大4倍，圆柱的体积扩大倍，也就是16倍。 【点睛】考查圆柱的体积与高的变化关系，以及圆柱的体积与底面半径的关系。 【考点五】问题五：圆柱与圆锥中的等积变形问题。 【方法点拨】 圆柱、圆锥与长方体、正方体的等积变形问题是较常考察的题型之一，总体来说，难度不大，关键是掌握体积不变这一思路，再根据体积不变去解决问题。 【典型例题1】其一。 把一块长方体钢坯熔铸成一根底面直径为4分米的圆柱形钢材，求钢材的长度。 【答案】20分米 【分析】把一块长方体钢坯熔铸成一根圆柱形钢材，形状发生变化，但体积不变。 根据公式：长方体的体积＝长×宽×高，先求出长方体钢坯的体积，也是圆柱形钢材的体积；再根据公式：圆柱的底面积＝圆周率×半径×半径，求出圆柱的底面积；最后根据公式：高＝圆柱的体积÷底面积，即可求出圆柱的长度。 【详解】12.56×5×4 ＝62.8×4 ＝251.2（立方分米） 4÷2＝2（分米） 3.14×22＝12.56（平方分米） 251.2÷12.56＝20（分米） 答：钢材的长度是20分米。 【对应练习】 刘华测量一个瓶子的容积，测得瓶子的底面直径12厘米，然后给瓶子内盛入一些水，正放时水高20厘米，倒放时水高25厘米，瓶子深30厘米。你能根据这些信息求出瓶子的容积吗？ 【答案】2826立方厘米 【分析】空隙部分的体积就相当于高为5厘米，底面直径为12厘米的圆柱的体积，所以这个瓶子的容积就相当于高为25厘米，底面直径为12厘米的圆柱的体积，然后根据圆柱的体积公式：，代入数据解答即可。 【详解】30－25＝5（厘米） 20＋5＝25（厘米） 3.14×（12÷2）2×25 ＝3.14×62×25 ＝3.14×36×25 ＝2826（立方厘米） 答：这个瓶子的容积为2826立方厘米。 【典型例题2】其二。 如图所示，有甲、乙两个容器（单位：厘米），先将甲容器注满水，然后将水倒入乙容器，求乙容器的水深。 【答案】7.5厘米 【分析】根据圆锥的体积公式：，圆柱的体积公式：，求出甲容器注满水的体积，再根据这些水的体积不变，代入数据即可求出倒入圆柱中的水的高度。 【详解】 圆锥的体积为： （立方厘米） 圆柱中水的高为： （厘米） 答：乙容器的水深7.5厘米。 【点睛】 本题考查了圆锥与圆柱体积的计算方法以及等积变形，关键是明确水的体积不变。 【对应练习】 一个圆锥形沙堆，底面积是28.26平方米，高是2.5米。用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？ 【答案】117.75米 【分析】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥形沙堆的体积；把这堆沙铺在长方形的路面上就相当于一个长方体，只是形状改变了，但是沙的体积没有变化；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，长＝体积÷（宽×高），代入数据，即可解答，注意单位名数的统一。 【详解】2厘米＝0.02米 28.26×2.5×÷（10×0.02） ＝70.65×÷0.2 ＝23.55÷0.2 ＝117.75（米） 答：能铺117.75米。 【考点六】问题六：排水法求不规则物体的体积。 【方法点拨】 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 【典型例题1】其一。 如图所示，一个底面直径为20厘米的装有一些水的圆柱的玻璃杯，水中放着一个底面直径为6厘米、高20厘米的圆锥形状的铅锤，当取出铅锤后，杯里的水下降几厘米？ 【答案】0.6厘米 【分析】依题意，下降部分的水的体积等于圆锥的体积，先依据圆锥的体积计算公式V＝Sh，求出圆锥形状的铅锤的体积，即求出了下降部分的水的体积，再求出圆柱形玻璃杯的底面积即下降部分水的底面积， 最后用下降部分水的体积除以底面积求出杯里的水下降了多少厘米。 【详解】3.14×（6÷2）²×20× ＝3.14×9×20× ＝28.26×20× ＝188.4（平方厘米） 3.14×（20÷2）² ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 188.4÷314＝0.6（厘米） 答：杯中的水下降0.6厘米。 【对应练习】 有一个倒圆锥形的容器，它的底面半径是5厘米，高是10厘米，容器内放着一些石子，石子的体积为π立方厘米，在容器内到满水后，再把石子全部拿出来，求此时容器内水面的高度． 【答案】6厘米 【分析】先计算出圆锥容器的容积，又因水的体积等于圆锥的容积减去石子的体积，假设取出石子后，水面的高度为x厘米，则水面的底面半径为x＝，所以水的体积等于×3.14×x×（）2＝水的体积等于圆锥的容积减去石子的体积，解方程得x＝6，所以此时容器内水面高度为4.76厘米． 【详解】解：圆锥容器的容积为×3.14×52×10 ＝×3.14×25×10 水的体积等于圆锥的容积减去石子的体积： ×3.14×25×10－×3.14 ＝×3.14 ＝18×3.14 假设取出石子后，水面的高度为x厘米，则水面的底面半径为x＝ ×3.14×x×（）2＝18×3.14 x3＝108 x＝6 答：此时容器内水面高度为6厘米． 【点睛】深刻理解题意，水的体积等于圆锥的容积减去石子的体积． 【典型例题2】其二。 在一个装了水的圆柱形容器中（如下图），放入一个体积为580cm³的圆锥形铁块，将会溢出多少毫升水？   【答案】14.8毫升 【分析】根据题意可知，用这个圆锥形铁块的体积－圆柱形容器上面空白部分的体积＝溢出的水的体积，据此列式解答。 【详解】580－3.14×6×（20－15）   ＝580－565.2 ＝14.8（毫升） 答：将会溢出14.8毫升的水。 【点睛】本题考查了体积的等积变形，要理解圆锥形铁块放入容器体积会分成那两部分。 【对应练习】 有一个底面半径为8cm的圆柱形玻璃容器，水深6cm。把一块底面半径是6cm、高是10cm的圆锥形铁块放入水中，水会溢出45mL，那么这个玻璃容器有多高？（得数保留整数） 【答案】8cm 【详解】圆锥形铁块的体积：×3.14×6²×10＝376.8（cm³） 水的体积：3.14×8²×6＝1205.76（cm³） 45 mL＝45 cm 376.8＋1205.76－45＝1537.56（cm³） 玻璃容器的高：1537.56÷（3.14×8²）≈8（cm） 答：这个玻璃容器的高约8cm。 【考点七】问题七：含圆柱圆锥的不规则或组合立体图形的表面积和体积问题。 【方法点拨】 不规则或组合立体图形的体积是图形计算和实际应用中的常考题型，其中组合立体图形的体积等于各部分规则立体图形的体积之和。 【典型例题】 图形计算。 （1）计算下面图形的表面积和体积。　　　 （2）计算下面图形的体积。 【答案】（1）表面积：533.8cm2 体积：665.68cm3（2）169.56dm3 【详解】（1）表面积:3.14×14×4+3.14×4×4+2×3.14×(14÷2)2=175.84+50.24+307.72=533.8(cm2) 体积:3.14×(14÷2)2×4+3.14×(4÷2)2×4=615.44+50.24=665.68(cm3) （2）3.14×(6÷2)2×4+×3.14×(6÷2)2×6=113.04+56.52=169.56(dm3) 【对应练习1】 计算下面图形的表面积和体积。 半圆柱的底面直径是10 cm 【答案】体积：7822.5 表面积：2792.5 【分析】体积等于长方体的体积-圆柱体积的一半，代入数据即可； 表面积的体积等于长方体的表面积-两个半圆的面积+圆柱侧面积的一半-圆柱的横截面，代入数据即可。 【详解】V＝15×20×30－×3.14××30 ＝9000-1177.5 ＝7822.5() S＝(20×15＋20×30＋15×30)×2－＋×3.14×10×30－10×30 ＝2700-78.5+471-300 ＝2792.5() 【点睛】此题考查组合体的体积和表面积，认真观察图片，分析图形的组成，特别是算表面积时看准表面都有哪些面组成。 【对应练习2】 求下图的表面积和体积。 【答案】345.4dm2，157dm3 【详解】表面积：3.14×[（6÷2）2－（4÷2）2]＝15.7（dm2） 3.14×6×10＝188.4（dm2） 3.14×4×10＝125.6（dm2） 15.7×2＋188.4＋125.6＝345.4（dm2） 体积：15.7×10＝157（dm3） 【对应练习3】 计算下图（按45°斜切）的体积（单位：厘米）。 【答案】15.7立方厘米 【分析】两个这样的立体图形正好拼接成一个圆柱体，圆柱体的高是（6＋4）厘米，根据公式V柱＝πr2h求出圆柱的体积，再除以2即可。 【详解】3.14×（）2×（6＋4）÷2 ＝3.14×1×10÷2 ＝15.7（立方厘米） 【考点八】问题八：圆柱圆锥中的注水运动问题。 【方法点拨】 注水运动问题常使用实验的方式考察圆柱体积在实际生活中的综合应用，审题过程中，关键在于读懂图形给到的信息，需要很巧妙地把给到的注水“实验”过程图形（高度与时间的关系）与实际注水过程节点关联起来，比较考验学生的数学“实验”逻辑思考能力，其在独立招生考试或是在小升初入学分层考试中较为常见。 【典型例题】 下图是一个圆柱与一个圆锥合在一起做成的水箱，开始时是空的。然后往里以180升/时的速度注水。（取3） （1）如果水箱的厚度忽略不计，这个水箱的容积是多少？ （2）多长时间可以把水箱注满？ （3）下面哪幅图能表示随着时间变化，水面高度的变化过程？ 【答案】（1）1立方米 （2）小时 （3）第二幅图 【分析】（1）由于水箱是由一个圆锥和一个圆柱组合而成，根据圆锥的体积公式：底面积×高÷3，圆柱的体积公式：底面积×高，把数代入即可求解。 （2）用水箱的容积除以每小时的注水速度即可求解。 （3）由于注水的时候先注满下面的圆锥，再注满上面的圆柱，所以水面的高度会先上升的快，再上升的慢，由此即可选择。 【详解】（1）3×（1÷2）2×1＋3×（1÷2）2×1× ＝3×0.25×1＋3×0.25× ＝0.75＋0.25 ＝1（立方米） 答：这个水箱的容积是1立方米。 （2）1立方米＝＝1000立方分米＝1000升 1000÷180＝（时） 答：小时可以把水箱注满。 （3）由分析可知，水面先快速上升，再缓慢上升； 故选第二幅图。 【点睛】本题主要考查圆柱和圆锥的体积公式，熟练掌握它们的体积公式并灵活运用。 【对应练习1】 一个圆柱体的容器内放有一个圆锥形铁块。现打开水龙头向容器内注水。2分钟时，水恰好没过铁块的顶点；再过了3分钟，水恰好注满容器。已知圆柱形容器的底面积为72平方厘米，它的高是21厘米；圆锥形铁块的高为9厘米，则铁块的底面积是多少？ 【答案】24平方厘米 【分析】由题意得：圆柱体容器的容积＝2分钟注入水的体积＋3分钟注入水的体积＋圆锥体铁块的体积，根据“2分钟时，水恰好没过铁块的顶点，再过了3分钟，水恰好注满容器”可知：后3分钟注入的水的体积是底面积72平方厘米，高为：21－9＝12厘米的圆柱体的体积，所以可以求出一分钟注入的水的体积，再进一步求出一共注入的水的体积，用圆柱的体积－一共注入的水的体积＝圆锥铁块的体积，所以再根据圆锥的底面积＝圆锥体积×3÷圆锥的高，即可求出圆锥铁块的底面积。 【详解】一分钟注入的水的体积为： 72×（21－9）÷3 ＝72×12÷3 ＝864÷3 ＝288（立方厘米） 5分钟注入水的体积是：288×5＝1440（立方厘米） 圆锥体积： 72×21－1440 ＝1512－1440 ＝72（立方厘米） 所以圆锥的底面积为：72×3÷9＝24（平方厘米） 答：圆锥铁块的底面积是24平方厘米。 【点睛】此题数量关系比较复杂，解题的关键是根据圆柱的容积＝2分钟注入水的体积＋3分钟注入水的体积＋圆锥体铁块的体积，这样就化难为简。 【对应练习2】 A和B都是高度为12厘米的圆柱形容器，底面半径分别是1厘米和2厘米，一个水龙头单独向A注水，一分钟可注满。现将两容器在它们的高度的一半出用一根细管连通（连通管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，求 （1）2分钟容器A中的水有多高？ （2）3分钟时容器A中的水有多高？ 【答案】（1）6厘米 （2）7.2厘米 【分析】已知B容器的底面半径是A容器的2倍，高相等，B容器的容积就是A容器的4倍；因此，单独注满B容器需要4分钟，要把两个容器都注满一共需要1＋4＝5（分钟），已知现在两个容器在它们高度一半处用一个细管连通，2分钟后A中的水位是容器高的一半，即12÷2＝6（厘米）（其余的水流到B容器了）；由此可知，用2.5分钟的时间两个容器中的水的高度相等，都是6厘米；以后的时间两个容器中的水位同时上升，用3－2.5＝0.5（分钟）分钟注入两个容器的高度加上6厘米即是3分钟后的高度。 【详解】（1）A容器的容积是：3.14×12＝3.14×1＝3.14（立方厘米）， B容器的容积是：3.14×22＝3.14×4＝12.56（立方厘米）， 12.56÷3.14＝4， 即B容器的容积是A容器容积的4倍， 因为一个水龙头单独向A注水，一分钟可注满， 所以要注满B容器需要4分钟， 因此注满A、B两个容器需要1＋4＝5（分钟）， 已知现在两个容器在它们高度一半处用一个细管连通， 2分钟后A中的水位是容器高的一半，即12÷2＝6（厘米）； （2）因为注满A、B两个容器需要1＋4＝5（分钟）， 所以5÷2＝2.5（分钟）时，A、B容器中的水位都是容器高的一半，即6厘米， 2.5分钟后两容器中的水位是同时上升的， 3分钟后，实际上3－2.5＝0.5（分钟）水位是同时上升的， 0.5÷5＝ 12×＝1.2（厘米） 6＋1.2＝7.2（厘米） 答：2分钟时，容器A中的高度是6厘米，3分钟时，容器A中水的高度是7.2厘米。 【点睛】此题主要考查圆柱的体积（容积）的计算，解答关键是理解现在两个容器在它们高度一半处用一个细管连通，当A中的水高是容器高的一半时，其余的水流到B容器了；以后的时间两个容器中的水位同时上升，即注满两容器时间的乘容器高就是0.5分钟上升的水的高度。 【对应练习3】 如图30－1，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了有颜色水。其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.57立方厘米/分钟。 （1）圆锥内漏完水需要多少时间？ （2）请你在图30－2中用阴影表示出此时圆柱内的水。 【答案】（1）36分钟；（2）见详解 【分析】（1）根据圆锥的体积公式：V＝，代入公式求出圆锥容器内水的体积，然后用水的体积除以水的流速，即可求出圆锥内漏完水需要的时间。 （2）因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的，据此解答即可。 【详解】（1）×3.14×32×6÷1.57 ＝×3.14×9×6÷1.57 ＝56.52÷1.57 ＝36（分钟） 答：圆锥内漏完水需要36分钟。 （2）根据分析得，6×＝2（厘米） 所以圆柱容器内水深2厘米。 作图如下： 【点睛】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$