热点2-5 导数的应用—单调性、极值与最值（8题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考通用）

热点2-5 导数的应用——单调性、极值与最值 三年考情分析 2025考向预测 导数与函数的单调性、极值、最值等知识点结合紧密，是高考数学的高频考点．在选择题中多考查单调性、极值的判断或简单的最值求解．常结合函数性质、不等式、参数范围等问题，综合性强．切线问题频繁出现，强调导数的几何意义，要求学生能够将导数与函数图象相结合． 预计2025年仍会考查切线方程的求解，可能结合函数图象的对称性等几何性质，利用导数研究函数的单调性、极值和最值仍是重点，可能会结合实际问题或复杂函数形式出现，导数在不等式恒成立、有解问题中的应用依然是热点，可能与函数零点、不等式证明等结合．另外也可能出现新情境或新定义问题，考查学生的创新思维和应变能力． 题型1 利用导数求函数的单调性 1、求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求（通分合并、因式分解）； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 2、含参函数单调性讨论依据 （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论． 1．（24-25高三上·河北承德·月考）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，当，得， 所以的单调递减区间为．故选：B 2．（24-25高三上·北京通州·期末）已知函数，则（    ） A．是偶函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是减函数 C．是奇函数，且在上是增函数 D．是奇函数，且在上是减函数 【答案】A 【解析】函数的定义域是，关于原点对称，，故函数是偶函数， 又因为，易知其为增函数， 当时，， 故在上是增函数，故选：A． 3．（24-25高三上·重庆·月考）已知函数为定义在上的增函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当 时，则 ，记 ， 由题，函数 在 上为增函数， 对任意的恒成立， 则有 ， 令 ，其中，且 ， 令 ，可得 ， 列表如下: - 0 + 减 极小值 增 所以函数 在 取得极小值，亦即最小值， 即 ， 所以 ，可得 ， 故实数的取值范围为 ，故选：A. 4．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）当时，函数， 得，所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即切线方程为； （2）当时，，， 令，得，， 当时，， 令，得或， 令，得， 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为 当时，， 令，得或， 令，得， 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为； 综上所述，当时，的单调增区间为和，单调减区间为； 当时，的单调增区间为和，单调减区间为． 题型2 根据函数单调性求参数取值范围 已知函数单调性求参数的常见类型 （1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立． （2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立． （3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点． （4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点． 1．（23-24高三下·浙江杭州·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为的图象可由向左或向右平移个单位得到， 又函数在区间上单调递增， 所以应向左平移，且，故，故选：D. 2．（24-25高三上·甘肃白银·月考）若函数（，且）在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令， 易知函数图象的对称轴为，开口向下， 所以在上单调递增，在上单调递减． 当时，为增函数，且，则，解得； 当时，为减函数，且，因为，符合题意. 故实数a的取值范围是．故选：C 3．（24-25高三上·河北沧州·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数，求导得， 依题意，在上有变号零点，由，得， 函数在上单调递减，；在上单调递增，， 所以实数的取值范围是.故选：A 4．（24-25高三上·黑龙江·月考）若 为上的减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为二次函数的图象为拋物线，开口向上，顶点为，且最小值为， 记，则，所以当时，， 当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，也是最大值点，且， 则时总有，与 在同一直角坐标系下的图象如图所示， 因为 为上的减函数，由图知， 故选：B. 题型3 导函数与原函数的图象关系 1、对于原函数，要注意图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减． 2、对于导函数，则要注意函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，同时还要注意这些区间与原函数的单调性的一致． 1．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知函数的图象如下图所示，则其导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可得函数的图象为单调递增，则其导函数恒成立，排除A、D两个选项， 对于B，当，，对应的原函数此时斜率为零，该选项满足题意； 选项C不符合题意；故选：B. 2．（23-24高三上·山东泰安·月考）已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中可能是图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由的图象知，当时，，故，单调递增； 当时，，故，当，，故， 等号仅有可能在x＝0处取得， 所以时，单调递减； 当时，，故，单调递增，结合选项只有C符合.故选：C. 3．（24-25高三上·四川达州·月考）已知可导函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A.由导数的几何意义可知，，由图可知，，所以，故A成立； B.，故B成立； C.由图可知，，，但不确定与的大小关系，故C不一定成立. D.由图可知，函数在上单调递增，且增长速度越来越快， 所以，故D成立.故选：C 4．（24-25高三上·四川眉山·期中）（多选）设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】若单调递增，则，若单调递减，则， 对于A， 若表示图像，则当时恒成立， 当时，，故在上为减函数，在上为增函数 表示图像，符合导函数符号与原函数单调性的关系， A正确； 对于B，若表示图像，恒成立，表示图像，单调递增， 符合导函数符号与原函数单调性的关系，B正确； 对于C，若表示图像，恒成立，表示图像，单调递增， 符合导函数符号与原函数单调性的关系，C正确； 对于D，若表示图像，恒成立，表示图像，有增有减， 不符合导函数符号与原函数单调性的关系， 若表示图像，恒成立，表示图像， 有增有减， 不符合导函数符号与原函数单调性的关系，D错误.故选：ABC 题型4 利用导数求函数的极值（极值点） 利用导数求函数极值的方法步骤 （1）求导数； （2）求方程的所有实数根； （3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化． ①如果的符号由正变负，则是极大值； ②如果由负变正，则是极小值． ③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点． 1．（24-25高三上·江苏南通·期中）函数的极大值为（    ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】D 【解析】， 令，则，令，则或， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极大值.故选：D 2．（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）函数的极值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 令，得，此时函数单调递减；令，得，此时函数单调递增. 所以的极小值点为.故选：B. 3．（24-25高三上·山西朔州·月考）下列函数中，存在极值的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A：因为函数是实数集上的增函数，所以函数没有极值； B：因为函数是正实数集上的增函数，所以函数没有极值； C：因为函数在区间、上是减函数，所以函数没有极值； D：因为，所以该函数在上是增函数，在上是减函数， 因此是函数的极小值点，符合题意，故选：D 4．（24-25高三上·江苏·月考）已知函数，，则函数的极大值之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 可得， 令即，可得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，取得极大值， 因为，所以，可得， 所以函数的极大值之和为 .故选：D 题型5 根据函数极值求参数取值范围 根据极值求参数取值范围的步骤 （1）列式：根据极值点处导数值为0和极值这两个条件列方程； （2）验证：求解后验证根的合理性，做好取舍． 1．（24-25高三上·江西·一模）已知是函数的极值点，则（    ） A．8 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】由题设，则，可得， 此时且， 所以时，时， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 故是的极小值点，符合题意. 故.故选：D 2．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知函数有两个极值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 且函数有两个极值点， 所以有两个不等实根， 所以，解得或，故选：D 3．（24-25高三上·广东潮州·期末）已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数，（） 则，令得或， 当时，不在函数的定义域内，不符合条件； 当时， 若，在，上，单调递增，在上，单调递减， 此时为的极小值，不符合； 若，在上，单调递增，不存在极值，不符合； 若，在，上，单调递增，在上，单调递减， 此时为的极大值.故选：B 4．（24-25高三上·广东深圳·月考）若函数在区间内有极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数，， 若函数在区间上有极值点， 则在区间内有零点， 由可得， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，， 当时，，不符合题意， 所以实数的取值范围是.故选：C． 题型6 利用导数求函数的最值 函数在区间上连续，在内可导，则求函数最值的步骤为： （1）求函数在区间上的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值； （3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点． 1．（24-25高三上·安徽·月考）函数的值域是 ． 【答案】 【解析】由题意可得， 令，即，解得， 令，即，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 所以函数的值域是. 2．（24-25高三上·安徽淮南·月考）函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为， 当时，，所以， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增，所以当时，， 当时，， 因为函数在上都单调递减， 所以函数在上单调递减， 所以当时， 所以函数的最小值为.故选：B. 3．（24-25高三上·甘肃酒泉·期末）若函数，则（    ） A．存在最大值，且最大值为 B．不存在最小值 C．存在最小值，且最小值为5 D．存在最小值，且最小值为 【答案】C 【解析】法1：， 设，则， 设，则， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，故， 所以为上的增函数，而， 故当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故， 当时，，故选：C. 法2：设，，则． :当时，，故A错误； 要使得存在最小值， 即在上有解， 当时，单调递增， 所以在上至多存在一个零点， 因为，所以在上存在一个零点2， 所以取得最小值为5．故选：C． 4．（24-25高三上·河北邢台·月考）已知函数的导函数为． (1)求函数的最小值； (2)求在上的单调区间与最值． 【答案】(1)；(2)单调递减区间为，单调递增区间为，最大值为5，最小值为． 【解析】（1） 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以的最小值为． （2）令，得或． 当时，的单调递减区间为． 当或时，的单调递增区间为． 因为， 所以在上的最大值为5，最小值为． 题型7 根据函数最值求参数取值范围 根据函数最值求参数取值范围的两种常用方法 1、直接法：通过导数研究函数的单调性，从而确定函数极值及最值，再根据题目中给出的最值条件，列出关于参数的不等式． 2、分离参数法：根据最值条件得到含参数的不等式，对不等式进行变形，使参数和变量分别位于不等式的两边；求出不含参数的函数的值域；根据不等式关系，列出关于参数的不等式． 1．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）已知函数，当时，函数取得最大值，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【解析】由题设，故，且， 所以，故，即， 此时，且， 所以，时，在上单调递增； 时，在上单调递减； 故处为极大值，也是最大值，满足题设； 所以.故选：D 2．（24-25高三上·湖南永州·月考）函数在区间上有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以当或时，当时， 所以在，单调递增，在单调递减， 又，，，， 故的图象如图： 函数在区间上有最小值，则由图可知， 即的取值范围是.故选：D. 3．（24-25高三上·四川达州·开学考试）已知函数，若当时，函数存在最小值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意可得在时有最小值，即在上有极小值即可， 因为在上单调递增，所以只需 即解得， 这时存在，使得在区间上单调递减，在区间上单调递增， 即函数在区间上有极小值也即是最小值．所以的取值范围是． 故答案为：. 4．（24-25高三上·湖南长沙·月考）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数和有相同的最大值，求的值. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）当时，则， 可得， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）的定义域为，而， 若，则， 此时函数在上单调递减，无最大值，不符合题意，故. 令，得，当时，在单调递增， 当时，在单调递减， 所以的最大值为. 的定义域为，而. 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的最大值为. 因为和有相同的最大值， 故，整理得到，其中， 设，则， 故为上的减函数，而， 故的唯一解为，故的解为. 综上所述，. 题型8 单调性、极值、最值综合应用 在解决单调性、极值、最值的综合问题时，核心思想是通过导数分析函数的性质．首先利用导数确定函数的单调区间，进而找到极值点；通过比较极值点和区间端点的函数值，确定函数的最值。在此基础上，结合题目条件（如不等式恒成立、最值范围等），列出关于参数的不等式或方程，求解参数的取值范围．整个过程需要灵活运用导数工具，结合数形结合、分类讨论等思想，综合分析函数的动态变化，从而精准求解． 1．（24-25高三上·湖南·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的单调性； (2)若函数在处取得极小值，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【解析】（1）当时，， 则， 令，解得或． 令，解得，所以在上单调递减； 令，解得或，即在，上单调递增． 综上，函数在，上单调递增，在上单调递减． （2）由求导得， ① 当时，恒成立， 令，解得，即在上单调递减； 令，解得，即在上单调递增， 故时，函数在处取得极小值，符合题意； ②当时，令，解得，，且， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，符合题意． ③ 当时，令，解得，此时恒成立且不恒为0， 单调递增，故函数无极值，不符合题意． ④ 当时，令，解得，，且， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，不符合题意． 综上，实数的取值范围是． 2．（24-25高三上·广西柳州·模拟考试）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）当时，则， 可得，，即切点坐标为，切线斜率为， 所以切线方程为. （2）定义域为，且， 若，则对任意恒成立． 所以在上单调递减，无极值，不合题意， 若，令，解得，令，解得， 可知在上单调递减，上单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即. 令，，在上单调递增, 又，不等式等价于，解得, 又，综上的取值范围是． 3．（24-25高三上·浙江·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求函数在的最小值. 【答案】(1)答案见解析；(2) 【解析】（1）由题意可知：的定义域为，， ①若，恒成立，所以在上单调递减. ②若，则由得， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，在单调递减，在单调递增. ①当即时，在单调递减， 所以当时，有最小值； ②当即时，在单调递减，在单调递增. 所以当时，有最小值； ③当即时，在单调递增， 所以当时，有最小值； 综上： 4．（24-25高三上·福建·月考）设函数 (1)当时，求的极值； (2)已知，若单调递增，求的最大值； (3)已知，设为的极值点，求的最大值. 【答案】(1)极小值为，无极大值；(2)；(3) 【解析】（1）当时，，则 令，解得 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值； （2）解法一：由， 若单调递增，必有恒成立； 令，有， 当时，由已知单调递增，但，不合题意 当时，令，可得， 故函数的减区间为，增区间为，有 又由函数单调递减，且. 又由，故a的最大值为. 解法二：，依题意恒成立， 所以，故 因为，所以， 当时，， 设，则 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以 所以满足题意，即的最大值为； （3）当时，易知单调递增. 易知， 所以存在使得，即，为的极小值点， 所以， 其中， 设，则 整理得 因为，， 所以当时，，在上单调递增 当时，，在上单调递减， 所以，即的最大值为. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·模拟预测）若函数，则函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数，定义域为， 由，令，解得， 则函数的单调递减区间为.故选：C. 2．（24-25高三上·福建·月考）若函数在上不单调，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得， 若函数在上不单调，则时，， 故，则．故选：A． 3．（设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由的图象可知，当时，函数单调递增，则，故排除C、D； 当时，先递减、再递增最后递减， 所以所对应的导数值应该先小于0，再大于0，最后小于0，故排除B．故选:A． 4．（24-25高三上·重庆沙坪坝·月考）已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A．函数的增区间是 B．函数的减区间是 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值点 【答案】C 【解析】根据的图象可得： 当时，，时，，时，，时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 因此函数在处取得极小值，在处取得极大值.故选：C. 5．（24-25高三上·江苏常州·期末）若函数在处取得极小值，则实数（    ） A． B．2 C．2或0 D．0 【答案】D 【解析】由，则，得或2， 时，，在R上单调递增，不满足； 时，，在上，在上， 所以在上单调递增，在上单调递减，满足题设，所以.故选：D 6．（24-25高三上·浙江杭州·期末）已知当时，函数取得最大值2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，因为当时，函数取得最大值2， 所以，即，解得， 所以，， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，符合题意，所以.故选：C. 7．（24-25高三上·广东广州·模拟预测）已知函数，，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，， ∴， 令， ∴在上单调递增， ∴，即，∴， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ∴， ∴的最小值为，故选：B. 8．（24-25高三上·湖南·月考）定义的实数根为的“坚定点”，已知，且，则下列函数中，不存在“坚定点”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对选项A：，令， 则，解得，，存在“坚定点”； 对选项B：，在上单调递减， 时，，时，； 在上单调递增，时，，时，， 所以关于的方程在上有一解，存在“坚定点”； 对选项C：，令， 则，即，显然是“坚定点”； 对选项D：，令，则， 因为且，所以不存在“坚定点”．故选：D. 二、多选题 9．（24-25高三上·辽宁朝阳·月考）已知函数，则（    ） A． B．在上为增函数 C．在上为减函数 D．的极值为 【答案】BD 【解析】，则，故A错误； 令， 所以在上单调递减，在上单调递增，故B正确，C错误； 所以的极小值为，故D正确.故选：BD. 10．（24-25高三上·重庆·月考）已知是定义在上的奇函数，其导函数为，且，则（    ） A．为偶函数 B．在上单调递增 C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，由是定义在上的奇函数，得，求导得， 即，因此函数为偶函数，A正确； 由，得，即， 解得，， 对于B，，因此在上单调递增，B正确； 对于C，，，即，C错误； 对于D，当时，， 求导得，函数在上单调递增，， 因此，D正确.故选：ABD 11．（24-25高三上·四川绵阳·月考）对任意，，函数，都满足，则（    ） A． B． C．的极小值点为 D．是奇函数 【答案】AC 【解析】A中，令，，则有，故A正确； B中，因为，所以， 对任意，均成立， 设， 则有，， 令，则，解得，故B错误； C中，由B选项的分析，，所以， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点，故C正确； D中，由上述知，， 所以不一定是奇函数，故D错误.故选：AC 三、填空题 12．（24-25高三上·陕西汉中·期中）函数的极大值点为 . 【答案】 【解析】由，得. 当时，0，当时，， 从而的极大值点为，极小值点为. 13．（24-25高三上·辽宁·月考）若，则的最小值为 . 【答案】 【解析】令，则， 所以，所以， 令，则， 所以在上为增函数，即在上为增函数，又， 当时，，在上为减函数， 当时，，在上为增函数， 所以函数. 14．（23-24高三下·江西上饶·一模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 因为函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立，即时，恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 即，所以， 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高三上·云南昆明·一模）已知函数（）． (1)若，求的极值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)无极大值，极小值为；(2)答案见解析 【解析】（1）时，，定义域为， ，由得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以有极小值，无极大值，极小值为； （2）， ①当时，，， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减； ②当时，，，， ， 时，，，，单调递增， 时，，，，单调递减， 时，，，，单调递增； ③当时，，在上单调递增； ④当时，，，， 时，，，，单调递增， 时，，，，单调递减， 时，，，，单调递增； ⑤当时，， 时，，，单调递减， 时，，，单调递增. 16．（24-25高三上·北京·月考）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若和有相同的最小值，求的值. 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3) 【解析】（1）因为，， 所以，所以，， 所以，曲线在点处的切线方程，即． （2）函数的定义域为， 所以，， 所以，当时，在上恒成立，函数在上单调递增， 当时，时，，单调递减；时，，单调递增， 综上，当时，增区间为，无减区间； 当时， 减区间为，增区间为. （3）由（2）知，当时，在上单调递减，在单调递增. 所以， 因为，得， 所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，， 因为和有相同的最小值， 所以，即， 令，， 令，， 所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，即， 所以，在上单调递增， 因为， 所以，等价于 即的值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点2-5 导数的应用——单调性、极值与最值 三年考情分析 2025考向预测 导数与函数的单调性、极值、最值等知识点结合紧密，是高考数学的高频考点．在选择题中多考查单调性、极值的判断或简单的最值求解．常结合函数性质、不等式、参数范围等问题，综合性强．切线问题频繁出现，强调导数的几何意义，要求学生能够将导数与函数图象相结合． 预计2025年仍会考查切线方程的求解，可能结合函数图象的对称性等几何性质，利用导数研究函数的单调性、极值和最值仍是重点，可能会结合实际问题或复杂函数形式出现，导数在不等式恒成立、有解问题中的应用依然是热点，可能与函数零点、不等式证明等结合．另外也可能出现新情境或新定义问题，考查学生的创新思维和应变能力． 题型1 利用导数求函数的单调性 1、求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求（通分合并、因式分解）； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 2、含参函数单调性讨论依据 （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论． 1．（24-25高三上·河北承德·月考）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·北京通州·期末）已知函数，则（    ） A．是偶函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是减函数 C．是奇函数，且在上是增函数 D．是奇函数，且在上是减函数 3．（24-25高三上·重庆·月考）已知函数为定义在上的增函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间. 题型2 根据函数单调性求参数取值范围 已知函数单调性求参数的常见类型 （1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立． （2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立． （3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点． （4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点． 1．（23-24高三下·浙江杭州·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·甘肃白银·月考）若函数（，且）在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·河北沧州·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·黑龙江·月考）若 为上的减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型3 导函数与原函数的图象关系 1、对于原函数，要注意图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减． 2、对于导函数，则要注意函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，同时还要注意这些区间与原函数的单调性的一致． 1．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知函数的图象如下图所示，则其导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·山东泰安·月考）已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中可能是图象的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·四川达州·月考）已知可导函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·四川眉山·期中）（多选）设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型4 利用导数求函数的极值（极值点） 利用导数求函数极值的方法步骤 （1）求导数； （2）求方程的所有实数根； （3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化． ①如果的符号由正变负，则是极大值； ②如果由负变正，则是极小值． ③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点． 1．（24-25高三上·江苏南通·期中）函数的极大值为（    ） A． B．0 C．1 D．4 2．（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）函数的极值点为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·山西朔州·月考）下列函数中，存在极值的函数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江苏·月考）已知函数，，则函数的极大值之和为（    ） A． B． C． D． 题型5 根据函数极值求参数取值范围 根据极值求参数取值范围的步骤 （1）列式：根据极值点处导数值为0和极值这两个条件列方程； （2）验证：求解后验证根的合理性，做好取舍． 1．（24-25高三上·江西·一模）已知是函数的极值点，则（    ） A．8 B．4 C． D． 2．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知函数有两个极值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·广东潮州·期末）已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·广东深圳·月考）若函数在区间内有极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型6 利用导数求函数的最值 函数在区间上连续，在内可导，则求函数最值的步骤为： （1）求函数在区间上的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值； （3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点． 1．（24-25高三上·安徽·月考）函数的值域是 ． 2．（24-25高三上·安徽淮南·月考）函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·甘肃酒泉·期末）若函数，则（    ） A．存在最大值，且最大值为 B．不存在最小值 C．存在最小值，且最小值为5 D．存在最小值，且最小值为 4．（24-25高三上·河北邢台·月考）已知函数的导函数为． (1)求函数的最小值； (2)求在上的单调区间与最值． 题型7 根据函数最值求参数取值范围 根据函数最值求参数取值范围的两种常用方法 1、直接法：通过导数研究函数的单调性，从而确定函数极值及最值，再根据题目中给出的最值条件，列出关于参数的不等式． 2、分离参数法：根据最值条件得到含参数的不等式，对不等式进行变形，使参数和变量分别位于不等式的两边；求出不含参数的函数的值域；根据不等式关系，列出关于参数的不等式． 1．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）已知函数，当时，函数取得最大值，则（    ） A． B．或 C． D． 2．（24-25高三上·湖南永州·月考）函数在区间上有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·四川达州·开学考试）已知函数，若当时，函数存在最小值，则实数的取值范围是 ． 4．（24-25高三上·湖南长沙·月考）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数和有相同的最大值，求的值. 题型8 单调性、极值、最值综合应用 在解决单调性、极值、最值的综合问题时，核心思想是通过导数分析函数的性质．首先利用导数确定函数的单调区间，进而找到极值点；通过比较极值点和区间端点的函数值，确定函数的最值。在此基础上，结合题目条件（如不等式恒成立、最值范围等），列出关于参数的不等式或方程，求解参数的取值范围．整个过程需要灵活运用导数工具，结合数形结合、分类讨论等思想，综合分析函数的动态变化，从而精准求解． 1．（24-25高三上·湖南·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的单调性； (2)若函数在处取得极小值，求实数的取值范围． 2．（24-25高三上·广西柳州·模拟考试）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 3．（24-25高三上·浙江·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求函数在的最小值. 4．（24-25高三上·福建·月考）设函数 (1)当时，求的极值； (2)已知，若单调递增，求的最大值； (3)已知，设为的极值点，求的最大值. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·模拟预测）若函数，则函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·福建·月考）若函数在上不单调，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·重庆沙坪坝·月考）已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A．函数的增区间是 B．函数的减区间是 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值点 5．（24-25高三上·江苏常州·期末）若函数在处取得极小值，则实数（    ） A． B．2 C．2或0 D．0 6．（24-25高三上·浙江杭州·期末）已知当时，函数取得最大值2，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·广东广州·模拟预测）已知函数，，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·湖南·月考）定义的实数根为的“坚定点”，已知，且，则下列函数中，不存在“坚定点”的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·辽宁朝阳·月考）已知函数，则（    ） A． B．在上为增函数 C．在上为减函数 D．的极值为 10．（24-25高三上·重庆·月考）已知是定义在上的奇函数，其导函数为，且，则（    ） A．为偶函数 B．在上单调递增 C． D． 11．（24-25高三上·四川绵阳·月考）对任意，，函数，都满足，则（    ） A． B． C．的极小值点为 D．是奇函数 三、填空题 12．（24-25高三上·陕西汉中·期中）函数的极大值点为 . 13．（24-25高三上·辽宁·月考）若，则的最小值为 . 14．（23-24高三下·江西上饶·一模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为 ． 四、解答题 15．（24-25高三上·云南昆明·一模）已知函数（）． (1)若，求的极值； (2)讨论的单调性． 16．（24-25高三上·北京·月考）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若和有相同的最小值，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$