精品解析：四川省自贡市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024－2025学年九年级上学期期末考试 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，满分150分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，须将答案答在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效，在本试题卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，本试题卷由学生自己保留，只将答题卡交回． 第Ⅰ卷 选择题（共48分） 一、选择题（本题有12个小题，每小题4分，满分48分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 生活中存在丰富的对称图形，我们可以从中抽象并设计出漂亮的数学图案．图案中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象如图所示，当时，函数值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 将圆锥的侧面沿母线剪开并展平，得到一个矩形 B. 投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为6 C. 过弦中点的直径垂直于弦 D. 圆心到圆上各点的距离相等 4. 方程根的情况是（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无实数根 5. 如图，直线与相切于点，且为的中点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 一个不透明袋子中装有1个白球，1个红球，3个绿球，4个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（ ） A. 摸出白球 B. 摸出红球 C. 摸出绿球 D. 摸出黑球 7. 将抛物线向左平移2个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某隧道横截面为弓形，测得隧道高，水平路面宽，则该弓形所在圆的半径为（ ） A. B. 4m C. D. 9. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 10. 圆锥的底面半径为，母线长，其侧面展开图的圆心角度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，为的直径，．若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 12. 已知二次函数，当时，的取值范围是，且该二次函数的图象经过，两点，有以下结论：①；②若，且，则；③时，；④或．其中，正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷 非选择题（共102分） 二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，满分24分） 13. 一元二次方程的根为______． 14. 如图，是的外接圆，已知于点，，则的度数为______． 15. 若关于x的方程有一个根是1，则_________． 16. 如图，正六边形桌面上有一内切圆，若向这个桌面上随意抛一粒豆子，则豆子的落点在内的概率是______． 17. 如图，线段上的点，分别满足关系式，，．若，则线段的长为______． 18. 如图，在矩形中，，与边，对角线分别相切于点，，点是边上的一个动点，切于点．若的最小值为，则______． 三、解答题（本题有8个小题，满分78分） 19. 解方程：． 20. 从一副普通的扑克牌中取出三张牌，它们的花色分别是两张红桃，一张黑桃． （1）将这三张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽到______的概率更大；（填“红桃”或“黑桃”）； （2）将这三张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取第二张．请用列表或画树状图的方法，求抽取的这两张牌一张为红桃一张为黑桃的概率． 21. 某文具店购入一批进价为元/盒的卡片进行销售，在某段时间内若以每盒元出售，可卖出盒． （1）若文具店在让利消费者的前提下获利元，则每盒卡片的售价是多少元？ （2）文具店如何定价才能使利润最大？ 22. 如图，顶点坐标分别为，，． （1）若与关于轴对称，则的坐标是______； （2）若与关于坐标原点中心对称，则的坐标是______； （3）请在下图中画出将绕点沿顺时针方向旋转得到的，并写出的坐标． 23. 如图，是的直径，内接于，点是的内心，的延长线与交于点是上任意一点，连接． （1）若，求的度数： （2）若，，，请直接写出与的数量关系； （3）找出图中所有与相等的线段，并证明． 24. 如图，在中，，，，点由点出发，沿方向向点匀速运动，速度为，点由点出发，沿方向向点匀速运动，速度为．如果动点同时从两点出发，一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为． （1）当时，______，______cm（用含的代数式表示）； （2）当时，求四边形的面积关于的函数关系式； （3）当面积最大时，求的值． 25. 中，． （1）如图①，是边上任意一点，以点为旋转中心，将逆时针旋转到位置，连接．若，则的度数为______； （2）如图②，是边上两点，点在点左边，． ①若，，，则______； ②若，请写出线段之间的数量关系，并进行证明． 26. 如图①，经点的直线与经过点的二次函数的图像交于点，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式及点的坐标； （2）如图②，点是线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，交线段于点，再过点作轴的垂线交抛物线于点．是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图③，点为线段上的一个动点（不与重合），经过三点的圆与经过点且垂直于的直线交点，当面积取最小值时，求直线上点的坐标，使得周长最小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年九年级上学期期末考试 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，满分150分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，须将答案答在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效，在本试题卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，本试题卷由学生自己保留，只将答题卡交回． 第Ⅰ卷 选择题（共48分） 一、选择题（本题有12个小题，每小题4分，满分48分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 生活中存在丰富的对称图形，我们可以从中抽象并设计出漂亮的数学图案．图案中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可．在平面内，一个图形绕某个点旋转180度能与原图形重合，这个图形叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B．不是轴对称图形，但是中心对称图形，故B选项不符合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故C选项符合题意； D．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D选项不符合题意， 故选：C． 2. 二次函数的图象如图所示，当时，函数值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据图象求出函数解析式，进而求出，当时的值，判断即可． 【详解】解：由图象可知，函数图象过点和， ∴， ∴当时，； 故选B． 3. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 将圆锥的侧面沿母线剪开并展平，得到一个矩形 B. 投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为6 C. 过弦中点的直径垂直于弦 D. 圆心到圆上各点的距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，垂径定理，圆锥的侧面展开图，圆的概念辨析，根据一定条件下，一定会发生的事件为必然事件，可能发生可能不发生的事件为随机事件，一定不发生的事件为不可能事件，进行判断即可． 【详解】解：A、将圆锥的侧面沿母线剪开并展平，得到一个矩形，是不可能事件，不符合题意； B、投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为6，是随机事件，不符合题意； C、过弦中点的直径垂直于弦，是随机事件，不符合题意； D、圆心到圆上各点的距离相等，是必然事件，符合题意； 故选D． 4. 方程根的情况是（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程无实数根． 故选D． 5. 如图，直线与相切于点，且为的中点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，等边对等角，等弧对等角，根据切线的性质，得到，进而求出的度数，等边对等角结合三角形的内角和定理，求出的度数，等弧对等角，得到即可． 【详解】解：∵直线与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴； 故选B． 6. 一个不透明袋子中装有1个白球，1个红球，3个绿球，4个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（ ） A. 摸出白球 B. 摸出红球 C. 摸出绿球 D. 摸出黑球 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题关键．分别求出摸出四种颜色球的概率，即可得到答案． 【详解】A.摸出白球的概率为：，不符合题意； B.摸出红球的概率为：，不符合题意； C.摸出绿球的概率为：，符合题意； D.摸出黑球的概率为：，不符合题意； 故选：C 7. 将抛物线向左平移2个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线的平移，根据平移规则，左加右减，上加下减，求出新的抛物线，再根据顶点式的顶点坐标公式，求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：， ∴平移后抛物线的顶点坐标为； 故选C． 8. 如图，某隧道横截面为弓形，测得隧道高，水平路面宽，则该弓形所在圆的半径为（ ） A. B. 4m C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，设半径为，利用勾股定理构建方程求解． 【详解】解：设该弓形所在圆的圆心为O，半径为，如图，连接，于 在中， 由勾股定理得： 即 解得： 故选：A 9. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可； 【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根 故选：C 10. 圆锥的底面半径为，母线长，其侧面展开图的圆心角度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆锥侧面展开图的圆心角，熟练掌握弧长公式是解题关键．设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，根据弧长计算公式列出方程，解方程即可． 【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为， 根据题意有：， 解得：， 故选：B． 11. 如图，为的直径，．若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，连接，交于点，易得，圆周角定理，推出，三线合一，得到，，设，则：，勾股定理求出得值，进而求出得长，即可． 【详解】解：连接，交于点， ∵为的直径，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 在中，由勾股定理，得：， ∴，即：，解得：， ∴， ∴， ∴ 故选A． 12. 已知二次函数，当时，的取值范围是，且该二次函数的图象经过，两点，有以下结论：①；②若，且，则；③时，；④或．其中，正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象的和性质，根据当时，的取值范围是，得到抛物线的开口方向向上，对称轴为，判断①，根据二次函数的对称性和增减性，判断②③和④即可． 【详解】解：∵二次函数，当时，的取值范围是， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴，故①正确； 当，且时，则：， ∴和的函数值相同， ∴；故②正确； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值为， ∴当时，， ∴， ∴， ∴；故③正确； ∵抛物线的开口向上， ∴抛物线上的点距离对称轴越远，函数值越大； ∵，且二次函数的图象经过，， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∴， ∴， ∴或；故④正确； 故选D． 第Ⅱ卷 非选择题（共102分） 二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，满分24分） 13. 一元二次方程的根为______． 【答案】， 【解析】 【分析】先将方程整理为一般形式，再利用因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解：移项得， 提取公因式得， 即或， 解得，． 14. 如图，是的外接圆，已知于点，，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，三线合一，连接，得到，三线合一结合圆周角定理，得到，即可． 【详解】解：连接，则：， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为： 15. 若关于x的方程有一个根是1，则_________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可． 【详解】解：把x=1代入方程得1+a-2=0， 解得a=1． 故答案是：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 16. 如图，正六边形桌面上有一内切圆，若向这个桌面上随意抛一粒豆子，则豆子的落点在内的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，几何概率，圆的面积与正六边形的面积之比，进行求解即可． 【详解】解：连接，设与相切于点，的半径为，连接， 则：，， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 17. 如图，线段上的点，分别满足关系式，，．若，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，根据题意易得均为黄金分割点，根据黄金分割点的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是线段的黄金分割点， ∴， ∴， 同理：，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 18. 如图，在矩形中，，与边，对角线分别相切于点，，点是边上的一个动点，切于点．若的最小值为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，延长交于点，证明四边形为正方形，四边形为矩形，设半径为，得到，根据垂线段最短，得到当与点重合时，最短，此时最小， 勾股定理求出，设，得到，利用勾股定理求出的值即可． 【详解】解：连接，延长交于点， ∵与边，对角线分别相切于点，，切于点， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴四边形，四边形均为矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， 设的半径为，则：，， ∵点是边上的一个动点， ∴当与重合时，最小，此时最小， 由勾股定理，得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的内切圆，切线长定理，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，确定点的位置，是解题的关键． 三、解答题（本题有8个小题，满分78分） 19. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，选择合适解一元二次方程的方法是解题的关键． 运用因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ，， 解得，． 20. 从一副普通的扑克牌中取出三张牌，它们的花色分别是两张红桃，一张黑桃． （1）将这三张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽到______的概率更大；（填“红桃”或“黑桃”）； （2）将这三张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取第二张．请用列表或画树状图的方法，求抽取的这两张牌一张为红桃一张为黑桃的概率． 【答案】（1）红桃 （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，熟练掌握概率的意义，列表法求概率，是解题的关键： （1）根据概率的意义，进行判断即可； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵三张牌中，有两张红桃，一张黑桃，红桃的数量比黑桃多， ∴抽到红桃的概率更大； 故答案为：红桃； 【小问2详解】 如图，列表如下： 红桃 红桃 黑桃 红桃 红桃，红桃 红桃，黑桃 红桃 红桃，红桃 红桃，黑桃 黑桃 黑桃，红桃 黑桃，红桃 共6种等可能的结果，其中两张牌一张为红桃一张为黑桃的结果有4种， ∴． 21. 某文具店购入一批进价为元/盒的卡片进行销售，在某段时间内若以每盒元出售，可卖出盒． （1）若文具店在让利消费者的前提下获利元，则每盒卡片的售价是多少元？ （2）文具店如何定价才能使利润最大？ 【答案】（1）每盒卡片的售价是元； （2）每盒卡片的售价是每盒元时，文具店利润最大． 【解析】 【分析】此题考查了二次函数和一元二次方程的实际应用． （1）文具店在让利消费者的前提下获利元，据此列方程，解方程后根据题意选取合适的答案即可； （2）设利润为元，列出的函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，， 解得， ∵文具店在让利消费者的前提下获利元， ∴； 答：每盒卡片的售价是元； 【小问2详解】 解：设利润为元， 则， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：每盒卡片的售价是每盒元时，文具店利润最大． 22. 如图，顶点坐标分别为，，． （1）若与关于轴对称，则的坐标是______； （2）若与关于坐标原点中心对称，则的坐标是______； （3）请在下图中画出将绕点沿顺时针方向旋转得到的，并写出的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，也考查了轴对称的性质． （1）根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求解； （2）根据关于原点对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数即可求解； （3）分别作出A，B，C的对应点，即可写出的坐标． 【小问1详解】 根据关于x轴对称的点的坐标特征可知：点关于轴对称的点的坐标是 故答案为： 【小问2详解】 根据关于原点对称的点的坐标特征可知：点关于坐标原点对称的点的坐标是 故答案为： 【小问3详解】 如图所示，即为所求作的三角形， 由图可知： 23. 如图，是的直径，内接于，点是的内心，的延长线与交于点是上任意一点，连接． （1）若，求的度数： （2）若，，，请直接写出与的数量关系； （3）找出图中所有与相等的线段，并证明． 【答案】（1） （2） （3）， 证明如下：连接， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，三角形的内心，等角对等边等知识点，熟练掌握相关定理，性质，是解题的关键． （1）圆内接四边形的性质，得到的度数，圆周角定理，得到，再利用三角形的内角和定理，求出的度数即可； （2）同法（1）求出的度数，等弧所对的圆周角相等，得到，根据三角形的内角和定理，得到与的数量关系； （3）连接，根据三角形的内心是角平分线的交点，结合三角形的外角和圆周角定理，得到，等角对等边，得到，圆周角定理得到，进而得到，得到． 【小问1详解】 解：∵内接于，是上任意一点， ∴四边形为圆内接四边形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； 【小问2详解】 同（1）法可得：， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 24. 如图，在中，，，，点由点出发，沿方向向点匀速运动，速度为，点由点出发，沿方向向点匀速运动，速度为．如果动点同时从两点出发，一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为． （1）当时，______，______cm（用含的代数式表示）； （2）当时，求四边形的面积关于的函数关系式； （3）当面积最大时，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解直角三角形，解题的关键是正确的求出函数解析式： （1）根据路程等于速度乘以时间结合线段的和差关系，列出代数式即可； （2）用的面积减去的面积即可； （3）分别表示出点在上和点在上两种情况求出函数解析式，利用二次函数求最值即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 由题意，点运动到点时间为：，点运动到点的时间为：，从点运动到点的时间为：； ∴当时，， ∴； 故答案为：，； 【小问2详解】 当时， ； 【小问3详解】 当时，， ∴抛物线的开口向下，当时，随的增大而增大， ∴当时，最大为：； 当时，如图，则：，过点作， 则：， ∴， ∴， ∴当时，随的增大而减小， 当时，， ∴当时，； 综上：的最大值为15，此时． 25. 中，． （1）如图①，是边上任意一点，以点为旋转中心，将逆时针旋转到位置，连接．若，则的度数为______； （2）如图②，是边上两点，点在点左边，． ①若，，，则______； ②若，请写出线段之间的数量关系，并进行证明． 【答案】（1） （2）①； ②，证明： 如图所示，以点为旋转中心，将逆时针旋转到位置，连接，过点F作直线的垂线，垂足为G， 同理可得， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质和三角形内角和定理： （1）先由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，再由旋转的性质求出的度数即可得到答案； （2）①以点为旋转中心，将逆时针旋转到位置，连接，仿照（1）可求出，再证明，得到 ，设，则，，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案；②以点为旋转中心，将逆时针旋转到位置，连接，过点F作直线的垂线，垂足为G， 同理可得，同理证明；在中，求出，得到，再求出，在中，由勾股定理得，据此可得结论． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴； 由旋转的性质可得， ∴； 【小问2详解】 解：①如图所示，以点为旋转中心，将逆时针旋转到位置，连接， ∵在中，，， ∴； 由旋转的性质可得，， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）； ∴； ②略 26. 如图①，经点的直线与经过点的二次函数的图像交于点，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式及点的坐标； （2）如图②，点是线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，交线段于点，再过点作轴的垂线交抛物线于点．是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图③，点为线段上的一个动点（不与重合），经过三点的圆与经过点且垂直于的直线交点，当面积取最小值时，求直线上点的坐标，使得周长最小． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）直接将点，代入二次函数中即可求得得解，同时设直线的解析式为，代入，得到值，即可得点的坐标； （2）设，则，，进而得出，，根据列出方程，解方程，即可求解； （3）先求得直线的解析式，设，设，，的中点为圆心，设为，则，根据圆的性质，可得一定在的垂直平分线上，得出，进而得出，用表示出，根据二次函数的性质得出，取得最小值时，，进而根据周长最小，设关于的对称点为，得出，求得直线的解析式为，联立直线解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，将点，代入二次函数解析式中， 可得，解得， ∴二次函数解析式为：， 设直线的解析式为， 将，代入， 可得，解得， 故直线的解析式为， 令得， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵，对称轴为直线， 设，，则，， ∴，， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴或， 解得：（舍去）或或或（舍去）， 当时，， 当时，， ∴或； 【小问3详解】 解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， 设直线与轴交于点，如下图，则是等腰直角三角形， ∴，即， 设直线的解析式为，代入，， ∴，解得， ∴直线的解析式，设， ∵点为线段上的一个动点（不与重合），设，， ∵， ∴的中点为圆心，设为，则， 又∵，则一定在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，取得最小值为， ∴， 设关于的对称点为， ∵， ∴在直线上， 如图所示，连接交于点， ∴的周长为， 当在上时，周长最小， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题、二次函数与一次函数的综合应用、等腰三角形的定义与性质、勾股定理、轴对称的性质、直角所对的弦是直径等知识，结合题意完善图像，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $