第二十一章 代数方程【单元卷·测试卷】-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（沪教版）

第二十一章 代数方程【单元卷·测试卷】 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：90分钟； 总分：100分 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．下列方程中，是关于的二项方程式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二项方程的定义，掌握形如n为正整数的方程是二项方程是解题的关键． 【详解】解：A. 不是整式方程，不符合题意； B. ，不是二项方程； C. 是二项方程； D. ，当时，不是二项方程， 故选C． 2．上海市16个区共约1326条健身步进和绿道，甲、乙两人沿着总长度为9千米的“健身步道”行走，甲的速度是乙的1.5倍，甲比乙提前15分钟走完全程，如果设乙的速度为x千米/时，那么下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用，熟练掌握分式方程的应用是解题的关键． 3．野豪猪内卷会用6000元购进一批试卷，每套试卷含数理化三科，每套以比进价高10元的优惠价格卖给成员，在销售过程中，因多出5套试卷，以每套10元的白菜价送给了其他同学，最后野豪猪内卷会盈利950元，则一套试卷的进价为（    ） A．50元 B．100元 C．120元 D．240元 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用．设每套试卷的进价为元，则每套试卷的售价为元，根据题意列出分式方程，解之即可，注意检验． 【详解】解：设每套试卷的进价为元，则每套试卷的售价为元， 根据题意得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 答：每套试卷的进价为50元， 故选：A． 4．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用换元法整理分式方程的能力，掌握用换元法解分式方程是关键．用换元法解分式方程，可简化计算过程，减少计算量，是一种常用的方法． 设，将方程变形后整体代换计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 设， 根据题中所设可得原方程变形为． 故选：B． 5．若关于的方程无解,则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程的解,分式方程无解即最简公分母为0．分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程无解确定出的值,代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】解:∵无解, ∴去分母得:,解得, ∵当时,即,方程无解; ∵由分式方程无解,得,解得:, ∴把代入整式方程得:,解得:, ∴方程无解则的值为或． 故选:D． 6．一次函数y＝（a﹣7）x+a的图像不经过第三象限；且关于x的分式方程有整数解，则满足条件的整数a的和为（  ） A．18 B．17 C．12 D．11 【答案】D 【分析】先根据一次函数的图像不经过第三象限、列不等式组求出a的取值范围，再解分式方程，然后根据分式方程有整数解，确定a的可能取值，最后求和即可． 【详解】解：∵一次函数的图像不经过第三象限， ∴， ∴0≤a＜7， 原分式方程可化为：3， 2＝3（2﹣x）+ax， 解得x，3﹣a≠2， ∵分式方程有整数解， ∴3﹣a＝﹣2或3﹣a＝1或3﹣a＝﹣1或3﹣a＝﹣4或3﹣a＝4或3﹣a＝2， 解得a＝5或a＝2或a＝4或a＝7或a＝﹣1或a＝1， ∵a＝7或a＝﹣1或a＝1不合题意， ∴舍去， ∴a＝5或a＝2或a＝4， ∴整数a的和为：11； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的性质、解不等式组、分式方程的解等知识点，根据一次函数的图像不经过第三象限列出不等式组成为解答本题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质和一元一次方程的解法，解题的关键是准确计算． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解， 故答案为：． 8．若关于的分式方程的解是，则 ． 【答案】 【分析】把代入分式方程计算，即可求解． 【详解】解：把代入分式方程得，，分式方程有意义， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式方程的解，掌握概念、正确计算是解题的关键． 9．已知，是某个二元二次方程组的解，那么这个方程组可以是 ．(只要写出一种情况 【答案】（答案不唯一） 【分析】写出满足条件的两个二元二次方程或一个二元一次方程与一个二元二次方程组成的方程组即可． 【详解】解：满足解是，的二元二次方程组可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解得定义，掌握能使方程组中两个方程都成立的未知数的值是方程组的解是解决本题的关键． 10．如果方程，那么 ． 【答案】2 【分析】根据解无理方程的解法，即可求解， 本题考查了，解无理方程，解题的关键是：注意验根． 【详解】解：， 移项，得， 两边平方，得， 整理得， 解得，， 检验：当时，方程左边右边，则为原方程的解； 当时，方程左边右边，则不是原方程的解； 所以原方程的解为． 故答案为：2． 11．某次列车平均提速vkm/h．用相同的时间，列车提速前行驶skm．提速后比提速前多行驶50km．设提速前列车的平均速度是xkm/h．根据题意分别列出下列四个方程：①；②；③；④．则其中正确的方程有 ． 【答案】①③ 【分析】设提速前列车平均速度是xkm/h，则提速后列车平均速度是（x+v）km/h，根据时间=路程÷速度及相同时间里面路程比等于速度比，即可得出关于x的分式方程，再对比四个选项后即可得出结论． 【详解】解：设提速前列车平均速度是xkm/h，则提速后列车平均速度是（x+v）km/h， 依题意得：①；③；④． 故其中正确的方程有①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 12．用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是 ． 【答案】y2﹣y﹣2＝0 【分析】设，则原方程化为y﹣＝1，再方程两边都乘y即可． 【详解】解：， 设，则原方程化为： y﹣＝1， 方程两边都乘y，得y2﹣2＝y， 即y2﹣y﹣2＝0， 故答案为：y2﹣y﹣2＝0． 【点睛】本题考查了用换元法解分式方程，能正确换元是解此题的关键． 13．已知A、B两地相距120千米，甲、乙两人都要从A地前往B地，若甲用的时间比乙少1小时，且甲的速度是乙的倍，如果设乙的速度为，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用．设乙的速度为，则甲的速度为，根据“甲用的时间比乙少1小时”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设乙的速度为，则甲的速度为，根据题意得： ． 故答案为： ． 14．若实数x满足，那么 ． 【答案】 【分析】先将原方程化为，再令，进一步将原方程化为，解方程求出的值，即可得到，即可求出原式的值． 【详解】解： 令，则原方程为，整理得： 解得：，（不符合题意，舍去） 故答案为： 【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的解法，解题关键是熟练掌握分式方程和一元二次方程的解法． 15．定义：如果一个关于的分式方程的解是，那么我们把这样的分式方程称为和解方程．例如方程就是和解方程．已知关于的分式方程是和解方程，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，解分式方程，先求出分式方程的解，再根据和解方程的定义列出关于的分式方程，解方程即可求解，理解和解方程的定义是解题的关键． 【详解】解：解分式方程得，， ∵关于的分式方程是和解方程， ∴， ∴， 故答案为：． 16．关于x的方程：的解是，，解是，，则的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，观察所给式子，可看出：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成某个常数，那么这样的方程可直接解得．利用这个结论，可解题． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得， 经检验，都是原方程的解， 故答案为：。 17．请阅读：小毛在解方程时采用了课本以外的方法： 由， 又有，可得，将这两式相加可得， 将两边平方可解得，经检验是原方程的解． 请你参考小毛独特的方法，解决下列问题： 已知，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查无理方程的解法，利用题干中的方法求解即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 将得，， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 18．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点在第三象限，关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的绝对值之和为 ． 【答案】9 【分析】根据点关于轴的对称点在第三象限，建立不等式组，求得解集确定a的取值范围，再根据分式方程的非负整数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数，后计算绝对值的和即可得结论． 【详解】解：∵点关于轴的对称点在第三象限， ∴对称点的坐标为， ∴， 解不等式①得：； 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵， 解得， ∵方程有非负数整数解， ∴， ∴， ∵时，是方程的增根， 此时，无意义，舍去， ∴且 ∴符合题意的整数a的值为， ∴符合的解是非负整数解的有， ∴符合条件的所有整数a的绝对值和是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标的对称，不等式组的解集、分式方程的解，绝对值的计算，解决本题的关键是根据不等式组的解集及分式方程的解确定a的取值范围． 3、 （本大题共7小题，共64分） 19．解方程组：． 【答案】或或 【分析】本题考查了解二元二次方程组，先整理方程组，再利用代入消元法求解方程即可；熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：方程组整理得， ②代入①得：，即， 解得：或， 将代入②得：， 解得：或， 即或； 将代入②得：， 解得：， 即； 综上，方程组的解为：或或． 20．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查方式方程的解法．去分母，把分式方程化为整式方程，解得x的值，最后检验． 【详解】解：整理得， 去分母得， 整理得，即， 解得或， 经检验是增根，是方程的解， 故方程的解为． 21．当m取什么值时，方程无实数解． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程的解，一元二次方程根的判别式，掌握方程和不等式的解法是解答本题的关键. 把分式方程化为整式方程，根据分式方程无解，得出m的取值范围即可． 【详解】解：， 方程去分母得：， 整理得：， ∵方程无实数解， ∴， 解得：； 当，时分式方程无意义， 把代入得， 把代入得； 综上分析可知：当或时方程无实数解. 22．腊八节喝腊八粥是中华民族的传统习俗．市场上玫瑰味腊八粥每罐的进价比原味腊八粥每罐的进价多5元，某商家用4000元购进玫瑰味腊八粥的罐数与3000元购进的原味腊八粥的罐数相同． (1)玫瑰味腊八粥和原味腊八粥每罐的进价分别是多少元？ (2)在两种口味腊八粥销售中，该商家都增加了进价的20%作为售价，最后两种口味的腊八粥全部售完，那么商家总共盈利多少元？ 【答案】(1)玫瑰味腊八粥每罐的进价是元，原味腊八粥每罐的进价是元 (2)商家总共盈利元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设玫瑰味腊八粥每罐的进价是元，则原味腊八粥每罐的进价是元，根据商家用元购进玫瑰味腊八粥的罐数与元购进的原味腊点八粥的罐数相同，列出分式方程，解方程即可； （2）求出购进玫瑰味腊八粥的数量原味腊八粥的数量灌，再根据该商家都增加了进价的作为售价，列式计算即可． 【详解】（1）解：设玫瑰味腊八粥每罐的进价是元，则原味腊八粥每罐的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：玫瑰味腊八粥每罐的进价是元，原味腊八粥每罐的进价是元； （2）解：由（1）可知，购进玫瑰味腊八粥的数量原味腊八粥的数量：(罐)， ∴商家总共盈利： (元) 答：商家总共盈利元． 23．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数． ①求G所代表的代数式； ②求x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)是；2 (2)①；② (3)m为1或 【分析】本题考查了新定义，分式的运算，解分式方程，读懂题意，理解新定义，并正确加以应用是解题的关键． （1）根据新定义，把分式A，B相加，和为常数2即可； （2）根据题意，把分式C，D相加，和为2，得到G的式子和x的值即可； （3）根据题意，得到分式方程，解分式方程得到结果． 【详解】（1）解：与B是互为“和整分式”，理由如下： 分式， ， 与B是互为“和整分式”，“和整值”； （2）解：①分式，， ， 与D互为“和整分式”，且“和整值”， ， ； ②， 又为正整数，分式D的值为正整数t， 或， 解得或舍去， ； （3）解：与Q互为“和整分式”，且“和整值”， ， ， ， ， 当，即时，关于x的方程无解， 当时，方程有增根， ， 解得：， 综上所述，m为1或 24．回读材料并解决问题： 小潘在解方程时采用了下面的方法：由，又有，可得，将两式相加可得，两边平方可得，经检验是原方程的解． 请你学习小明的方法，解决下列问题： (1)已知，则的值为______； (2)解方程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解无理方程，二次根式的混合运算，熟练掌握无理方程的解法，准确计算是解题的关键． （1）根据题目所给方法，可求的值，然后结合，即可求出的值； （2）根据题目所给方法，可求，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵ ， 又， ∴ ∴； 故答案为： （2）解： ， 又， ∴， 两式相加，得， 两边同时平方，得， 解得， 经检验，是原方程的解． 25．对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则或，又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，．应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为________，________； (2)关于x的方程的两个解分别为，，若与互为倒数且，则________，________； (3)关于x的方程的两个解分别为，（），求的值． 【答案】(1)1，6 (2)，2 (3) 【分析】（1）方程变形后，利用题中的结论确定出方程的解即可； （2）方程变形后，根据利用题中的结论，以及与互为倒数，确定出与的值即可；（3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为、，代入原式计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴方程有两个解，分别为， 故答案为：1，6； （2）解：， 方程变形得： 由题中的结论得：有两个解，分别为，2， ∵与互为倒数， ∴， 故答案为：，2； （3）解：， 方程整理得， 得或 可得，． ∴． 【点睛】此题考查了分式方程的解，掌握分式的性质，弄清题中的规律是解本题的关键． 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 代数方程【单元卷·测试卷】 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：90分钟； 总分：100分 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．下列方程中，是关于的二项方程式（    ） A． B． C． D． 2．上海市16个区共约1326条健身步进和绿道，甲、乙两人沿着总长度为9千米的“健身步道”行走，甲的速度是乙的1.5倍，甲比乙提前15分钟走完全程，如果设乙的速度为x千米/时，那么下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．野豪猪内卷会用6000元购进一批试卷，每套试卷含数理化三科，每套以比进价高10元的优惠价格卖给成员，在销售过程中，因多出5套试卷，以每套10元的白菜价送给了其他同学，最后野豪猪内卷会盈利950元，则一套试卷的进价为（    ） A．50元 B．100元 C．120元 D．240元 4．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（   ） A． B． C． D． 5．若关于的方程无解,则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 6．一次函数y＝（a﹣7）x+a的图像不经过第三象限；且关于x的分式方程有整数解，则满足条件的整数a的和为（  ） A．18 B．17 C．12 D．11 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．方程的解是 ． 8．若关于的分式方程的解是，则 ． 9．已知，是某个二元二次方程组的解，那么这个方程组可以是 ．(只要写出一种情况 10．如果方程，那么 ． 11．某次列车平均提速vkm/h．用相同的时间，列车提速前行驶skm．提速后比提速前多行驶50km．设提速前列车的平均速度是xkm/h．根据题意分别列出下列四个方程：①；②；③；④．则其中正确的方程有 ． 12．用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是 ． 13．已知A、B两地相距120千米，甲、乙两人都要从A地前往B地，若甲用的时间比乙少1小时，且甲的速度是乙的倍，如果设乙的速度为，则可列方程 ． 14．若实数x满足，那么 ． 15．定义：如果一个关于的分式方程的解是，那么我们把这样的分式方程称为和解方程．例如方程就是和解方程．已知关于的分式方程是和解方程，那么的值是 ． 16．关于x的方程：的解是，，解是，，则的解是 ． 17．请阅读：小毛在解方程时采用了课本以外的方法： 由， 又有，可得，将这两式相加可得， 将两边平方可解得，经检验是原方程的解． 请你参考小毛独特的方法，解决下列问题： 已知，则a的值为 ． 18．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点在第三象限，关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的绝对值之和为 ． 3、 （本大题共7小题，共64分） 19．解方程组：． 20．解方程：． 21．当m取什么值时，方程无实数解． 22．腊八节喝腊八粥是中华民族的传统习俗．市场上玫瑰味腊八粥每罐的进价比原味腊八粥每罐的进价多5元，某商家用4000元购进玫瑰味腊八粥的罐数与3000元购进的原味腊八粥的罐数相同． (1)玫瑰味腊八粥和原味腊八粥每罐的进价分别是多少元？ (2)在两种口味腊八粥销售中，该商家都增加了进价的20%作为售价，最后两种口味的腊八粥全部售完，那么商家总共盈利多少元？ 23．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数． ①求G所代表的代数式； ②求x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 24．回读材料并解决问题： 小潘在解方程时采用了下面的方法：由，又有，可得，将两式相加可得，两边平方可得，经检验是原方程的解． 请你学习小明的方法，解决下列问题： (1)已知，则的值为______； (2)解方程． 25．对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则或，又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，．应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为________，________； (2)关于x的方程的两个解分别为，，若与互为倒数且，则________，________； (3)关于x的方程的两个解分别为，（），求的值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$