第07讲 复数的三角表示（知识点+4大题型+分层练习）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修二）

第07讲 复数的三角表示 目录 题型归纳 1 题型01 复数的三角表示 2 题型02 复数乘、除运算的三角表示 4 题型03 三角表示下复数的几何意义 7 题型04 三角表示下复数的乘方与开方 9 分层练习 13 夯实基础 13 能力提升 22 知识点01复数的三角形式 1、辅角的定义：设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辅角. 2、辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差的整数倍. 规定：其中在范围内的辅角的值为辅角的主值，通常记作 【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的。 3、复数的三角形式：任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辅角. 【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连。 4、复数的代数式与三角式互化 将复数化为三角形式时，要注意以下两点： （1）， （2），，其中终边所在象限与点所在象限相同， 当，时， 每一个不等于零的复数有唯一的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等。 题型01复数的三角表示 【例1】（23-24高一下·江苏南京·期末）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的坐标表示、复数的三角表示 【分析】由复数乘法的几何意义可知，根据复数的三角表示可得顺时针旋转后对应的复数为. 【详解】根据题意可知， 复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转可得， 即所得的向量对应的复数为. 故选：A. 【变式1】（23-24高一下·湖北武汉·期中）设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的除法运算、复数的三角表示 【分析】把化为复数的三角形式，根据复数对应的向量旋转所得向量，求解即可. 【详解】由已知得， 所以绕原点顺时针旋转得 ， 由绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合得， 所以. 故选：B. 【变式2】（21-22高一下·安徽合肥·期中）写出复数的三角形式是 ．（辐角） 【答案】 【知识点】复数的三角表示 【分析】利用复数的三角表示可得结果. 【详解】. 故答案为：. 【变式3】（20-21高一下·上海浦东新·期末）已知，且，若． (1)求复数的三角形式与； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的三角表示 【分析】（1）求出复数的模和辐角主值后，可得复数的三角形式； （2）根据，以及求出，将和代入可求出结果. 【详解】（1）因为，所以其模，设其辐角为， 则，， 因为复数对应的点在第四象限，所以， 所以复数的三角形式为. （2）因为，所以， 因为，所以, 所以，所以， 所以 题型02 复数乘、除运算的三角表示 【例2】（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】C 【知识点】复数的三角形式、复数的三角表示、复数乘、除运算的三角表示 【分析】根据两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角，通过计算得到答案. 【详解】， 故选：C. 【变式1】（22-23高一下·河北沧州·期末）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：（，为虚数单位），这个公式在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，可知（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】复数的乘方、复数、复数乘、除运算的三角表示 【分析】根据所给公式，变形整理化简即可. 【详解】由题意可知，. 故选：A 【变式2】（22-23高一下·上海浦东新·期末）将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是 . 【答案】 【知识点】复数的三角表示、复数乘、除运算的三角表示 【分析】根据复数的三角形式运算即可求解. 【详解】复数的三角形式是, 向量对应的复数是. 故答案为： 【变式3】（21-22高一下·湖北武汉·期中）已知复数，，为虚数单位． (1)若在复平面内对应向量，将绕点O顺时针旋转得到向量对应的复数为，求； (2)若是关于x的方程的一个根，求实数m与n的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】复数范围内方程的根、复数乘、除运算的三角表示 【分析】（1）根据复数的三角形式以及复数乘法运算的三角表示即可求出，再根据复数代数形式的运算法则，模的计算公式即可求出； （2）根据方程的根与方程的关系，以及复数相等的概念即可列出方程组解出． 【详解】（1）依题意可知， ， ∴． （2）由条件可知：，整理得： ∵，∴解得：或 题型03 三角表示下复数的几何意义 【例3】（21-22高一下·福建宁德·期中）欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、三角表示下复数的几何意义 【分析】根据复数的几何意义，以及弧度制即可求解. 【详解】解：，又，为第二象限角，故 ，故在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 【变式1】（20-21高一下·广东惠州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的三角表示、三角表示下复数的几何意义 【分析】先对，然后再化为复数的三角形式可得答案 【详解】 所以 ， 故选：B 【变式2】（22-23高一下·湖北武汉·期中）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为 （用代数形式表示）． 【答案】 【知识点】复数乘、除运算的三角表示、三角表示下复数的几何意义 【分析】根据复数除法运算的三角表示及几何意义，应用除法法则计算即可. 【详解】复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为 . 故答案为：. 【变式3】（22-23高一下·湖南邵阳·期中）已知复数，，求当满足什么条件时， (1)在复平面内对应的点关于实轴对称； (2). 【答案】(1) (2). 【知识点】二倍角的正弦公式、在各象限内点对应复数的特征、求复数的模、三角表示下复数的几何意义 【分析】（1）由题意可得，从而可求得答案， （2）由题意得，化简可得答案. 【详解】（1）因为在复平面内，与对应的点关于实轴对称， 所以，即， 解得， 所以. （2）由，得，即，   整理得，所以. 题型04 三角表示下复数的乘方与开方 【例4】（20-21高一下·福建漳州·期中）若（为虚数单位），则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、三角表示下复数的乘方与开方 【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确选项. 【详解】当时，， 当时，可以取，此时， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 【变式1】（20-21高一下·广东惠州·期末）棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667﹣1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、三角表示下复数的乘方与开方 【分析】由棣莫弗公式对复数化简可得答案 【详解】由已知得， ∴复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限． 故选：C． 【变式2】（21-22高一下·山东枣庄·期末）棣莫佛（Demoivre，是出生于法国的数学家．由于在数学上成就卓著，他被选为柏林科学院和巴黎科学院的外籍院士．棣莫佛定理为：，这里．若，则 ． 【答案】2 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方 【分析】直接使用棣莫佛定理，结合复数相等的定义进行求解即可. 【详解】由， 于是有，因为所以有， 于是有：， 当为偶数时，显然有，该方程无实根， 当当为奇数时，显然有，而， 故答案为：2 【变式3】（23-24高一下·山东青岛·期末）高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数对应复平面内的点Z，设，，则任何一个复数都可以表示成：的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz．复数有以下三角形式的运算法则：若，则：，特别地，如果那么这个结论叫做棣莫弗定理．请运用上述知识和结论解答下面的问题： (1)求复数的模和辐角主值argz（用θ表示）； (2)设，若存在满足，那么这样的n有多少个？ 【答案】(1)， (2)506个 【知识点】求复数的模、复数的三角表示、三角表示下复数的乘方与开方 【分析】（1）利用复数的模公式求解，利用辐角公式求解； （2）利用复数相等，结合求解. 【详解】（1）解：由， 得， ， ， ． （2）由， ， ， ，解得， ，∴，∴， ∴符合条件的k有506个， ∴这样的n有506 【夯实基础】 一、单选题 1．（21-22高一·全国·课后作业）复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是（    ） A．sin 30°＋icos 30° B．cos 160°＋isin 160° C．cos 30°＋isin 30° D．sin 160°＋icos 160° 【答案】B 【分析】根据复数乘法运算的三角表示即可得出结果. 【详解】(sin10°＋icos10°)(sin10°＋icos10°) ＝(cos80°＋isin80°)(cos80°＋isin80°) ＝cos160°＋isin160°． 故选：B． 2．（21-22高一下·广东广州·期中）复数的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出辐角为，利用公式计算出，，结合辐角主值的取值范围求出答案. 【详解】设复数的辐角为， 则， 所以，， 因为， 所以当时，满足要求， 所以辐角主值为. 故选：A 3．（22-23高一下·安徽宿州·期中）欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献.人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”.其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况.根据欧拉公式，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据欧拉公式写出对应复数的三角形式并化简，即可求模. 【详解】由题设，. 故选：B 4．（22-23高一下·河北沧州·期中）已知（其中i为虚数单位），那么复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据题意，求得，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由， 可得 ， 因为，， 所以复数在复平面内所对应的点位于第二象限． 故选：B． 二、多选题 5．（20-21高一下·上海长宁·期末）以下不是复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式． 【详解】解：，所以B正确，而，故C正确. 故选：AD 6．（21-22高一下·江苏常州·期末）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式（为虚数单位，为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是（    ） A．表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项． 【详解】解：对于A：，因为，所以，， 所以表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：由，， 所以，所以，选项D正确； 故选：BCD 三、填空题 7．（21-22高一下·上海闵行·期末）若复数为虚数单位），则 ． 【答案】 【分析】将复数化为三角形式即可得辐角. 【详解】设复数的辐角为， 由 所以 故答案为： 8．（23-24高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，设是坐标原点，向量，将绕点顺时针旋转得到向量，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】易得对应的复数，再由对应的复数是求解. 【详解】解：设向量对应的复数是，则， 所以对应的复数是： ， ， 所以的坐标是， 故答案为： 9．（23-24高一下·福建莆田·期中）法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的虚部为 ． 【答案】 【分析】结合复数定义，借助所给公式计算即可得. 【详解】， 故其虚部为. 故答案为：. 四、解答题 10．（23-24高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意，结合复数的三角形式的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】（1）解：根据复数的三角形式的运算法则， 可得： . （2）解：根据复数的三角形式的运算法则， 可得： . 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列复数是否是用三角形式来表示的？为什么？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． (6)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 (5)答案见解析 (6)答案见解析 【分析】利用复数的三角形式判断即可． 【详解】（1）解：，，，满足复数三角形式，所以正确； （2）解：，不满足复数的三角形式，所以不正确； （3）解：，，满足复数的三角形式，所以正确； （4）解：，，，满足复数的三角形式，正确； （5）解：，不满足复数的三角形式，不是复数的模，所以不正确； （6）解：不满足复数的三角形式，的前面是，不是，所以不正确． 12．（23-24高一下·安徽黄山·期末）一般地，任何一个复数，称为虚数单位，都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作，叫做复数的三角形式.  特别是当时，，即是欧拉发明的欧拉公式——复数的指数形式，建立了三角函数和指数函数的关系.请你根据材料解决以下问题： (1)设复数，，求，的三角形式； (2)设复数，，其中，求； (3)在中，已知为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：. 温馨提示：使用复数以外的方法证明不给分. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用正弦和余弦的和差公式计算即可； （2）利用三角形式和辐角主值的定义求解； （3）以为原点，为实轴正方向确定复平面，然后分别确定点在复平面上表示的复数为，再将三角形式转化为代数形式并求其模长. 【详解】（1）由于，. 故 ， . 综上，. （2）我们有 ， 且 . 据，知，，，. 所以，，故. （3）以为原点，为实轴正方向确定复平面，并不妨设点在实轴上方，则点在复平面上分别表示复数. 所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义的理解，并利用新定义和新工具解决已有的问题. 【能力提升】 一、单选题 1．（21-22高一下·北京·阶段练习）欧拉公式（为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B． C． D．的共轭复数为 【答案】D 【分析】对于A，由，其虚部为1，可判断A；对于B，，判断B；对于C， ，判断C；对于D,求得，结合共轭复数的概念即可判断. 【详解】对于A，，其虚部为1，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，则，故C错误； 对于D, ，故的共轭复数为，D正确， 故选：D 2．（21-22高一下·上海松江·期末）设，则下列命题中的真命题为（    ） A．若，则 B．若，则为纯虚数 C．若，则或 D．若，则 【答案】C 【分析】根据虚数不能比较大小判断A，取可判断B，根据复数模的性质判断C，取特例可判断D. 【详解】当为实数时，成立，否则不成立，故A错误； 当时，满足，但不为纯虚数，故B错误； 当时，，故或，所以或，故C正确； 当时，，，即，故D错误. 故选：C 3．（23-24高一下·浙江·期中）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，（，）则．设，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意化简即可得解. 【详解】根据题意，由， 可得 . 故虚部为. 故选：C 4．（20-21高一下·福建泉州·期末）已知i为虚数单位，若i，i， ，i，则i.特别地，如果i，那么ii，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是（    ） A．若i，则i B．若i，则i C．若i，i，则i D．若i，i，则i 【答案】A 【分析】A. ii，所以该选项正确； B. i，所以该选项错误； C. i，所以该选项错误； D. ii.所以该选项错误. 【详解】A. 若i，则ii，所以该选项正确； B. 若i，则i，所以该选项错误； C. 若i，i，则i，所以该选项错误； D. i，i，则ii.所以该选项错误. 故选：A 二、多选题 5．（23-24高一下·福建泉州·期末）已知为复数，则下列命题正础的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】AD 【分析】对于A：根据共轭复数结合复数乘法运算求解；对于BC：举反例说明即可；对于D：解法一：根据复数的乘法运算结合模长公式分析判断；解法二：根据复数的三角形式分析判断. 【详解】设复数， 对于选项A：若，则，所以， 所以，故A正确； 对于选项B：例如，则，故B错误； 对于选项C：例如，此时满足，但，故C错误； 对于选项D：解法一： ； 解法二：设， 则， 可得 ， 则，即，故D正确； 故选：AD． 6．（22-23高一下·山西太原·期中）已知复数、，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则、中至少有个是 D．若且，则 【答案】ACD 【分析】利用复数的模长公式可判断A选项；利用虚数不能比较大小可判断B选项；利用复数的三角形式的代数运算结合反证法可判断C选项；利用复数的运算性质结合C选项可判断D选项. 【详解】设，， 对于A选项，， 所以， ， 因为 ， 则， 所以，，A对； 对于B选项，若、中至少有一个为虚数，则、不能比较大小，B错； 对于C选项，若，假设、均不为零，则，， 则存在、，使得，， 则， 因为，则、不可能同时为零， 所以，， 故假设不成立，所以，、中至少有一个为零，C对； 对于D选项，，则， 因为，则，由C选项可知，，即，D对. 故选：ACD. 三、填空题 7．（20-21高一下·湖北武汉·期中）设复数，其中为虚数单位，若满足，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，求出复数的代数形式，结合其三角形式即可求解. 【详解】由，得，即， 因， 所以. 故答案为：. 8．（21-22高一下·上海普陀·期末）已知复数满足．若是实系数一元二次方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】根据题意求出，然后根据是实系数一元二次方程的一个根即可求解. 【详解】设，因为， 所以，且复数在第一象限， 又复数满足，所以， 因为是实系数一元二次方程的一个根， 则有，也即， 所以，则， 故答案为：. 9．（20-21高一下·上海宝山·期末）设，，复平面上对应的点分别为，，，．若，，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意，将复数改写成三角形式，结合已知条件分别算出、、、和，即可求解. 【详解】由，得，由，得， 因，所以，即，且， 又因，所以，即，且, 因此. 故答案为：. 四、解答题 10．（23-24高一下·福建福州·期末）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质： (1)设，，求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据复数和共轭复数的性质即可证明； （2）设，则，由已知，，列等式即可求解； （3）设复数设的三角形式，利用三角函数有界性即可求解. 【详解】（1）设， ，，， 是实数； （2）设，则， ，， ，① 又， ②， 联立①②，解得， （3），设， 则， ，， . 11．（23-24高一下·吉林·期末）在复数域中，对于正整数满足的所有复数称为单位根，其中满足对任意小于的正整数，都有，则称这种复数为次的本原单位根，例如当时，存在四个4次单位根，因为，因此只有两个4次本原单位根． (1)直接写出复数的3次单位根，并指出那些是复数的3次本原单位根（无需证明）． (2)①若是复数的8次本原单位根，证明：． ②若是复数的次本原单位根，证明：． 【答案】(1)复数的3次单位根为，复数的3次本原单位根为 (2)①证明见解析，②证明见解析 【分析】（1）根据次的本原单位根的定义，可直接得到答案； （2）①由题意可得，从而推出，继而分组求和，即可证明结论；②由题意得，则可推出，继而得，结合，即可证明结论. 【详解】（1）由题意可得的解为， 则复数的3次单位根为， 由于因为，的一次方以及2次方均不等于1， 故复数的3次本原单位根为. （2）证明：①因为是复数的8次本原单位根，所以. 因为，所以， 所以， 则. ②因为是复数的次本原单位根，所以， 设，则. 因为，所以，所以， 所以. 因为，所以，即， 则，即. 12．（23-24高一下·四川成都·期中）我们知道，复数可以用的形式来表示，与复平面内的点是一一对应的，复数的模，即是复平面内的点到坐标原点的距离．又复数与平面向量也是一一对应的，所以也可以借助与非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角来刻画的方向，在此基础上再来认识一下复数的乘除法运算． 如：，，角；，，角，由．即：复数，相当于将复数伸长了倍，同时逆时针旋转角后得到． (1)计算，并从模与角度的变化来解释除法运算的几何意义； (2)现将直角坐标平面内任意一点，绕坐标原点逆时针旋转角，并将的长度伸长倍后得到点．请借助以上复数运算的知识，推导点与点伸缩旋转变换的坐标关系； (3)已知反比例函数，现将函数上的点都逆时针旋转后得到点的曲线，求曲线上的点坐标关系式． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）先由复数的除法运算化简，再结合向量间的关系得出复数除法的几何意义. （2）设出点对应的复数为，坐标原点逆时针旋转角，并将的长度伸长倍，即，从而可得出答案. （3）由（2）知：，解出，代入方程从而得出答案. 【详解】（1）令，，，则，，，，， 复数相当于将复数缩短了倍，顺时针旋转了得到 （2）设点对应的复数为：，设：， 点对应的复数为，则 所以 （3）由（2）知：，， 代入反比例函数得到，化简得：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 复数的三角表示 目录 题型归纳 1 题型01 复数的三角表示 2 题型02 复数乘、除运算的三角表示 2 题型03 三角表示下复数的几何意义 3 题型04 三角表示下复数的乘方与开方 4 分层练习 5 夯实基础 5 能力提升 9 知识点01复数的三角形式 1、辅角的定义：设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辅角. 2、辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差的整数倍. 规定：其中在范围内的辅角的值为辅角的主值，通常记作 【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的。 3、复数的三角形式：任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辅角. 【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连。 4、复数的代数式与三角式互化 将复数化为三角形式时，要注意以下两点： （1）， （2），，其中终边所在象限与点所在象限相同， 当，时， 每一个不等于零的复数有唯一的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等。 题型01复数的三角表示 【例1】（23-24高一下·江苏南京·期末）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·湖北武汉·期中）设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高一下·安徽合肥·期中）写出复数的三角形式是 ．（辐角） 【变式3】（20-21高一下·上海浦东新·期末）已知，且，若． (1)求复数的三角形式与； (2)求． 题型02 复数乘、除运算的三角表示 【例2】（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 【变式1】（22-23高一下·河北沧州·期末）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：（，为虚数单位），这个公式在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，可知（    ） A． B．1 C． D． 【变式2】（22-23高一下·上海浦东新·期末）将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是 . 【变式3】（21-22高一下·湖北武汉·期中）已知复数，，为虚数单位． (1)若在复平面内对应向量，将绕点O顺时针旋转得到向量对应的复数为，求； (2)若是关于x的方程的一个根，求实数m与n的值． 题型03 三角表示下复数的几何意义 【例3】（21-22高一下·福建宁德·期中）欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（20-21高一下·广东惠州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一下·湖北武汉·期中）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为 （用代数形式表示）． 【变式3】（22-23高一下·湖南邵阳·期中）已知复数，，求当满足什么条件时， (1)在复平面内对应的点关于实轴对称； (2). 题型04 三角表示下复数的乘方与开方 【例4】（20-21高一下·福建漳州·期中）若（为虚数单位），则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（20-21高一下·广东惠州·期末）棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667﹣1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（21-22高一下·山东枣庄·期末）棣莫佛（Demoivre，是出生于法国的数学家．由于在数学上成就卓著，他被选为柏林科学院和巴黎科学院的外籍院士．棣莫佛定理为：，这里．若，则 ． 【变式3】（23-24高一下·山东青岛·期末）高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数对应复平面内的点Z，设，，则任何一个复数都可以表示成：的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz．复数有以下三角形式的运算法则：若，则：，特别地，如果那么这个结论叫做棣莫弗定理．请运用上述知识和结论解答下面的问题： (1)求复数的模和辐角主值argz（用θ表示）； (2)设，若存在满足，那么这样的n有多少个？ 【夯实基础】 一、单选题 1．（21-22高一·全国·课后作业）复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是（    ） A．sin 30°＋icos 30° B．cos 160°＋isin 160° C．cos 30°＋isin 30° D．sin 160°＋icos 160° 2．（21-22高一下·广东广州·期中）复数的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·安徽宿州·期中）欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献.人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”.其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况.根据欧拉公式，则（    ） A．2 B．1 C． D． 4．（22-23高一下·河北沧州·期中）已知（其中i为虚数单位），那么复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、多选题 5．（20-21高一下·上海长宁·期末）以下不是复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 6．（21-22高一下·江苏常州·期末）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式（为虚数单位，为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是（    ） A．表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限 B． C． D． 三、填空题 7．（21-22高一下·上海闵行·期末）若复数为虚数单位），则 ． 8．（23-24高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，设是坐标原点，向量，将绕点顺时针旋转得到向量，则点的坐标是 ． 9．（23-24高一下·福建莆田·期中）法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的虚部为 ． 四、解答题 10．（23-24高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2). 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列复数是否是用三角形式来表示的？为什么？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． (6)． 12．（23-24高一下·安徽黄山·期末）一般地，任何一个复数，称为虚数单位，都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作，叫做复数的三角形式.  特别是当时，，即是欧拉发明的欧拉公式——复数的指数形式，建立了三角函数和指数函数的关系.请你根据材料解决以下问题： (1)设复数，，求，的三角形式； (2)设复数，，其中，求； (3)在中，已知为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：. 温馨提示：使用复数以外的方法证明不给分. 【能力提升】 一、单选题 1．（21-22高一下·北京·阶段练习）欧拉公式（为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B． C． D．的共轭复数为 2．（21-22高一下·上海松江·期末）设，则下列命题中的真命题为（    ） A．若，则 B．若，则为纯虚数 C．若，则或 D．若，则 3．（23-24高一下·浙江·期中）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，（，）则．设，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 4．（20-21高一下·福建泉州·期末）已知i为虚数单位，若i，i， ，i，则i.特别地，如果i，那么ii，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是（    ） A．若i，则i B．若i，则i C．若i，i，则i D．若i，i，则i 二、多选题 5．（23-24高一下·福建泉州·期末）已知为复数，则下列命题正础的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 6．（22-23高一下·山西太原·期中）已知复数、，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则、中至少有个是 D．若且，则 三、填空题 7．（20-21高一下·湖北武汉·期中）设复数，其中为虚数单位，若满足，则 ． 8．（21-22高一下·上海普陀·期末）已知复数满足．若是实系数一元二次方程的一个根，则 ． 9．（20-21高一下·上海宝山·期末）设，，复平面上对应的点分别为，，，．若，，，则四边形的面积为 ． 四、解答题 10．（23-24高一下·福建福州·期末）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质： (1)设，，求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值． 11．（23-24高一下·吉林·期末）在复数域中，对于正整数满足的所有复数称为单位根，其中满足对任意小于的正整数，都有，则称这种复数为次的本原单位根，例如当时，存在四个4次单位根，因为，因此只有两个4次本原单位根． (1)直接写出复数的3次单位根，并指出那些是复数的3次本原单位根（无需证明）． (2)①若是复数的8次本原单位根，证明：． ②若是复数的次本原单位根，证明：． 12．（23-24高一下·四川成都·期中）我们知道，复数可以用的形式来表示，与复平面内的点是一一对应的，复数的模，即是复平面内的点到坐标原点的距离．又复数与平面向量也是一一对应的，所以也可以借助与非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角来刻画的方向，在此基础上再来认识一下复数的乘除法运算． 如：，，角；，，角，由．即：复数，相当于将复数伸长了倍，同时逆时针旋转角后得到． (1)计算，并从模与角度的变化来解释除法运算的几何意义； (2)现将直角坐标平面内任意一点，绕坐标原点逆时针旋转角，并将的长度伸长倍后得到点．请借助以上复数运算的知识，推导点与点伸缩旋转变换的坐标关系； (3)已知反比例函数，现将函数上的点都逆时针旋转后得到点的曲线，求曲线上的点坐标关系式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$