精品解析：湖北省恩施土家族苗族自治州2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

恩施市2024年秋季学期义务教育阶段期末考试 九年级数学试题卷 （本试题卷满分120分，考试时间120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 将一元二次方程化为一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 3， B. 3，6 C. 3，1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中 ，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此解答即可． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式为， 二次项系数和一次项系数分别为3，， 故选：A． 2. 方程的根的情况为（ ） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根． 先求一元二次方程的判别式，由与0的大小关系来判断方程根的情况． 【详解】解：∵可化为， ∴， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3. 有两个事件，事件A：掷一次骰子，向上的一面是3；事件B：篮球队员在罚球线上投篮一次，投中．则（ ） A. 只有事件A是随机事件； B. 只有事件B是随机事件 C. 事件A和B都是随机事件； D. 事件A和B都不是随机事件 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机事件是可能发生，也可能不发生的事件进行判断即可． 【详解】解： 事件A和事件B都可能发生，也可能不发生，都是随机事件， 故选：C 【点睛】本题考查随机事件． 4. 如图所示的阴影图案是由绕O点旋转形成的，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题主要考查了旋转性质、三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质． 根据旋转性质和三角形内角和定理以及等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意可得， ∴， 故选：A． 5. 五张完全相同的卡片上，分别画上圆、矩形、梯形、等边三角形、等腰三角形，现从中随机抽取2张，全部是中心对称图形的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】该题主要考查了中心对称图形的概念和概率求解，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．绕某个点旋转后能与自身重合的图形叫中心对称图形． 先根据中心对称图形的概念得到圆、矩形是中心对称图形，然后由列表法求得所有等可能的结果与全部是中心对称图形的情况，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：设圆、矩形、梯形、等边三角形、等腰三角形分别为A、B、C、D、E； 列表得： A B C D E A B C D E ∴一共有20种情况， ∵是中心对称图形有圆、矩形，即A与B， ∴全部是中心对称图形有2种情况， ∴全部是中心对称图形的概率是． 故选：D． 6. 已知是方程的两根，则的值为（ ） A. B. 5 C. 7 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴， 故选A 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 7. “经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”这个事件是（ ） A. 确定性事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：“经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”这个事件是随机事件． 故选：B． 8. 已知抛物线（）的对称轴为直线，且经过点，，则与的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键． 由于二次函数的图像的开口向上，对称轴为直线，然后根据点和点离对称轴的远近可判断与的大小关系． 【详解】解：∵二次函数的图像的对称轴为直线， 又∵， ∴该函数图像的开口向上， ， ∴点离对称轴的距离比点要远， ， 故选：A． 9. 如图，，切 于A、B两点， 切 于点E，交，于C，D．若 的半径为r，的周长等于，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质，特殊角的三角函数值，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接，在优弧 上取点 ，连接，根据切线长定理求出，根据正切的定义求出，根据圆周角定理，圆内接四边形的性质计算，得到答案． 【详解】解：连接，在优弧 上取点 ，连接， ∵切 于两点， ， ∵ 切 于点 ， ∴， ∵的周长等于， ∴， ∴， ， 在中，， ， ， ， 由圆周角定理得：， ， 故选：C． 10. 无论为何值，直线与抛物线总有公共点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，利用数形结合，将交点问题转化为不等式问题是求解本题的关键．由直线过定点，抛物线的对称轴为直线，再分两种情况讨论即可． 【详解】解：∵， ∴直线过定点， 而抛物线的对称轴为直线， 如图，当时， 而直线与抛物线总有公共点， ∴， 解得：， ∴此时； 当时，如图， 而直线与抛物线总有公共点， ∴， 解得：； 综上：或． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用直接开平方法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴, 即，， 故答案为：，． 12. 一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角是___度． 【答案】150 【解析】 【分析】根据弧长公式计算． 【详解】根据扇形的面积公式可得： ， 解得r=24cm， 再根据弧长公式， 解得. 故答案为：150. 【点睛】本题考查了弧长的计算及扇形面积的计算，要记熟公式：扇形的面积公式，弧长公式. 13. 为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请 个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请 个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则 ___． 【答案】10 【解析】 【分析】第一次小明邀请 个好友，第二次n个人分别邀请 个好友，列一元二次方程计算即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得：（舍去），， 故答案为：10人． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题时注意小明也被包含在“111人”之中． 14. 如图， 是 的直径，，C是上半圆的中点，D是下半圆上一个动点，过点A作 的垂线，垂足为E，则点D从点A运动到点B的过程中，点E运动的路径长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，由是上半圆的中点可得，利用勾股定理得到，由可得点 在以 为直径的圆上运动，点 的运动轨迹为一个半圆，求出半圆的弧长即可求解，根据圆周角定理确定出点 运动轨迹为一个半圆是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是上半圆的中点， ∴， ∴， ∵ 是 的直径，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴点 在以 为直径的圆上运动， ∵点 从点 运动到点 ， ∴点 的运动轨迹为一个半圆， ∴点 运动的路径长是， 故答案为： ． 15. 已知抛物线（是常数，）经过点，其中．下列结论：；关于 的一元二次方程一定有一个根是小于 的正数；当时， 随 的增大而减小；分式的值小于 ．其中正确的结论是______．（填写序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，将点坐标代入抛物线解析式可得，根据即可判断；根据根和系数的关系即可判断；抛物线对称轴，即可判断；将 时，，即，裂项变形得，即可判断，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：将点坐标代入抛物线解析式得， ， ∵， ∴，故结论错误； ②令 ，则， 则两根之和，两根之积， ∴均大于 ， 当时，， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴抛物线与 轴有 个交点在 到 之间， 即有 个根在 到 之间，故正确； ∵a＋b＋c＝m＜0，c＞a＞0，把其中c替换成a，a＋b＋a＜a＋b＋c＜0，即2a＋b＜0 ∴－b＞2a， ∵a＞0， ∴抛物线的对称轴，结论③成立； ∵，抛物线与 轴两个交点均在正半轴， ∴当时，， 即 ∴， ∵，， ∴， ∴，故正确； ∴正确的结论是， 故答案为：②③④． 三、解答题（75分） 16. 关于 的方程有两个相等的实数根，求 的值及此时方程的根. 【答案】， 【解析】 【分析】利用判别式的意义得到，再解关于m的方程得到m的值，然后解原方程． 【详解】解：根据题意得，解得． 此时方程为，即， 解得． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，也考查了解一元二次方程． 17. 已知抛物线． （1）用配方法确定它的顶点坐标、对称轴； （2）x取何值时，？ 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了顶点式，熟练掌握函数的图形和性质是解题的关键． （1）用配方法变成顶点式即可得到答案； （2）令 ，确定函数图像与 轴的交点，结合开口方向即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 顶点坐标， 对称轴； 【小问2详解】 解：令 ，即， 解得或， 由于抛物线开口向下， 故当或时，． 18. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点D落在线段AB上．求证：DC平分∠ADE． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】利用旋转的性质，等腰三角形的性质证明即可． 【详解】证明：由旋转可知，△ABC≌△DEC， ∴∠A=∠CDE，AC=DC， ∴∠A=∠ADC， ∴∠ADC=∠CDE， 即DC平分∠ADE． 【点睛】本题考查了旋转的全等性，等腰三角形的性质，熟练掌握两个性质是解题的关键． 19. 有两个可以自由转动的质地均匀转盘都被分成了3个全等的扇形，在每一扇形内均标有不同的自然数，如图所示，转动转盘，两个转盘停止后观察并记录两个指针所指扇形内的数字（若指针停在扇形的边线上，当作指向上边的扇形）． （1）用列表法或画树形图法求出同时转动两个转盘一次的所有可能结果； （2）同时转动两个转盘一次，求“记录的两个数字之和为7”的概率． 【答案】（1）根据题意列表如下： A盘 B盘 0 2 4 3 0，3 2，3 4，3 5 0，5 2，5 4，5 7 0，7 2，7 4，7 由上表可知转动两个圆盘一次共有9种不同结果 （2） 【解析】 【分析】（1）根据列表法即可得到同时转动两个转盘一次的所有可能结果； （2）先得到“记录的两个数字之和为7”的情况数，再根据概率公式即可求得结果. 【详解】（1）由题意得 A盘 B盘 0 2 4 3 0，3 2，3 4，3 5 0，5 2，5 4，5 7 0，7 2，7 4，7 由上表可知转动两个圆盘一次共有9种不同结果； （2）第一问的9种可能性相等，其中“记录的两个数字之和为7”（记为事件A）的结果有3个， ∴所求的概率 【点睛】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握概率的求法，即可完成. 20. 如图， 是半圆的直径， 是中点，过点 作 的垂线，垂足为 ，交 的延长线于点 ． （1）求证： 是半圆的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 解：如图所示，连接， ， ∵ 是半圆的直径， ∴，即， 又∵， ∴， 又为半径， ∴ 是半圆的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接， ，根据直径所对的圆周角是直角，可得，结合已知条件可得，即可得证； （2）连接， ，证明 ，是等边三角形，进而求得，根据阴影部分面积为，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ， ∵，， ∴， ∵， ∴ 是等边三角形， ∴， ∵，， 则， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ∴阴影部分面积为． 21. （1）如图1，在平行四边形中，于点E，若于点F，请用无刻度的直尺在图1中作出符合题意的点F； （2）已知 每个顶点均在格点上， ，将△ABC绕点A逆时针旋转a，得到，过点C作于H，请用无刻度的直尺在图2中作出和符合题意的点H． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【解析】 【分析】（1）延长 交 于点 ，连接 交 于点，连接，延长交于点，连接交 于点 ，线段 即为所求； （2）取格点Q，W，B，连接交于点，取 的中点 ，连接延长交于点 ，线段即为所求． 【详解】解：（1）如图，线段 即为所求； 理由：∵四边形 是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． （2）如图，线段即为所求． 理由：∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点 是中点，点 是 中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查作图-旋转变换，平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22. 某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨 元（ 为整数），每个月的销售利润为 元． （1）求 与 的函数关系式，并直接写出自变量 的取值范围； （2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？ 【答案】（1） （2）当售价定为每件34元，每个月的利润最大，最大的月利润是1960元 （3）当售价为每件32元，每个月的利润为1920元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用， （1）根据题意可得单件利润：元，销量：件，根据销售利润 单件利润销量即可列出函数关系式，再根据题意得到x的取值； （2）根据二次函数的解析式转换为顶点式，即可解答； （3）令，得到一元二次方程，解方程，即可解答， 根据题意，找到正确的等量关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意可得单件利润：元，销量：件， 可得函数关系式， 每件售价不能高于35元， ， 与 的函数关系式为； 【小问2详解】 解：将化成顶点式为， 因为， 所以当 时，y有最大值1960， 故当售价定为每件34元，每个月的利润最大，最大的月利润是1960元； 【小问3详解】 解：当时，可得， 解得（舍去）， 当时，， 所以当售价为每件32元，每个月的利润为1920元． 23. 如图，正方形ABCD中，AB=，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF． （1）求证：AE=CF； （2）若A，E，O三点共线，连接OF，求线段OF的长． （3）求线段OF长的最小值． 【答案】（1）证明：如图1，由旋转得：，， 四边形是正方形， ，， ， 即， ， 在和中， ， ， ； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，对应线段、对应角相等，可证明△ADE≌△CDF，即可得到AE＝CF； （2）先利用，求得长，再利用，求得，然后设PF=x利用勾股定理求得x的值，即可求得OF的长； （3）本题考查了利用三角形全等转化的思想解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：如图2，过作的垂线，交的延长线于， 是的中点，且， ，，三点共线， ， 由勾股定理得：， ， ， 由（1）知：， ，， ， ， ， ， ， ， 设，则， 由勾股定理得：， 或（舍 ， ，， 由勾股定理得：， （3）解：如图3，由于，所以点可以看作是以为圆心，2为半径的半圆上运动， 延长到点，使得，连接， ，， ， ， 当最小时，为、、三点共线， ， ， 的最小值是． 【点睛】本题考查了正方形的性质、几何图形旋转的性质、利用三角形全等解决问题的相关知识，解题关键是注意构造辅助线进行解答. 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交 轴于 、 两点点 在点 的左边，交 轴负半轴于点． （1）如图 ， ． ①直接写出 、 、三点的坐标； ②若抛物线上有一点 ，，求点 的坐标； （2）如图 ，过点作一直线交抛物线于 、 两点，连接 、，分别交 轴于 、两点，求证：是一个定值． 【答案】（1）①，，②； （2）见解析． 【解析】 【分析】（ ）将 代入抛物线得，分别令 ， ，即可得出 、 、三点的坐标； 过 作交 于点，作轴于点 ，证明，可得，用待定系数法求出直线 的解析式，与抛物线联立解即可得出 的坐标； （ ）由题意，可得，，设，，因为直线 过点，可得其解析式为，与抛物线联立并消去 ，得：，所以，，作轴于点，作轴于点 ，证明，可得，同理，代入计算，即可得出是一个定值； 本题考查二次函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键的是通过相似三角形用坐标表示出线段，的长． 【小问1详解】 当 时，， 当 时，， 当 时，， 解得： 或， ∴，，， 如图 ，过 作交 于点，作轴于点 ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线 的解析式为， ∴， ∴， ∴直线 的解析式为， 联立，解得 （舍去），或 ， 则， ∴； 【小问2详解】 由， 当 时，， 解得 或， ∴，， ∵过点作一直线交抛物线于 、 两点， 设直线 的解析式为，，， ∴，， ∴直线 的解析式为， 联立， 消去 ，得：， ∴，， 如图 ，作轴于点，作轴于点 ， 则， ∴，即， ∴， 同理，， ∴，为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 恩施市2024年秋季学期义务教育阶段期末考试 九年级数学试题卷 （本试题卷满分120分，考试时间120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 将一元二次方程化为一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 3， B. 3，6 C. 3，1 D. 2. 方程的根的情况为（ ） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 3. 有两个事件，事件A：掷一次骰子，向上的一面是3；事件B：篮球队员在罚球线上投篮一次，投中．则（ ） A. 只有事件A是随机事件； B. 只有事件B是随机事件 C. 事件A和B都是随机事件； D. 事件A和B都不是随机事件 4. 如图所示的阴影图案是由绕O点旋转形成的，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 五张完全相同的卡片上，分别画上圆、矩形、梯形、等边三角形、等腰三角形，现从中随机抽取2张，全部是中心对称图形的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是方程的两根，则的值为（ ） A. B. 5 C. 7 D. 3 7. “经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”这个事件是（ ） A. 确定性事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 8. 已知抛物线（）的对称轴为直线，且经过点，，则与的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，切 于A、B两点， 切 于点E，交，于C，D．若 的半径为r，的周长等于，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 无论为何值，直线与抛物线总有公共点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 方程的解是______． 12. 一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角是___度． 13. 为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请 个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请 个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则___． 14. 如图， 是 的直径， ，C是上半圆的中点，D是下半圆上一个动点，过点A作 的垂线，垂足为E，则点D从点A运动到点B的过程中，点E运动的路径长为________． 15. 已知抛物线（是常数，）经过点，其中．下列结论：；关于的一元二次方程一定有一个根是小于 的正数；当时， 随的增大而减小；分式的值小于 ．其中正确的结论是______．（填写序号） 三、解答题（75分） 16. 关于的方程有两个相等的实数根，求的值及此时方程的根. 17. 已知抛物线． （1）用配方法确定它的顶点坐标、对称轴； （2）x取何值时，？ 18. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点D落在线段AB上．求证：DC平分∠ADE． 19. 有两个可以自由转动的质地均匀转盘都被分成了3个全等的扇形，在每一扇形内均标有不同的自然数，如图所示，转动转盘，两个转盘停止后观察并记录两个指针所指扇形内的数字（若指针停在扇形的边线上，当作指向上边的扇形）． （1）用列表法或画树形图法求出同时转动两个转盘一次的所有可能结果； （2）同时转动两个转盘一次，求“记录的两个数字之和为7”的概率． 20. 如图， 是半圆 的直径， 是中点，过点 作 的垂线，垂足为 ，交 的延长线于点 ． （1）求证： 是半圆 的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 21. （1）如图1，在平行四边形中，于点E，若于点F，请用无刻度的直尺在图1中作出符合题意的点F； （2）已知 每个顶点均在格点上，，将△ABC绕点A逆时针旋转a，得到，过点C作于H，请用无刻度的直尺在图2中作出和符合题意的点H． 22. 某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨元（为整数），每个月的销售利润为 元． （1）求 与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？ 23. 如图，正方形ABCD中，AB=，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF． （1）求证：AE=CF； （2）若A，E，O三点共线，连接OF，求线段OF的长． （3）求线段OF长的最小值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于 、 两点点 在点 的左边，交 轴负半轴于点 ． （1）如图 ，． ①直接写出 、 、 三点的坐标； ②若抛物线上有一点 ，，求点 的坐标； （2）如图 ，过点作一直线交抛物线于 、两点，连接、，分别交 轴于 、 两点，求证：是一个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $