精品解析：广东东莞市部分学校2024-2025学年九年级上学期期末自查数学试题

2024－2025学年第一学期期末教学质量自查九年级数学试卷 数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 2. 若∠α=30°，则∠α的补角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 为宣传我国非物质文化遗产创新传承与发展，我校开展了征集“二十四节气”标识活动，下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 6. 如图,点在的延长线上,,,则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 若正比例函数的图象经过点，则m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 9. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的顶点在抛物线上，点在轴上，点在轴上．若点的横坐标为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：________． 12. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数可能是_____个． 13. 不等式组解集是_______． 14. 若扇形的圆心角为，半径为6，则该扇形的面积为__________． 15. 利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是________ 图1 图2 三、解答题（一）（本大题共3小题每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，以点A为圆心，长为半径作．求证：是的切线． 18. 在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数与石块下降的高度之间的关系如图所示． （1）求所在直线的函数表达式； （2）当石块下降的高度为时，求此刻该石块所受浮力的大小．（温馨提示：当石块位于水面上方时，；当石块入水后，） 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 为了解九年级学生对某个知识点掌握程度，某校对九年级学生以20人一组进行了随机分组，开展了一次素养调研，并用评分模型进行评分：“完全不理解”记为0分，“了解了一个方面”记为1分，“了解了几个独立的方面”记为2分，“理解了几个方面的相关性”记为3分，“能够综合运用”记为4分，现从调查结果中随机抽取了3个小组学生的得分，进行统计分析，过程如下： 【整理与描述】 （1）请补全第1小组得分条形统计图；第2小组得分扇形统计图中，“得分为3分”这一项所对应的圆心角的度数为 °； 【分析与估计】 平均数 众数 中位数 第1组 29 a 3 第2组 b 0 1 第3组 2.25 2 c （2）由上表填空： ， ， ； （3）第2组“能够综合运用”的4名学生中有2名男生，2名女生，从中任意抽取2名学生参加班级的知识问答活动，用树状图或列表法求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 20. 某小区为了改善绿化环境，计划购买A、B两种树苗共100棵，其中A树苗每棵40元，B树苗每棵35元．经测算购买两种树苗一共需要3800元． （1）计划购买A、B两种树苗各多少棵？ （2）在实际购买中，小区与商家协商：两种树苗的售价均下降a元（），且每降低1元，小区就多购买A树苗2棵，B树苗3棵．小区实际购买这两种树苗的费用比原计划费用多了300元，求该小区实际购买两种树苗的售价下降额a（元）的值． 21. 综合与实践 【主题】折纸问题探究 【素材】 ①一张三角形纸片（如图①）； ②一张矩形纸片（如图③）． 【实践操作】 步骤1：如图①，将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得落在边上，折痕为，展开纸片； 步骤2：如图②，在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为，展平纸片后得到． 步骤3：如图③，将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为； 步骤4：如图④，再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为； 步骤5：如图⑤，再展平纸片． 【实践探索】 （1）观察与发现：在图②中，试判断的形状，并说明理由． （2）实践与计算：在图⑤中，求的大小． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图1，在中，，，点是边上的一动点，、分别为、的中点，连接．过点作，分别与、交于、两点． （1）的度数为 °； （2）如图，连接，试解决下列问题： ①试判断与的数量关系，并说明理由； ②连接，若，求的面积的最大值． 23. 问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形的各个顶点坐标分别为，，，，对角线，相交于点E． 【构建联系】 （1）如图1，若双曲线过点E，则点E的坐标为 ；该双曲线的解析式为 ； （2）如图2，双曲线与，分别交于点M，N，求证：； 【深入探究】 （3）如图3，将矩形向右平移个单位长度，使过点E的双曲线与交于点P．当为等腰三角形时，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第一学期期末教学质量自查九年级数学试卷 数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的加法运算法则∶①同号两数相加，取相同的符号，并用绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③互为相反数的两个数相加得0．④一个数同0相加，仍得这个数．根据法则直接计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 2. 若∠α=30°，则∠α的补角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】若两个角的和为180°，则称这两个角互补，根据互补的概念即可完成求解． 【详解】解：∠α的补角为：180°-30°=150° 故选：D． 【点睛】本题考查了互补的概念，掌握此概念是关键． 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解题的关键是掌握点的坐标变化规律． 根据平面直角坐标系中任意一点关于原点的对称点是，即可解题． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是．   故选：A ． 4. 为宣传我国非物质文化遗产创新传承与发展，我校开展了征集“二十四节气”标识活动，下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟记“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”是解题关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了合并同类项、同底数幂相乘和相除、幂的乘方等知识，根据相关的法则运算即可得到答案. 【详解】A. 与不能进行合并，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项正确，符合题意； D ，故选项错误，不符合题意； 故选：C 6. 如图,点在延长线上,,,则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形外角和定理．根据题意可知是的一个外角,根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”定理代入条件,继而得出答案． 【详解】解:∵，, ∴, 故选:C． 7. 如图，已知是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，直角三角形中的两个锐角互余，同弧所对的圆周角相等；根据是的直径，得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8. 若正比例函数的图象经过点，则m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了正比例函数的性质．把代入得到，即可求出m的值． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴ 解得，． 故选：B 9. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：3x＝2x−6， 移项合并得：x＝−6， 经检验x＝−6是分式方程的解， 故选：A． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 10. 如图，正方形的顶点在抛物线上，点在轴上，点在轴上．若点的横坐标为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与结合图形的综合，掌握二次函数图象的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据二次函数与坐标轴的交点可得，由点的横坐标为，，如图所示，过点作轴于点，则，，根据正方形的性质可证，得到，则有，即，由此即可求解． 【详解】解：点是抛物线与轴的交点， ∴令，则， 解得，， ∴， ∵点的横坐标为， ∴， 如图所示，过点作轴于点，则，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即，整理得，， 解得，，（舍去）， ∴， 故选：C ． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数可能是_____个． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，明确题意，利用概率公式计算出红球的个数是解答本题的关键．根据红球出现的频率和球的总数，求出红球的个数，再计算出黄球的个数即可． 【详解】解：∵摸出红球的频率稳定在左右， ∴摸出红球的概率为， ∴袋子中红球的个数为（个）， ∴ 袋子中黄球的个数为（个）， 故答案是：15． 13. 不等式组的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】找出两个不等式的解的公共部分即可得． 【详解】和的公共部分为 这个不等式组的解集是 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式组的解法是解题关键． 14. 若扇形的圆心角为，半径为6，则该扇形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据扇形面积公式计算即可． 【详解】由题意得，n=150°，r=6， 故可得扇形的面积． 故答案为：． 【点睛】此题考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式，难度一般． 15. 利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是________ 图1 图2 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用， 设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积． 【详解】解：设小正方形的边长为， 矩形的长为 ，宽为 ， 由图1可得：， 整理得：， ，， ， ， 矩形的面积为 ． 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的算术平方根的含义，零次幂，负整数指数幂的含义 ，先计算乘方，算术平方根，零次幂，负整数指数幂，再合并即可. 【详解】解： ； 17. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，以点A为圆心，长为半径作．求证：是的切线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，切线的判定等，熟练进行尺规作图是解题的关键． （1）通过尺规作图构造全等三角形，得出，即可得解； （2）由等腰三角形三线合一的性质，得出，结合切线的判定定理，即可证明． 【小问1详解】 解：如图1，即为所求（方法不唯一）： 【小问2详解】 解：如图2所示， 由（1）知平分，， ∴， 又∵是的半径． ∴是的切线． 18. 在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数与石块下降的高度之间的关系如图所示． （1）求所在直线的函数表达式； （2）当石块下降的高度为时，求此刻该石块所受浮力的大小．（温馨提示：当石块位于水面上方时，；当石块入水后，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数的函数值，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题． （1）用待定系数法可得所在直线的函数表达式； （2）结合（1），求出石块下降的高度为时，的值，即可得到答案． 【小问1详解】 设所在直线的函数表达式为， 将，代入得： 解得 ∴所在直线的函数表达式为； 【小问2详解】 在中，令得， ∵， ∴当石块下降的高度为时，该石块所受浮力为． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 为了解九年级学生对某个知识点的掌握程度，某校对九年级学生以20人一组进行了随机分组，开展了一次素养调研，并用评分模型进行评分：“完全不理解”记为0分，“了解了一个方面”记为1分，“了解了几个独立的方面”记为2分，“理解了几个方面的相关性”记为3分，“能够综合运用”记为4分，现从调查结果中随机抽取了3个小组学生的得分，进行统计分析，过程如下： 【整理与描述】 （1）请补全第1小组得分条形统计图；第2小组得分扇形统计图中，“得分为3分”这一项所对应的圆心角的度数为 °； 【分析与估计】 平均数 众数 中位数 第1组 2.9 a 3 第2组 b 0 1 第3组 2.25 2 c （2）由上表填空： ， ， ； （3）第2组“能够综合运用”的4名学生中有2名男生，2名女生，从中任意抽取2名学生参加班级的知识问答活动，用树状图或列表法求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）图见解析，36；（2）4，，2；（3） 【解析】 【分析】本题考查的是从统计图中获取信息，求解众数，中位数，平均数，利用树状图求解随机事件的概率； （1）先求解得3分的人数，再补全图形即可；由乘以得分为3分的占比即可得到圆心角； （2）分别根据众数，平均数，中位数的计算方法列式计算即可； （3）先画树状图如下：可得一共有12种等可能出现的结果，其中抽到一男一女的情况有8种，再利用概率公式计算即可. 【详解】解：（1）∵（人）， 第1小组得分条形统计图补全如图所示：    第2小组得分扇形统计图中，“得分为3分”这一项所对应的圆心角的度数为； （2）由第1小组得4分的人数最多， ∴众数； 第2小组的平均数为 ； ∵第3小组的第10，11个数据分别为2，2， ∴中位数； （3）画树状图如下： ∵一共有12种等可能出现的结果，其中抽到一男一女的情况有8种， ∴P（恰好抽到一男一女）． 答：恰好是一名男生和一名女生的概率为． 20. 某小区为了改善绿化环境，计划购买A、B两种树苗共100棵，其中A树苗每棵40元，B树苗每棵35元．经测算购买两种树苗一共需要3800元． （1）计划购买A、B两种树苗各多少棵？ （2）在实际购买中，小区与商家协商：两种树苗的售价均下降a元（），且每降低1元，小区就多购买A树苗2棵，B树苗3棵．小区实际购买这两种树苗的费用比原计划费用多了300元，求该小区实际购买两种树苗的售价下降额a（元）的值． 【答案】（1）A树苗60棵，B树苗40棵 （2）5 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组、一元二次方程的实际应用： （1）设购买A树苗x棵，B树苗y棵，列二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据题意列关于a的一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设购买A树苗x棵，B树苗y棵， 依题意得， 解得：． 答：购买A树苗60棵，B树苗40棵． 【小问2详解】 解：依题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵， ∴， 答：该小区实际购买两种树苗的售价下降额a（元）的值为5． 21. 综合与实践 【主题】折纸问题探究 【素材】 ①一张三角形纸片（如图①）； ②一张矩形纸片（如图③）． 【实践操作】 步骤1：如图①，将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得落在边上，折痕为，展开纸片； 步骤2：如图②，在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为，展平纸片后得到． 步骤3：如图③，将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为； 步骤4：如图④，再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为； 步骤5：如图⑤，再展平纸片． 【实践探索】 （1）观察与发现：在图②中，试判断的形状，并说明理由． （2）实践与计算：在图⑤中，求的大小． 【答案】（1）等腰三角形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定，解题关键是熟练掌握相关性质进行推理证明． （1）根据折叠易证得，根据等角对等边得即可得到为等腰三角形． （2）根据折叠的性质得到四边形是正方形，，，从而得到． 【小问1详解】 解：是等腰三角形，理由如下， 如图，设与交于点G 由折叠知，平分， ∴． 又由折叠知，，， ∴， ∴． ∴， ∴为等腰三角形． 【小问2详解】 解：由折叠知，四边形是正方形，， ∴． 又由折叠知，， ∴， ∴． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图1，在中，，，点是边上的一动点，、分别为、的中点，连接．过点作，分别与、交于、两点． （1）的度数为 °； （2）如图，连接，试解决下列问题： ①试判断与的数量关系，并说明理由； ②连接，若，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2）①，理由见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了中位线定理、全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的最值问题，灵活掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据中位线的性质推出即可； （2）①证明≌，然后根据是的中点即可得出结论； ②设，用含的式子分别表示出、、、、，再表示出，借助二次函数的最值即可求解． 【小问1详解】 由题意知，为等腰直角三角形，为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 ①，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴≌， ∴． ∵点是的中点， ∴， ∴； ②设，则， ∵、分别为、的中点， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴当时，的面积的最大值为． 23. 【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形的各个顶点坐标分别为，，，，对角线，相交于点E． 【构建联系】 （1）如图1，若双曲线过点E，则点E的坐标为 ；该双曲线的解析式为 ； （2）如图2，双曲线与，分别交于点M，N，求证：； 【深入探究】 （3）如图3，将矩形向右平移个单位长度，使过点E的双曲线与交于点P．当为等腰三角形时，求m的值． 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可知点是中点，由中点坐标公式可得，由双曲线过点E可得，由此即可求出该双曲线的解析式； （2）由点、在双曲线的图象上可得，由矩形的性质可得，，进而可得，由比例的性质可得，再结合，于是结论得证； （3）分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解即可． 【详解】解：（1）四边形是矩形， 点是中点， 又，， ， 双曲线过点E， ， ， 该双曲线的解析式为， 故答案为：，； （2）点，在双曲线图象上， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 又， ； （3）分三种情况讨论： ①当时， 四边形是矩形， ， ， ， 将矩形向右平移个单位长度， ， 点，在双曲线的图象上， ， 解得：； ②当时， 此时点与点重合， ， 将矩形向右平移个单位长度， ， 点，在双曲线的图象上， ， 解得：； ③当时， 设， 将矩形向右平移个单位长度， ，， ， ， 解得：， ， 点，在双曲线的图象上， ， 解得：， ， 与题意不符，故舍去； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，中点坐标公式，写出直角坐标系中点的坐标，求反比例函数解析式，比例的性质，相似三角形的判定，已知两点坐标求两点距离，坐标与图形变化—平移，解一元一次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $