精品解析：山东省日照高新区2024-2025学年上学期期末考试八年级数学试题

2024—2025学年上学期八年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2 ． 回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将正确答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两个部分折叠后可以重合． 试分析各图形中是否有这样的一条对称轴，即可作出判断． 【详解】解：A．图形不是轴对称图形，不符合题意； B．图形不是轴对称图形，不符合题意； C．图形是轴对称图形，符合题意； D．图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 2. 2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步. 已知28nm为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：依题意，， 故选：B． 3. 如果多边形的内角和等于1980度，则这个多边形是（ ） A. 九边形 B. 十三边形 C. 十二边形 D. 十五边形 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了多边形的内角和，首先设多边形的边数为n，再根据多边形内角和公式可得方程，再解即可． 【详解】解：设多边形的边数为n，由题意得： ， 解得：， ∴这个多边形是十三边形， 故选：B． 4. 下列式子从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式基本性质，分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0 的数或整式，分式的值不变，进行判断即可． 【详解】解：A、与不一定相等，原式变形错误，不符合题意； B、与不一定相等，原式变形错误，不符合题意； C、，原式变形正确，符合题意； D、与不一定相等，原式变形错误，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，中，边、的垂直平分线分别交于点、，若，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质．首先根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得、，根据等边对等角可证、，所以可证，根据三角形内角和定理可以求出． 【详解】解：如下图所示， 是的垂直平分线， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ,， ．   故选： C． 6. 在中，若三边长a，b，c满足，，则边长c为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是正确掌握因式分解的方法． 根据完全平方公式和平方差公式对等式变形，可求出边长c． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，得 ， ∴． 故选：A． 7. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程，从实际问题中抽象出分式方程是解题的关键．根据题意找到等量关系列出方程即可． 【详解】解：由题意可得：， 故选A． 8. 已知关于的方程有整数解，且，则所有满足条件的整数的和是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，先求出分式方程的解，根据分式方程有整数解及，可得整数，，，又根据可得，进而得到满足条件的整数的值为，，据此即可求解，根据题意求出满足条件的整数的值是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵方程有整数解，且， ∴整数，，， 又∵， ∴， ∴， ∴满足条件的整数的值为，， ∴所有满足条件的整数的和为， 故选：． 9. 对于分式，我们把分式叫做的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，以此类推…，则分式等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，规律问题．根据伴随分式的定义依次求出每个分式的伴随分式，然后发现每4个为一循环，再让，根据结果即可确定． 【详解】解：， ， ， ， ， ，，， 个一循环， ， ， 故选：D． 10. 如图，中，，于D，平分，且于E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G．下列结论正确的有（　　）个． ①；②；③是等腰三角形；④；⑤； A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由“”可证，可得，故 ① 正确．由等腰三角形的性质可得 ，故②正确，由角的数量关系可求，可得，即是等腰直角三角形，故③正确．由全等三角形的性质可得，则可得，故④正确；由角平分线的性质可得点F到的距离等于点F到的距离，由三角形的面积公式可求 ，故⑤正确，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，故①正确． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，故③正确． ∵， ∴， ∴，故④正确； ∵平分， ∴点F到的距离等于点F到的距离， ∴ ，故⑤正确， 所以，正确的结论是①②③④⑤，共5个 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积公式等知识，证明三角形全等是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 分解因式： _______________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．先提取公因式，再利用平方差公式进行分解． 【详解】解： ， 故答案为： 12. 已知一个等腰三角形的周长是15，其中一条边长是7，则这个等腰三角形的腰长是__________________． 【答案】4或7 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系．长是7的边是腰或者是底，因此分两种情况讨论，并结合三角形的三边关系得出结论． 【详解】解：当腰长为7时，则底边长为， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 当底边长为7时，则腰长为， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 综上所述，该等腰三角形的腰长为4或7， 故答案为：4或7． 13. 如图，中，，于，，，则 _______°． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质．先根据得出，再由可得出，由可得出的的度数，进而得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：16． 14. 如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为____________ 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键．作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，此时的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得即可求解． 【详解】解：作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，如图，则， ∴，此时的值最小，则， ∵是等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 15. 已知a，b为实数，定义一种新的运算“☆”如下： ，若，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．分类讨论3与的大小，利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值． 【详解】解：当，即时，已知等式变形得：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，但，不符合题意，舍去； 当，即时，已知等式变形得：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意． 故答案为：． 16. 如图，在等腰中，，在边上取一点，连接，点为线段上一点，以为斜边作等腰．连接、，交于，为上一点，连接；在下列结论中： ①；②若垂直平分，则；③若垂直平分，则；④若，则； 其中正确的结论有 ________．（填写正确结论的序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】对于①，由于点的位置不确定，无法说明，故①错误；对于② ，过点作于点，由，知，显然，由得到，故，显然，故，故②正确；对于③，先证明，则，故，即，故③正确；对于④，过点作的垂线交延长线于点，连接，先证明，则，再证明，则，继而，故④正确． 【详解】解：对于①，由于点的位置不确定，无法说明，故①错误； 对于② ，过点作于点， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵等腰，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵等腰， ∴， ∵ ∴， ∴，故②正确； 对于③，如图： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； 对于④，过点作的垂线交延长线于点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，垂直平分线的性质，解题的关键在于添加辅助线构造全等三角形，难度较大． 三．解答题（本题共8个小题，满分72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）原方程无解． 【解析】 【分析】本题考查了公式法解分式方程； （1）先去分母化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可; （2）先去分母化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可． 【小问1详解】 解： 方程两边同乘，得 解这个整式方程，得 经检验：是原方程解 【小问2详解】 解： 方程两边都乘以得： 解这个整式方程，得 检验：当时， 所以，是增根，原方程无解 18. 先化简后求值： （1），其中，． （2），其中． 【答案】（1），24； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，分式的混合运算，化简求值及解分式方程． （1）运用完全平方公式和平方差公式及多项式除以单项式的法则进行化简，然后代入，计算即可； （2）首先把括号内的分式通分相减，把除法转化为乘法，然后进行乘法运算即可化简，再计算出代入数值计算即可． 小问1详解】 解：原式 ； 当，时， 原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 当时， 原式； 19. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为，，． （1）请在平面直角坐标系内，画出关于y轴对称的图形并写出A1，B1，C1的坐标 （2）请写出点关于直线n（直线n上各点的横坐标都为1）对称的点的坐标． 【答案】（1）见解析，，，； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系的坐标变换与作图，解题关键是确定对称点的坐标． （1）先根据关于y轴对称横坐标变为相反数纵坐标不变确定三角形的顶点的对应点的坐标，画出对应点，再顺次连接即可； （2）根据M点与它的对称点到直线n的距离相等且纵坐标不变即可确定横坐标，然后即可求解． 小问1详解】 解：先作出点A、B、C关于y轴的对称点，然后顺次连接，则即为所求，如图所示： 的坐标分别是，，． 【小问2详解】 设点， ∵直线，且平行于y轴，， ∴，， ∴， ∴点关于直线n对称的点M1的坐标为． 20. 【教材呈现】下图是人教版八年级上册数学教材第109页的部分内容． （1）请写出图①所表示的公式：____________；图②所表示的公式：____________． 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． （2）请写出图③所表示的代数恒等式：____________． 【解决问题】 （3）利用（2）中得到的结论，解决下面的问题：若，， 则____________． 【知识迁移】 （4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图④表示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图④中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：____________． 【答案】（1）；；（2）；（3）50；（4） 【解析】 【分析】本题考查图形与乘法公式的关系，看懂图形，数形结合准确找到各部分面积或体积的表示是解决问题的关键． （1）由图中大正方形面积与各个小正方形及长方形面积关系，列代数式表示即可得到答案； （2）由图中大正方形面积与各个小正方形及长方形面积关系，列代数式表示即可得到答案； （3）由（2）中得到的结论，代值求解即可得到答案； （4）根据两个图形的体积关系，用代数式表示即可得到答案． 【详解】解：（1）由图可知大正方形的面积为，与四部分面积和相等，则； 由图可知大正方形的面积为，与四部分面积和相等，则； 故答案为：，； （2）由图可知大正方形的面积为，与九部分面积和相等，则， 故答案为：； （3）由（2）中结论， ，， ，解得， 故答案为：； （4）由左图可知，剩下部分体积为；重新拼接的新图形为长方体，体积为， 由题中图形的拼接过程可得两者体积相等，则， 故答案为：． 21. 项目学习方案： 项目 情景 元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等 知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务 素材 一 采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜5元，用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍 任务 一 小组成员甲设用320元购买的种花卉的数量为，由题意得方程：①； 小组成员乙设②，由题意得方程： 素材 二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或 完成（）盆大盆栽插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同 任务 二 求的值 （1）任务一中横线①处应填______，横线②处应填______． （2）完成任务二． 【答案】（1）；每枝种花卉单价为元 （2） 【解析】 【分析】本题考查分式方程解应用题，读懂题意，找准等量关系准确列出方程是解决问题的关键． （1）设用320元购买的种花卉的数量为，则每枝种花卉单价为元，根据用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍，即可列方程；结合可知表示用320元购买的种花卉数量，表示用800元购买的种花卉数量，即可得到答案； （2）由题意，得到完成小盆栽的插花任务的效率为，完成大盆栽的插花任务的效率为，再由完成小盆栽的插花任务的效率为，完成大盆栽的插花任务的效率为，可得方程，解分式方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：设用320元购买的种花卉的数量为，则每枝种花卉单价为元， 每枝种花卉比每枝种花卉便宜5元， 每枝种花卉单价为元， 用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍， ； ， 表示用320元购买的种花卉数量，表示用800元购买的种花卉数量， 即小组成员乙设每枝种花卉单价为元； 故答案为：；每枝种花卉单价为元； 【小问2详解】 解：单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或 完成（）盆大盆栽的插花任务， 完成小盆栽的插花任务的效率为，完成大盆栽的插花任务的效率为， 完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同， ，解得， 经检验，是原分式方程的解， ． 22. 如图1：在中，平分，且． （1）若，求的长； （2）如图2，若交于，交于，且为等腰三角形，求的长． 【答案】（1）10 （2）4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质． （1）延长交于点．证明，由即可得出结论； （2）根据题意得到，由为等腰直角三角形，证明即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，延长交于点． 平分， ， ， 又， ， ，即， 在中， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，（对顶角）， ， ， 又为等腰直角三角形， ，， 在与中， ， ， ，即． 23. 阅读理解并解答： （1）我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ，． 则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______． （2）求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值． （3）已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围． （4）若，，试比较、的大小，并说明理由． 【答案】（1）， （2）最大值，相应的的值为 （3） （4），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接写出代数式的最小值，通过解一元一次方程即可求出此时相应的的值； （2）利用完全平方公式可将代数式变形为，进而利用不等式的性质可得，于是可知其最大值是，再通过解一元一次方程即可求出此时相应的的值； （3）利用完全平方公式可将已知条件变形为，于是可得，，通过解一元一次方程即可求出、的值，利用三角形三边之间的关系可得，即，再结合是中最长的边，即可求出的取值范围是； （4）根据已知条件可得，利用完全平方公式可将其变形为，利用不等式的性质可得，于是可得结论． 【小问1详解】 解：根据题意可得： 当代数式取得其最小值时，， 解得：， 代数式的最小值是，这时相应的的值是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解： ， ， ， ， 当代数式取得其最大值时，， 解得：， 代数式的最大值是，这时相应的的值为； 【小问3详解】 解：，，是的三边长，且满足， ， ， ， ， ， ，， 解得：，， ， ， 是中最长的边， ， 的取值范围是； 【小问4详解】 解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，不等式的性质，解一元一次方程，等式的性质，三角形三边之间的关系，整式的加减运算，有理数大小比较等知识点，利用完全平方公式对代数式或等式进行适当变形是解题的关键． 24. 定义：若P为内一点，且满足，则点P叫做的费马点． （1）如图1，若点O是等边的费马点，且，则这个等边三角形的高的长度为______； （2）如图2，已知，分别以为边向外作等边与等边，线段交于点P，连接，求证：点P是的费马点； （3）应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求． 【答案】（1）9 （2）见解析 （3）能，当点Q是的费马点时，的值最小．证明该位置满足设计要求见解析 【解析】 【分析】（1）根据证明得，从而点O是三边垂直平分线的交点，延长交于点D，根据30度角的性质求出即可求解； （2）作于M，于N，设与交点为G．根据证明得，，然后证明平分，可得，进而可证结论成立； （3）分别以为边向外作等边与等边，线段交于一点，该点即为所求的点，根据证明得，从而可判断当D、K、Q、C四点共线时，为最小值，进而可证结论成立． 【小问1详解】 ∵是等边三角形， ∴， ∴． ∵点O是等边的费马点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点O是三边垂直平分线的交点， ∴． ∵， ∴． ∴延长交于点D，如图1， ∴， ∴． 故答案为：9． 【小问2详解】 如图2，作于M，于N，设与交点为G． ∵与都是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴，． 又∵ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分 ∴ ∴ ∴点P是的费马点． 【小问3详解】 能，如第（2）小题那样，分别以为边向外作等边与等边，线段交于一点，由（2）小题知该点是的费马点，即为所要建的污水处理站Q的位置． 证明如下：如图3，设点Q是内一点，连接，并在同侧作等边与等边，连接． ∵与都是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴． 当D、K、Q、C四点共线时，为最小值， 又∵， ∴这时， ∴， ∴点Q是的费马点 即当点Q是的费马点时，的值最小． 【点睛】本题考查了费马点，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，角平分线的判定，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年上学期八年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2 ． 回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将正确答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步. 已知28nm为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如果多边形的内角和等于1980度，则这个多边形是（ ） A. 九边形 B. 十三边形 C. 十二边形 D. 十五边形 4. 下列式子从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，边、的垂直平分线分别交于点、，若，则的度数（ ） A B. C. D. 6. 在中，若三边长a，b，c满足，，则边长c为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的方程有整数解，且，则所有满足条件的整数的和是（ ） A. B. C. D. 9. 对于分式，我们把分式叫做的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，以此类推…，则分式等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，于D，平分，且于E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G．下列结论正确的有（　　）个． ①；②；③是等腰三角形；④；⑤； A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 分解因式： _______________ ． 12. 已知一个等腰三角形的周长是15，其中一条边长是7，则这个等腰三角形的腰长是__________________． 13. 如图，中，，于，，，则 _______°． 14. 如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为____________ 15. 已知a，b为实数，定义一种新的运算“☆”如下： ，若，则_____ 16. 如图，在等腰中，，在边上取一点，连接，点为线段上一点，以为斜边作等腰．连接、，交于，为上一点，连接；在下列结论中： ①；②若垂直平分，则；③若垂直平分，则；④若，则； 其中正确结论有 ________．（填写正确结论的序号） 三．解答题（本题共8个小题，满分72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 先化简后求值： （1），其中，． （2），其中． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为，，． （1）请在平面直角坐标系内，画出关于y轴对称的图形并写出A1，B1，C1的坐标 （2）请写出点关于直线n（直线n上各点的横坐标都为1）对称的点的坐标． 20. 【教材呈现】下图是人教版八年级上册数学教材第109页的部分内容． （1）请写出图①所表示的公式：____________；图②所表示的公式：____________． 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． （2）请写出图③所表示的代数恒等式：____________． 【解决问题】 （3）利用（2）中得到的结论，解决下面的问题：若，， 则____________． 【知识迁移】 （4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图④表示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图④中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：____________． 21. 项目学习方案： 项目 情景 元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等 知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务 素材 一 采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜5元，用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍 任务 一 小组成员甲设用320元购买的种花卉的数量为，由题意得方程：①； 小组成员乙设②，由题意得方程： 素材 二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或 完成（）盆大盆栽插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同 任务 二 求的值 （1）任务一中横线①处应填______，横线②处应填______． （2）完成任务二． 22. 如图1：在中，平分，且． （1）若，求长； （2）如图2，若交于，交于，且为等腰三角形，求的长． 23. 阅读理解并解答： （1）我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ，． 则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______． （2）求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值． （3）已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围． （4）若，，试比较、的大小，并说明理由． 24. 定义：若P为内一点，且满足，则点P叫做的费马点． （1）如图1，若点O是等边的费马点，且，则这个等边三角形的高的长度为______； （2）如图2，已知，分别以为边向外作等边与等边，线段交于点P，连接，求证：点P是的费马点； （3）应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$