江苏省镇江市丹徒区2024-2025学年七年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年江苏省镇江市丹徒区七年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分．每题只有一个正确选项．请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上．） 1．（3分）中国船舶自主品牌在国际上发挥引领作用，年初已高质量完成多艘船舶的交船任务，其中包括满足最新环保排放标准的原油船“凯盟”轮，该船总重11.5万吨．将数据115000用科学记数法表示为（　　） A．115×103 B．11.5×104 C．1.15×105 D．0.115×106 2．（3分）下列各式中，运算正确的是（　　） A．3a2+2a2＝5a4 B．a4+a2＝a2 C．6a﹣5a＝1 D．3ab2﹣5ab2＝﹣2ab2 3．（3分）下列等式变形正确的是（　　） A．由a＝b得a﹣5＝b+5 B．由x+2＝y﹣2得x＝y C．由﹣3x＝﹣3y得x＝﹣y D．由a＝b得 4．（3分）若单项式3xny2与﹣4y2x3是同类项，则n的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（3分）下列平面图形不能够围成正方体的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图，则|1+c|+|c﹣a|﹣|a+b|的值是（　　） A．1﹣b B．1﹣2c﹣b C．﹣1+b﹣2c D．﹣1﹣b 7．（3分）如图，已知线段AB＝12cm，M是AB中点，点N在AB上，NB＝2cm，那么线段MN的长为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 8．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（　　） A． B． C． D． 9．（3分）下列说法中，正确的有（　　）个． ①两直线相交，对顶角相等； ②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ④如果AM＝MB，那么点M是AB的中点． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．（3分）在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若每一横行，每一竖列，以及每条对角线上的3个数之和都相等，则“奋发图强”这四个字表示的数之和为（　　） A．18 B．19 C．21 D．22 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置上．） 11．（3分）的相反数是 　 　． 12．（3分）单项式的次数是 　 　． 13．（3分）若∠α＝54°30'，则∠α的补角为 　 　度． 14．（3分）如图的图形经过折叠可以围成的几何体名称是 　 　． 15．（3分）为了保护眼睛，小明将台灯更换为护眼台灯（图①），其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图②所示，其中BC⊥AB，ED∥AB．经使用发现，当∠DCB＝140°时，台灯光线最佳，此时∠EDC的大小为　 　． 16．（3分）如图，点O在直线AB上，过O在AB上方作射线OC，∠BOC＝120°，直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线AB的下方．如果三角板绕点O按10度/秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 　 　秒时，OC⊥ON． 三、解答题（本大题共8小题，共计72分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤．） 17．（14分）（1）计算：； （2）计算：； （3）先化简，再求值：x2+（2xy﹣3y2）﹣2（x2+xy﹣2y2），其中x＝﹣1，y＝2． 18．（8分）解方程： （1）2（x﹣2）＝6； （2）． 19．（8分）如图，点A、B、C、D在正方形网格的格点上，每个小方格的边长都为单位1．请按下述要求画图并回答问题： （1）作直线CD，过点B作BE∥AD交直线CD于点E； （2）在直线AC上求作一点P，使点P到B、D两点的距离之和最小，你作图的依据是 　 　； （3）四边形ABCD的面积是 　 　． 20．（8分）根据题意将下列空格补充完整． 如图，若∠DEH+∠EHG＝180°，∠1＝∠2，∠C＝∠A．试说明AB与DF平行． 理由：因为∠DEH+∠EHG＝180°， 所以ED∥　 　（ 　 　）， 所以∠1＝∠C（ 　 　）， ∠2＝ 　 　（ 　 　）． 因为∠1＝∠2， 所以∠C＝ 　 　． 又因为∠C＝∠A， 所以∠A＝ 　 　， 所以AB∥DF（ 　 　）． 21．（8分）如图，已知O为直线AD上一点，OC是∠AOB内部一条射线且满足∠AOB与∠AOC互补，OM，ON分别为∠AOB，∠AOC的角平分线． （1）∠COD与∠AOB相等吗？请说明理由； （2）若∠AOB＝150°，试求∠AON与∠MON的度数； （3）若∠MON＝52°，试求∠AOB的度数． 22．（8分）定义：如果两个方程的解相差n（n为正整数），则称解较大的方程为另一个方程的“n﹣和谐方程”，例如：方程x﹣2＝0是方程x+3＝0的“5﹣和谐方程”． （1）若方程2x＝5x﹣12是方程3（x﹣1）＝x+1的“n﹣和谐方程”，则n＝ 　 　； （2）若关于x的方程3（x﹣4）＝12是关于x的方程5（x﹣1）﹣2（m﹣x）＝3+2x的“6﹣和谐方程”，求m的值； （3）当a≠0时，如果关于x方程ax+b＝1是方程ax+c﹣1＝0的“3﹣和谐方程”，求代数式6a+2b﹣2（c+3）的值． 23．（8分）在数学活动中，数学兴趣小组的主题是《关于三角板的数学思考》． （1）在桌面上，把一副三角板摆成图1的位置（两直角三角板的直角顶点重合）． ①若∠1＝25°，则∠2＝ 　 　°； ②若∠2比∠1大30°，求∠1，∠2的大小； （2）如图2，小红将一个三角板ABC（∠BAC＝90°，∠B＝∠ACB＝45°）放在一组互相平行的直线MN与PQ之间，并使直角顶点A在直线MN上，顶点C在直线PQ上，若∠MAB＝35°，求∠BCP的大小． 24．（10分）根据以下信息，探索并完成任务． 现有一块长方形宣传牌，拟在上面书写24字宣传语． 信息1 如图1，（1）实线部分是长方形宣传牌，长414cm，宽270cm． （2）中间虚线部分也是长方形，长是宽的1.6倍，用来设计． （3）四周空白部分的宽度相等． 信息2 如图2，为了美观，将设计部分分割成大小相等的左中右三个长方形栏目，每个栏目书写8个字，栏目与栏目之间的中缝间距相等． 信息3 如图3，每个栏目划出正方形方格，中间有十字间隔，竖向两列中间间隔（如CD）和横向中间间隔（如EF）宽度比为1：2． 问题解决 任务1 设四周宽度为x cm，用含x的代数式分别表示设计部分的长和宽． 任务2 求四周宽度x的值． 任务3 （1）求每个栏目的水平宽度（如AB）； （2）求长方形栏目与栏目之间中缝的间距． 2024-2025学年江苏省镇江市丹徒区七年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D． D C． B A C A D D 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分．每题只有一个正确选项．请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上．） 1．（3分）中国船舶自主品牌在国际上发挥引领作用，年初已高质量完成多艘船舶的交船任务，其中包括满足最新环保排放标准的原油船“凯盟”轮，该船总重11.5万吨．将数据115000用科学记数法表示为（　　） A．115×103 B．11.5×104 C．1.15×105 D．0.115×106 【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【解答】解：115000＝1.15×105， 故选：C． 【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．（3分）下列各式中，运算正确的是（　　） A．3a2+2a2＝5a4 B．a4+a2＝a2 C．6a﹣5a＝1 D．3ab2﹣5ab2＝﹣2ab2 【分析】根据整式的加减运算法则即可求出答案． 【解答】解：A、3a2+2a2＝5a2≠5a4，故A错误； B、a4+a2≠a2，故B错误； C、6a﹣5a＝a≠1，故C错误； D、3ab2﹣5ab2＝﹣2ab2，故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算，本题属于基础题型． 3．（3分）下列等式变形正确的是（　　） A．由a＝b得a﹣5＝b+5 B．由x+2＝y﹣2得x＝y C．由﹣3x＝﹣3y得x＝﹣y D．由a＝b得 【分析】等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式． 【解答】解：A．由a＝b得a﹣5＝b﹣5或a+5＝b+5， 故原变形不正确，不符合题意； B．由x+2＝y﹣2得x+4＝y或x＝y﹣4， 故原变形不正确，不符合题意； C．由﹣3x＝﹣3y得x＝y， 故原变形不正确，不符合题意； D．由a＝b得， 故原变形正确，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了等式的性质，正确掌握等式的性质是解题的关键． 4．（3分）若单项式3xny2与﹣4y2x3是同类项，则n的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据同类项的定义直接得出n的值，再求解即可． 【解答】解：由同类项的定义可知n＝3． 故选：C． 【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 5．（3分）下列平面图形不能够围成正方体的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据常见的正方体展开图的11种形式以及不能围成正方体的展开图解答即可． 【解答】解：根据常见的不能围成正方体的展开图的形式是“一线不过四，田、凹应弃之”， 只有B选项不能围成正方体． 故选：B． 【点评】本题考查了正方体展开图，熟记展开图常见的11种形式与不能围成正方体的常见形式“一线不过四，田凹应弃之”是解题的关键． 6．（3分）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图，则|1+c|+|c﹣a|﹣|a+b|的值是（　　） A．1﹣b B．1﹣2c﹣b C．﹣1+b﹣2c D．﹣1﹣b 【分析】根据有理数a，b，c在数轴上的位置，得出绝对值内代数式的正负，再结合绝对值的性质即可解决问题． 【解答】解：由所给数轴可知， ﹣1＜c＜0，b＞a＞0， 所以1+c＞0，c﹣a＜0，a+b＞0， 则原式＝（1+c）+（﹣c+a）﹣（a+b） ＝1+c﹣c+a﹣a﹣b ＝1﹣b． 故选：A． 【点评】本题主要考查了数轴及绝对值，熟知数轴上的点所表示数的特征及绝对值的性质是解题的关键． 7．（3分）如图，已知线段AB＝12cm，M是AB中点，点N在AB上，NB＝2cm，那么线段MN的长为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【分析】根据M是AB中点，先求出BM的长度，则MN＝BM﹣BN． 【解答】解：∵AB＝12cm，M是AB中点， ∴BM＝AB＝6cm， 又∵NB＝2cm， ∴MN＝BM﹣BN＝6﹣2＝4（cm）． 故选：C． 【点评】本题考查了线段的长短比较，根据点M是AB中点先求出BM的长度是解本题的关键． 8．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（　　） A． B． C． D． 【分析】根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：依题意，得：+2＝． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 9．（3分）下列说法中，正确的有（　　）个． ①两直线相交，对顶角相等； ②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ④如果AM＝MB，那么点M是AB的中点． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】分别根据对顶角性质，垂线段最短，线段中点的定义判断即可． 【解答】解：①两直线相交，对顶角相等，正确； ②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确； ③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确； ④如果M在线段AB上，并且MA＝MB，那么点M是线段AB的中点，故错误； 综上分析可知，正确的有3个． 故选：D． 【点评】本题主要考查了对顶角的性质，垂线段最短，线段中点的定义，熟练掌握相关的定义和性质是解题的关键． 10．（3分）在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若每一横行，每一竖列，以及每条对角线上的3个数之和都相等，则“奋发图强”这四个字表示的数之和为（　　） A．18 B．19 C．21 D．22 【分析】根据题意易得﹣10+0＝2x+2﹣18，解得x的值后求得每个汉字表示的数值，然后相加计算即可． 【解答】解：由题意得﹣10+0＝2x+2﹣18， 解得：x＝3， 则2x+2＝8，x﹣5＝﹣2， 那么强表示的数是8+0﹣（﹣2）＝10， 奋表示的数是8+0﹣（﹣10）＝18， 图标是的数是18+0﹣18﹣（﹣10）﹣8＝2， 发表示的数是18+0﹣18﹣（﹣10）﹣18＝﹣8， 则10+18+2﹣8＝22， 故选：D． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，结合已知条件求得x的值是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置上．） 11．（3分）的相反数是 　　． 【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案． 【解答】解：﹣的相反数是． 故答案为：． 【点评】本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义． 12．（3分）单项式的次数是 　5　． 【分析】根据单项式次数的定义来求解．单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【解答】解：根据单项式定义得：的次数为：2+3＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了单项式次数的定义．确定单项式的次数时，找准单项式中每一个字母的指数，是确定单项式的次数的关键．注意指数是1时，不要忽略． 13．（3分）若∠α＝54°30'，则∠α的补角为 　125.5　度． 【分析】根据互补的两个角的和是180°计算即可． 【解答】解：∵∠α＝54°30'， ∴∠α的补角为180°﹣54°30'＝179°60'﹣54°30'＝125°30'＝125.5°， 故答案为：125.5． 【点评】本题考查了余角和补角，度分秒的换算，正确计算是解题的关键． 14．（3分）如图的图形经过折叠可以围成的几何体名称是 　正六棱柱　． 【分析】根据正六棱柱的形体特征进行判断即可． 【解答】解：由展开图可知，这个几何体的两个底面是正六边形，6个长方形的侧面， 因此这个几何体是正六棱柱， 故答案为：正六棱柱． 【点评】本题考查展开图折叠成几何体，掌握正六棱柱的形体特征是正确判断的关键． 15．（3分）为了保护眼睛，小明将台灯更换为护眼台灯（图①），其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图②所示，其中BC⊥AB，ED∥AB．经使用发现，当∠DCB＝140°时，台灯光线最佳，此时∠EDC的大小为　130°　． 【分析】过C作CF∥AB，得到CF∥DE∥AB，根据平行线的性质和角的和差关系即可得出结果． 【解答】解：∵BC⊥AB， ∴∠B＝90°， 过点C作CF∥AB， ∵DE∥AB， ∴CF∥DE∥AB， ∴∠EDC＝180°﹣∠DCF， ∠BCF＝180°﹣∠B＝180°﹣90°＝90°， ∵∠DCF＝∠DCB﹣BCF＝140°﹣90°＝50°， ∴∠EDC＝180°﹣50°＝130°． 故答案为：130°． 【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是过C作CF∥AB，得到CF∥ED，由平行线的性质来解决问题． 16．（3分）如图，点O在直线AB上，过O在AB上方作射线OC，∠BOC＝120°，直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线AB的下方．如果三角板绕点O按10度/秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 　12或21　秒时，OC⊥ON． 【分析】设三角板在旋转的过程中，第t秒时，OC⊥ON．根据题意求得三角板绕点O逆时针旋转120°或210°．据此列出方程并解答即可． 【解答】解：设三角板在旋转的过程中，第t秒时，OC⊥ON， 根据题意，得10t＝120或10t＝210． 解得t＝12或t＝21． 答：在旋转的过程中，第12或21秒时，OC⊥ON． 故答案为：12或21． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系． 三、解答题（本大题共8小题，共计72分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤．） 17．（14分）（1）计算：； （2）计算：； （3）先化简，再求值：x2+（2xy﹣3y2）﹣2（x2+xy﹣2y2），其中x＝﹣1，y＝2． 【分析】（1）先把除法化成乘法，再根据乘法分配律进行简便计算即可； （2）按照混合运算法则，先算乘方和括号里面的，再算乘法，最后算加减即可； （3）按照去括号法则和合并同类项法则进行化简，再把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝ ＝ ＝﹣9﹣6+3 ＝﹣12； （2）原式＝ ＝ ＝﹣4+5 ＝1； （3）原式＝x2+2xy﹣3y2﹣2x2﹣2xy+4y2 ＝x2﹣2x2+2xy﹣2xy+4y2﹣3y2 ＝﹣x2+y2， 当x＝﹣1，y＝2时， 原式＝﹣（﹣1）2+22 ＝﹣1+4 ＝3． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算和整式的化简求值，解题关键是熟练掌握混合运算法则、去括号法则和合并同类项法则． 18．（8分）解方程： （1）2（x﹣2）＝6； （2）． 【分析】（1）去括号，移项，合并，系数化1，求解即可； （2）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求解即可． 【解答】解：（1）2（x﹣2）＝6， 去括号得：2x﹣4＝6， 移项得：2x＝6+4， 合并同类项得得：2x＝10， 化系数为1得：x＝5； （2）， 去分母得：3（3x﹣2）﹣2（5x﹣7）＝12， 去括号得：9x﹣6﹣10x+14＝12， 合并同类项得：﹣x＝4， 化系数为1得：x＝﹣4． 【点评】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，正确的计算是解题的关键． 19．（8分）如图，点A、B、C、D在正方形网格的格点上，每个小方格的边长都为单位1．请按下述要求画图并回答问题： （1）作直线CD，过点B作BE∥AD交直线CD于点E； （2）在直线AC上求作一点P，使点P到B、D两点的距离之和最小，你作图的依据是 　两点之间线段最短　； （3）四边形ABCD的面积是 　　． 【分析】（1）根据直线，射线，线段的定义画出图形即可，根据要求作平行线即可； （2）根据题意可知，两点之间，线段最短； （3）根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC即可求解． 【解答】解：（1）根据题意作图如图1： ∴CD、BE即为所求； （2）如图2， 连接BD交于AC点P，则点P即为所求， 根据两点之间线段最短，可知当P、B、D三点共线时，PB+PD为最小值， 故答案为：两点之间线段最短； （3）如图3， 由S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，直线、射线、线段，三角形的面积，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 20．（8分）根据题意将下列空格补充完整． 如图，若∠DEH+∠EHG＝180°，∠1＝∠2，∠C＝∠A．试说明AB与DF平行． 理由：因为∠DEH+∠EHG＝180°， 所以ED∥　AC　（ 　同旁内角互补，两直线平行　）， 所以∠1＝∠C（ 　两直线平行，同位角相等　）， ∠2＝ 　∠DGC　（ 　两直线平行，内错角相等　）． 因为∠1＝∠2， 所以∠C＝ 　∠DGC　． 又因为∠C＝∠A， 所以∠A＝ 　∠DGC　， 所以AB∥DF（ 　同位角相等，两直线平行　）． 【分析】根据平行线的判定与性质，将所给证明过程补充完整即可． 【解答】解：因为∠DEH+∠EHG＝180°， 所以ED∥AC（同旁内角互补，两直线平行）， 所以∠1＝∠C（两直线平行，同位角相等）， ∠2＝∠DGC（两直线平行，内错角相等）． 因为∠1＝∠2， 所以∠C＝∠DGC． 又因为∠C＝∠A， 所以∠A＝∠DGC， 所以AB∥DF（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：AC，同旁内角互补，两直线平行，两直线平行，内错角相等，∠DGC，两直线平行，内错角相等，∠DGC，∠DGC，同位角相等，两直线平行． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟知平行线的判定与性质是解题的关键． 21．（8分）如图，已知O为直线AD上一点，OC是∠AOB内部一条射线且满足∠AOB与∠AOC互补，OM，ON分别为∠AOB，∠AOC的角平分线． （1）∠COD与∠AOB相等吗？请说明理由； （2）若∠AOB＝150°，试求∠AON与∠MON的度数； （3）若∠MON＝52°，试求∠AOB的度数． 【分析】（1）由已知得出∠AOB+∠AOC＝180°，结合∠COD+∠AOC＝180°，根据同角的补角相等即可证得∠COD＝∠AOB； （2）根据∠AOB与∠AOC互补及∠AOB＝150°可求出∠AOC的度数，根据角平分线的定义求出∠AON、∠AOM的度数，即可求出∠MON的度数； （3）根据角平分线的定义得出∠AOM＝，，再根据∠MON＝∠AOM﹣∠AON得出∠AOB﹣∠AOC＝104°，结合∠AOB与∠AOC互补即可求出∠AOB的度数． 【解答】解：（1）∠COD＝∠AOB，理由： ∵∠AOB与∠AOC互补， ∴∠AOB+∠AOC＝180°， ∵∠COD+∠AOC＝180°， ∴∠COD＝∠AOB； （2）∵∠AOB与∠AOC互补，∠AOB＝150°， ∴∠AOC＝180°﹣150°＝30°， ∵ON为∠AOC的角平分线， ∴∠AON＝， ∵OM为∠AOB的角平分线，∠AOB＝150°， ∴∠AOM＝， ∴∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝75°﹣15°＝60°； （3）∵OM，ON分别为∠AOB，∠AOC的角平分线， ∴∠AOM＝，， ∴∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝， ∴∠AOB﹣∠AOC＝104°①， ∵∠AOB+∠AOC＝180°②， ①+②得∠AOB＝142°． 【点评】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，角的和差计算，关键是根据图形，理清角之间的关系． 22．（8分）定义：如果两个方程的解相差n（n为正整数），则称解较大的方程为另一个方程的“n﹣和谐方程”，例如：方程x﹣2＝0是方程x+3＝0的“5﹣和谐方程”． （1）若方程2x＝5x﹣12是方程3（x﹣1）＝x+1的“n﹣和谐方程”，则n＝ 　2　； （2）若关于x的方程3（x﹣4）＝12是关于x的方程5（x﹣1）﹣2（m﹣x）＝3+2x的“6﹣和谐方程”，求m的值； （3）当a≠0时，如果关于x方程ax+b＝1是方程ax+c﹣1＝0的“3﹣和谐方程”，求代数式6a+2b﹣2（c+3）的值． 【分析】（1）先解已知条件中的两个方程，然后根据“n﹣和谐方程”的定义，列出算式，求出n即可； （2）先解已知条件中的两个方程，然后根据“n﹣和谐方程”的定义，列出关于m的方程，解方程即可； （3）先解已知条件中的两个方程，然后根据“n﹣和谐方程”的定义，列出分式方程，把b﹣c和c﹣b用a表示出来，再整体代入所求代数式进行计算即可． 【解答】解：（1）2x＝5x﹣12， 5x﹣2x＝12， 3x＝12， x＝4， 3（x﹣1）＝x+1， 3x﹣3＝x+1， 3x﹣x＝1+3， 2x＝4， x＝2， ∵4﹣2＝2， ∴方程2x＝5x﹣12是方程3（x﹣1）＝x+1的“2﹣和谐方程”， ∴n＝2， 故答案为：2； （2）3（x﹣4）＝12， 3x﹣12＝12， 3x＝24， x＝8， 5（x﹣1）﹣2（m﹣x）＝3+2x， 5x﹣5﹣2m+2x＝3+2x， 7x﹣2x＝3+2m+5， 5x＝2m+8， ， ∵关于x的方程3（x﹣4）＝12是关于x的方程5（x﹣1）﹣2（m﹣x）＝3+2x的“6﹣和谐方程”， ∴或， 当时， 40﹣2m﹣8＝30， 解得：m＝1， 当时， 2m+8﹣40＝30， 2m＝62， m＝31， ∴m＝1或31； （3）ax+b＝1， ax＝1﹣b， ， ax+c﹣1＝0， ax＝1﹣c， ， ∵关于x方程ax+b＝1是方程ax+c﹣1＝0的“3﹣和谐方程”，a≠0， ∴或， 解得：c﹣b＝3a或b﹣c＝3a， 当c﹣b＝3a时， 6a+2b﹣2（c+3） ＝6a+2b﹣2c﹣6 ＝2（c﹣b）+2b﹣2c﹣6 ＝2c﹣2b+2b﹣2c﹣6 ＝﹣6； 当b﹣c＝3a时， 6a+2b﹣2（c+3） ＝6a+2b﹣2c﹣6 ＝2（b﹣c）+2b﹣2c﹣6 ＝2b﹣2c+2b﹣2c﹣6 ＝4b﹣4c﹣6 ＝4（b﹣c）﹣6 ＝12a﹣6， ∴代数式6a+2b﹣2（c+3）的值为：﹣6或12a﹣6． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是理解已知条件中的新定义的含义和解一元一次方程的一般步骤． 23．（8分）在数学活动中，数学兴趣小组的主题是《关于三角板的数学思考》． （1）在桌面上，把一副三角板摆成图1的位置（两直角三角板的直角顶点重合）． ①若∠1＝25°，则∠2＝ 　155　°； ②若∠2比∠1大30°，求∠1，∠2的大小； （2）如图2，小红将一个三角板ABC（∠BAC＝90°，∠B＝∠ACB＝45°）放在一组互相平行的直线MN与PQ之间，并使直角顶点A在直线MN上，顶点C在直线PQ上，若∠MAB＝35°，求∠BCP的大小． 【分析】（1）①结合图1，四个角的度数之和为360°，代入∠1的度数，即可得到∠2；②由题意，得∠2﹣∠1＝30°，结合图形得∠1+∠2＝180°，即可求得∠1，∠2； （2）由MN∥PQ，得∠MAC+∠ACP＝180°，即可得到结果． 【解答】解：（1）图1，①∠1+∠2+90°+90°＝360°， ∵∠1＝25°， ∴∠2＝360°﹣90°﹣90°﹣25°＝155°， 故答案为：155； ②∵∠2比∠1大30°， ∴∠2﹣∠1＝30°， 即∠2＝∠1+30°， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠1+（∠1+30°）＝180°， 得∠1＝75°， ∴∠2＝105°； （2）图2，∵MN∥PQ， ∴∠MAC+∠ACP＝180°， ∴∠MAB+∠BAC+∠ACB+∠BCP＝180°， ∵∠MAB＝35°， ∴35°+90°+45°+∠BCP＝180°， ∴∠BCP＝10°． 【点评】本题考查了平行线的性质，角的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 24．（10分）根据以下信息，探索并完成任务． 现有一块长方形宣传牌，拟在上面书写24字宣传语． 信息1 如图1，（1）实线部分是长方形宣传牌，长414cm，宽270cm． （2）中间虚线部分也是长方形，长是宽的1.6倍，用来设计． （3）四周空白部分的宽度相等． 信息2 如图2，为了美观，将设计部分分割成大小相等的左中右三个长方形栏目，每个栏目书写8个字，栏目与栏目之间的中缝间距相等． 信息3 如图3，每个栏目划出正方形方格，中间有十字间隔，竖向两列中间间隔（如CD）和横向中间间隔（如EF）宽度比为1：2． 问题解决 任务1 设四周宽度为x cm，用含x的代数式分别表示设计部分的长和宽． 任务2 求四周宽度x的值． 任务3 （1）求每个栏目的水平宽度（如AB）； （2）求长方形栏目与栏目之间中缝的间距． 【分析】（任务1）利用设计部分的长＝414﹣2×四周宽度，可用含x的代数式表示出设计部分的长，利用设计部分的宽＝270﹣2×四周宽度，可用含x的代数式表示出设计部分的宽； （任务2）根据设计部分的长是宽的1.6倍，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （任务3）（1）设CD＝y cm，则EF＝2y cm，正方形方格的边长为（60﹣y），利用每个栏目的水平宽度＝正方形方格的边长×2﹣CD的长，即可求出结论； （2）利用长方形栏目与栏目之间中缝的间距＝（设计部分的长﹣每个栏目的水平宽度×3）÷2，即可求出结论． 【解答】解：（任务1）根据题意得：设计部分的长为（414﹣2x）cm， 宽为（270﹣2x）cm； （任务2）根据题意得：414﹣2x＝1.6（270﹣2x）， 解得：x＝15． 答：四周宽度x的值为15； （任务3）（1）设CD＝y cm，则EF＝2y cm，正方形方格的边长为（270﹣2×15﹣2y）＝（60﹣y）， ∴AB＝2（60﹣y）+y＝120﹣y+y＝120（cm）． 答：每个栏目的水平宽度为120cm； （2）根据题意得：＝12（cm）． 答：长方形栏目与栏目之间中缝的间距为12cm． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及代数式求值，解题的关键是：（任务1）根据各边之间的关系，用含x的代数式分别表示设计部分的长和宽；（任务2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（任务3）根据各边之间的关系，用含y（如CD）的代数式表示出正方形方格的边长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$